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実効的双曲型作用素

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(1)

実効的双曲型作用素

(2)

ま え が き

微分作用素に対する初期値問題が任意の低階に対してCのクラスで一意可解であ るためにはその特性多様体のすべての危点は実効的双曲型でなければならないという

定理がV. Ivriiによって1970年代前半に証明されました.ここで危点が実効的双曲

型とは微分作用素の主シンボルをp(x, ξ)とするとき基本行列(Hamilton行列とも呼 ばれる)

pξx pξξ

−pxx −p

!

がその危点で0でない実の固有値の対をもつことをいいます.Ivriiはこの逆も成立 することを予想し,実際2階に帰着される作用素に対してはこの予想の正しいことが 1980年代前半に証明されました.初期値問題を考えるにあたってすべての危点が実効 的双曲型である作用素–実効的双曲型作用素–は狭義双曲型作用素につぐ重要なクラス と考えられ,これに対する初期値問題のCクラスでの一意可解性はこれまでに因子 分解法と呼ばれる発展作用素の作用素冪を用いる方法,擬微分作用素のweightを利 用するエネルギー法,時間も込めた全空間におけるGevreyクラスの擬微分作用素を 用いる方法などで証明されてきました.しかしながらどの証明もそれに必要となる準 備は少ないとはいえません.

この小冊子では2階実効的双曲型作用素に対象をしぼって,できるだけ少ない準備 で,またそれらにはすべて証明を与えて,その初期値問題を取り扱うことを目的にし ています.方法的には[29]を整理したweight付きエネルギー法を用いますが,違いの 1つは作用素を変換する際には一般のFouorier積分作用素を用いず,空間の局所座標 系の変換(あるコンパクト集合の外では線形変換として拡張される)のみを利用する,

ということです.これによって一般のFourier積分作用素を作用させたときのHs有 界性と波面集合の変換則を,空間の局所座標変換をおこなった際のHs有界性や波面 集合の変換則の考察で済ますことができます.もう1つの違いはエネルギー不等式を 求めるためにいくつかの異なるmetricに対応する擬微分作用素のWeyl-H¨ormander

calculusを適用することです.この方法は[29]でも利用しましたが,本小冊子では扱

う擬微分作用素のシンボルのうち正値なもの,あるいは非負値のシンボルを正値に摂動 したもの,それらすべてがそのシンボルクラスを定義するmetricに対してadmissible

(3)

なweightにもなっている,という枠組みを設定します.この枠組みの中では擬微分 作用素を用いる計算が著しく簡単になり,また見通しよくなります.

本書の内容の実質的な部分である4章, 5章, 6章だけを読むこともできます.5章で は上で述べたように擬微分作用素のWeyl-H¨ormander calculusを用いた推論や評価 を利用してエネルギー不等式を導きますが,そこで用いるWeyl-H¨ormander calculus の結果や概念については7章で証明も込めて詳しく解説しましたのでつど参照してい ただければ,と思います.また第6章については予め第3章に目を通しておくことで 推論の流れが容易に把握できると思います.

西 谷 達 雄 

(4)
(5)

目   次

1. 初期値問題 · · · · 1

1. 1 初期値問題の適切性· · · · 1

1. 2 初期値問題の可解性· · · · 4

2. 波 面 集 合 · · · · 10

2. 1 古典的擬微分作用素· · · · 10

2. 2 波 面 集 合· · · · 12

3. 1階双曲型作用素 · · · · 18

3. 1 初期値問題· · · · 18

3. 2 解作用素の有限伝播性· · · · 20

4. 実効的双曲型特性点· · · · 28

4. 1 序· · · · 28

4. 2 実効的双曲型特性点でのHamilton写像 · · · · 30

4. 3 実効的双曲型特性点の幾何的特徴付け· · · · 33

5. エネルギー評価 · · · · 37

5. 1 シンボルの局所化· · · · 37

5. 2 平方根の近似と基本のmetric· · · · 41

5. 3 基本のweight· · · · 45

5. 4 利用する擬微分作用素の有界性,可逆性 · · · · 49

5. 5 エネルギー不等式· · · · 53

5. 6 高次のエネルギー評価· · · · 60

6. 解の局所存在と一意性· · · · 64

6. 1 局所存在定理· · · · 64

6. 2 有限伝播性· · · · 70

(6)

6. 3 解の局所一意性· · · · 77

7. 擬微分作用素 · · · · 81

7. 1 Metricとweight · · · · 81

7. 2 シンボルクラスと擬微分作用素· · · · 84

7. 3 本書で扱うmetric · · · · 85

7. 4 擬微分作用素の合成公式· · · · 86

7. 5 擬微分作用素の有界性· · · · 92

7. 6 擬微分作用素の可逆性· · · · 99

(7)

1

初 期 値 問 題

初期値問題が適切であることの定義を与え,初期値問題が適切であるためには微分 作用素の主シンボルの特性根が実でなければならいことを示す.この特性根が実であ ることの必要性は解の(一意性を要求しない)可解性の要請のみから従う.

1. 1 初期値問題の適切性

Px¯R1+dの近傍で定義されたC係数のm階の偏微分作用素,t=t(x)は¯x の近傍で定義された滑らかな実数値関数でtx) = 0とし,Pは超曲面{t(x) = 0} 関してx¯で非特性的,すなわち(P tm)(¯x)6= 0を満たしているとする.このとき局所 座標系x= (x0, x) = (x0, x1, . . . , xd)をt(x) =x0, ¯x= 0と選ぶと(P xm0)(0)6= 0 よりDm0 の係数はx= 0で零でないのでこの係数でP を割ると最初からDm0 の係数 は1と仮定でき

P = X

|α|≤m

aα(x)Dα=D0m+ X

|α|≤m,α0<m

aα(x)Dα= Xm j=0

Pj (1. 1.1) と書ける.ここでaα(x)はx = 0の近傍で定義されたC 関数であり,多重指数 α= (α0, α1, . . . , αd)N1+dに対して|α|=α0+· · ·+αd,

Dα=D0α1· · ·Dαnd, Dj= 1

√−1

∂xj

とする.またPj=P

|α|=jaα(x)DαPj次斉次部分を表す.

つぎに初期値問題の適切性を扱うためにいくつかの関数空間を導入する.

定義 1. 1.1. Rl 上の急減少関数の空間S(Rl) = S u(x) C(Rl)で任意の α, β∈Nlに対してsupxRl|xαxβu(x)|<+を満たすものの全体として定義する.

u(x)∈ Sに対してそのFourier変換Fuを (Fu)(ξ) = ˆu(ξ) =

Z

e−i⟨x,ξ⟩u(x)dx

(8)

2

で,またv(ξ)∈ SFourier逆変換F¯vを ( ¯Fv)(x) = (2π)l

Z

eix,ξv(ξ) で定義する.R

ˆ

uvdx =R

uˆvdx (u, v ∈ S)であるからFu(ϕ) = u() (u ∈ S, ϕ ∈ S)によってF Sの双対空間 (緩増加超関数の空間) S =S(Rd)へ一意に 拡張される.F¯についても同様である.このときFourierの反転公式よりFF¯ =I, FF¯=Iが成り立つ.以下よく使うL2型のSobolev空間を導入する(例えば[25]の 第2章参照).

Hs(Rl) =Hs={u∈ S(Rl);hξisu(ξ∈L2(Rl)}, hξi=p 1 +|ξ|2 は内積

(u, v)s= (hDisu,hDisv) = Z

hξi2su(ξ)ˆˆ v(ξ)

でHilbert空間となり,そのノルムは

kuk2s = Z

hξi2s|ˆu(ξ)|2

で与えられる.特にs= 0のときは内積やノルムを単に(·,·)k · kと書く.また H−∞=[

s

Hs H=\

s

Hs と表すことにする.ΩRlが開集合でs∈Nのときは

Hs(Ω) ={u∈L2(Ω);Dαu∈L2(Ω),∀|α| ≤s}

である.したがってH(Ω) ={u∈L2(Ω);Dαu∈L2(Ω),∀α∈Nl}となる.

定義1. 1.2. P に対する初期値問題が原点の近傍でx0方向にC適切であるとは,

ある正数ϵとR1+dの原点の近傍ωがあって,x0< τ (|τ| ≤ϵ)では0となる任意の f(x)∈C0(ω)に対してP u=fωで満たし,x0< τでは0となるu(x)∈H(ω) がただ一つ存在することである.

定義から容易に従うことだがu∈ H(ω)がx0 < τ で0かつP u ∈C0(ω)が x0< t(τ < t < ϵ)で0ならばux0< tでも0となる.実際,定義よりP v=P uωで満たしx0< tでは0になるv∈H(ω)が存在するがP(u−v) = 0であり u−vx0 < τで0ゆえ一意性よりu =vが従いux0 < tで0となる.いま P u=fとしfx0> tで擾乱を加えたものをgとしてP v=gなるvを考えると P(u−v) =f−gx0< tで0なのでいま確かめたようにx0< tu=vとな る.すなわちfに加えたx0> tでの擾乱はux0< tでの状態に影響を与えない.

このように定義では,未来は過去に影響を与えない,という「因果律」が成立するこ とを要請している.定義1. 1.2は初期超平面の族x0=τ,|τ|< ϵに初期値を与えて,

その初期値をとる解の一意存在を要請する古典的な定義と同値になる.

(9)

3

補題 1. 1.1. Pに対する初期値問題が原点の近傍でx0方向にC適切であるとす

る.このとき任意のf(x)∈C0(ω) および uj(x)∈C0(ω∩ {x0=τ})に対して 次の古典的な初期値問題



P u=f in ω∩ {x0> τ},

D0ju(τ, x) =uj(x), j= 0,1, . . . , m−1

(1. 1.2) は一意的な解u∈H(ω)を持つ.

証明. 関係式P u=fx0で微分することによってuj(x),j= 0, . . . , m−1とfから j=m, m+ 1, . . .に対してuj(x) =Dj0u(τ, x)が求まる.Borelの1補題(例えば[6]

の第I章参照)からu˜∈C0(ω)ですべてのj∈Nに対してD0ju(τ, x˜ ) =uj(x)とな るものが存在する.明らかに{x0=τ}上ですべてのj∈Nに対してDj0(Pu−˜ f) = 0 が成立している.いまgx0> τ ではg=Pu˜−fx0 < τでは0で定義する とg∈C0(ω)である.仮定よりωP v=gを満たしx0< τではv= 0となる v∈H(ω)が存在するので



Pu−v) =f in ω∩ {x0> τ}, Dj0u−v) =uj(x) on ω∩ {x0=τ} が成立しu˜−v∈H(ω)が求める(1. 1.2)の解となる.

逆にg∈C0(ω)はx0<0でg= 0を満たすとして(1. 1.2)でf= 0,uj(x) = 0, j= 0, . . . , m−2およびum1(x) =g(τ, x)としたときの解w(x;τ)をとってくる.

このとき適当なϵ >0に対しu(x)を u(x) =

Z x0

−ϵ w(x0, x;τ)

と定義するとu(x)は|x0|< ϵP u=gを満たしx0<0ではu= 0である.

初期値問題が適切であるためには,特性根がすべて実でなければならないことが,

特性根が単純なときはLaxによって([19]),一般の場合は溝畑([24])によって(Lax- Mizohataの定理)証明されている.以下,微分作用素Pj =P

|α|=jaα(x)Dαに対 してξの多項式Pj(x, ξ) =P

|α|=jaα(x)ξαPjのシンボルと呼ぶことにする.特 にPm(x, ξ)を主シンボルと呼ぶ.

定理 1. 1.1. Pに対する初期値問題は原点の近傍で適切とする.このとき原点の近傍

ΩがあってPm(x, ξ0, ξ) = 0のξ0に関する根(特性根)は任意のx∈Ωおよび任意 のξRdに対して実である.

(10)

4

1. 2 初期値問題の可解性

定理1. 1.1では初期値問題の一意可解性を仮定したが可解性だけから特性根が実で

あることの必要性が従う.いま次の(一般化された)初期値問題を考えてみよう.





P u= 0,

Dj0u(0, x) = 0, 0≤j≤µ−1, Dµ0u(0, x) =ϕ(x).

(1. 2.3) ここで初期値(境界値)としてはµ+ 1個与えている.µ=m−1のときが通常の初 期値問題である.

定理1. 2.1.Ωを原点の近傍とし係数はC(Ω)とする.特性方程式Pm(0, ξ0, ξ) = 0, ξ= (1,0, . . . ,0)Rdµ個の実根とν=m−µ (1)個の非実根を持つと仮定す る.このとき正数列{Cn}n=1が存在して次が成立する;ϕ(x) =g(x1)を原点の近傍 で定義された連続関数とし一般化された初期値問題(1. 2.3)が原点のある近傍でCm 級の解を持つとする.このときg(x1)は原点の近くでC

lim sup

n→∞ (|g(n)(0)|/Cn)1/n1 (1. 2.4) が成立する.ここでg(n)(0) = (dng/dxn1)(0)である.

証明. この結果は本書のテーマではないのでここでは証明の概略のみ述べる.まず

tP u=P

|α|≤m(−D)α(aαu) =P

|α|≤ma˜α(x)DαuP の転置作用素tPを定義す る.またP˜j=P

|α|=j˜aα(x)DαtPj次斉次部分としP˜j(x, ξ)をそのシンボル とするとP˜m(x, ξ) = (1)mPm(x, ξ)は明らかである.記号を簡単にするため以下

αξDxβP(x, ξ)をP(β)(α)(x, ξ)で表すことにする.まず eix,ξtP(eix,ξv) =

Xm l=0

X

k+|α|=l

1 α!

P˜(α)k (x, ξ)Dα

v

= Xm l=0

Pl(x, ξ;D)v, Pl(x, ξ;D) = X

k+|α|=l

1 α!

P˜(α)k (x, ξ)Dα

(1. 2.5)

を確かめるのは容易である.今Ωをx= 0の近傍,ΓRd\0をξ¯を含む開錐とす るときΩ×(R×Γ)で定義されたξに関して斉次r1+r2−k次のpk(x, ξ)で

p(α)

k(β)(x, ξ)≤Ck,α,β|ξ|r1|r2−k−|α|, (x, ξ)×(R×Γ), α, β∈N1+d を満たすものの形式的な和p=P

k=0pk(x, ξ)をΩ×(R×Γ)上の(r1, r2)次のシン

(11)

5

ボルと呼ぶことにし,そのような2つのシンボルp,qに対してr=p◦qr=

X k=0

rm(x, ξ), rm= X

k+l+|γ|=m

1

γ!p(γ)k ql(γ)

で定義する.またp=P

k=0pk(x, ξ)に対して(1. 2.5)に倣ってξをパラメーターと する微分作用素を

Pl(x, ξ;D) = X

k+|α|=l

1

α!p(α)k (x, ξ)Dα で定義するとr=p◦qのとき

Rl(x, ξ;D) = Xl j=0

Pl−j(x, ξ;D)Qj(x, ξ;D) (1. 2.6) であることも容易に確かめられる.P˜mj(x, ξ) =pj(x, ξ)とおきPm

j=0P˜j(x, ξ) = Pm

j=0pj(x, ξ) =pと書くことにする.このときx= 0の近傍Ωとξ¯を含む開錐Γ があってそこで

p= ξµ0+ Xµ j=1

aj(x, ξ)ξµ0j

ξν0+ Xν j=1

bj(x, ξ)ξ0νj

=r◦h (1. 2.7) と書ける.ここでaj,bjはΩ×(R×Γ)上のξ0によらない(0, j)次のシンボルであ る.またr0=ξ0µ+Pµ

j=1aj0(0¯)ξ0µ−j= 0,h0=ξν0+Pν

j=1bj0(0¯)ξ0ν−j= 0は それぞれ実根のみおよび非実根のみをもつ.実際,仮定よりp0=r0h0となるr0,h0

が求まるのでaj=aj0+Aj,bi=bi0+Biとおいて(1. 2.7)の両辺をξに関する次数 をもとに比較するとC= (A1j

1, . . . , Aµj

µ, Bi1

1, . . . , Biν

ν)に関する連立一次方程式が得 られるがその係数行列はr0h0ξ0の多項式としての終結式であり,正則行列で ある.したがってCは一意に決まる.必要ならΩ, Γを取り替えれば,あるc0>0 があって|h0(x, ξ)| ≥c01|ξ|ν×(R×Γ)で成立する.これよりΩ×(R×Γ)上 の(−ν,0)次のシンボルq =P

k=0qk(x, ξ)でh◦q= 1を満たすものが存在する.

実際,q0= 1/h0とし以下qkを順次決めてゆけばよい.このときk+|α| ≥1なら q(α)

k(β)(x, ξ)≤Cα,β|ξ|−ν−1|1−k−|α| (1. 2.8) が成り立つことに注意する.これより

p◦q= (r◦h)◦q=r◦(h◦q) =r

が成立する.したがって(1. 2.5)と(1. 2.6)よりN > mを任意の自然数とするとき eix,ξtP eix,ξ

N−mX

j=0

Qjv

=

N−mX

j=0

Rjv+ X

Nm<k+lN, kNm,lm

PlQkv (1. 2.9)

が得られる.いま一般化された初期値問題(1. 2.3), ϕ=g(x1)にx= 0のある近傍

(12)

6

Cm級の解uが存在すると仮定する.v C0(K), K ={|xj| ≤ r}x = 0 の近傍で1でsuppv上でP u = 0かつsuppv∩ {x0 = 0}上でDxj0u(0, x) = 0 (0≤j≤µ−1)となるように選びwN(x;ξ) =PN−m

j=0 Qj(x, ξ;D)v(x)とおくと 0 =

Z

(P u)(ei⟨x,ξ⟩wN)dx= Z

u(x)tP(ei⟨x,ξ⟩wN)dx

= Z

eix,ξu eix,ξtP(eix,ξwN)dx すなわち(1. 2.9)より

Z eix,ξ

NXm j=0

Rjv

udx= Z

eix,ξ X

N−m<k+l≤N, kNm,lm

PlQkv udx

が成立する.右辺を評価するためf(x) C0(K)としR

eix,ξ(Plf)udxを考えよ う.Plfの項でξ0k(k≥1)を含む項ではξ0ke0x0D0k(e0x0)で置き換えて部分積 分を繰り返すとPlは(ξ, D)に関して高々m次であるから

Z

eix,ξ(Plf)udx≤C|ξ|m sup

K,jm|D0ju| sup

K,|α|≤m|Dαf|

が従う.ここでCP だけから決まることに注意する.他方(1. 2.8)に注意すると 任意の1≤N−2m≤k≤N−m,γ∈N1+dに対してCN,γが存在しΩ×(R×Γ) でDγ(Qkv)≤CN,γ|ξ|−ν−1|1+2m−N が成立することは容易にわかるから

Z

0

Z

ei⟨x,ξ⟩ X

Nm<k+lN, kNm,lm

PlQkv

udx≤CN|1+3m−N sup

K,j≤m|D0ju|

を得る.ここでCNuには依らない.次にR

eix,ξ(Rjv)udxを評価する.RjvDαv(|α| ≤j)の線形結合であり係数はξ0の高々µ次の多項式であるから,上で行っ たように係数がξk0を含めば部分積分を行い,ξ0を含まない形にする.suppv(0, x) 上でDj0u(0, x) = 0 (0≤j≤µ−1)であったからFourierの反転公式から

Z 0

Z ei⟨x,ξ⟩

NXm j=0

Rjv

udx= 2π(1)µ Z

ei⟨xv(0, x)Dµ0u(0, x)dx を得る.v(x˜ ) =v(0, x)とおくとg(x) =Dµ0u(0, x)より

F¯(˜vg)(ξ)≤CN|1+3mN sup

K,jm|D0ju|, ξΓ (1. 2.10) が成立する.Pm(0, ξ0,−ξ¯) = 0もµ個の実根とν個の非実根を持つので同じ議論を 繰り返すと,必要ならΓを縮めて(1. 2.10)がξΓ(Γ)で成り立つとしてよい.

ただしΓ =;−ξΓ}とした.一方c >0があってξ= (ξ1, ξ′′)6∈Γ(Γ), ξ′′= (ξ2, . . . , ξd)のとき′′| ≥c|ξ1|が成り立つので部分積分より

(13)

7 F¯(˜vg)(ξ)

Z

(1 +′′|2)−N|(1 +|D′′|2)Nv˜||g(x1)|dx

≤CN (1 +|)2N sup

|x1|≤r|g(x1)|, D′′= (D2, . . . , Dd)

が成立する.CNgには依らない.以上をまとめると任意のN Nに対してuお よびgには依らないCN があって任意のξRdについて

F¯(˜vg)(ξ)≤CN(1 +|)N sup

K,jm|D0ju(x)|+ sup

|x1|≤r|g(x1)| (1. 2.11) が成り立つ.Fourier の反転公式より(d/dx1)nvg˜ = F (−ξ1)nF¯vg˜

であるから (1. 2.11)でN=n+d+ 1と選んで

|(d/dx1)ng(0)|=|(d/dx1)nvg)(0)| ≤ Z

1|n Z

eixvgdx˜

≤Cn+d+1

Z

(1 +|)−d−1 sup

K,j≤m|Dj0u(x)|+ sup

|x1|≤r

|g(x1)|

≤CCn+d+1

sup

K,jm|D0ju(x)|+ sup

|x1|≤r|g(x1)| .

したがってC˜n=Cn+d+1とおくとlim supn→∞(|g(n)(0)/C˜n)1/n1が従う.

証明中の(1. 2.7)および(1. 2.8)の詳細については[26]を参照のこと.

1. 2.1. 係数はC(Ω)とする.このとき初期値問題(1. 2.3) (µ=m−1)が任意 のϕ(x)∈C(Rd)に対して原点の近傍(ϕによってもよい)でCm級の解をもつた めには特性方程式Pm(0, ξ0, ξ) = 0が任意のξ Rdに対して実根のみをもつこと が必要である.

証明. 斉次性より| = 1としてよい.局所座標系x = (x1, . . . , xd) の線形変 換でξ = (1,0, . . . ,0)と仮定できるので定理 1. 2.1を適用すればよい.このとき (1. 2.4)を満たさない g(x1)を選べば ϕ = g(x1)とした初期値問題 (Dj0u(0, x), j=µ+ 1, . . . , m−1は任意でよい) にはCm級の解が存在しない.

係数がΩで実解析的なら,特性根の虚実に関係なく,Cauchy-Kowalevskyの定理 によって任意の実解析的な初期値に対し原点の近傍で実解析的な初期値問題の解が存 在するが,非実の特性根がある場合は,Cm級の解が存在するような初期値のクラス はそう広くはない.

命題 1. 2.1. Iを原点を含むRの開区間とする.定理と同じ仮定の下で,初期値問題

(1. 2.3)=g(x1)が原点の近傍でCm級の解をもたないようなg(x1)∈C(I)の 集合はC(I)で稠密である.

(14)

8

証明. x1=tと書くことにする.閉区間列J1⊂ · · · ⊂Jn⊂Jn+1⊂ · · · Iの汲み 尽し列,すなわちn=1Jn=Iであるとする.f, g∈C(I)に対して

d(f, g) = X n=1

2−n|f−g|n

(1 +|f−g|n), |ϕ|n= X

kn

max

Jn

|∂tkϕ| と定めるとdC(I)の位相を与える距離である.従って

S={g(t)∈C(I); lim sup

n→∞ (|g(n)(0)|/Cn)1/n>1}

とおくとき,任意のf∈C(I)に対してd(f, h)0 (ℓ→ ∞)をみたすh∈Sが 存在することを示せばよい.ρ(0) = 1,ρ(n)(0) = 0 (n≥1)をみたすρ∈C0(I)を 1つ固定し,与えられたf∈C(I)に対してϕを次のように定める.

ϕ(t) =X

j

ρj(t), ρj(t) =fjρ(t/ϵj)tj/j!. (1. 2.12) ここで{Cj}を定理1. 2.1の正数列としf(j)(0)0ならfj= 2jCjf(j)(0)<0 のときはfj2jCjとする.またϵj>0は後で決める.|dmρj/dtm|=(m)j (t)|

を評価するとρ(t/ϵj)6= 0なら|t/ϵj| ≤1と仮定してよいのでϵjには依らないCm,j

があって ρ(m)j (t)≤Cm,jϵj−mj , (j≥m) が成り立つ.ここでϵj= min0mj1 2−jCm,j11/(jm)

と定めるとj≥m+ 1の とき(m)j (t)| ≤2jが成り立ちP

j≥ℓρ(m)j (t)はIで一様収束するのでϕ∈C(I) となる.いまh(t) =f(t) +ϕ(t)とおくとh∈C(I)でρ(m)j (0) =δjmfjより

ϕ(m) (0) =X

j

ρ(m)j (0) =









0 (m < ℓ)

2mCm (m≥ℓ, f(m)(0)0)

2mCm (m≥ℓ, f(m)(0)<0) であるから

lim sup

n→∞ |h(n) (0)|/Cn

1/n

lim sup

n→∞ (n) (0)|/Cn

1/n

>1 となってh Sである.次に(m) (t)| ≤P

j(m)j (t)| ≤P

j2j = 2+1 (m≤ℓ−1)より

|n= X

mn

maxJn

(m) (t)| ≤ X

mn

2−ℓ+1≤ℓ2−ℓ+1 (ℓ≥n+ 1) (1. 2.13) なので|n 0 ( → ∞)が成り立つ.いま与えられたϵ > 0に対してn1を P

n=n1+12−n< ϵと選んでおき,このn1に対して11≤ℓ, 1≤n≤n1=⇒ |ϕ|n< ϵ と選ぶ.このとき1≤ℓなら

(15)

9

d(f, h)

n1

X

n=1

2−n|n

(1 +|n) + X n=n1+1

2−n2ϵ となってd(f, h)0 (ℓ→ ∞)が従う.

命題 1. 2.2. Iを原点を含むRの開区間とする.定理と同じ仮定の下で,初期値問

題(1. 2.3), ϕ=g(x1) が原点の近傍でCm級の解をもつg(x1)∈C(I)の集合は C(I)の第一類集合である.

証明. fj= 2jCjとしてϕを(1. 2.12)で定義する.このとき ϕ(m) (0) =X

j≥ℓ

ρ(m)j (0) =



0 (m < ℓ) 2mCm (m≥ℓ) は明らか.(1. 2.13)より任意のn∈Nに対してMn>0が存在して

sup

|n≤Mn (1. 2.14)

が成り立つ.いま次のC(I)上の連続線形形式の列を考える.

Tnf=Cn1(2/3)nf(0), n= 1,2, . . . .

一様有界性定理 (例えば[25, 補題2.5]) より,もし任意のf C(I) について supn|Tnf|<+が成立すればC(I)のある0の近傍V ={f∈C(I);|f|mj<

δj, j= 1, . . . , N}があって

sup

n,fV|Tnf|<+ (1. 2.15) が成立するはずだが(1. 2.14)より適当なϵ >0をとれば{ϵϕ} ∈V (∀ℓ)であり,一 方で任意のM >0に対してn1を(4/3)n1> Mと選ぶと

Tn1ϕn1=Cn11(2/3)n1ϕ(nn11)(0)= (4/3)n1> M

となって(1. 2.15)は成り立たない.すなわちsupn|Tnf|= +となるf∈C(I) が存在する.このとき集合B={f∈C(I); supn|Tnf|<+∞}は第一類集合であ る.実際Bk={f∈C(I); supn|Tnf| ≤k}とおくとB=kBkBkは閉集合 なのでBが第一類集合でないとすると定義からあるBk0は内点を持つが,Bk0が対 称で凸ということからBk0は0のある近傍を含み,したがって任意のf∈C(I)に ついて|Tnf|<+となり,B=C(I)となって矛盾する.ここで

Sc={g(t)∈C(I); lim sup

n→∞ (|g(n)(0)|/Cn)1/n1} ⊂B に注意すればScが第一類集合であることが従う.

(16)

2

波 面 集 合

この章では古典的擬微分作用素と波面集合の定義およびその簡単な性質を証明する.

特に座標変換による波面集合の評価付き変換式は後の第6章で利用する.

2. 1 古典的擬微分作用素

第7章で導入した擬微分作用素のクラスS(hξim, g0)をSmで表すことにし,また S−∞=∩Sm,S=∪Smとおく.もう一度定義を書いておくとa∈Smとは任意 のk∈Nに対してCk>0が存在して

sup

(x,ξ)R2d,|α+β|≤k

xβξαa(x, ξ)≤Ckhξim−|β|

が成り立つことである.この不等式が成立する最小のCkをセミノルムとしてSmは Fr´echet空間となる.a∈Smとしχ∈C0(Rd)は原点の近傍で恒等的に1であると するとϵ >0に対してχ(ϵξ)a(x, ξ)∈S−∞, (1−χ(ϵξ))a(x, ξ)∈Smであり,また ϵ→0のときSm+1χ(ϵξ)a(x, ξ)→a(x, ξ), (1−χ(ϵξ))a(x, ξ)0となること は容易に確かめられる.

命題 2. 1.1. aj∈Smj, j= 0,1,2, . . .とし,m0> m1> m2>· · ·, mj → −∞

とする.このときa∈Sm0で任意のk∈Nに対して a−X

j<k

aj∈Smk を満たすものがある.これをa∼P

0 ajと書く.

証明. χ∈C0x= 0の近傍でχ= 1なるものとするとϵ→0のときSmj+1で (1−χ(ϵ·))aj0なのでϵj>0を

|∂ξαβx((1−χ(ϵjξ))aj(x, ξ)| ≤2j(1 +|ξ|)mj+1−|α|, +β| ≤j が成り立つように選べる.Aj(x, ξ) = (1−χ(ϵjξ))aj(x, ξ)∈Smjとおくときϵj0

参照

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