第 5 章 微分 65
5.10 偶関数や奇関数の微分
さて, 以上を利用すると,関数のグラフを楽に描ける。
-1 1
-1 O 1
-1/4
x
y
図5.6 y=x4−x2のグラフ(実線)。
例5.25 y =x4−x2のグラフを描いてみよう。まず これは偶関数である。また,x軸との共有点(y= 0)は, x= 0,±1である。
次に極大と極小を求める。f′(x) = 4x3−2xだから, x= 0,±1/√
2でf′(x) = 0となる。それぞれ極大・極 小のどちらだろう?
x = −1/√
2 については, それより少し小さなxで はf′(x)<0 (つまりf(x)は減少傾向), それより少し 大きなxではf′(x)> 0 (つまりf(x)は増加傾向)と なるから, そこでは極小値f(−1/√
2) =−1/4をとる。
x= 1/√
2についても同様である。
一方, x= 0については, それより少し小さなxでは f′(x)>0 (つまりf(x)は増加傾向), それより少し大き なxではf′(x)<0 (つまりf(x)は減少傾向)となるか ら,そこでは極大値f(0) = 0をとる。
x→ ∞でf(x)→ ∞であることを併せて考えると, 図5.6のようなグラフになる。(例おわり)
以上でわかったように,なめらかな関数のグラフが極 大値や極小値をとる場所では, 微分係数は0である。し かし,その逆は必ずしも成り立たないことに注意しよう。
つまり, 微分係数が0であっても, 極大にも極小にもな らない, という場合が存在するのだ。
例5.26 y =x3はx= 0での微分係数は0だが, P.55 の図4.7の点線で示されるように, y =x3のグラフは, x= 0で極大にも極小にもならない。(例おわり)
5.10 偶関数や奇関数の微分
関 数 f(x) が 偶 関 数 で あ る と す る 。す な わ ち, f(−x) =f(x)が恒等的に成り立つ。この両辺をxで微 分すると, −f′(−x) =f′(x)となる(左辺は合成関数の 微分!)。すなわち, f′(−x) =−f′(x)が恒等的に成り立 つ, すなわちf′(x)は奇関数である。偶関数の導関数は 奇関数なのだ!
● 問121 奇関数の導関数は偶関数であることを示せ。
● 問122 nを0以外の任意の整数とする。以下の関 数について, 偶関数の導関数が奇関数になり, 奇関数の 導関数が偶関数になることを実際に確認せよ。なお, 単 に「確認した」というだけではレポートにはなりません!
(1) f(x) =x2n (2) f(x) =x2n+1 (3)
f(x) = 1 1 +x2
(4)
f(x) = x 1 +x2
ヒント: (3), (4)は問108に出てきた。
よくある質問74 数IIIをやっていないのでテストができま せん。... もう高校時代は終わったのだから「XXXをやって いないから」というのはやめましょう。やっていなければ,今, やればいいのです。高校で数IIIをやった人も,それなりの苦 労や努力をしたのです。
演習問題
演習問題13 y= 1/xnと置き,その両辺をxn倍し,そ の両辺をxで微分する,という発想で,式(5.62)を導け。
演習問題14 y =x1/nと置き, その両辺をn乗し, そ の両辺をxで微分する,という発想で,式(5.69)を導け。
演習問題15 逆関数の微分の公式 (式(5.64))を, グラ フの「接線の傾き」という観点で示せ。ヒント: 逆関数 のグラフは, もとの関数を, 直線y=xに関して対称移 動したもの。
演習問題16 nを0以上の整数とするとき,以下の式で
定義される関数Pn(x)をルジャンドル関数という*15 Pn(x) := 1
2nn!
dn
dxn(x2−1)n (5.117) (1) n = 0,1,2,3,4のそれぞれについて, Pn(x)を求
めよ。
(2) n が偶数のときは Pn(x)は偶関数であることを 示せ。
(3) n が奇数のときは Pn(x)は奇関数であることを 示せ。
問題の解答
答99略(がんばれ!) 答100無限小dxに対して,
g(a+dx) =g(a) +g′(a)dx
と書けるとき, 右辺のdx の係数g′(a)のこと。もし くは,
g′(a) = lim
∆x→0
g(a+ ∆x)−g(a)
∆x
のこと(どちらでも可)。注: この問題で,あなたはgをf と書いたりaをx0と書いたりしなかっただろうか?本文に出 てきたf(x)やx0という記号は,説明のための便宜的なもの であり,この問題のように,設定に応じて変わるものである。
答101
f(x+dx) =p(x+dx) +q=px+q+p dx
=f(x) +p dx
dxの係数に着目して, f′(x) =p。特に,f(x)が定数関 数の場合はp= 0だから,f′(x)は恒等的に0。 ■ 答102略。
答103
(1) f′(x) = 2x+ 1 (2) f′(x) = 8x+ 5 (3) f′(x) = 6x+ 3 (4) f′(x) =−5/x2 (5) f′(x) = 1 + 1/x2
*15この関数は,実は原子の電子軌道(K殻とかL殻とか)と密接 な関係がある。
答104
(1) f′(x) = (x2+x+ 1)′(x2−x−2) + (x2+x+ 1)(x2−x−2)′
= (2x+ 1)(x2−x−2) + (x2+x+ 1)(2x−1)
= 4x3−4x−3 (2) f(x) =x4−2x2−3x−2
f′(x) = 4x3−4x−3
答105
(1) (g(x) =x3,f(x) = 3x2+ 2とみなせばよい。) F′(x) = 3(3x2+ 2)2(3x2+ 2)′
= 3(3x2+ 2)2(6x) = 18x(3x2+ 2)2 (2) (g(x) =x3,f(x) =x2+x+ 1とみなせばよい。
F′(x) = 3(x2+x+ 1)2(x2+x+ 1)′
= 3(x2+x+ 1)2(2x+ 1)
(3) (g(x) =x2, f(x) =x5+x4+x3+x2+x+ 1とみ なせばよい。)
F′(x) = 2 (x5+x4+x3+x2+x+ 1)
×(x5+x4+x3+x2+x+ 1)′
= 2 (x5+x4+x3+x2+x+ 1)
×(5x4+ 4x3+ 3x2+ 2x+ 1) (4) (g(x) =x2,f(x) = 1 + 1/xとみなせばよい。)
F′(x) = 2 (
1 + 1 x
)(
1 + 1 x
)′
=−2 (
1 + 1 x
) 1 x2 =−2
( 1 x2 + 1
x3 )
答106 関数1/u(x)は, 関数1/xと関数u(x)の合成関 数である。(1/x)′=−1/x2だから,
(1 u
)′
= (−1
u2 )
u′=−u′ u2
■ 答107 関数v(x)/u(x)は, 関数v(x)と関数1/u(x)の 積である。
( v×1
u )′
=v′ (1
u )
+v (1
u )′
=v′ (1
u )
+v (−u′
u2 )
=v′u−vu′ u2
■
5.10 偶関数や奇関数の微分 83 答108
(1)
− 2x (1 +x2)2
(2)
1−x2 (1 +x2)2
答109 (1)
−1 x2
(2)
− 1
2x3/2 =−1 2x−3/2 (3)
2 3x−1/3
(4)
−5x−6
答110略(本文参照)。 答111
(1) ヒント: g(x) = √
x, f(x) = 2x+ 3として公式4 を使う。g′(x) = 1/(2√
x)だから, (与式)′= f′(x)
2√
f(x) = (2x+ 3)′ 2√
2x+ 3 = 2 2√
2x+ 3
= 1
√2x+ 3
(2) ヒント: g(x) =√
x,f(x) = 1−x2として公式4を 使う。g′(x) = 1/(2√
x)だから, (与式)′= f′(x)
2√
f(x) = (1−x2)′ 2√
1−x2 = −2x 2√
1−x2
=− x
√1−x2
(3) ヒント: まずx2と√
1 +x2の積と考えて公式3を 使う。その上で例5.15を使う。
(与式)′= (x2)′√
1 +x2+x2(√ 1 +x2)′
= 2x√
1 +x2+ x3
√1 +x2
(4) ヒント: g(x) =x−1/2,f(x) = 1 +x2として公式4 を使う。
(与式)′=−1
2 (f(x))−3/2f′(x)
= −1
2 (1 +x2)−3/2(2x) =− x (1 +x2)3/2 (5) ヒント: g(x) = 1/x, f(x) = 1 +√
xとして公式4
を使う。
(与式)′=−(1 +√ x)′ (1 +√
x)2
=−
1 2√x
(1 +√
x)2 =− 1 2√
x(1 +√ x)2 (6) ヒント: g(x) =√
x,f(x) = 1 + 1/xとして公式4 を使う。
(与式)′= 1 2
√ 1 +x1
( 1 + 1
x )′
= −1
2x2
√ 1 + 1x (7) ヒント: x−1と1/(x+ 1)の積と考えて公式3を
使う。
(与式)′= (x−1)′ 1
x+ 1 + (x−1) ( 1
x+ 1 )′
= 1
x+ 1 −(x−1) 1
(x+ 1)2 = 2 (x+ 1)2 別解: 与式=1−2/(x+ 1)と変形してから微分して も,同じ結果になる。
(8) ヒント: g(x) = 1/x, f(x) = 1 + 1/xとして公式4 を使ってもよいのだが,与式を変形してから微分す るほうが簡単。与式の分母分子にxをかけて,
(与式) = x
x+ 1 = 1− 1 x+ 1 従って,
(与式)′= (
1− 1 x+ 1
)′
= 1
(x+ 1)2
答112 f(x) = (1 +x)a と置くと, f(0) = 1。また, f′(x) =a(1 +x)a−1なので, 従ってf′(0) =a。これを 式(5.77)に入れると,与式を得る。
答113
(1) 式(5.79)でa=−1とすれば, 1/(1 +x)≒1−x (2) 前小問のxを−xに置き換えて, 1/(1−x)≒1 +x (3) 式(5.79)でa=−1/2とすれば,
1/√
1 +x≒1−x/2 答114
(1) (0.99)10= (1−0.01)10≒1−10×0.01 = 0.9 (2) 3乗して10に近い簡単な数は何かな?と考えると, 2
が思いつく。23= 8であることに注目し, 101/3= (8 + 2)1/3=
{ 8
( 1 + 2
8 )}1/3
= 81/3 (
1 + 2 8
)1/3
= 2 (
1 + 1 4
)1/3
≒2 (
1 + 1 3×4
)
= 2 +1
6 = 2.166· · · 答115
(1)
f′(x) = 5x4+ 6x2 f′′(x) = 20x3+ 12x f(3)(x) = 60x2+ 12
(2)
f′(x) = 1 (1−x)2 f′′(x) = 2
(1−x)3 f(3)(x) = 6
(1−x)4
答116 (1), (2), (3)は略。本文をよく読めば簡単。(4)
「距離を」ではなく「位置を」と言わねばならない。距離 を時刻で微分したものは「速さ」である。(5)間違って いるとは言い切れないが, 「時刻によって微分」と言わ ねば不正確である。
答117
(1) 位置を時刻で微分する: (at2+bt+c)′ = 2at+b。 (2) もう1度時刻で微分する: (2at+b)′= 2a。
答118 問117(2)で, 2aが加速度なので, aは加速度の 次元(SI単位ではm s−2)。問117(1)で, 2at+bが速度 なので,bは速度の次元(SI単位ではm s−1)。もともと x=at2+bt+cだったので, cはxと同じ次元(長さ; SI単位ではm)。
答119(略解)位置は503 m。速度は99 m s−1。加速度 は9.8 m s−2。
答120r(t) = (v0t,−gt2/2) = (x, y)と置く。
(1) x, yからtを消去して, y =−gx2/(2v02)。これを xy平面にプロットすると,原点を頂点とする,上に 凸の放物線になる。
(2) v(t) =r′(t) = (v0,−gt) (3) a(t) =v′(t) = (0,−g)
なお,この点の運動は, 水平方向に初速v0で投げたボー ルの運動である。
答121略。
答122 (1) f(−x) = (−x)2n = (−1)2nx2n = x2n = f(x)。よ っ て f(x) は 偶 関 数 。f′(x) = 2nx2n−1。 f′(−x) = 2n(−x)2n−1 = (−1)2n−12nx2n−1 =
−2nx2n−1 = −f′(x)。よってf′(x)は奇関数。(2)以 下は略。
85
第 6 章
指数・対数
過去の受講生の言葉:「最近ようやく定義を１つずつ確認す る癖がつき,理解しやすくなった。」
6.1 指数関数
aを正の定数とし,axという関数を考えよう。こうい う関数を 指数関数 という。例えばa= 2のときは, 2x であり,これはx= 0,1,2,3,4のときはそれぞれ, 1, 2, 4, 8, 16, ...と, 急速に大きくなる。パソコンを使って y = 2xをグラフに描くと, 図6.1の実線のようになる。
ここで, y = 2xを数値微分した結果(つまり導関数)も
-1 1 2 3 4 5
-2 -1 O 1 2
x
y
y=2x y=(2x)’
図6.1 y= 2xとy= (2x)′のグラフ
点線で描いた。これを見ると, y = 2xとその導関数は ちょっと似ている。それは,y= 2xが急激な右肩上がり の曲線なので,右に行くほど接線の傾きも急激に大きく なる,従って, 導関数(接線の傾きの値を並べたもの)も 右肩上がりになるのだ。
では, 同じようなことをy = 3xについてやってみた らどうだろう? 結果は, 図6.2のようになる。やはり, y = 3xは急激に右肩上がりの曲線で, その導関数も似 ている。図6.1と図6.2を比べてみると, 図6.2の方が,
-1 1 2 3 4 5
-2 -1 O 1 2
x
y
y=3x y=(3x)’
図6.2 y= 3xとy= (3x)′のグラフ
もとの関数と導関数はずっと近い。しかし,図6.1では もとの関数よりも導関数の方が下にあったのが, 図6.2 ではやや上にある。ということは, aが3よりも若干小 さい数では, y =axとその導関数がぴったり一致する のではないだろうか? 実はそうなのである。いろいろ試 すと, aが2.71828· · · のときにそうなるのだ。これが, P.9で出てきた ネイピア数eの正体である。すなわち,
(ex)′=ex (6.1)
となるような数eをネイピア数と言うのだ。そして,ex は,「微分しても変わらない指数関数」である。exのこと を, エクスポーネンシャル(exponential) と呼ぶ。なお, 第1章で述べたように,exを, expxと書くことも多い。
単なる書き方の約束だが, 意外に見落とす人がいるので, もういちど大きく書いておこう:
約束
expx:=ex (6.2)
● 問123 パソコンで, y = 2.718xのグラフと, y =
2.718xを数値微分したグラフを,重ねて描け。xの刻み
は0.01くらいでよい。xの範囲は−2以上2以下とし よう。
実は,ネイピア数eは,次式を満たす: *1 e= lim
h→0(1 +h)1/h (6.3)
あるいは, 1/hをnと置き換えて, e= lim
n→∞
( 1 + 1
n )n
(6.4)
● 問124 式(6.4)のlimの内側を, n = 2, n = 10, n= 100, n= 1000,n= 10000の各場合について,関数 電卓で計算せよ。
● 問125 式(6.3), 式(6.4) をそれぞれ5回書いて記 憶せよ。
よくある間違い22 式(6.4)で,nを∞ではなく0に近づけ る極限と勘違いして覚えてしまう... 仮にnを0.01や0.001 などとして式(6.4)を電卓で計算してごらん。2.718· · · では なく1に近づいて行ってしまいます。
実は,exは,次のようにも表される*2: ex= lim
n→∞
( 1 + x
n )n
(6.5)
● 問126 式(6.5)のlimの内側を,x= 2,n= 10000 について電卓で計算せよ。e2も電卓で計算し,それらを 比べよ。x=−1, n= 10000についても同様の比較を 行え。
式(6.5)は式(6.4)を拡張した形の式になっている。
これを使うと,以下のような問題が楽に扱える:
*1dxを微小量とする。eが(ex)′ = ex を満たすなら, 微分 の定義より,ex+dx=ex+exdxのはず。従って,ex+dx= ex(1+dx)。一方,指数法則より,ex+dx=exedx。これらを比 べて,edx= 1 +dx。両辺を1/dx乗して,e= (1 +dx)1/dx。 dxをhに置き換えたら式(6.3)になる。
*2証明は以下の通り: 1/n=x/Nと置こう(Nは適当な実数)。
すると,n=N/x。式(6.4)のlimの内側にこれを入れると, (1 +x/N)N/x。n→ ∞のときはこれがeに収束するので, このx乗,つまり(1 +x/N)Nはexに収束する。n→ ∞の ときN→ ∞となるので,
ex= lim
N→∞
( 1 + x
N )N
となる。ここで改めてNをnと置き換えれば,式(6.5)。
例6.1 お金を貯金すると, 利子がつく。一年間の利率 がrの場合,x円のお金を銀行に預けると一年後にはrx 円の利子がついて,お金はx+rx= (1 +r)x円になる。
つまり, (1 +r)倍になる。もう一年預けると,お金はさ
らに(1 +r)倍になり, (1 +r)2x円になる。そういうふ うに考えれば, n年後には, お金は(1 +r)n倍になるこ とがわかる。
● 問127 以下の値を,電卓を使って小数第4位まで求 めよ（5位を四捨五入せよ）。
(1) 年間の利率が1%, すなわちr= 0.01のとき, 預け たお金は100年間で何倍になるか?
(2) 年間の利率が0.01%, すなわちr= 0.0001のとき, 預けたお金は10000年間で何倍になるか? (それま で人類が滅亡しなければ!)
前問で, お金の倍率は, 2.718...という, eに近い値に なっていった。なぜだろう? nを年数と考えると, この
問題では, r= 1/nである。そして, ここで行った計算
は, 式(6.4)のlim内をいろんなnの値について求めた のと同じである。nが大きければ大きいほど式(6.4)が 使えるわけだ。
よくある質問75 問127(1)で, 1.01100を, P.74でやった線 型近似(1 +x)a ≒ 1 +ax で計算したら, 1.01100 = (1 + 0.01)100 ≒ 1 + 100×0.01 = 1 + 1 = 2になってしまい, 2.7· · · にはなりません。何がおかしい? ... 良いところに気づ きました。その線型近似は,aが大きいと精度が悪いのです。
● 問128 金利2%で100年間,お金を借りたとき,お 金は元金の何倍になるか? 式(6.5)を使って近似的に計 算せよ。
● 問129 ある地域で大災害をもたらす豪雨が,平均的 にn年に1回の頻度でランダムに起きていることが過 去の記録からわかった(nはある自然数)。豪雨は1年間 に2回以上は起きないとする
(1) その豪雨が, 今からの1年間に1回も発生しない確 率を求めよ。
(2) その豪雨が, 今からの2年間に1回も発生しない確 率を求めよ。
(3) その豪雨が,今からのn年間に1回も発生しない確 率を求めよ。
(4) nが大きな値になると, 前小問の確率はどのような 値に近づくか?
(5) 平均的に1000年に1回起きる豪雨が, 1000年間に