有限伝播性

この節では命題 6.1.1を証明する．これには第 3.2 節で行った証明を繰 り返えせばよいが基になるエネルギー不等式が命題 5.6.2のweight 付きの 不等式なのでその分各段階での評価が少し面倒になる．この節では Pˆ_θ =

−A²+L²+Q+B0A+B1を

Pˆθ=−A²+H+B^′₀A+B₁^′, H = op(ℓ²+q)

ともかく．ここでB^′_i= op(˜b^′_i), ˜b^′_i∈Sⁱである. 以下h=ℓ²+qとおく．

定義 6.2.1. f(t, x, ξ)∈C^∞((−T, T);S⁰)があるδ >0, 0< κ <1について

∂tf ≥δ1, 4κ(∂tf)²h≥ {h, f}² (6.2.13) を満たすときf は( ˆPに対して)空間的であるという．

f を空間的とするときf¯, ¯f₁, m, wδ, F^δ, F₁^δ などは 第3.2 節と同じもの とする．この節でもいちいち断らないが考察はすべてδについて一様である．

評価の過程を見やすくするために次の定義を導入する．

定義 6.2.2. S_i(t,·),i= 1,2をC²((−T, T);H^s+n+1)上の実数値の汎関数と する．任意のϵ >0に対してδによらない定数Cϵ=Cϵ(s)>0が存在して

S₁(t, u(t))−S₂(t, u(t))≤C_ϵ E˜²♯(s−1/4)(u) + ˜Es²(F^δu) +ϵkΦAF₁^δu(t)k²s, u(t)∈C²((−T, T);H^s+n+1) が成立するときS1

∼s S2と書く．またS1(t, u(t))−S2(t, u(t))が上式の右辺 で評価されるときS1

≲s S2あるいはS2

≳s S1と表す．

以下，定数c,Cはδには依らないが一般にはsに依存し，行ごとに変わり 得るものとする．(ΦhDi^s[F^δ,Pˆθ]u, ΦhDi^sAF^δu)を考える．まず次のことに 注意する．

補題 6.2.1. m_i >0はg¯ admissibeでr_i∈S(hξi^liϕ⁻ⁿⁱ,¯g) (i= 1,2,3,4)は

∂tri ∈S(hξi^li+1/2ϕ⁻ⁿⁱ,¯g)を満たすとする．このときRj = op(rj)とおくと Σ²_i=1li = 2s+ 1, Σ²_i=1ni = 2n のとき (R1u, R2u)∼^s 0,

Σ³_i=1li = 2s+ 1/4, Σ³_i=1ni= 2n のとき (R1u, R2AR3u)∼^s 0, Σ⁴_i=1l_i= 2s−1/2, Σ⁴_i=1n_i= 2n のとき (R₁AR₂u, R₃AR₄u)∼^s 0.

証明. r¯₂#r₁∈S(hξi^2s+1ϕ⁻²ⁿ,g)¯ から補題5.4.3より|(R₁u, R₂u)| ≤CkΦuk²_s+1/2 は明らかである．つぎにAR3=R3A−op(i∂tr3)と書くと再び補題5.4.3よ り|(R1u, R2R3Au)| ≤CkΦuks+1/2kΦAuks−1/4を得る．AR₃をop(∂tr3)で 置き換えたものには1番目の主張を適用すればよい．最後の主張の証明も同 様．

(ΦhDi^s[F^δ, H]u, ΦhDi^sAF^δu)を考えよう．(wδf¯)#h−h#(wδf¯)−i{h, wδf¯} ∈ S⁰であるから補題6.2.1から

(ΦhDi^s[F^δ, H]u, ΦAhDi^sF^δu)∼^s (ΦhDi^sop(i{h, wδf¯})u, ΦhDi^sAF^δu) である．{h, wδf¯}={h,f¯}wδ+{h, wδ}f¯と2項に分ける．wδf¯−m#(wδf¯1)∈ S⁻¹,{h,f¯}wδ∈S¹ゆえ補題6.2.1より(ΦhDi^sop(i{h,f¯}wδ)u, ΦhDi^sAF^δu) は

∼s (ΦhDi^sop(i{h,f¯}wδ)u, Φop(m)hDi^sAF₁^δu) (6.2.14) である．r=hξi^s#ϕ⁻ⁿ#ϕ⁻ⁿ#m−m#hξi^s#ϕ⁻ⁿ#ϕ⁻ⁿとおくと命題7.4.1 を適用してr∈S(hξi^s−1/2ϕ⁻²ⁿ,g)¯ となり補題5.4.3より任意のϵ >0に対し

|(op(i{h,f¯}w_δ)u,op(r)hDi^sAF₁^δu)| ≤CkΦuks+1/2kΦAF₁^δuks

≤C_ϵkΦuk²s+1/2+ϵkΦAF₁^δuk²s

(6.2.15)

と評価されるので(6.2.14)∼^s (ΦhDi^sop(m)op(i{h,f¯}wδ)u, ΦhDi^sAF₁^δu) と なる．ところで{h,f¯} =−{h, f}f⁻²f¯=−f⁻¹(∂_tf)^−1/2{h, f}f¯₁に注意す るとm#({h,f¯}wδ) + {h, f}/∂tf

#(wδf¯1)∈S⁰ゆえ(6.2.14)は

∼ −s i(ΦhDi^sop({h, f}/∂tf)F₁^δu, ΦhDi^sAF₁^δu).

さらにϕ⁻ⁿ#hξi^s#({h, f}/∂tf)−({h, f}/∂tf)#ϕ⁻ⁿ#hξi^s∈S(hξi^s+1/2ϕ⁻ⁿ,¯g) より(6.2.15)と同様にして∼ −^s i(op({h, f}/∂_tf)ΦhDi^sF₁^δu, ΦhDi^sAF₁^δu)と なる．

{h, wδ}f¯についてはk={h, wδ}w⁻_δ¹∈S¹とおくと{h, wδ}f¯−k#(wδf¯)∈ S⁰より(ΦhDi^sop(i{h, wδ}f¯)u, ΦhDi^sAF^δu)∼^s (ΦhDi^sop(ik)F^δu, ΦhDi^sAF^δu) である．ϕ⁻ⁿ#hξi^s#k−k#ϕ⁻ⁿ#hξi^s∈S(hξi^s+1/2ϕ⁻ⁿ,g)¯ よりさらに

∼s (op(ik)ΦhDi^sF^δu, ΦhDi^sAF^δu)

となる．h=q+ℓ²であった．まずqについては補題5.2.1より{q, wδ}w_δ⁻¹∈ S(b,g)¯ でさらに補題5.4.4より(op({q, w_δ}w⁻_δ¹)ΦhDi^sF^δu, ΦhDi^sAF^δu)∼^s 0 が従う．ℓ²についても同様にして(op(ik)ΦhDi^sF^δu, ΦhDi^sF^δu)∼^s 0が成立 する．以上をまとめると

補題 6.2.2. 次が成り立つ．

(ΦhDi^s[F^δ, H]u, ΦAhDi^sF^δu)∼ −^s i(op({h, f}/∂tf)ΦhDi^sF₁^δu, ΦhDi^sAF₁^δu).

次に(ΦhDi^s[A², F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)を考察しよう．これを

(ΦhDi^s[A, F^δ]Au, ΦhDi^sAF^δu) + (ΦhDi^sA[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu) (6.2.16) と書いて(ΦhDi^s[A, F^δ]Au, ΦhDi^sAF^δu)に [A, F^δ] = op(if⁻²(∂tf)wδf¯)∈ S⁰およびm#(f⁻²(∂_tf)w_δf¯)−w_δf¯₁∈S⁻¹に注意してこれまでの議論を適 用すると(あるいは(6.2.16)のもう一方に適用してもよい)

(ΦhDi^s[A, F^δ]Au, ΦhDi^sAF^δu)∼^s ikΦhDi^sAF₁^δuk² (6.2.17) を得る．もう一方の(ΦhDi^sA[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)には異なる考察を行う．

補題 6.2.3. 次が成立する．

Im(ΦhDi^sA[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu) =−∂_tRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu) +Im(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sA²F^δu)−nRe(op(ω⁻¹ϕ⁻ⁿ)hDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)

−nRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u,op(ω⁻¹ϕ⁻ⁿ)hDi^sAF^δu)−2θRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu).

証明. D_t(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)を計算すると∂_tϕ=ω⁻¹ϕより

D_t(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu) =in(op(ω⁻¹ϕ⁻ⁿ)hDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu) +(ΦhDi^sA[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu) +in(ΦhDi^s[A, F^δ]u,op(ω⁻¹ϕ⁻ⁿ)hDi^sAF^δu)

−(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sA²F^δu) + 2iθ(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu) となる．両辺の虚部を考えれば結論を得る．

A²F^δ =F^δA²+A[A, F^δ] + [A, F^δ]Aと書きω⁻¹ϕ⁻ⁿ∈S(hξi^1/2ϕ⁻ⁿ,g)¯ に 注意して補題 6.2.1を補題6.2.3の右辺に適用すると

Im(ΦhDi^sA[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)∼ −^s ∂tRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu) +Im(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sF^δA²u)

が得られる．ここでA²をA²=−Pˆθ+H+B₀^′A+B₁^′ で置き換える．B_i^′ = op(˜b^′_i), ˜b^′_i∈Sⁱであったから補題6.2.1より左辺はさらに

∼ −s ∂tRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)−Im(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sF^δPˆθu) +Im(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sF^δHu)

である．上式の第3項を整理しよう．

補題 6.2.4. (ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sF^δHu)∼^s i(HΦhDi^sF₁^δu, ΦhDi^sF₁^δu).

証明. h∈S²より 左辺∼^s (ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦHhDi^sF^δu)は明らか．(5.5.55) よりϕ⁻ⁿ#q−q#ϕ⁻ⁿ=r+ ˜r,r∈S(hξi^1/2bϕ⁻ⁿ,g), ˜¯ r∈S(hξi^1/2ϕ⁻ⁿ,¯g)であ るから補題5.4.4と補題5.4.3より|(ΦhDi^s[A, F^δ]u,op({ϕ⁻ⁿ, q})hDi^sF^δu)| ≤ C(kΦuks+1/2kBΦF^δuks+kΦuk²_s+1/2) が成り立つ．op(ℓ²)についても同様 ゆえ

左辺∼^s (HΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sF^δu)

を得る．これは補題6.2.1から∼^s (HΦhDi^s[A, F^δ]u, Φop(m)hDi^sF₁^δu)である．

q∈S(b²,¯g)よりop(m)を[A, F^δ]の前まで移動させるときに現れる項はすべて S(b²hξi^−1/2,g)¯ であるから補題5.4.4より(op(q)ΦhDi^s[A, F^δ]u, Φop(m)hDi^sF₁^δu) と(op(q)ΦhDi^sF₁^δu, ΦhDi^sF₁^δu)の差はCkBΦuk²_s−1/4で評価される．同様に qをℓ²としたときの差もC(kLΦuk²_s−1/4+kΦuks+1/2)で評価される．

(6.2.17)と合わせてまとめると 補題 6.2.5. 次が成立する．

Im(ΦhDi^s[A², F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)∼ −^s ∂_tRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)

−Im(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sF^δPˆθu) +kΦhDi^sAF₁^δuk² +Re(HΦhDi^sF₁^δu, ΦhDi^sF₁^δu).

さてκを定義 6.2.1の正数とする．補題6.2.2より (ΦhDi^s[F^δ, H]u, ΦAhDi^sF^δu)

≲s κkΦhDi^sAF₁^δuk²+ 4⁻¹κ⁻¹kop({h, f}/∂tf)ΦhDi^sF₁^δuk²

と評価され，さらに({h, f}/∂_tf)#({h, f}/∂_tf)−({h, f}/∂_tf)²∈S⁰ゆえ右 辺第2項は≲^s 4⁻¹κ⁻¹(op(({h, f}/∂_tf)²)ΦhDi^sF₁^δu, ΦhDi^sF₁^δu) と評価され る．(6.2.13)よりh−4⁻¹κ⁻¹({h, f}/∂tf)²≥0なので系5.2.1を適用すると

4⁻¹κ⁻¹kop({h, f}/∂tf)ΦhDi^sF₁^δuk²≲^s Re(HΦhDi^sF₁^δu, ΦhDi^sF₁^δu)

が従う．よって補題6.2.5よりIm(ΦhDi^s[F^δ,Pˆθ]u, ΦhDi^sAF^δu)は

≳s −∂_tRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)

−Im(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sF^δPˆθu) + (1−κ)kΦAF₁^δuk²s

(6.2.18) と評価される．命題 5.6.1および(6.2.18)よりc >0,C >0が存在して

2Im(ΦhDi^sF^δPˆ_θu, ΦAhDi^sF^δu)

≥∂tE˜s²(F^δu) +c θE˜s²(F^δu) +cE˜²♯s(F^δu)

−2∂tRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)

−2Im(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sF^δPˆ_θu)−C_ϵ E˜²♯(s−1/4)(u) + ˜Es²(F^δu) +(2(1−κ)−ϵ)kΦAF₁^δuk²s

が成立する．したがってϵ >0とθをϵ≤2(1−κ)およびc θ≥Cϵと選んで CkΦhDi^sF^δPˆθuk kΦAhDi^sF^δuk+kΦhDi^suk

+CE˜²♯(s−1/4)(u)

≥∂tE˜s²(F^δu) +cE˜²♯s(F^δu)−2∂tRe(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)

(6.2.19) が成り立つ．いまあるlがあって

lim

t↓τ

X1 j=0

kD_t^ju(t)kl+1−j = 0

を仮定しよう．このときEs(u(t)) ≤ CP1

j=0kD^j_tu(t)kn+s+1−j に注意して w_δ =hδξi^−ℓのℓをℓ≥n+s−lと選べば任意のδ >0に対して

lim

t↓τEs(F^δu(t)) = 0, lim

t↓τ(ΦhDi^s[A, F^δ]u(t), ΦhDi^sAF^δu(t)) = 0 が成立する．|(ΦhDi^s[A, F^δ]u, ΦhDi^sAF^δu)| ≤CE˜s²−1/4(u)であるから(6.2.19) の両辺をτからt(|t| ≤δ0)まで積分すると

C Z t

τ

kF^δPˆ_θu(t₁)kn+s kΦhDi^sAF^δu(t₁)k+kΦhDi^su(t₁)k dt₁

+C Z t

τ

E˜²♯(s−1/4)(u(t1))dt1+CE˜s²−1/4(u(t))

≥E˜²s(F^δu(t)) +c Z t

τ

E˜²♯s(F^δu(t1))dt1

が成立する．ここでuをe^−θtu(θ=θs)で置き換えるとE˜s(·), ˜E♯s(·)をEs(·), E♯s(·)に，またPˆ_θをPˆに置き換えて上の評価が成立する(もちろん定数は変 わる)．

Ns²(u;t) = sup

τ≤t^′≤t

nEs²(u(t^′)) + Z t^′

τ

E♯s²(u(t1))dt1

o

(6.2.20)

とおくとkΦhDi^sDtF^δuk+kΦhDi^suk ≤ C Es^1/2(F^δu) +E_s^1/2_−1/4(u) は明ら かゆえ

Ns²(F^δu;t)≤C

nNs²−1/4(u;t) + Ns(F^δu;t) +Ns−1/4(u;t)

× Z t

τ

kF^δP u(tˆ 1)kn+sdt1

o

が成り立ちこれから Ns(F^δu;t)≤C

Ns−1/4(u;t) + Z t

τ

kF^δP u(tˆ 1)kn+sdt1

が従う．ここでδ↓0とするとF = op( ¯f)としてつぎの補題を得る．

補題 6.2.6. fは空間的としF = op( ¯f)とする．u∈ ∩¹j=0C^j([τ, δ0];H^l+1−j) はlimt↓τ

P1

j=0kD_t^ju(t)kl+1−j = 0とする．このときNs−1/4(u;t) < +∞, τ ≤t≤δ0かつFP uˆ ∈L¹([τ, δ0];H^n+s)ならばNs(F u;t)<+∞,τ1 ≤t≤ δ0である．また

Ns(F u;t)≤C

Ns−1/4(u;t) + Z t

τ

kFP u(tˆ 1)kn+sdt1

(6.2.21) が成立する．

dϵ(x, ξ;w),fϵ(t, x, ξ;w)は第3.2節で定義したものとする．ℓ∈S(M⁻¹hξi, G) よりM,ϵによらないC >0があって{ℓ², νdϵ}²≤4ℓ²ν²{ℓ, dϵ}²≤Cν²ℓ²が 成立する．また0≤q∈G(M⁻²hξi², G)であったからGlaeserの不等式より {q, νdϵ}² ≤ Cν²q が成り立つ．よってν0 >0が存在して0 < ν ≤ν0のと きf_ϵは任意のϵ >0に対し空間的である．第3.2節と同様にF_ϵ= op( ¯f_ϵ)と おく．

命題 6.2.1. u ∈ ∩¹j=0C^j([τ, δ₀];H^l+1−j), lim_t↓τP1

j=0kD_t^ju(t)kl+1−j = 0 およびP uˆ ∈L¹([τ, δ0];H^l′)があるl, l^′ ∈Rについて成立するとする．いま あるϵ0 > 0, s0 ∈ Rに対してFϵ₀P uˆ ∈ L¹([τ, δ0];H^s0+n) とすると任意の 0< ϵ < ϵ₀および任意のs≤s₀−1/4に対してF_ϵu∈ ∩¹j=0C^j([τ, δ₀];H^s+1−j) であり，さらに

X1 j=0

kD_t^jF_ϵu(t)ks+1−j≤C Z t

τ

kF_ϵ0P uˆ kn+s0dt₁+C

R_l(u;t) + Z t

τ

kP uˆ kl^′dt₁

が成立する．ここで Rl(u;t) = sup

τ≤t^′≤t

X¹

j=0

kD_t^ju(t^′)kl+1−j+ X1 j=0

Z t^′ τ

kD^j_tu(t1)kl+1−jdt1

とおいた．

証明. 命題3.2.1の証明を繰り返えせばよい．まずϵ < ϵj < ϵ0を単調減少で j→ ∞のときϵ_j↓ϵとなるように選ぶ．ここでもF_j=F_ϵj,f_j =f_ϵj と書き jに関する帰納法でl+j/4≤s0なるjに対して

Nl+j/4(F_ju;t)≤CR_l(u;t) +C

Z t τ

kF₀P u(tˆ ₁)kn+s0+kP u(tˆ ₁)kl^′ dt₁

(6.2.22)

が成立することを示す．f_j, gj ∈S⁰は命題3.2.1の証明と同じものとする．

命題3.2.1の証明と同様にしてkF_j+1Pˆop(g_j)ukl+n+(j+1)/4 は C

kF0P uˆ kl+n+(j+1)/4+ X1 j=0

kD^j_tukl+1−j＋kP uˆ kl^′

で評価されるので補題6.2.6をs=l+ (j+ 1)/4≤s0,F =Fj+1,u= op(gj)u として適用すると

Nl+(j+1)/4(Fj+1op(gj)u;t)≤CNl+j/4(op(gj)u;t) +C

Z t τ

kF0P u(tˆ 1)kn+s₀dt1+kP u(tˆ 1)kl^′ dt1+CRl(u;t)

(6.2.23)

を得る．同様にNl+j/4(op(g_j)u;t)≤C

Nl+j/4(F_ju;t)+R_l(u;t) と評価され る．またNl+(j+1)/4(Fj+1u;t)≤C

Nl+(j+1)/4(Fj+1op(gj)u;t)+Rl(u;t) も 同様である．従ってNl+j/4(op(gj)u;t)の評価に帰納法の仮定を使うと(6.2.22) がl+j/4≤s₀をみたす最大のj=j₀について成立することがわかる．ϵ < ϵ_j0 よりk∈S⁰があってf¯ϵ−k# ¯fj₀ ∈S^−∞と書けることに注意して結論を得 る．

命題6.1.1の証明：ν >0,ϵ >0を命題3.2.2のそれとしその証明を繰り返せば よい．命題6.2.1をu= ˆGop(h₁)f ∈ ∩¹j=0C^j([τ, δ₀];H^l2−n+1−j),F_ϵ0 =F_i,2ϵ, Fϵ=Fi,ϵ,l=l2−n,l^′=l2として適用すると

X1 j=0

kD^j_tF_i,ϵGop(hˆ ₁)fks+1−j≤C Z t

τ

kF_i,2ϵop(h₁)fkp

+kop(h1)fkl₂ dt1+Rl₂−n( ˆGop(h1)f;t)

が任意のp, s ∈ R, s ≤ p−n−1/4について成立する．また(6.1.5)から R_l2−n( ˆGop(h₁)f;t)≤CRt

τkop(h₁)fkl2dt₁であるからs=l₁−1と選んで X1

j=0

kD_t^jFi,ϵGop(hˆ 1)fkl₁−j≤C Z t

τ

kfkl₂dt1

を得る．また命題3.2.2の証明と同じく X1

j=0

kD^j_top(h2)vkl₁−j ≤C X1 j=0

X

i

kD^j_tFi,ϵvkl₁−j+C X1 j=0

kD_t^jvkl₂−n+1−j

が成立するのでv= ˆGop(h1)fとして命題6.1.1が証明された．

初期値問題(6.1.4)でϕ₀=ϕ₁= 0のときの解作用素

Gˆ^∗:L¹((−δ0, τ) :H^s+n)3f(t)7→u(t)∈ ∩¹j=0C^j([−δ0, τ];H^s+1−j) についてもGˆに対する議論を繰り返すことによってGˆ^∗が有限伝播であるこ とがわかる．したがってPに対する局所解の存在定理の証明と同様にして次 が得られる．

定理 6.2.1. p(0,0, τ, ξ) = 0 の危点はすべて実効的双曲型であるとする．こ のとき δ >0, n > 0 およびx= 0の近傍 Ω が存在し, 任意の|τ| < δと 任意の f ∈ L¹((−δ, τ);H^s+n)に対して(−δ, τ)×ΩでP^∗u = f を満たす u∈ ∩¹j=0C^j([−δ, τ];H^s+1−j)で

X1 j=0

kD^j_tu(t)ks+1−j≤Cs

Z τ t

kf(t^′)kn+sdt^′, −δ≤t≤τ を満たすものが存在する．

ドキュメント内 実効的双曲型作用素の初期値問題 (ページ 80-87)