擬微分作用素の可逆性

第 7 章擬微分作用素 87

7.6 擬微分作用素の可逆性

証明. 補題 7.5.1よりp ∈ S(1,g)¯ があってop(a) = op⁰(p)と書け，pのセミノルムはaのセミノルムで評価されるのでop⁰(p)について定理を示せばよい．χ(x, ξ, x^′) ∈ C₀^∞(|x|+|ξ|+|x^′| < 1)をχ(0,0,0) = 1と選んで pϵ(x, ξ, x^′) =χ(ϵx, ϵξ, ϵx^′)p(x, ξ)とおく．このとき{pϵ}0<ϵ≤1がS˜_1/2⁰ で有界なことは明らか．P_ϵ=Op(p_ϵ)とおき

Q_ν =

z }|ν {

P_ϵ^∗P_ϵ· · ·P_ϵ^∗P_ϵ (ν = 2^l, l= 1,2, . . .)

に命題7.5.1を適用してQν =Op(qν),qν ∈S˜_1/2⁰ と書く．P_ϵ^∗=Op(pϵ(x^′, ξ, x)) であるから |x|+|ξ|+|x^′| ≥ 2ϵ⁻¹ なら|y¯^ν⁻¹|+|ξ|+|x^′| ≥ ϵ⁻¹ または

|x|+|ξ+η¹|+|x+ ¯y¹| ≥ ϵ⁻¹ よりqν(x, ξ, x^′) = 0である．K(x, x^′) = R e^i(x⁻^x^′^)ξqν(x, ξ, x^′)dξとおくと

(Q_νu)(x) = Z

K(x, x^′)u(x^′)dx^′

である．C_ϵを{|ξ| ≤ 2ϵ⁻¹}の体積とすると|K(x, x^′)| ≤ C_ϵ|q_ν|⁽⁰⁾0,0であり

|x|+|x^′| ≥2ϵ⁻¹ならK(x, x^′) = 0でもあるから kQ_νuk ≤C_ϵ²|q_ν|⁽⁰⁾0,0kuk, u∈ S

が成り立つ．kQνk ≤ kP_ϵ^∗k^ν/2kPϵk^ν/2 ≤ kPϵk^ν は明らかである．kPϵuk² = (P_ϵ^∗Pϵu, u) ≤ kP_ϵ^∗Pϵkkuk² = kQ2kkuk²．同様にkP_ϵ^∗Pϵuk² ≤ kQ4kkuk²．これを繰り返してkPϵk^ν ≤ kQνk が得られる．したがってkPϵk^ν = kQνk である．命題 7.5.1によるとl1, l2およびνによらない C > 0が存在して

|q_ν|⁽⁰⁾0,0≤C^ν |p_ϵ|⁽⁰⁾l₁,l₂

が成り立つので

kPϵk=kQνk^1/ν ≤C_ϵ^2/νC|pϵ|⁽⁰⁾l₁,l₂

である．ここでν → ∞とするとkP_ϵk ≤ C|p_ϵ|⁽⁰⁾_l₁_,l₂ となる．lim_ϵ_→₀P_ϵu = op⁰(p)uであるからkop⁰(p)k ≤C|p|⁽⁰⁾l₁,l₂≤C|p|^(l_S(1,¯¹^+l_g)²⁾が得られた．

証明. 補題 7.5.1よりop(a) = op⁰(p)となるp ∈ S(1,¯g)がある．p1, p2 ∈ S(1,g)¯ とするとき振動積分

(p1p2)(x, ξ) = (2π)⁻ⁿ Z

e⁻^iyηp1(x, ξ+η)p2(x+y, ξ)dydη (7.6.47) でp₁p₂を定義するとp₁p₂∈S(1,¯g)でop⁰(p₁p₂) = op⁰(p₁)op⁰(p₂)であることは命題7.5.1から従う．補題7.5.1より

z }| {j

a#· · ·#a=

z }| {j

p · · · pであるから定理を証明するにはP_∞

j=0

z }| {j

p · · · pがS(1,¯g)でqに収束しqとpが (7.6.46)の形の評価を満たすことを示せばよい．今qν =

z }| {ν

p · · · pとすると命題7.5.1より

qν+1(x, ξ) = Z

e⁻^i˜^y^ν^η^˜^ν

ν+1Y

j=1

p(x+ ¯y^j⁻¹, ξ+η^j)d˜y^νd˜η^ν (¯y⁰= 0, η^ν+1= 0) でνにはよらないC₁があって

|qν+1(x, ξ)| ≤C₁^ν+1 |p|⁽⁰⁾_l0 1,l⁰₂

ν+1

が成り立つ．ここでl⁰₁= 2[n/2+1],l⁰₂= 2[n+1]である．これよりC1|p|⁽⁰⁾_l0 1,l⁰₂<

1ならP_∞

j=0

z }| {j

p · · · p=P_∞

j=0p^⋄^jが収束することは明らかである．q^(α)_ν+1(β) が収束することを示したい．|α+β|= 1のとき

q^(α)_ν+1(β)=

ν+1X

k=1 k−1

z }| { p · · · pp^(α)_(β)

ν−k+1

z }| { p · · ·p

である．p^(α)

(β) ∈S(hξi⁽^γ^|^β^|−|^α^|^)/2,¯g)⊂S˜_1/2⁽^|^β^|−|^α^|^)/2であり命題 7.5.1をそのままでは適用できないので使える形に帰着させる．

補題 7.6.1. Λ(ξ) =hξi^1/2γ とし，A_j(x, ξ)∈S(1,¯g),j= 1, . . . , νとする．今 m∈Nとすると

Λ^mA₁ · · · A_νΛ⁻^m=

(ν+1)X^m

s=1

A_m,s,1 · · · A_m,s,ν,

Λ⁻^mA1 · · · AνΛ^m=

(ν+1)X^m

s^′=1

A^′_m,s′,1 · · · A^′_m,s′,ν

と書ける．ここでA_m,s,j, A^′_m,s_′_,j ∈ S(1,¯g) ⊂S˜_1/2⁰ であり各s, s^′について Am,s,j,A^′_m,s′,j のうち少なくともmax{ν−2m,0}個はもとのAjに等しい．

さらに任意のl, l^′に対してC_l,l′,l₁=l₁(l, m),l₂=l₂(l^′, m)が存在し

|Am,s,j|⁽⁰⁾l,l^′, |A^′_m,s′,j|⁽⁰⁾l,l^′ ≤Cl,l^′|Aj|⁽⁰⁾l₁,l₂

が成り立つ．

証明. ΛAj−AjΛ = [Λ, Aj]と書くとm= 1のときΛA1 · · · AνΛ⁻¹ は

Xν j=1

A₁A₂· · · A_j₋₁[Λ, A_j]A_j+1 · · · (A_νΛ⁻¹) +A₁ · · · A_ν と書ける．ここで[Λ, A_j] ∈S(1,¯g)でそのセミノルムはA_j のそれで評価される．実際op⁰(Aj) = op( ˜Aj)とするとop⁰(Λ) = op(Λ)よりΛAj−Aj Λ = Λ# ˜A_j−A˜_j#Λであるが，(7.4.32)よりΛ# ˜A_j−A˜_j#Λ∈S(1,g)¯ でそのセミノルムはA˜jのそれで，従ってAjのセミノルムで評価される．また AνΛ⁻¹=Aνhξi⁻γ^1/2∈S(1,¯g)のセミノルムがAνのそれで評価されることは自明である．いまm−1のとき成立するとすると

Λ^mA1 · · · AνΛ⁻^m=

(ν+1)X^m−1

s=1

ΛAm−1,s,1 · · · Am−1,s,νΛ⁻¹ と書ける．各項について上と同様にΛAm−1,s,1 · · · Am−1,s,νΛ⁻¹を

Xν j=1

Am−1,s,1Am−1,s,2 · · · Am−1,s,j−1[Λ, Am−1,s,j] Am−1,s,j+1 · · · (Am−1,s,νΛ⁻¹) +Am−1,s,1 · · · Am−1,s,ν

で置き換える．[Λ, A_m₋_1,s,j], Am−1,s,νΛ⁻¹ ∈S(1,g)¯ でそれらのセミノルムはそれぞれA_m₋_1,s,j,A_m₋_1,s,νのセミノルムで評価され，A_m₋_1,s,jのセミノルムは帰納法の仮定よりAj のセミノルムで評価されている．したがって帰納法によりすべてのmについて成立する．もう1つの場合の証明も同様である．

定理の証明に戻る．|β|= 1とする．

p^⋄^(k⁻¹⁾p_(β)p^⋄^(ν⁻^k+1)=p^⋄^(k⁻¹⁾(p_(β)Λ⁻¹)Λp^⋄^(ν⁻^k+1) と書きΛp^⋄^(ν⁻^k+1)Λ⁻¹に補題7.6.1を適用するとΛp^⋄^(ν⁻^k+1)=Pν−k+1

j=1 A1,j

· · · A_1,ν₋_k+1Λと書ける．A(x, ξ)Λ =A(x, ξ)hξi^1/2γ であるから

q_ν+1(β)=

s₀

s=0

As,1 · · · As,ν+1

hξi^1/2γ , s0=

ν+1X

k=0

k≤(ν+ 1)² となる．ここで各sについてA_s,jのうち少なくともmax{ν+ 1−3,0}個は pである．q^(α)_ν+1 (|α|= 1)についても同様にして

q^(α)_ν+1=

s=0

A^′_s,1 · · · A^′_s,ν+1

hξi⁻γ^1/2.

と書ける．一般のq^(α)_ν+1(β)についてはこの操作を繰り返すことによって|α|=l1,

|β|=l₂のとき

q^(α)_ν+1(β)=

sXα,β

k=1

Ak,1 · · · Ak,ν+1

hξi^|γ^β^|^/2^−|^α^|^/2

と書ける．ここでAk,j ∈S(1,¯g)でsα,β ≤(ν+ 1)^2(l¹^+l²⁾であり，また各k に対してA_k,jのうちの少なくともmax{ν+ 1−3(l₁+l₂),0}個はpである．

ここで命題 7.5.1をAk,1 · · · Ak,ν+1に適用するとCα,β, li = li(α, β)があって

(A_k,1 · · · A_k,ν+1)(x, ξ)≤C₁^ν+1

ν+1Y

j=1

|A_k,j|⁽⁰⁾_l0 1,l⁰₂

≤C_α,βC₁^ν+1 |p|⁽⁰⁾_l0 1,l₂⁰

ν+1−3|α+β| |p|⁽⁰⁾_l₁_,l₂3|α+β|, ν+ 1≥3|α+β|

が成立する．従って|q_ν+1(β)^(α) (x, ξ)|はν+ 1≥3|α+β|のとき Cα,βC₁^ν+1(ν+ 1)²^|^α+β^| |p|⁽⁰⁾_l0

1,l₂⁰

ν+1−3|α+β| |p|⁽⁰⁾_l₁_,l₂3|α+β|hξi^|γ^β^|^/2^−|^α^|^/2

で評価される．κ >1を1つ決めるとsup_ν(ν+ 1)²^|^α+β^|/κ^ν+1<+∞ゆえ任意のl1, l2に対してl^′₁, l^′₂,Cl1,l2が存在し

|qν+1|⁽⁰⁾l₁,l₂ ≤Cl₁,l₂ κC1

ν+1

|p|⁽⁰⁾_l0 1,l⁰₂

ν+1−3(l1+l2)

|p|⁽⁰⁾_l′ 1,l^′₂

3(l1+l2)

が成り立つ．いまCをC0=κC1C⁻¹<1と選ぶと

|qν+1|⁽⁰⁾_l₁_,l₂ ≤Cl₁,l₂ C|p|⁽⁰⁾_l0 1,l⁰₂

ν+1

|p|⁽⁰⁾_l′ 1,l^′₂

3(l₁+l₂)

C₀^ν+1 となって|p|⁽⁰⁾_l0

1,l⁰₂ < C⁻¹ならP_∞

ν=0|qν|⁽⁰⁾l₁,l₂は収束する．

終わりに

V.Ivriiはさまざまな国際研究集会に招聘されるもなかなか出国visaがおり

ず，ソ連邦崩壊の1990年頃になってやっと出国が可能になった．筆者は1990 年の7月，ドイツのアウグスブルグの近くのIrseeで開催された“25 Years of Microlocal Analysis”という国際研究集会で初めてIvrii氏に会った．もうその頃は彼の研究対象が双曲型の初期値問題から離れてスペクトル理論に移っていたので基本行列が非零の実固有値を持たない場合についていくつか質問をしたがあまり興味がない様子だった．ただ基本行列の由来についてはとても興味深い話を聞くことができた．Ivriiによれば1972年当時彼は大学院生で当時の数学科の院生たちの間ではサービスの酒瓶(13本空にすると1本のサービスがあった)で開く二次会を “Derivative”と呼び，この“Derivative”

のある飲み会を “Fundamental” な飲み会と呼んでいたという．これにちなんで2次“derivative” が0でない(実際その場合にだけ実質的な意味がある) 行列ということで “fundamental”行列と名づけたということだった．

「はじめに」でも述べたように本質的に2階の方程式に帰着される場合は [14], [15], [16]でNash-Moserの陰関数定理を適用して構成したシンボルを持つ発展作用素の作用素冪を用いて作用素を通常のエネルギー法が適用できるような低階を持つ作用素に変換する方法で，また[29], [30]ではFourier積分作用素を用いて作用素を標準形に変換し，その標準形に対して擬微分作用素

のweightを構成しweight付きエネルギー評価を導くという方法でこの予想

は肯定的に解決された．[31]では基本行列が0でない実の固有値をもつ点の幾何的特徴づけを与えこの幾何的特徴づけから出発して標準形によることな

くweight付きエネルギー評価を得ている．これらとは少し方向の異なる証明

として[33], [34]では時間変数も込めた時空間上における擬微分作用素の高次

冪の合成則を基に変換された主シンボルを複素変数にまで形式的に拡張したものを利用する方法を採用している．

Ivriiの予想のうち未解決で残っていた2階の方程式に帰着されない場合に

ついては最近[35]で最終的に解決された．そこでは方程式を一階の系に変換しさらにこの系の対称化行列を対角化して対角行列を対称化行列にもつ系に帰着させその系に対して擬微分作用素のweightを利用するエネルギー法を採用している．

実効的双曲型でない場合，特にすべての危点が非実効的双曲型である作用素–非実効的双曲型作用素–についての初期値問題の研究の基本文献は[11], [5]

である．非実効的双曲型作用素に対する初期値問題のその後の研究については文献も込めて[36]が詳しい．

双曲型方程式の研究発展を概観するには[3]が優れている．個々の結果に興味があれば1980年代までの線形双曲型方程式に関する主要な種々の結果を網羅したものとして[13]がある．そこには20近い未解決の問題が提示してあり，中には既に解決されたものもあるが依然未解決のものも多い．最後に本書で参考にした文献の一部を挙げる．

第 7 章 擬微分作用素 87

7.6 擬微分作用素の可逆性

終わりに

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