基本の metric と非負シンボルの平方根近似

本書で実際に利用するmetricはつぎの簡単なものである．

g0(y, η) =|y|²+hξi⁻²|η|², hξi= (1 +|ξ|²)^1/2,

¯

g(y, η) =hξiγ|y|²+hξi⁻γ¹|η|², hξiγ = (γ²+|ξ|²)^1/2, γ≥1, g_ϵ(y, η) =M^−2δϵahξiγ|y|²+M^−2δϵbhξi⁻γ¹|η|², γ≥M⁴, M ≥1,

¯

g₀(y, η) =|y|²+hξi⁻γ²|η|², γ≥1.

(5.2.9)

ここでg_ϵは局所座標系の変換(a)と(b)に関係したmetricでϵはϵ=aまた はϵ=bでϵ=ϵ^′のときδϵϵ^′ = 1でそれ以外はδϵϵ^′ = 0と約束する．またg0

は単に¯g₀でγを1に固定したものである．またg¯₀ ≤gϵ ≤g¯は明らかであ る．g¯やgϵがadmissible metric (定義7.1.3)であることやhξi^sγ,s∈Rがgϵ

admissible (定義7.1.5) であることなどは第7.3節で確かめる．いま ϵ(α, β) =|α|δ_ϵa+|β|δ_ϵb (5.2.10) とおくとa∈S(m, gϵ)とはCα,βが存在して

∂_x^α∂_ξ^βa≤Cα,βmM^−ϵ(α,β)hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}, α, β∈N^d

が成立することであるから(定義 7.2.1) 0 ≤ ϵ(α, β) ≤ |α+β|に注意する とM^|α+β|hξi^{−|γ β|}≤(M⁴hξi⁻γ¹)^|α+β|/2M^−ϵ(α,β)hξi^{(γ|α|−|β|)/2}よりS(m, G)⊂ S(m, gϵ)は明らかである．g_ϵ ≤ ¯gよりmがgϵ admissible ならmは¯g ad- missible でS(m, g_ϵ) ⊂S(m,¯g)である．つぎにパラメーターλ ≥ 1を導入 して

b(t, x, ξ) = q(t, x, ξ) +λhξiγ

1/2

(5.2.11)

とおく．ここでλは

λM²≤γ, λ≥1 (5.2.12)

の制限の下で動くものとする．したがってλhξi⁻γ¹≤M⁻²が成り立っている．

以前に約束したようにこの節では(5.1.1)および(5.2.12)の下で動くパラメー ターλ, M, γによらないCが存在してA≤CBが成り立つときA≲Bと 表す．この節の最後にパラメーターλの値を固定することにする．命題4.3.1 でシンボルψの存在を証明したがこのψに関係するweight の1つを

ω(t, x, ξ) = ((t−ψ(x, ξ))²+hξi⁻γ¹)^1/2 (5.2.13) で定義する．ψ ∈ S(M⁻¹, G)なので(5.1.1)と(5.1.4)よりhξi^−γ1/2 ≤ ω ≤ CM⁻¹は明らか．ωは(5.1.8)を利用するとλ≥

¯cとして b= q+λhξiγ

1/2

≥ ¯c(t−ψ)²hξi²γ+λhξiγ

1/2

≥√

¯c ω⁻¹hξiγ (t−ψ)²ω²+ω²hξi⁻γ¹

1/2

≥√

¯c ω⁻¹hξiγ |t−ψ|⁴+hξi⁻γ²

1/2

≥p

¯c /2ωhξiγ

(5.2.14)

を満たすことがわかる．

補題 5.2.1. hξi^−|γ ^α|∂_x^α∂_ξ^βq∈S(b,g) (¯ |α+β|= 1),∂tq∈S(hξiγb,¯g)である．

また {q, ψ} ∈S(M^−1/2b,g).¯

証明. 一般にa∈S(M^−1−khξiγ, G)のときb≥(λhξiγ)^1/2≥ hξi^1/2γ より

|∂_x^α∂_ξ^βa|≲M^{−1−k+|α+β|}hξi¹γ^−|β|≲M^−k M⁻²hξiγ

(1−|α+β|)/2

×hξi^1/2γ hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}≲M^−kbhξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}, |α+β| ≥1

(5.2.15) に注意する．q∈S(M⁻²hξi²γ, G)ゆえGlaeserの不等式より|hξi^−|γ ^α|∂_x^α∂_ξ^βq| ≤ C√q≤Cb(|α+β|= 1)である．またhξi^−|γ ^α|∂_x^α∂_ξ^βq∈S(M⁻¹hξiγ, G)でもあ るから上の注意をa=hξi^−|γ ^α|∂_x^α∂^β_ξqとして適用すればよい．∂tq∈S(hξiγb,¯g) の証明も同様である．2番目の主張を示すには命題5.1.1を考慮してa={q, ψ} に上の注意を適用する．(5.2.15)に注意すればよい．

補題 5.2.2. |α+β| ≥1のとき∂_x^α∂^β_ξ b^±1∈S(λ^−1/2hξi^{(γ|α|−|β|)/2}b^±1,g).¯ 特 にb^±1∈S(b^±1,g).¯

証明. b=b⁺¹の場合を考えよう．

¯

q=q(t, y(x), η(ξ) +ed), ¯b= (¯q+λhξi⁻γ¹)^1/2 (5.2.16) とおくとb = hξiγ¯bである．CM⁻¹ ≥ ¯b ≥ λ^1/2hξi⁻γ^1/2 より(¯bλ^−1/2)^k ≥ hξi⁻γ^k/2 (k≥0)は以下よく利用する．¯q∈S(M⁻², G)よりGlaeserの不等式 を適用すると

|∂_x^α∂_ξ^βq¯|≲hξi^−|γ ^β|

√q¯≲hξi⁻γ^1/2

√q¯hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}, |α+β|= 1 (5.2.17)

が成立する．また|∂_ξ^βλhξi⁻γ¹|は

≲λhξi⁻γ^1−|β|≲λhξi⁻γ^3/2hξi⁻γ^{(|α+β|−1)/2}hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2} (5.2.18) と評価される．これより√

¯

q≤¯bおよび(¯bλ^−1/2)^k ≥ hξi⁻γ^k/2に注意すれば

|∂_x^α∂^β_ξ¯b|≲|∂_x^α∂_ξ^β(¯q+λhξi⁻γ¹)|/¯b≲λ^−1/2hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}¯b, |α+β|= 1 (5.2.19) は明らかである．いま1 ≤ |α+β| ≤lのとき(5.2.19)が成立すると仮定す る．定義式¯b²= ¯q+λhξi⁻γ¹を微分すると|α+β|=l+ 1≥2として

¯b ∂^α_x∂_ξ^β¯b= X

1≤|α^′+β^′|≤l

C...∂^α_x^′∂_ξ^β′¯b·∂_x^α′′∂_ξ^β′′¯b+∂_x^α∂^β_ξq+λ ∂¯ ^α_x∂_ξ^βhξi⁻γ¹ (5.2.20) を得る．ここでq¯∈S(M⁻², G)より

|∂_x^α∂_ξ^βq¯|≲M^−2+|α+β|hξi^−|γ ^β|

≲hξi⁻γ¹(M²hξi⁻γ¹)^{(|α+β|−2)/2}hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}≲¯b²λ⁻¹hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}

(5.2.21) と評価される．(5.2.20)の右辺第3項には(5.2.18)を利用すればよい．した がって(5.2.20)に帰納法の仮定を用いると(5.2.19)が|α+β|=l+ 1のとき も成立することが分かる．bの評価は(5.2.19)から直ちに従う．∂_x^α∂_ξ^βb⁻¹の 評価はb⁻¹b= 1を微分すれば∂_x^α∂_ξ^βbの評価と帰納法から得られる．

補題 5.2.3. b^±1はg¯admissible (定義7.1.5) でさらにb^±1∈S(b^±1,g).¯ 証明. b^±1∈S(b^±1,¯g)は補題5.2.2で示した．hξi^sγはg¯admissibleであるから

¯bが¯gadmissibleであることを示せばよい．(5.2.17)より|∂_x^α∂^β_ξq¯|/¯b≲hξi^−|γ ^β|

でまた|∂^β_ξλhξi⁻γ¹| ≲ λhξi⁻γ^1−|β| ≲¯b²hξi^−|γ ^β|であるから|∂_x^α∂^β_ξ¯b| ≲ hξi^−|γ ^β|

(|α+β|= 1)である．|η| ≤chξiγとすると(7.3.18)よりCが存在して hξ+sηiγ/C≤ hξiγ ≤Chξ+sηiγ, |s| ≤1 (5.2.22) が成立する．したがって有限増分の定理より

|¯b(z+w)−¯b(z)| ≤C(|y|+hξi⁻γ¹|η|)≤Chξi⁻γ^1/2g¯^1/2_z (w)≤C¯b(z)¯g^1/2_z (w) すなわち

¯b(z+w)≤C¯b(z)(1 + ¯g_z(w))^1/2 (5.2.23) が成り立つ．|η| ≥chξiγのときはg¯_z(w)≥c²hξiγであるから

¯b(z+w)≤C≤C¯b(z)hξi^1/2γ ≤C^′¯b(z)(1 + ¯g_z(w))^1/2

よりこの場合も(5.2.23)が成り立つ．すなわち¯bは¯gadmissibleである．

命題 5.2.1. M およびγによらないλ1≥1 が存在し，λ≥λ1なるλに対し てb#˜b= ˜b#b= 1を満たす˜b∈S(b⁻¹,g)¯ が存在する．

証明. 補題 5.2.3よりb^±1はg¯admissible で補題 5.2.2よりb^±1∈S(b^±1,¯g) でさらに|α+β|= 1のとき∂_x^α∂^β_ξb^±1∈S(λ^−1/2hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}b^±1,g)¯ である．

したがって命題 7.4.1よりb#b⁻¹ = 1−r, r∈S(λ⁻¹,¯g) となる．これより λ1が存在しλ≥λ1のとき定理7.6.1が適用できて

˜ r(x, ξ) =

X∞ j=0

r^#j∈S(1,g)¯

が成立する．ゆえにb#(b⁻¹#˜r) = 1である．同様にしてˆr∈S(1,g)¯ が存在し てˆr#b⁻¹#b= 1となる．ˆr#b⁻¹#b#(b⁻¹#˜r)#b= 1より(b⁻¹#˜r)#b= 1で もある．いま˜b=b⁻¹#˜r∈S(b⁻¹,¯g)とおけばこれが求めるものである．

補題 5.2.4. M およびγによらないλ₂≥λ₁ が存在し，λ≥λ₂なるλに対 して

(op(q+λhξiγ)v, v) = (op(b²)v, v)≥ kop(b)vk²/2, v∈ S が成立する．

証明. 補題5.2.2より∂_x^α∂_ξ^βb∈S(λ^−1/2hξi^{(γ|α|−|β|)/2}b,g),¯ |α+β|= 2に注意 すると命題7.4.1よりb#b=b²+r,r∈S(λ⁻¹b²,g)¯ である．ここでλ≥λ1

とすると命題 5.2.1の˜b∈S(b⁻¹,¯g)が存在するのでr=b#(˜b#r#˜b)#bと書 くとき˜b#r#˜b ∈S(λ⁻¹,g)¯ で定理7.5.1よりλによらないC >0があって kop(˜b#r#˜b)vk ≤Cλ⁻¹kvk²が成立する．従って|(op(r)v, v)| ≤Cλ⁻¹kop(b)vk² である．以上より

(op(b²)v, v) =kop(b)vk²−(op(r)v, v)≥(1−Cλ⁻¹)kop(b)vk² が成立する．ゆえにλ2≥λ1を1−Cλ2≤1/2と選べばよい．

つぎの不等式は強形G˚arding不等式と呼ばれる．

系 5.2.1. a(x, ξ)∈S(hξi², g0)は非負値a(x, ξ)≥0とする．このときC >0 があって次が成り立つ．

Re(op(a)u, u)≥ −CkhDi^1/2uk², u∈ S.

証明. M = 1, γ≥λ2を固定するとa∈S(hξi²γ, G)であるから補題5.2.4を q=a,λ=λ₂として適用すると

(op(a)v, v)≥ kop((a+λ₂hξiγ)^1/2)vk²/2−λ₂khDi^1/2γ vk²≥ −CkhDi^1/2vk² を得る．

以下λ= ¯λ≥λ₂を1つ選んで固定する．このとき命題5.2.1および補題 5.2.4が共に成立する．M とγは条件(5.1.1)および(5.2.12)の下で動くもの とし，まだ固定しない．