電気回路学 II 定期試験問題 2019 年 7 月 25 日 第 5 講時実施

電気回路学

II 定期試験問題 2019

7

25

5

注) 問ごとに別々の答案用紙に回答のこと．裏を使ってもよいが 2 枚の答案用紙にわたる回答は避けること．

問1 RC直列回路に時刻t  0において 𝑒(𝑡) = 𝐸₀𝑒𝑥𝑝(− 𝑡 𝑇⁄ ) によって与えられる電圧を印加したときに流れる

電流 i(t) を以下に従い求めよ．ただし，E0 および T は実定数である．

(1) 回路に電圧を印加した場合の閉路方程式をたてよ．

(2) (1)の閉路方程式をラプラス変換せよ．ただし，印加電圧e(t) および回路に流れる電流i(t) のラプラス変換を

各々 E(s) および I(s) とし，コンデンサの初期電荷はゼロとせよ．

(3) 電流 i(t) を求めよ．必要ならば，

( )( )

s

s  a s b 

1 ( ae

be

) a b







(4) この場合，τは何と呼ばれているか? また，τ >> Tおよび τ << Tの場合についてi(t) の概略を図示せよ．

問2 図1に示す 𝑓(𝑡) は，無限に繰り返す振幅1，周期Tの三角波である．以下の問に答えよ．

(1) 𝑓(𝑡) を次の複素フーリエ級数展開したときのAnを求めよ．

(2) 周波数スペクトルおよび電力密度スペクトルの概形を図示せよ．この際，要所における値を明示せよ．

(3) 𝑓(𝑡) の（平均）電力を求めよ．

図1

問3 次の問に答えよ．

(1) 図2に示す回路の伝達関数を求めよ．

次に，伝達特性の周波数特性を求めよ．また，その概形を図示せよ．

ここで，Aは，入力インピーダンスが無限大，出力インピーダンスが0で，入力の電圧をA倍して出力するような2 端子対回路である．

図2 (2) ステップ応答が次の式

で与えられる回路のインパルス応答を求めよ．ただし，T は実定数である．

以上

𝑣(𝑡) = 1 − 𝑒^−𝑡/𝑇

𝑓(𝑡) = 𝐴_𝑛𝑒^{𝑗𝑛𝜔0𝑡}, 𝜔₀= 2𝜋 𝑇

n =－∞

∞

解答例 問1

(1) 閉路方程式は、 ₀

1

( ) ( ) ( )

t

e t E e

Ri t i t dt C



  

(2) ラプラス変換は、 ⁰

( )

( ) ( )

1

E I s

E s RI s

s sC T

  



となる。

(3) (2)をI(s) について解くと、

     

0 0

0 0

1 1 1

( ) 1 1 1 1 1 1

CE E

s T sT sCTE sCTE

I s sCR sCR sT s sT

R sC



 

   

    



これをラプラス逆変換し、 ⁰ 1 1 1 ⁰ 1 1 ⁰

( ) 1 1

1

t t t t t t

T T T

E CE CE T

i t e e e e e e

R T T T

T T

  

    



     

     

             と

求まる。

(4) τは時定数(Time constant)と呼ばれている。

τ >> Tの時、

( )

t t t t

T T T

CE T CE E

i t e e e e

T R

 



   

 

     

  

一方、τ << T の時、 ( ) ^{0 0 0}

t t t t

CE T T CE E

i t e e e e

T R

  

  

   

 

    

   ^となる。

従って、τ >> Tおよび τ << Tの時の i(t) の概略は、下図のようになる。

問2

(1) 𝑓(𝑡) = { ²_𝑇𝑡 ( 0 ≤ 𝑡 ≤^𝑇₂ ) 2 −²

𝑇𝑡 ( ^𝑇

2≤ 𝑡 ≤ 𝑇 ) より，

𝐴_𝑛=1

𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇

0

=1 𝑇∫ 2

𝑇𝑡𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇 2 0

+1

𝑇∫ (2 −2

𝑇𝑡) 𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑡}𝑑𝑡

𝑇 𝑇 2

= − 1

𝑗𝑛𝜔₀𝑇𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇2}+ 2

𝑛²𝜔₀²𝑇²(𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇2}− 1) − 2

𝑗𝑛𝜔₀𝑇(𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇}− 𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇2}) + 2

𝑗𝑛𝜔₀𝑇𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇}− 1

𝑗𝑛𝜔₀𝑇𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇2}− 2

𝑛²𝜔₀²𝑇²(𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇}− 𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇2}) = − 2

𝑛²𝜔₀²𝑇²(1 − 𝑒^{−𝑗𝑛𝜔0𝑇2})

2

== − 1

2𝑛²𝜋²(1 − (−1)^𝑛)² (2) 周波数スペクトル： |𝐴_𝑛| =_2𝑛¹_2𝜋2(1 − (−1)^𝑛)²

→ n

 An 

0 1 2 3 4 5 2/²

2/9²

2/25² 0 0

-5 -4 -3 -2 -1

2/² 2/9² 2/25² 0 0

電力密度スペクトル：|𝐴_𝑛|²=_4𝑛¹_4𝜋4(1 − (−1)^𝑛)⁴

(3) 平均電力は，

問3

→ n

 An ²

0 1 2 3 4 5 1/⁴

4/81⁴

4/625⁴ 0 0

-5 -4 -3 -2 -1

1/⁴

4/81⁴ 4/625⁴ 0 0

|𝐴𝑛|²= ¹

4𝑛⁴𝜋⁴(1 −(−1)^𝑛)⁴

n =－∞

∞