電気回路学定期試験問題

(1)

電気回路学定期試験問題

[1] 角周波数ωで位相が等しい電圧源Eおよび電流源Iを含む図に示した回路において以下の問いに答えよ。

(1) 抵抗Aで消費される電力が最大になるように容量Cおよび抵抗Aを選んだ。このときのCおよび Aの値をL, R, ω を用いて表せ。

(2) (1)のときの値としてA=4(Ω)であった。I=2(A), E=40(V), R=5(Ω)として抵抗Aで消費される電力を求

めよ。 (配点: 24点)

模範解答

端子の左の部分を電源、右側を負荷とみなし、端子を挟んで両側でのインピーダンス整合条件( ) を求める問題である。

電源側を図のように理想電圧源 E0と内部インピーダンスZ0からなる等価電圧源と見なすと、まずZ0を求めるには、全ての電源を殺した状態での電源側のインピーダンスであるから、RとLとの並列回路となり、

一方、負荷インピーダンスZLは、AとCの直列回路より、

従って、Aで消費される電力が最大となるのは、の共役整合条件が満たされる時であるから、

次に、E₀の値を求めるには、端子を開放した状態での電圧(開放電圧)V0 を求めれば良い。重ね合わせの理を用い、電源を一つずつ殺しながらV0を求めると、

抵抗Aで消費される電力Pは、Re(Z_L)=Aであり、の関係を用いると、

(1)式から、という関係式が導出できるので、与えられた数値を代入してPを計算する

と、P=25Wと求まる。

E

L

R I

C

A E

L

R I

C

A

*

Z

0

Z

_L

= E

L

R I

C

A E

₀

Z

₀

電源側負荷側

Z

_L

Z

_L

= Z

₀^*

E

L

R I

C

A E

₀

Z

₀

電源側負荷側

Z

_L

*

Z0

Z_L =

2 2 2

2 2

2

0 ( )( )

) (

L R

LR j R L L

j R L j R

L j R LR j L j R

LR Z j

ω ω ω

ω ω

+

= +

− +

= −

= +

j C C A

A j Z_L

ω ω

1

1 = −

+

=

*

Z0

Z_L =

) 2 ( ),

1

( ₂ ₂

2 2 2 2

2 2

L L L

L LR

L C R

L R

R A L

ω ω ω

ω

+

+ =

=

L j R

LRI j RE L j R

LRI j L j R V RE

E

ω

ω ω

ω

+

= + + +

= +

≡ ₀

0

2 2 0 2

2 0 2

0 0

4 1 4

) 4

Re( R j L

LRI j RE A A

A E A Z E

Z Z

P E _L

L

ω

+

= +

= + =

=

*

Z0

Z_L =

A R L AR

= −² )2

(

ω

(2)

電気回路学定期試験問題

[2] 四端子定数がA, B, C, Dで与えられている二端子対回路に、

電圧源EとインピーダンスZGが接続された右のような回路がある。これを電源と見なした場合に、これと等価で最も少ない回路素子数からなる等価電圧源を求めよ。

(配点: 23点)

模範解答

二端子対回路の両端の電圧、電流および求める等価電圧源を下図のように定義すると、

求める等価電圧源におけるZ0の値は、与えられた回路において電圧源Eを短絡した場合の出力インピーダ

ンス(V₂/-I₂)に等しいので、E=0におけるの関係より、(3)式を(1)式に代入して、

(2)式と(4)式よりI1を消去すると、

従って、等価電圧源におけるZ0の値は、

一方、等価電圧源におけるE0の値は、与えられた回路において出力開放時(I₂=0)におけるV2に相当する。

I2=0におけるV1、V₂は、(1)式、(2)式より、

EとV1の関係は、これを(5)式に代入してV1を消去し、さらに(6)式とでI1を消去すると、

これがE0に相当し、求める等価な電圧源は右になる。

) 3

1 (

1 Z I L

V =− _G

Z

_G

E C D

B Z

_G

A

E C D

B A

Z

_G

E C D

B

A V

₂

I

₂

I

₁

V

₁

Z

₀

E

₀

Z

_G

E C D

B Z

_G

A

E C D

B

A V

₂

I

₂

I

₁

V

₁

Z

₀

E

₀

Z

₀

E

₀ )

2 (

) 1 (

2 2 1

L L

L L DI

CV I

BI AV V

+

=

+

=

) 4

2 (

2

1 AV BI LL

I

Z_G = +

−

2

2 ( )

)

(A+Z_GC V =− B+Z_GD I

C Z A

D Z B I

Z V

G G

E +

= +

= −

=0 2 2 0

) 6 (

) 5 (

2 1

L L

L L CV

I

AV V

=

) 7

1 (

1 V LL

I Z E = _G +

C Z A V E

+ G 2 =

与えられた回路求める等価電圧源

Z

₀

E

₀

Z

₀

E

₀

C Z A

D Z Z B

C Z A E E

G G G

+

= +

0 0

(3)

電気回路学定期試験問題

[3] 線路の伝送方程式

を導出せよ。ただし、線路の単位長あたりの抵抗(オーム)、コンダクタンス(モー)、インダクタンス(ヘンリー)及び容量(ファラッド)は、R, G, L及びCである。 (配点: 23点)

模範解答

伝送線路の微小区間Δxに対する等価回路は右のように与えられ、この微小区間の両端での電圧、電流を図のように定義すると、キルヒホッフの法則を用いて、以下の関係式が導ける。

従って、

であり、微小区間の長さをゼロに近づけた極限では、以下の微分形式の伝送の基礎方程式を得る。

この伝送基礎方程式の第一式の両辺をxで微分すると、

上式に伝送基礎方程式の第二式を代入すると、

となり、問題の伝送方程式(電信方程式)が導出される。

2 2 2

2

)

( t

LC v t

GL v RC x RGv

v

∂ + ∂

+

∂ =

∂

i

v v+

Δ

v

i+

Δ

i R

Δ

x L

Δ

x

C

Δ

x G

Δ

x

Δ

x

i

v v+

Δ

v

i+

Δ

i i

v v+

Δ

v

i+

Δ

i R

Δ

x L

Δ

x

C

Δ

x G

Δ

x

Δ

x

) / (

} / ) (

{ )

(

t v x C v x G i

t i i x L i i x R v

∂

∂ Δ +

⋅ Δ

= Δ

∂ Δ +

∂ Δ + Δ + Δ

= Δ

t C v x Gv

i

t i L i

i i x R v

∂ + ∂ Δ =

Δ

∂ Δ + + ∂

Δ + Δ =

Δ ( )

) (

t C v x Gv

i x i

t L i x Ri

v x v

x x

∂ + ∂

∂ =

= ∂ Δ

Δ

∂ + ∂

∂ =

= ∂ Δ Δ

→ Δ

0 0

lim lim

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

x i L t

x R i x

v

2 2

2 2 2

2