電磁気学Ⅱ定期試験問題
平成26年7月29日実施 1. 電磁ポテンシャルϕおよびAに関する以下の式について設問に答えよ。
) 3 ( ) 0
, ( ) 1
, ( div
) 2 ( )
, ( ) , 1 (
), 1 ) (
, ) (
, 1 (
2
2 0 2 2 0
2 2 2
t t t c
t t t
c t t
t c
x x A
x i x
x A x
(a) 式(1), (2)が物理的に意味する現象について述べよ。また、式(3)は何と呼ばれているか?
(b) 電磁ポテンシャルを用いて電場Eおよび磁場Bを与える式を各々式(4), 式(5)として書け。
(c) 電荷密度分布や電流密度分布が与えられた時、式(1)～式(5)をどのように用いて解いていけば 電場および磁場が求められるのか? その手順を言葉と式の番号で簡潔に述べよ。
(d) 式(1)～(5)を用いてMaxwell方程式の4つの式を導け。ただし、fをスカラー関数、Xをベクト ル関数とした時、rotgrad f 0, divrot X0, rotrot XgraddivXXである。
2. 空間領域Vの中に存在する電荷分布ρ(x’, t’)または電流分布i(x’, t’)が時間的に変動するとき、以下 の問に答えよ。ただし、電荷や電流が分布していない場所は真空とする。
(a) 領域Vから離れた場所xでのポテンシャルϕ(x, t)およびA(x, t)はどのような式で表されるか?
(b) 電磁ポテンシャルの電気双極子近似においては、電場および磁場は以下の式で与えられる。
ただし、rは電荷や電流分布から観測点までの距離であり、p(t) は広義の電気双極子モーメント である。EおよびBの各々の項をp, p およびpに比例する項に分類すると、それらはどんな場 を表しているか、また、電気双極子が角周波数 ω で振動している時、そのおおよその大きさに ついて式で示し、2c とした時、r ≫ λの波動域においても残るのはどの場か?
(c) pに比例する項は電磁波としての性質を有していることを示せ。必要なら、次のベクトル公 式を用いてもよい。A(BC)B(AC)C(AB)
3. 古典電磁気学に基づいてラザフォード型水素原子の寿命を計算してみる。電子の電荷を−e、電子
の質量をm、原子半径をr、電子の角速度をとする。遠心力はmr2で、クーロン力のみ考えよ。
(a) 電子に対する回転動径方向の運動方程式を記せ。
(b) 電子の持つエネルギーWを与える式を記せ。ただしポテンシャルは、無限遠方をゼロとする。
(c) 古典電磁気学の法則に従えば、水素原子は電磁波を放射しながら潰れて行くが、このとき水素 原子の寿命τを与える式を導け。
ヒント: 軌道z(t)で運動する点電荷qが放射する電磁波電力を与える式は、
で与えられる。
3 2
0 2
0 4
0 2
0 5
0 3
0 0
)) ( ( ) ( )) ( ( 3 ) ( )) ( ( 3 ) ( 4
) 1 ,
( c r
t r
c t cr
t cr
t r
t r
t p t x x p p x x p p x x p
x
E
2 0 3
0
0 ( ) ( )
) 4 ,
( cr
t r
t x p t x p
x
B
2 3
0 2
)) ( 6 (
)
( t
c t q
P z
