解の局所一意性

が成立するのでv= ˆGop(h1)fとして命題6.1.1が証明された．

初期値問題(6.1.4)でϕ₀=ϕ₁= 0のときの解作用素

Gˆ^∗:L¹((−δ0, τ) :H^s+n)3f(t)7→u(t)∈ ∩¹j=0C^j([−δ0, τ];H^s+1−j) についてもGˆに対する議論を繰り返すことによってGˆ^∗が有限伝播であるこ とがわかる．したがってPに対する局所解の存在定理の証明と同様にして次 が得られる．

定理 6.2.1. p(0,0, τ, ξ) = 0 の危点はすべて実効的双曲型であるとする．こ のとき δ >0, n > 0 およびx= 0の近傍 Ω が存在し, 任意の|τ| < δと 任意の f ∈ L¹((−δ, τ);H^s+n)に対して(−δ, τ)×ΩでP^∗u = f を満たす u∈ ∩¹j=0C^j([−δ, τ];H^s+1−j)で

X1 j=0

kD^j_tu(t)ks+1−j≤Cs

Z τ t

kf(t^′)kn+sdt^′, −δ≤t≤τ を満たすものが存在する．

である．ここでC= (cij)はd+1次の正方行列でκ(x) = (κ0(x), κ1(x), . . . , κd(x)) とすると

cij = X

0≤k,ℓ≤d

∂²κℓ(0)

∂xk∂xi

∂λk(0)

∂yj

η¯ℓ

で与えられる．したがってQをpのHesse行列から定まる2次形式とする とき

˜

p(ϵy,η¯+ϵη) =p(ϵλ^′(0)y+O(ϵ²),ξ¯+ϵ(Cy+^tκ^′(0)η) +O(ϵ²))

=ϵ²Q(λ^′(0)y, Cy+^tκ^′(0)η) +O(ϵ³) (ϵ→0) が成り立つ．ゆえに(0,η)¯ でのp˜のHesse 行列をQ˜とすると

Q˜ =^tKQK, K= λ^′(0) O C ^tκ^′(0)

!

となる．つぎにKσ^tK =σ, すなわち^tKはシンプレクティック行列である ことに注意する．これを確かめるにはλ^′(0)κ^′(0) = Iに注意すればCκ^′(0) が対称行列であることをいえばよいがこれは容易である．したがってσQ˜ = σ^tKQK =K⁻¹(σQ)KとなってσQ˜とσQは相似となりその固有値は一致す る．

次にHolmgren変換と呼ばれるつぎの局所座標系の変換を考えよう．

y0=x0+ϵ Xd j=1

x²_j, yj=xj, j= 1,2, . . . , d. (6.3.25)

ここでϵ >0は正の小さな定数である．

˜

p(y, η) =p(y₀−ϵ|y^′|², y^′, η₀, η^′+ 2ϵη₀y^′) (6.3.26) は容易に確かめられる．このとき

補題 6.3.2. ΩをR^1+dの原点の近傍とし，特性方程式p(x, ξ0, ξ^′) = 0のξ0

に関する根は任意のx∈Ω,任意のξ^′ ∈R^dに対して実であるとする．このと きr >0とϵ0>0が存在して，任意の|ϵ| ≤ϵ0についてp(y, η˜ 0, η^′) = 0のη0

に関する根は任意の|y| ≤r,任意のη^′ ∈R^dに対して実である．

証明. r >0を{|y| ≤r}が変換(6.3.25)によるΩの像に含まれるように1つ 選ぶ．q(s, τ, η^′, y, ϵ) =p(y0−ϵ|y^′|², y^′, τ+s, η^′+ 2ϵsy^′)とおく．qはsの高々2 次の多項式でs²の係数をa(y, ϵ)とするとa(y,0) =−1であるからϵ₀>0が存 在して|ϵ| ≤ϵ0,|y| ≤rなら1/2≤ |a(y, ϵ)| ≤3/2としてよい．故にこのとき q(s, τ, η^′, y, ϵ) = 0のsに関する根は(τ, η^′, y, ϵ)∈C×R^d× {|y| ≤r} × {|ϵ| ≤ ϵ0}=U に関して連続である．次にImτ≤0,Ims <0, (τ, η^′, y, ϵ)∈ U のとき q6= 0を示そう．そうでないとするとImˆτ ≤0,Imˆs <0でq(ˆs,ˆτ ,ηˆ^′,y,ˆ ˆϵ) = 0

となる(ˆτ ,ηˆ^′,y,ˆ ϵ)ˆ ∈ Uが存在する．sに関する根は(τ, η^′, y, ϵ)に関して連続 であったから必要ならτˆを少し動かしてImˆτ <0と仮定できる．

F(θ) = min

q(s,ˆτ ,θˆη^′,θy,θˆˆ ϵ)=0Ims, 0≤θ≤1

とおこう．(ˆτ ,ηˆ^′,y,ˆ ˆϵ)の選び方からF(1) <0である．一方q(s,τ ,ˆ 0,0,0) =

−(s+ ˆτ)²= 0よりIms=−Imˆτ >0なのでF(0)>0である．F(θ)はθに関し て連続であるから0<θ <ˆ 1があってF(ˆθ) = 0となりq(s,τ ,ˆ θˆηˆ^′,θˆˆy,θˆˆϵ) = 0 となる実のsが存在する．一方Imˆτ <0であったからpの特性根が実である ことに反する．同じ議論を繰り返すとImτ ≥0,Ims >0, (τ, η^′, y, ϵ)∈ U の ときq6= 0が従う．以上のことからτ= 0と選ぶと|y| ≤r,|ϵ| ≤ϵ₀のとき

˜

p(y, s, η^′) =q(s,0, η^′, y^′, ϵ) = 0 =⇒Ims= 0 となり主張が示された．

補題 6.3.3. R^1+d の原点の近傍Ωと正数 ¯ϵ > 0, ϵ > 0を適当に選ぶと suppf ⊂ {x;x0≤¯ϵ−ϵ|x^′|²}を満たす任意のf(x)∈C₀^∞(Ω)に対してsuppv⊂ {x;x₀≤¯ϵ−ϵ|x^′|²}でΩ でP^∗v=fを満たすv(x)∈C²(Ω)が存在する．

証明. 局所座標系の変換(6.3.25)を行いg(y) =f(x)と表すとΩ =˜ {y; (y0− ϵ|y^′|², y^′) ∈ Ω}とおくときg(y) ∈ C₀^∞( ˜Ω)でy0 ≥ ¯ϵではg(y) = 0であ る．P^∗ = op(p+ ¯P1+ ¯P0)であるからP^∗を局所座標系y で表すとP^∗ = op(˜p+P₁^′+P₀^′′)となる．補題6.3.1よりp(0, η) = 0˜ の危点はすべて実効的 双曲型であり，補題6.3.2よりϵを小さく選べばp˜= 0の特性根はすべて実で ある．したがってΩを十分小さく選べばΩ˜も十分小さくしたがって定理6.2.1 を適用できる．¯ϵ >0を{x;−¯ϵ≤x₀≤¯ϵ−ϵ|x^′|²}⋐Ωとなるように選んで おく．定理 6.2.1よりP^∗w=gを満たすw(y)∈C²( ˜Ω)でy0≥¯ϵではw= 0 となるものが存在するがv(x) =w(y)と局所座標系xで表すとP^∗v=f でv の supportが{x;x₀≤¯ϵ−ϵ|x^′|²}に含まれるのは明らかである．

最後に初期値問題の解の局所一意性を示そう．今u(x)は原点の近傍Ωで C²級でP u= 0を満たしx₀< τ (|τ| ≤¯ϵ)でu= 0とする．ここでsuppf ⊂ {x;τ ≤x0≤ϵ¯−ϵ|x^′|²}をみたすf ∈C₀^∞(Ω)に対して補題6.3.3のv(x)を とってくると

0 = Z ¯ϵ

τ

Z

R^d

P u·vdx₀dx^′= Z ¯ϵ

τ

Z

R^d

u·P^∗vdx₀dx^′ = Z ¯ϵ

τ

Z

R^d

u·f dx₀dx^′ が成立する．このf は任意に選べるので{x;τ≤x₀≤¯ϵ−ϵ|x^′|²}でu= 0が 従う．

τ≤x0≤ϵ¯−ϵ|x^′|² x^′ x0

¯ ϵ

−ϵ¯ τ suppf

記号をx₀=t, (x₀, x^′) = (t, x)に戻して定理として述べておくと

定理 6.3.1. p(0,0, τ, ξ) = 0の危点はすべて実効的双曲型であるとする．この とき原点の近傍Ωと正数ϵ >0が存在し，|τ| ≤ϵであるτに対しu∈C²(Ω)

が 





P u= 0, Ω∩ {t > τ},

D^j_tu(τ, x) = 0, j= 0,1, x∈Ω∩ {t=τ} を満たすなら Ω∩ {t > τ}でu= 0である．