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擬微分作用素の可逆性

ドキュメント内 実効的双曲型作用素の初期値問題 (ページ 109-117)

第 7 章 擬微分作用素 87

7.6 擬微分作用素の可逆性

証明. 補題 7.5.1よりp S(1,g)¯ があってop(a) = op0(p)と書け,pの セミノルムはaのセミノルムで評価されるのでop0(p)について定理を示せ ばよい.χ(x, ξ, x) C0(|x|+|ξ|+|x| < 1)をχ(0,0,0) = 1と選んで pϵ(x, ξ, x) =χ(ϵx, ϵξ, ϵx)p(x, ξ)とおく.このとき{pϵ}01S˜1/20 で有界 なことは明らか.Pϵ=Op(pϵ)とおき

Qν =

z }|ν {

PϵPϵ· · ·PϵPϵ (ν = 2l, l= 1,2, . . .)

に命題7.5.1を適用してQν =Op(qν),qν ∈S˜1/20 と書く.Pϵ=Op(pϵ(x, ξ, x)) であるから |x|+|ξ|+|x| ≥ 2ϵ1 なら|y¯ν1|+|ξ|+|x| ≥ ϵ1 または

|x|++η1|+|x+ ¯y1| ≥ ϵ1 よりqν(x, ξ, x) = 0である.K(x, x) = R ei(xx)ξqν(x, ξ, x)とおくと

(Qνu)(x) = Z

K(x, x)u(x)dx

である.Cϵ{|ξ| ≤ 2ϵ1}の体積とすると|K(x, x)| ≤ Cϵ|qν|(0)0,0であり

|x|+|x| ≥2ϵ1ならK(x, x) = 0でもあるから kQνuk ≤Cϵ2|qν|(0)0,0kuk, u∈ S

が成り立つ.kQνk ≤ kPϵkν/2kPϵkν/2 ≤ kPϵkν は明らかである.kPϵuk2 = (PϵPϵu, u) ≤ kPϵPϵkkuk2 = kQ2kkuk2.同様にkPϵPϵuk2 ≤ kQ4kkuk2. これを繰り返してkPϵkν ≤ kQνk が得られる.したがってkPϵkν = kQνk である.命題 7.5.1によるとl1, l2およびνによらない C > 0が存在して

|qν|(0)0,0≤Cν |pϵ|(0)l1,l2

ν

が成り立つので

kPϵk=kQνk1 ≤Cϵ2C|pϵ|(0)l1,l2

である.ここでν → ∞とするとkPϵk ≤ C|pϵ|(0)l1,l2 となる.limϵ0Pϵu = op0(p)uであるからkop0(p)k ≤C|p|(0)l1,l2≤C|p|(lS(1,¯1+lg)2)が得られた.

証明. 補題 7.5.1よりop(a) = op0(p)となるp S(1,¯g)がある.p1, p2 S(1,g)¯ とするとき振動積分

(p1p2)(x, ξ) = (2π)n Z

eiyηp1(x, ξ+η)p2(x+y, ξ)dydη (7.6.47) でp1p2を定義するとp1p2∈S(1,¯g)でop0(p1p2) = op0(p1)op0(p2)で あることは命題7.5.1から従う.補題7.5.1より

z }| {j

a#· · ·#a=

z }| {j

p · · · pであ るから定理を証明するにはP

j=0

z }| {j

p · · · pS(1,¯g)でqに収束しqpが (7.6.46)の形の評価を満たすことを示せばよい.今qν =

z }| {ν

p · · · pとすると 命題7.5.1より

qν+1(x, ξ) = Z

ei˜yνη˜ν

ν+1Y

j=1

p(x+ ¯yj1, ξ+ηj)d˜yνd˜ηνy0= 0, ην+1= 0) でνにはよらないC1があって

|qν+1(x, ξ)| ≤C1ν+1 |p|(0)l0 1,l02

ν+1

が成り立つ.ここでl01= 2[n/2+1],l02= 2[n+1]である.これよりC1|p|(0)l0 1,l02<

1ならP

j=0

z }| {j

p · · · p=P

j=0pjが収束することは明らかである.q(α)ν+1(β) が収束することを示したい.+β|= 1のとき

q(α)ν+1(β)=

ν+1X

k=1 k1

z }| { p · · · pp(α)(β)

νk+1

z }| { p · · ·p

である.p(α)

(β) ∈S(hξi(γ|β|−|α|)/2,¯g)⊂S˜1/2(|β|−|α|)/2であり命題 7.5.1をその ままでは適用できないので使える形に帰着させる.

補題 7.6.1. Λ(ξ) =hξi1/2γ とし,Aj(x, ξ)∈S(1,¯g),j= 1, . . . , νとする.今 m∈Nとすると

ΛmA1 · · · AνΛm=

(ν+1)Xm

s=1

Am,s,1 · · · Am,s,ν,

ΛmA1 · · · AνΛm=

(ν+1)Xm

s=1

Am,s,1 · · · Am,s

と書ける.ここでAm,s,j, Am,s,j S(1,¯g) ⊂S˜1/20 であり各s, sについて Am,s,j,Am,s,j のうち少なくともmax{ν−2m,0}個はもとのAjに等しい.

さらに任意のl, lに対してCl,l,l1=l1(l, m),l2=l2(l, m)が存在し

|Am,s,j|(0)l,l, |Am,s,j|(0)l,l ≤Cl,l|Aj|(0)l1,l2

が成り立つ.

証明. ΛAj−AjΛ = [Λ, Aj]と書くとm= 1のときΛA1 · · · AνΛ1

Xν j=1

A1A2· · · Aj1, Aj]Aj+1 · · · (AνΛ1) +A1 · · · Aν と書ける.ここで[Λ, Aj] ∈S(1,¯g)でそのセミノルムはAj のそれで評価さ れる.実際op0(Aj) = op( ˜Aj)とするとop0(Λ) = op(Λ)よりΛAj−Aj Λ = Λ# ˜Aj−A˜j#Λであるが,(7.4.32)よりΛ# ˜Aj−A˜j∈S(1,g)¯ でそ のセミノルムはA˜jのそれで,従ってAjのセミノルムで評価される.また AνΛ1=Aνhξiγ1/2∈S(1,¯g)のセミノルムがAνのそれで評価されること は自明である.いまm−1のとき成立するとすると

ΛmA1 · · · AνΛm=

(ν+1)Xm−1

s=1

ΛAm1,s,1 · · · Am1,s,νΛ1 と書ける.各項について上と同様にΛAm1,s,1 · · · Am1,s,νΛ1

Xν j=1

Am1,s,1Am1,s,2 · · · Am1,s,j1, Am1,s,j] Am1,s,j+1 · · · (Am1,s,νΛ1) +Am1,s,1 · · · Am1,s,ν

で置き換える.[Λ, Am1,s,j], Am1,s,νΛ1 ∈S(1,g)¯ でそれらのセミノル ムはそれぞれAm1,s,j,Am1,s,νのセミノルムで評価され,Am1,s,jのセミ ノルムは帰納法の仮定よりAj のセミノルムで評価されている.したがって 帰納法によりすべてのmについて成立する.もう1つの場合の証明も同様で ある.

定理の証明に戻る.|β|= 1とする.

p(k1)p(β)p(νk+1)=p(k1)(p(β)Λ1)Λp(νk+1) と書きΛp(νk+1)Λ1に補題7.6.1を適用するとΛp(νk+1)=Pνk+1

j=1 A1,j

· · · A1k+1Λと書ける.A(x, ξ)Λ =A(x, ξ)hξi1/2γ であるから

qν+1(β)=

s0

X

s=0

As,1 · · · As,ν+1

hξi1/2γ , s0=

ν+1X

k=0

k≤(ν+ 1)2 となる.ここで各sについてAs,jのうち少なくともmax+ 13,0}個は pである.q(α)ν+1 (|α|= 1)についても同様にして

q(α)ν+1=

s0

X

s=0

As,1 · · · As,ν+1

hξiγ1/2.

と書ける.一般のq(α)ν+1(β)についてはこの操作を繰り返すことによって|α|=l1,

|β|=l2のとき

q(α)ν+1(β)=

sXα,β

k=1

Ak,1 · · · Ak,ν+1

hξi|γβ|/2−|α|/2

と書ける.ここでAk,j ∈S(1,¯g)でsα,β (ν+ 1)2(l1+l2)であり,また各k に対してAk,jのうちの少なくともmax+ 13(l1+l2),0}個はpである.

ここで命題 7.5.1をAk,1 · · · Ak,ν+1に適用するとCα,β, li = li(α, β)が あって

(Ak,1 · · · Ak,ν+1)(x, ξ)≤C1ν+1

ν+1Y

j=1

|Ak,j|(0)l0 1,l02

≤Cα,βC1ν+1 |p|(0)l0 1,l20

ν+13|α+β| |p|(0)l1,l23|α+β|, ν+ 13+β|

が成立する.従って|qν+1(β)(α) (x, ξ)|ν+ 13+β|のとき Cα,βC1ν+1(ν+ 1)2|α+β| |p|(0)l0

1,l20

ν+13|α+β| |p|(0)l1,l23|α+β|hξi|γβ|/2−|α|/2

で評価される.κ >1を1つ決めるとsupν(ν+ 1)2|α+β|ν+1<+ゆえ任 意のl1, l2に対してl1, l2,Cl1,l2が存在し

|qν+1|(0)l1,l2 ≤Cl1,l2 κC1

ν+1

|p|(0)l0 1,l02

ν+13(l1+l2)

|p|(0)l 1,l2

3(l1+l2)

が成り立つ.いまCC0=κC1C1<1と選ぶと

|qν+1|(0)l1,l2 ≤Cl1,l2 C|p|(0)l0 1,l02

ν+1

|p|(0)l 1,l2

3(l1+l2)

C0ν+1 となって|p|(0)l0

1,l02 < C1ならP

ν=0|qν|(0)l1,l2は収束する.

終わりに

V.Ivriiはさまざまな国際研究集会に招聘されるもなかなか出国visaがおり

ず,ソ連邦崩壊の1990年頃になってやっと出国が可能になった.筆者は1990 年の7月,ドイツのアウグスブルグの近くのIrseeで開催された“25 Years of Microlocal Analysis”という国際研究集会で初めてIvrii氏に会った.もうそ の頃は彼の研究対象が双曲型の初期値問題から離れてスペクトル理論に移っ ていたので基本行列が非零の実固有値を持たない場合についていくつか質問 をしたがあまり興味がない様子だった.ただ基本行列の由来についてはとて も興味深い話を聞くことができた.Ivriiによれば1972年当時彼は大学院生 で当時の数学科の院生たちの間ではサービスの酒瓶(13本空にすると1本の サービスがあった)で開く二次会を “Derivative”と呼び,この“Derivative”

のある飲み会を “Fundamental” な飲み会と呼んでいたという.これにちな んで2次“derivative” が0でない(実際その場合にだけ実質的な意味がある) 行列ということで “fundamental”行列と名づけたということだった.

「はじめに」でも述べたように本質的に2階の方程式に帰着される場合は [14], [15], [16]でNash-Moserの陰関数定理を適用して構成したシンボルを持 つ発展作用素の作用素冪を用いて作用素を通常のエネルギー法が適用できる ような低階を持つ作用素に変換する方法で,また[29], [30]ではFourier積分 作用素を用いて作用素を標準形に変換し,その標準形に対して擬微分作用素

のweightを構成しweight付きエネルギー評価を導くという方法でこの予想

は肯定的に解決された.[31]では基本行列が0でない実の固有値をもつ点の 幾何的特徴づけを与えこの幾何的特徴づけから出発して標準形によることな

くweight付きエネルギー評価を得ている.これらとは少し方向の異なる証明

として[33], [34]では時間変数も込めた時空間上における擬微分作用素の高次

冪の合成則を基に変換された主シンボルを複素変数にまで形式的に拡張した ものを利用する方法を採用している.

Ivriiの予想のうち未解決で残っていた2階の方程式に帰着されない場合に

ついては最近[35]で最終的に解決された.そこでは方程式を一階の系に変換 しさらにこの系の対称化行列を対角化して対角行列を対称化行列にもつ系に 帰着させその系に対して擬微分作用素のweightを利用するエネルギー法を採 用している.

実効的双曲型でない場合,特にすべての危点が非実効的双曲型である作用 素–非実効的双曲型作用素–についての初期値問題の研究の基本文献は[11], [5]

である.非実効的双曲型作用素に対する初期値問題のその後の研究について は文献も込めて[36]が詳しい.

双曲型方程式の研究発展を概観するには[3]が優れている.個々の結果に興 味があれば1980年代までの線形双曲型方程式に関する主要な種々の結果を網 羅したものとして[13]がある.そこには20近い未解決の問題が提示してあ り,中には既に解決されたものもあるが依然未解決のものも多い.最後に本 書で参考にした文献の一部を挙げる.

関連図書

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[2] L.G˚arding, Some recent results for hyperbolic differential equations, In: Proceedings of the nineteenth Nordic congress of mathematicians, Icel. Math. Soc., Reykjavik (1985), pp. 50-59.

[3] L.G˚arding, Hyperbolic equations in the twentieth century, In:

Mat´eriaux pour l’histoire des math´ematiques au XXe si`ecle, Semin.

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[4] L.H¨ormander, Uniqueness theorems and wave front sets for solutions of linear differential equations with analytic coefficients, Comm. Pure Appl. Math. 24(1971), 671-704.

[5] L.H¨ormander, The Cauchy problem for differential equations with dou- ble characteristics, J. Analyse Math.32(1977), 118-196.

[6] L.H¨ormander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer, Berlin, 1983.

[7] L.H¨ormander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators III, Springer, Berlin, 1985.

[8] V.Ivrii, Cauchy problem for non-strictly hyperbolic equations, Sov.

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ドキュメント内 実効的双曲型作用素の初期値問題 (ページ 109-117)