第 9 章 積分の応用 133
11.9 本当のベクトルとは
本章もそろそろおしまいだが, 最後に衝撃的な話をひ とつ。これまで, 「大きさと向きをもつ量をベクトルと 呼ぶ」と学んできた。実は,それは嘘である。というか, 本当は, ベクトルはもっと広い概念であり, 「大きさと 向きをもつ量」はベクトルの一種に過ぎないのだ。
実は,「平面や空間の中で大きさと向きをもつ量」は, 正しくは 幾何ベクトル と呼ぶ。また, その座標として
言及された(3,2)とか(3,2,1)のように,複数個の数(ス カラー)を並べたものを,数ベクトル*7と呼ぶ。
P.10では,幾何ベクトルと数ベクトルは同じものとし て扱ったが, 本当は, 両者はそもそも別の概念だ。とい うか,片方は矢印,もう片方は数字の羅列なのだから,そ れらが「同じ」という方が不自然である。
よくある質問131 なんでそんな嘘を教えたのですか? ... 大 人にならなきゃわからないことってあるでしょ? サンタさん とかさ。あのときは,物理学や化学の授業でベクトルが出てく るときに,困らない程度の,最低限のことを教えたのです。
ならベクトルとは何? という疑問に対する答は後に して, ここでは数ベクトルについてもう少し学ぼう（幾 何ベクトルについては既に学んだので）。数ベクトルは
「数を並べたもの」なので,何個の数を並べてもよい。例 えば(1,3,2,−6,3,5)も数ベクトルである。
数ベクトルを構成するひとつひとつの数を, 成分とい う。例えば−1は(2,−1,4,3) の2番目の成分である。
数ベクトルでは, 成分の並び順も大切である。例えば (2,−1,4,3)と(2,3,4,−1)は違う数ベクトルである。
ひとつの数ベクトルが何個の成分で構成されるかを
「次元」という。例えば(2,−1,4,3)は, 「4次元の数ベ クトル」である。高校数学では2次元または3次元の数 ベクトルしか考えないが, 大学では経済学や統計学, 物 理学などで4次元以上の数ベクトルが出てくる。
よくある質問132 4次元の数ベクトルなんて,イメージでき ません... なんで? 数を4つ並べただけじゃん。
それがどういう図形というか空間の中の存在になるのかが わからないのです... そんなの考える必要ありません。数ベク トルは「数を並べたもの」です。それだけ。図形とかをイメー ジしたくなるのは,数ベクトルと幾何べクトルをまだごっちゃ にして考えているからです。たまたま2次元や3次元のとき は,幾何ベクトルと数ベクトルを区別せずに使うと便利だった からそうしてただけです。4次元以上では,幾何ベクトルのこ とは忘れて下さい。
同じ次元の数ベクトルどうしは, 足すことができる
（それぞれの成分どうしを足せばよい）。また, 数ベクト ルをスカラー倍することもできる（それぞれの成分をス カラー倍すればよい）。
さて, ここで幾何ベクトルに話を戻す。幾何ベクトル どうしも足すことができる（平行四辺形を描けばよい)
*7「すうべくとる」と読む。
11.9 本当のベクトルとは 167 し, 幾何ベクトルをスカラー倍することもできる(矢印
の長さを何倍かすればよい)。
このように,「足す」ことと「スカラー倍する」こと ができる,というのが数ベクトルと幾何ベクトルに共通 する性質である。もう少し丁寧にいうと, 「2つのベク トルa,bと, 任意のスカラーα, βに対して,
αa+βb (11.65)
のように, それぞれのベクトルをスカラー倍して足し あわせることができる(そしてその結果もベクトルにな る）。」という性質を,数ベクトルも幾何ベクトルも持っ ている。このように,「スカラー倍して足す」ことがで きるような量のことを, ベクトル (vector)と呼ぶのだ!
そして, 式(11.65)のように複数のベクトルをスカラー
倍して足すことを 線型結合*8 (linear combination)と か 一次結合 と呼ぶ。
● 問271 線型結合とは何か?
よくある質問133 線型結合ができるもの,といっても,幾何 ベクトルと数ベクトルしか思いつきませんが,他に何かありま
す? ... たくさんあります。例えば2次関数。2次関数のスカ
ラー倍は2次関数だし, 2次関数どうしの和も2次関数です。
だから2次関数はベクトルだ,と言ってもOKなのです。
えっ...!? そんなムチャな。関数がベクトルなのですか? ...
はい, そうです。大学数学では関数をベクトルとして扱いま す。それを知りたければ「基礎数学II」をとりましょう。やは りこの話はまだ早かったかな。。。というわけで,今はとりあえ ずベクトルは平面ベクトルと空間ベクトルだけ考えておけば いいです。
演習問題
演習問題32 直線 ax+by+c = 0 と, 直線外の点 P(x0, y0)があったとする(a, b, c, x0, y0 は任意の定数 で,aとbのどちらかは0以外)。Pからこの直線への距 離は,
|ax√0+by0+c|
a2+b2 (11.66)
で与えられることを示せ。ヒント: 点Pから直線へ下ろ した垂線の足を点Q(x1, y1)として, (x1, y1)を求める。
そのためには, −→
PQが直線の法線ベクトル(a, b)と平行 であることと, Qが直線上にあることを使う。そうして
*8「線型」を「線形」と書くこともある。どちらでもよい。
求まったQの座標を使って, PQの距離を計算すれば OK。
演習問題33 外積の定理2を証明しよう。2つの空間 ベクトル
a=
a1
a2
a3
, b=
b1
b2
b3
(11.67)
について,
(1) |a×b|2が次式になることを示せ(愚直に計算!):
a21b22+a21b23+a22b21+a22b23+a23b21+a23b22
−2(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a3a1b3b1) (11.68) (2) 式(11.27)を使って, aとbが張る平行四辺形の面 積を計算せよ(愚直に計算!)。その結果を変形し,式 (11.68)に一致することを示せ。注: 式(11.27)は
「三角形」の面積。平行四辺形はその倍であること に注意せよ。
演習問題34 a,b,cを任意の3次元の数ベクトルとす る。次式を示せ
a×(b×c) = (a•c)b−(a•b)c (11.69) ヒント: 成分を地道に計算する。かなりの計算量になるが,必 ずできると信じてがんばろう! なお, (a•c)bの(a•c)はス カラーなので,その後のbとの積は,ただのスカラー倍である (だから•や×は書いていない)。
問題の解答
答240
(1) 2a= 2(1,2) = (2,4)
(2) a−b= (1,2)−(2,3) = (−1,−1)
答241 2a= (2,4,−2)。3a−2b= (−2,8,1)。 答242 a =kbと置く(kは未知の定数)。これを成分 で書くと, (1,2,6) =k(x, y,−2)。各成分では, 1 = kx, 2 =ky, 6 =−2k。最後の式からk=−3。これを他の 式に代入し, 1 = −3x, 2 = −3y。従って, x =−1/3, y=−2/3。
答243略解(1) √
3 (2) 5 (3) 0
答244 aを平面ベクトル(a1, a2)とすると,
|αa|=|α(a1, a2)|=|(αa1, αa2)|
=√
(αa1)2+ (αa2)2=
√
α2(a21+a22)
=√ α2
√
(a21+a22) =|α||a|
aが空間ベクトルのときも同様(成分が1つ増えるだけ で同じ手順)。
答245
(1) |(1,0)|=√
12+ 02= 1 (2) |(0,1)|=√
02+ 12= 1 (3) |(−1/√
2,−1/√ 2)|=
√ (−1/√
2)2+ (−1/√ 2)2
=√
1/2 + 1/2 =√ 1 = 1 (4) |(1/√
3,1/√ 3,1/√
3)| = (1/√
3))2 + (1/√ 3))2∗ (1/√
3))2= 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 (5) |(cosθ,sinθ)|=√
cos2θ+ sin2θ= 1 (6) |a/|a||=|a|/|a|= 1
答246 a•a=|a||a|cos 0◦=|a|2
答247a,bのなす角をθとする。a•b=|a||b|cosθ= 0,|a| ̸= 0, |b| ̸= 0より, cosθ= 0。よって,θ= 90◦ 答248 a•b=|a||b|cosθ ⇔ cosθ= a•b
|a||b| 答249略。
答250 a•b= 1·2 + 2·3 = 8
答251 (1,2,−1)•(3,−4,5) = 3−8−5 =−10 答252式(11.17)を使って, cosθ= 1/√
5
答253 角AOBの大きさをθとする。OP=OAcosθ である。一方,a•eb=|a||eb|cosθである。
ところが, a の長さはOA で, eb の長さは１だから, a•eb= OA cosθとなる。これは, OPに等しい。
答254 bに平行で長さ1 のベクトルeb は, 問245 の(5)より, eb =b/|b| = (−1/√
10,3/√
10)。従って, a•eb= 2/√
10 =√ 10/5 答255
(1) 角AOBをθとする。式(7.48)において,a=|a|, b=|b|とすれば,S=12|a||b|sinθ。ここでsinθ=
√1−cos2θであり,式(11.17)より,
sinθ=
√
1−(a•b
|a||b| )2
である。従って, S= 1
2|a||b|
√
1−(a•b
|a||b| )2
= 1 2
√|a|2|b|2−(a•b)2
(2) |a|2=a2+b2, |b|2 =c2+d2,a•b=ac+bdを 前小問の結果に代入して,
S=
√(a2+b2)(c2+d2)−(ac+bd)2 2
=
√a2d2+b2c2−2abcd 2
=
√(ad)2−2(ad)(bc) + (bc)2
2 =
√(ad−bc)2 2
=|ad−bc| 2 (3) 前小問の結果から,
S=|1·4−2·3|
2 = |4−6|
2 = 1
答256 (3,−1)が法線ベクトルなので, 3x−y+c= 0 という形の方程式になる (c は定数)。ここで(1,2)を 代入すれば, 3−2 +c = 0より, c = −1。従って, 3x−y−1 = 0。
答257 (1,1)が法線ベクトルなので,x+y+c= 0とい う形の方程式になる(cは定数)。ここで(1,2)を代入す れば, 1+2+c= 0より,c=−3。従って,x+y−3 = 0。
答258 (1,2,−1)が法線ベクトルなので, x+ 2y−z+d= 0
という形の方程式になる(dは定数)。ここで(0, 0, 1) を代入すれば,−1 +d= 0より,d= 1。従って,
x+ 2y−z+ 1 = 0
答259
(1) nとaが垂直だから,n•a=p+q−3r= 0 (2) nとbが垂直だから,n•b=p+ 2q+r= 0 (3) 上の2つの式からqを消すと,p= 7r。上の2つの
式からpを消すと,q=−4r
(4) 前小問より, (p, q, r) = (7r,−4r, r) =r(7,−4,1)。 (5) 法線ベクトルを(7,−4,1) として, 平面を表す式 は7x−4y+z+d = 0と書ける(dは未知の定 数)。これに(0,0,1)を入れると, 1 +d= 0。よっ てd=−1。従って,求める式は7x−4y+z−1 = 0
11.9 本当のベクトルとは 169 答260
(a×b)•a=
a2b3−a3b2
a3b1−a1b3
a1b2−a2b1
•
a1
a2
a3
= (a2b3−a3b2)a1+ (a3b1−a1b3)a2+ (a1b2−a2b1)a3
=a1a2b3−a1a3b2+a2a3b1−a1a2b3+a1a3b2−a2a3b1
= 0
(a×b)•bについては解答略。
答261 結果だけ示す: (7,−4,1)レポートには計算過程 も書くこと。
答262略解を示す。レポートには計算過程も書くこと。
(1) a×b= (−2,1,−1)
平行四辺形の面積は,|(−2,1,−1)|=√ 6。 (2) a×b= (−1,−3,1)
平行四辺形の面積は,|(−1,−3,1)|=√ 11。
答263
b×a=
b1
b2
b3
×
a1
a2
a3
=
b2a3−b3a2
b3a1−b1a3
b1a2−b2a1
=
a3b2−a2b3
a1b3−a3b1
a2b1−a1b2
=
−a2b3+a3b2
−a3b1+a1b3
−a1b2+a2b1
=−
a2b3−a3b2
a3b1−a1b3
a1b2−a2b1
=−a×b
答264式(11.46)でbにaを入れると,a×a=−a×a。 右辺を左辺に移項して, 2a×a= 0。両辺を2で割って 与式を得る。
答265略(成分に基づいて計算するだけ)。 答266
a=
a1
a2
a3
,b=
b1
b2
b3
,c=
c1
c2
c3
とする。
(pa)×b=
pa1
pa2
pa3
×
b1
b2
b3
=
pa2b3−pa3b2
pa3b1−pa1b3
pa1b2−pa2b1
=pa×b
従って式(11.51)が成り立つ。
(a+b)×c
=
a1+b1 a2+b2 a3+b3
×
c1 c2 c3
=
(a2+b2)c3−(a3+b3)c2 (a3+b3)c1−(a1+b1)c3 (a1+b1)c2−(a2+b2)c1
=
a2c3−a3c2
a3c1−a1c3
a1c2−a2c1
+
b2c3−b3c2
b3c1−b1c3
b1c2−b2c1
=a×c+b×c
従って式(11.52)が成り立つ。
答267 (1)
v(t) =r′(t) =(
(rcosωt)′,(rsinωt)′)
= (−rωsinωt, rωcosωt)
|v(t)|=|(−rωsinωt, rωcosωt)|
=rω|(−sinωt,cosωt)|=rω (2)
a(t) =v′(t) =(
(−rωsinωt)′,(rωcosωt)′)
= (−rω2cosωt,−rω2sinωt)
|a(t)|=|(−rω2cosωt,−rω2sinωt)|
=rω2|(−cosωt,−sinωt)|=rω2 (3)
r(t)•v(t)
= (rcosωt, rsinωt)•(−rωsinωt, rωcosωt)
=−r2ωcosωtsinωt+r2ωsinωtcosωt= 0 内積が0なのでこれらのベクトルは互いに直交。
(4)
v(t)•a(t)
= (−rωsinωt, rωcosωt)•(−rω2cosωt,−rω2sinωt)
=r2ω3sinωtcosωt−r2ω3cosωtsinωt= 0 内積が0なのでこれらのベクトルは互いに直交。
(5) a(t) =−ω2(rcosωt, rsinωt) =−ω2r(t)。従って, a(t) とr(t) は平行。ここで ω2 は常に正なので,
−ω2は負。従って,a(t)とr(t)は,向きが逆。
(6) (1)より, 速度の大きさ|v|は角速度ωに比例する。
従って, ωが2倍になると, |v|は2倍になる。(2) より, 加速度の大きさ|a|はω2 に比例する。従っ て,ωが2倍になると,|a|は4倍になる。
答268 (a•b)′=(
a1(t)b1(t) +a2(t)b2(t) +a3(t)b3(t))′
=(
a1(t)b1(t))′ +(
a2(t)b2(t))′ +(
a3(t)b3(t))′
=a′1(t)b1(t) +a1(t)b′1(t) +a′2(t)b2(t) +a2(t)b′2(t) +a′3(t)b3(t) +a3(t)b′3(t)
=(
a′1(t)b1(t) +a′2(t)b2(t) +a′3(t)b3(t)) +(
a1(t)b′1(t) +a2(t)b′2(t) +a3(t)b′3(t))
=(
a′1(t), a′2(t), a′3(t))
•(
b1(t), b2(t), b3(t)) +(
a1(t), a2(t), a3(t))
•(
b′1(t), b′2(t), b′3(t))
=a′•b+a•b′ (a×b)′ =
{
a1
a2
a3
×
b1
b2
b3
}′
=
a2b3−a3b2
a3b1−a1b3
a1b2−a2b1
′
=
a′2b3+a2b′3−a′3b2−a3b′2 a′3b1+a3b′1−a′1b3−a1b′3 a′1b2+a1b′2−a′2b1−a2b′1
=
a′2b3−a′3b2
a′3b1−a′1b3
a′1b2−a′2b1
+
a2b′3−a3b′2 a3b′1−a1b′3 a1b′2−a2b′1
=a′×b+a×b′
答269
(1) 三角形OABは正三角形なので, 角AOB=π/3で ある。従って, −→
OA•−→
OB = |−→
OA||−→
OB|cos(π/3) = L2/2。他も同様。
(2) 式(11.59)より, OG2=−−→
OG•−−→
OG
=
−→OA +−→
OB +−→
OC
4 •
−→OA +−→
OB +−→
OC 4
= 1
16(OA2+ OB2+ OC2 +2−→
OA•−→
OB + 2−→
OB•−→
OC + 2−→
OC•−→
OA)
= 1 16
(
L2+L2+L2+ 2·L2
2 + 2·L2
2 + 2·L2 2
)
= 1
16·6L2 ∴OG =
√ 1
16·6L2=
√6 4 L
(3) Gは重心なので, Gから各頂点への距離は等しい。
従って, GO=GA=OG。また,角AGOは正四面体 角θ。従って,
−−→GO•−→
GA =|−−→
GO||−→
GA|cosθ= OG2cosθ この右辺のOGに式(11.61)を代入すれば,
= 6
16L2cosθ= 3
8L2cosθ
(4)
−→GA =−→
OA−−−→
OG =−→
OA−
−→OA +−→
OB +−→
OC 4
=3−→
OA−−→
OB−−→
OC 4
(5)
−−→GO•−→
GA =−−−→
OG•−→
GA
=−
−→OA +−→
OB +−→
OC
4 •3−→
OA−−→
OB−−→
OC 4
=−1
16(3OA2−OB2−OC2 +2−→
OA•−→
OB−2−→
OB•−→
OC + 2−→
OC•−→
OA)
=−1 16
(
3L2−L2−L2+ 2L2 2 −2L2
2 + 2L2 2
)
=−2L2
16 =−L2 8
(6) 式(11.62),式(11.64)より, 38Lcosθ=−L82。従っ て, cosθ=−1/3
(7) 電 卓 を 使 っ て, arccos(−1/3) ≒1.9106 ラ ジ ア ン
≒109.4712度≒109度28分16秒。
答270 北向きをx軸, 東向きをy軸とするような座標 系で, 各時刻の風速を(Ux, Uy)とすると,以下の表のよ うになる*9。ベクトルとして平均された風速は, 北より 1.92 m/s, 東より0.3 m/sであり, 北からの角度をθと すると, tanθ = 0.3/1.92 = 0.156· · · となる。従って, θ= arctan 0.15 = 0.156· · · ラジアン≒8.9度。すなわ ち, 北から8.9度だけ東に向いた方向が, 平均的な風向 である。
表11.2 ある日の風向風速観測結果
時刻 風向(度) 風速(m/s) Ux(m/s) Uy (m/s)
00:00 15 3.0 −2.90 −0.78
06:00 40 5.2 −3.98 −3.34
12:00 320 1.5 −1.15 0.96
18:00 260 2.0 0.35 1.97
平均 −1.92 −0.3
*9例 え ば「 風 速2 m/s の 北 よ り の 風 」を ベ ク ト ル で 表 す と, (−2,0) m/sとなる。マイナスがつくのは,「北よりの風」は 北から南に向かう風であり,x軸の正の方向から負の方向に向 かうベクトルだからである。