擬微分作用素の有界性

を評価すればよい．χ(ξ, η)6= 0ならhξ+η/√

2iγ ≈ hξiγであるから|Θ˜| ≤2N, Θ = (α, β),|Θ| ≤kとして

(hξi⁻γ^1/2D_y,hξi^1/2γ D_η)^Θ˜Φ^−N∂_X^Θ1a(X+Y /√

2)∂_X^Θ2χ(ξ, η)hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}

≤C_kΦ^−N|a|^(2N+k)_S(1,¯g)

が成り立つ．N=n+ 1と選ぶと|∂^Θ_XI|/hξi^{(γ|α|−|β|)/2}≤C_k^′|a|^(2n+2+k)_S(1,¯g) が得ら れる．次に∂_X^ΘIIを評価する．L= 1 +|Dy|², M = 1 +|Dη|² とおき部分積 分を行うと∂_X^ΘIIを評価するには

Z

e^iyηL^Nhηi^−2NM^ℓhyi^−2ℓ∂_X^Θ1a(X+Y /√

2)∂^Θ_X²χ^c(ξ, η)dY を評価すればよい．χ^c(ξ, η) 6= 0なら hξ+η/√

2iγ ≤ Chηiに注意すると Θ = (α, β),|Θ| ≤k,|µ| ≤2N,ν≤2ℓとして

D_y^µhηi^−2ND^ν_ηhyi^−2ℓ∂_X^Θ1a(X+Y /√

2)∂_X^Θ2χ^c(ξ, η)hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}

≤C_khyi^−2ℓhηi^−N+k/2|a|^(2ℓ+2N_S(1,¯g) ^+k)

が成り立つ．2ℓ > n,N−k/2> nと選ぶと|∂_X^ΘII|/hξi^{(γ|α|−|β|)/2}≤C_k^′|a|^(3n+3+2k)_S(1,¯g) が得られる．c(x, ξ)に関する主張の証明も同様である．

まず(op⁰(a)u, v) = (u,op¹(¯a)v)よりop⁰(a)^∗= op¹(¯a)に注意する．L²有 界性の証明ではop⁰(a)とop⁰(a)^∗を同時に考えたいので3n変数のシンボル a(x, ξ, x^′)∈C^∞(R³ⁿ)を導入する．今aが任意のα∈Nⁿ, (β⁰, β¹)∈N²ⁿに 対して ∂_x^β0∂_x^β′¹∂^α_ξa≤Chξi^m+γ ^{|β0+β1|/2−|α|/2} (7.5.34)

を満たすとする．このa(x, ξ, x^′)に対して擬微分作用素Op(a)を振動積分 Op(a)u(x) = (2π)⁻ⁿ

Z

e^−iyξa(x, ξ, x+y)u(x+y)dydξ, u∈ S で定義するとa(x, ξ)∈S(hξi^mγ,¯g)のときOp(a(x, ξ)) = op⁰(a),Op(a(x^′, ξ)) = op⁰(a)^∗である．(7.5.34)を満たすa(x, ξ, x^′)∈C^∞(R³ⁿ)の全体をS˜_1/2^m で表 し|α| ≤ l, |β⁰|,|β¹| ≤ l^′について(7.5.34)が成立するような最小のC を

|a|^(m)l,l^′ で表すことにする．今A_j =Op(a_j), j = 1, . . . , ν, a_j(x, ξ, x^′)∈S˜_1/2^mj が与えられたとき

A1A2· · ·Aνu(x) = Z Yν

j=1

e^{i(zj−1−zj)ξj}aj(z^j−1, ξ^j, z^j)u(z^j)dz^jdξ^j (z⁰=x) が成り立つ．そこでx˜^ν= (x¹, . . . , x^ν), ˜ξ^ν= (ξ¹, . . . , ξ^ν)∈R^nν として

a(x⁰,ξ˜^ν,x˜^ν) = Yν j=1

aj(x^j−1, ξ^j, x^j) (7.5.35)

とおきy^j =z^j−z^j−1(j= 1, . . . , ν, z⁰=x)と変数変換すると上の積分は Z

e^{−i˜yνξ˜ν}a(x, ξ¹, x+ ¯y¹, . . . , ξ^ν, x+ ¯y^ν)u(x+ ¯y^ν)d˜y^νdξ˜^ν, u∈ S (7.5.36) となる．ここでd˜y^νdξ˜^ν =dy¹dξ¹· · ·dy^νdξ^ν, ˜y^νξ˜^ν=y¹ξ¹+· · ·+y^νξ^νおよび

¯

y¹=y¹, y¯²=y¹+y², . . . ,y¯^ν=y¹+· · ·+y^ν

とおいた．従って擬微分作用素Op(a)u(x)を振動積分(7.5.36)で定義すると A1A2· · ·Aνu(x) =Op(a)u(x), u∈ S

である．a_j(x, ξ, x^′)∈S˜_1/2⁰ のとき(7.5.35)のaが a^{( ˜αν)}

(β⁰,β˜^ν)≤Chξ¹i^|γ^β0|/2

Yν j=1

hξ^ji^mγ^j−|αj|/2hξ^j;ξ^j+1i^|γ^βj|/2, (ξ^ν+1= 0) を満たすのをみるのは容易である．ここでhξ^j;ξ^j+1iγ =hξ^jiγ+hξ^j+1iγで

a^{( ˜αν)}

(β⁰,β˜^ν)=a^(α_(β0¹_,β^,...,α_1,...,β^ν)_ν)=∂_ξ^α_˜^˜ν^ν∂_x^β₀⁰∂^β˜

ν

˜

x^νa=∂_ξ^α1¹· · ·∂_ξ^αν^ν∂_x^β₀⁰· · ·∂_x^βν^νa とした．後でa^{( ˜α}

ν)

(β⁰,β˜^ν)をあらためてaとして考えるので最初から a^{( ˜αν)}

(β⁰,β˜^ν)≤Chξ¹i^mγ^′0+|β0|/2

Yν j=1

hξ^ji^mγ^j−|αj|/2hξ^j;ξ^j+1i^mγ^′j+|βj|/2 (7.5.37) を満たすaを考える．以下m_j≤0,m^′_j≥0とする．また|α^j| ≤l, 1≤j≤ν,

|β^j| ≤l^′, 0≤j≤ν に対して(7.5.37)が成立するような最小のCを|a|^(m;ml,l′ ^′)

で表すことにする．ここでm= (m₁, . . . , m_ν),m^′ = (m^′₀, . . . , m^′_ν)とした．

熊ノ郷 ([20])にしたがって次の補題を証明しよう．

補題 7.5.2. a(x⁰,ξ˜^ν,x˜^ν)は(7.5.37)を満たすとしb_θ(x, ξ, x^′) (|θ| ≤1)を振 動積分Z

e^{−i˜yν−1η˜ν−1}a(x, ξ+θη¹, x+ ¯y¹, . . . , ξ+θη^ν−1, x+ ¯y^ν−1, ξ, x^′)d˜y^ν−1d˜η^ν−1 で定義する．このときC=C(|m¯|,m¯^′)があって

bθ(x, ξ, x^′)≤C^ν|a|^(m;ml,l′ ^′)hξi^{m+ ¯}γ^{¯ m′} (|θ| ≤1) (7.5.38) が成立する．ここでm¯ =m1+· · ·+mν,m¯^′=m^′₀+m^′₁+· · ·+m^′_νでまた l= 2[n/2 + 1],l^′ = 2[n+|m¯|+ 1]である．

証明. n0=l/2とおく．部分積分を行うとbθは Z

e^{−i˜yν−1η˜ν−1}

νY−1 j=1

1 +|D_ηj|²ⁿ⁰hξ+θη^jiⁿγ⁰

n^νY⁻¹

j=1

1 +hξ+θη^jiⁿγ⁰|y^j|²ⁿ⁰₋1o

×a(x, ξ+θη¹, . . . , x+ ¯y^ν−1, ξ, x^′)d˜y^ν−1d˜η^ν−1

と表される．2n₀ > nより被積分項はy˜^ν−1について可積分である．η^jに関 する積分を実行するためにRⁿ_ηj を3つの部分に分ける．

Ω_j,1={η^j;|η^j−η^j+1| ≤c₀hξ+θη^j+1i^1/2γ }, Ω_j,2={η^j;c₀hξ+θη^j+1i^1/2γ ≤ |η^j−η^j+1| ≤c₀hξ+θη^j+1iγ}, Ω_j,3={η^j;|η^j−η^j+1| ≥c₀hξ+θη^j+1iγ}.

(7.5.39)

次にkj =kj(η^j, η^j+1)

kj = 0 (η^j ∈Ωj,1), kj=l^′/2 (η^j∈Ωj,2∪Ωj,3) (7.5.40) とおく．変数変換y˜^ν−17→(y¹, y¹+y², . . . , y1+· · ·+y^ν−1) = (¯y1, . . . ,y¯^ν−1) =

˜¯

y^ν−1の後に部分積分を行うとy˜^ν−1η˜^ν−1 =Pν−1

j=1y¯^j(η^j−η^j+1) (η^ν = 0)に 注意して

b_θ= Z

e^{−i∑ν−1j=1y¯j(ηj−ηj+1) ν}Y⁻¹

j=1

|η^j−η^j+1|^−2kj

×

νY−1 j=1

|D_y¯j|^2kjr_θ(x, ξ, x^′; ˜η^ν−1,y˜¯^ν−1)dy˜¯^ν−1d˜η^ν−1 を得る．ここで

rθ(x, ξ, x^′; ˜η^ν−1,y˜¯^ν−1) =

νY−1 j=1

1 +|D_ηj|²ⁿ⁰hξ+θη^jiⁿγ⁰

×n^νY⁻¹

j=1

1 +hξ+θη^jiⁿγ⁰|y¯^j−y¯^j−1|²ⁿ⁰₋1o

a(x, ξ+θη¹, . . . , x+ ¯y^ν−1, ξ, x^′) である(¯y⁰= 0)．ここでD_ηj は少なくともhξ+θη^ji^−γ1/2で減少する項を生 ずることおよびD_y¯j によって生じる項はhξ+θη^j;ξ+θη^j+1i^1/2γ で評価され ることに注意すると

Z

(1 +hξ+θη^jiⁿγ⁰|y¯^j−y¯^j−1|²ⁿ⁰)⁻¹d¯y^j ≤C₁hξ+θη^ji⁻γ^n/2

であるからC2=C2(l, l^′)が存在して

bθ(x, ξ, x^′)≤C₂^ν+1|a|^(m;ml,l^{′ ′)}hξi^mγν+m′ν Z

hξ+θη¹i^mγ′0

×n^νY⁻¹

j=1

|η^j−η^j+1|^−2kjhξ+θη^ji^mγ^j−n/2hξ+θη^j;ξ+θη^j+1i^mγ^′j+kj

o

d˜η^ν−1 (η^ν= 0) が成り立つ．c₀>0を1−c0≥1/√

2と選ぶと(7.3.18)より|ξ−η|< c0hξiγ

ならhξiγ/2≤ hηiγ≤2hξiγが成り立つので

hξ+θη^j+1iγ/2≤ hξ+θη^jiγ ≤2hξ+θη^j+1iγ on Ωj,1∪Ωj,2 (7.5.41)

が成立する．一方|θ| ≤1のとき|hξ+θη^jiγ−hξ+θη^j+1iγ| ≤√

n|η^j−η^j+1| が成り立つのでこれよりC₃=c⁻₀¹+√

nとして

hξ+θη^jiγ ≤C₃|η^j−η^j+1| on Ω_j,3 (7.5.42) が成り立つ．いま

Ij₀ = Z

hξ+θη¹i^mγ^′0

nY^j0

j=1

|η^j−η^j+1|^−2kjhξ+θη^ji^mγ^j−n/2

×hξ+θη^j;ξ+θη^j+1i^mγ′j+kjo

dη¹· · ·dη^j0 とおきm¯_k =Pk

j=1m_k, ¯m^′_k =Pk

j=0m^′_j (1≤k ≤ν−1)と表すときC₄ = C4( ¯m,m¯^′)>0が存在して

Ij₀ ≤C₄^j0+1hξ+θη^j0+1i^mγ^{¯j0+ ¯m′j0} (j0= 1, . . . , ν−1, η^ν = 0) (7.5.43) が成立することを示そう．j₀−1について(7.5.43)が成り立つと仮定する．こ のとき

Ij₀ ≤C₄^j0 n Z

Ωj0,1

+ Z

Ωj0,2

+ Z

Ωj0,3

o|η^j0−η^j0+1|^−2kj0

×hξ+θη^j0i^mγ^{¯j0+ ¯m′j0−1−n/2}hξ+θη^j0;ξ+θη^j0+1i^mγ^′j0+kj0dη^j0 なので(7.5.40)と(7.5.41), (7.5.42)より

Ij₀ ≤C₄^j0 h

3^m¯′2^|m¯|+n/2hξ+θη^j0+1i^mγ^{¯j0+ ¯m′j0−n/2}

n Z

Ωj0,1

dη^j0

+(3hξ+θη^j0+1iγ)^l′/2 Z

Ω_j0,2

|η^j0−η^j0+1|^−l′dη^j0 o

+C₃^m¯′(C₃+c⁻₀¹)^{m¯′+l′/2} Z

Ω_j0,3

|η^j0−η^j0+1|^{−l′/2+ ¯m′j0}dη^j0 i が成り立つ．各項を評価すると

Z

Ωj0,1

dη^j0 ≤C5hξ+θη^j0+1i^n/2γ , Z

Ω_j0,2

|η^j0−η^j0+1|^−l′dη^j0 ≤C₅^′hξ+θη^j0+1i⁻γ^l′/2+n/2, Z

Ω_j0,3

|η^j0−η^j0+1|^{−l′/2+ ¯m′j0}dη^j0 ≤C₅^′′hξ+θη^j0+1i^{−γl′/2+ ¯m′j0+n}

≤C₅^′′hξ+θη^j0+1i^mγ^{¯j0+ ¯m′j0}

となる．したがってC4を

C₄≥2^|m¯|+n/23^m¯′(C₅+ 3^l′/2C₅^′) +C₃^m¯′(C₃+c⁻₀¹)^{m¯′+l′/2}C₅^′′

と選べば帰納法によって(7.5.43)がj0について成り立つ．(7.5.38)は(7.5.43) から直ちに従う．

命題 7.5.1. a_j∈S˜⁰_1/2に対しaを(7.5.35)で定義する．b(x, ξ, x^′)を振動積分 Z

e^{−i˜yν−1η˜ν−1}a(x, ξ+η¹, x+ ¯y¹, . . . , ξ+η^ν−1, x+ ¯y^ν−1, ξ, x^′)d˜y^ν−1d˜η^ν−1 (7.5.44) で定義するとb(x, ξ, x^′)∈S˜⁰_1/2でOp(a) =Op(b)である．さらに任意のl, l^′ に対しCが存在し

|b|⁽⁰⁾_l,l′ ≤C^ν Yν j=1

|aj|⁽⁰⁾_l0,l′ 0

が成立する．ここでl₀=l+ 2[n/2 + 1],l₀^′ =l^′+ 2[n+l/2 + 1]である．

証明. 定義(7.5.36)で変数変換x+ ¯y^ν =x^′,ξ^j=η^j+ξ^ν(j= 1, . . . , ν−1), ξ^ν=ξを行う．˜y^νξ˜^ν = ˜y^ν−1η˜^ν−1+ (x^′−x)ξに注意すると

Op(a)u= Z

e^{i(x−x′)ξ} n Z

e^{−i˜yν−1η˜ν−1}

×a(x, ξ+η¹, x+ ¯y¹, . . . , ξ+η^ν−1, x+ ¯y^ν−1, ξ, x^′)d˜y^ν−1d˜η^ν−1 o

u(x^′)dx^′dξ となりOp(a) =Op(b)が従う．また

b^(α)_(β,β′)(x, ξ, x^′) = Z

e^{−iy˜ν−1η˜ν−1}∂_ξ^α∂_x^β∂_x^β_′^′a(x, ξ+η¹, x+ ¯y¹, . . . , ξ+η^ν−1, x+ ¯y^ν−1, ξ, x^′)d˜y^ν−1d˜η^ν−1

でありこれは振動積分(7.5.44)をI(a)で表すときP

j≤ν^|α+β|I(q_j)と書ける．

ここで各qj(x⁰,ξ˜^ν,x˜^ν)は(7.5.37)でm¯ =−|α|/2, ¯m^′ =|β+β^′|/2 (νによら ないことに注意する)とした評価をもち|q_j|^(m;m_l,l′ ^′)≤ |a|^(0,0_l0,l′^′)

0

である．ただし l0=|α|+ [n/2 + 1], l^′₀=|β+β^′|+ [n+|α|/2 + 1]である．したがって補題 7.5.2を適用するとC=C(|α|,|β+β^′|)>0が存在して

|b^(α)_(β,β′)(x, ξ, x^′)| ≤ν^|α+β|C^ν|a|^(0,0_l0,l′^′)

0 hξi^|γ^{β+β′|/2−|α|/2}

が成立する．一方

|a|^(0;0_l,l′ ^′)≤Cl,l′

Yν j=1

|aj|⁽⁰⁾_l,l′ (7.5.45) が成り立つことは容易にわかるのでν^|α+β|≤(2^|α+β|)^νに注意して結論が従 う．

定理7.5.1. a∈S(1,g)¯ とするとop(a)はL²有界である．すなわち次元のみ による定数C >0とℓ∈Nが存在して

kop(a)uk ≤C|a|^(ℓ)_S(1,¯g)kuk, u∈ S が成立する．

証明. 補題 7.5.1よりp ∈ S(1,g)¯ があってop(a) = op⁰(p)と書け，pの セミノルムはaのセミノルムで評価されるのでop⁰(p)について定理を示せ ばよい．χ(x, ξ, x^′) ∈ C₀^∞(|x|+|ξ|+|x^′| < 1)をχ(0,0,0) = 1と選んで pϵ(x, ξ, x^′) =χ(ϵx, ϵξ, ϵx^′)p(x, ξ)とおく．このとき{pϵ}0<ϵ≤1がS˜_1/2⁰ で有界 なことは明らか．P_ϵ=Op(p_ϵ)とおき

Q_ν =

z }|ν {

P_ϵ^∗P_ϵ· · ·P_ϵ^∗P_ϵ (ν = 2^l, l= 1,2, . . .)

に命題7.5.1を適用してQν =Op(qν),qν ∈S˜_1/2⁰ と書く．P_ϵ^∗=Op(pϵ(x^′, ξ, x)) であるから |x|+|ξ|+|x^′| ≥ 2ϵ⁻¹ なら|y¯^ν−1|+|ξ|+|x^′| ≥ ϵ⁻¹ または

|x|+|ξ+η¹|+|x+ ¯y¹| ≥ ϵ⁻¹ よりqν(x, ξ, x^′) = 0である．K(x, x^′) = R e^{i(x−x′)ξ}qν(x, ξ, x^′)dξとおくと

(Q_νu)(x) = Z

K(x, x^′)u(x^′)dx^′

である．C_ϵを{|ξ| ≤ 2ϵ⁻¹}の体積とすると|K(x, x^′)| ≤ C_ϵ|q_ν|⁽⁰⁾0,0であり

|x|+|x^′| ≥2ϵ⁻¹ならK(x, x^′) = 0でもあるから kQ_νuk ≤C_ϵ²|q_ν|⁽⁰⁾0,0kuk, u∈ S

が成り立つ．kQνk ≤ kP_ϵ^∗k^ν/2kPϵk^ν/2 ≤ kPϵk^ν は明らかである．kPϵuk² = (P_ϵ^∗Pϵu, u) ≤ kP_ϵ^∗Pϵkkuk² = kQ2kkuk²．同様にkP_ϵ^∗Pϵuk² ≤ kQ4kkuk²． これを繰り返してkPϵk^ν ≤ kQνk が得られる．したがってkPϵk^ν = kQνk である．命題 7.5.1によるとl1, l2およびνによらない C > 0が存在して

|q_ν|⁽⁰⁾0,0≤C^ν |p_ϵ|⁽⁰⁾l₁,l₂

ν

が成り立つので

kPϵk=kQνk^1/ν ≤C_ϵ^2/νC|pϵ|⁽⁰⁾l₁,l₂

である．ここでν → ∞とするとkP_ϵk ≤ C|p_ϵ|⁽⁰⁾_l1,l2 となる．lim_ϵ→0P_ϵu = op⁰(p)uであるからkop⁰(p)k ≤C|p|⁽⁰⁾l₁,l₂≤C|p|^(l_S(1,¯^1+l_g)²⁾が得られた．

ドキュメント内 実効的双曲型作用素の初期値問題 (ページ 103-109)