経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用

滋賀大学経済学部研究叢書第

2

0

号

経済時系列の統計的研究

-岡部の理論とその応用-中 野 裕 治 著

滋賀大学経済学部研究叢書第

2

0

号

経済時系列の統計的研究

-阿部の理論とその応用-中 野 裕 治 著

ま え が き

時間の推移とともに記録された，不規則現象の変動の観察値の集合を時系列と

言う.本書は，時系列閣の因果関係，影響関係を分析する新しい方法を，広く知っ

てもらう目的を持って書いた.話は遡る.

1

9

8

7

年

2

月のある夜，北海道大学理

学部の阿部靖憲教授から御電話があった.

I

中野君，できました.

J

それは本書

で展開する，局所弱定常過程を表現する方程式において，その係数をすべて決定

するアルゴリズムを発見したという報告であった.私はすぐさま雪の札幌に赴い

た.その時の興奮は今でも忘れることはできない.岡部教授によって展開された

アルゴリズムを，データ解析にどのように生かすかというテーマを目標に，研究

の喜びゃ苦しみを伴いつつ，私達は試行錯誤を重ねることになる.そもそもその

方程式は，岡部教授による一連の揺動散逸定理の研究の結果導きだされたもので，

現在では揺動散逸定理研究の先駆者，久保=森=三好=岡部の頭文字をとり，

KM.O

・ランジュパン方程式と呼ばれている.その理論をわかりやすく説明する

と，有限時間パラメーターの弱定常過程が与えられた時，そこから観察される量

(統計の言葉で言えば共分散関数である)から，逆にその過程をすべて説明でき

るというものである.言い方を変えると，弱定常性を仮定するだけで有限時間パ

ラメーターの弱定常過程の構造が説明されると言ってもよい.話が前後するが，

時間の推移とともに変動する不規則現象を，数学の言葉で確率過程と言う.そし

て弱定常性とは，時系列解析の際に我々が解析の対象とする確率過程に要請する

最低限の数学的法則性で，弱定常』性を持つ確率過程のことを弱定常過程と呼ぶ.

現在利用されている時系列解析は，データの弱定常性をチェックすることなく仮

定し，適合しそうな確率モデルを探すという手順を踏む.一方で，それらの確率

モデルの説明には無限個のデータが必要であるから，現実には有限個のデータし

か得られない立場からは，確率モデルの当てはめは自己矛盾を含む.一部の経済

学者は，データの弱定常性をチェックすることは不可能であると主張し，今述べ

た自己矛盾もからめて時系列解析を批判している.

岡部教授と私は，有限個のデータから構成される時系列を矛盾なく解析するこ

とを目標に，時系列解析における根本的な問題“有限個のデータが与えられた

時，それが弱定常過程の実現値と見なせるかどうか"という判断基準の作成に

取り組むことになった. 1

0

0

個程度のデータの解析が目標であった.そしてその

問題は，ある手順に従って構成されたデータが，標準化されたホワイトノイズの

実現値とみなせるかと、うかという検定問題に帰着する.既存の統計量を利用する

方法はすぐにいきずまった.そのために，在遣は独自の統計量を考案し，コンビュー

ターによる徹底的な数値実験の結果から検定

(

8

)

を提案するに至る.しかしなが

ら.

c

h

a

o

t

i

c

な変換から得られる捻れたデータ(非線形方程式から構成される弱

定常過程から得られるデータ)が，検定

(

8

)

を通らないという問題点が残った.

1

9

8

9年 4

月下旬，文部省在外研究員として旧西独のチューピンゲン大学で研究

中に，ハイテ'ルベルク"大学に客員教授として来独された阿部教授から，懸案の問

題の解決に成功したという御電話があった.それが検定 (8)舗である. これらは

本書の

3

章にまとめである.私達の仕事は.

Okabe=Nakano (

1991)

に結実し

たが，次の仕事の目標は時系列聞の因果解析であった.

時系列聞の因果性の定義は.

Granger (

1

9

6

9

)

によってなされたものが世界的

に定着している，しかしながら，その定義は因果という言葉の持つイメージから

は少しずれがあるように考えられ.

Granger=Newbolt (

1

9

7

4

)

にもそのことが

述べられている.私自身は，緩やかな因果あるいは影響という言葉がふさわしい

のではないかという考えを持つが，既に定着している“因果"という言葉を引

き続き使用することにした.そして.

4

章で私は局所因果性の概念を導入した.

これはK M

2

0

・ランジュパン方程式の立場から，有限時間パラメーターの弱定常

過程聞に定義される.

Granger

流の因果性である.その数学的構造，理論的な検

証方法は.

~4.4で展開することができた.そしてその応用として.

GNP

やマネー

サプライ等への実証分析を行い，データに検定(

8

)を適用したのを始め，データ

閣の局所因果関係を詳しく分析した.これらの結果は ~4.5 にまとめである.

さらに，統計の集計上生じる瞬間的な局所因果性も定義し，その数学的構造，

理論的な検証方法も ~4.4. ~

4

.

5

において示すことができた.

GNP

とマネーサ

プライ聞の瞬間的な局所因果関係の分析は.

~4.5 に示した.

Okabe (

1

9

8

8

b

)

によって定義された標本エントロビーは，経済時系列聞に作

用する影響性の強さを測る尺度として応用され，

!

l4

.

5

に於ける分析に深みを与

えている.

これらのデータ解析に際して，何等の仮定や不自然な処理を行っていないこと

を，断わっておかねばならない.

ところで，厳密な意味での因果性は

Okabe=Inoue

によって定義された.その

数学的構造，理論的な検証方法も与えられ，現在精力的な実証分析が行われてい

る.その一端は，

!

l4

.

6

で紹介している.さらに特筆すべきことは，

Okabe=Inoue

の方法は非線形の因果性をも定義していることで，その検証方法を構成すること

は

，

N.Wiener

が解けなかった数学問題を解くことに帰着するが，最近阿部教授

によって解決された.

さて，本書は

4

章から構成されている.本書に必要な数学的知識は，第

1

章で

準備されている.

第

2

章では，まず

KM.O

・ランジュパン方程式の理論に至る阿部教授の研究の

一部を，揺動散逸定理を中心にまとめた.次に，

KM.O-

ランジュパン方程式の

理論がどの様に構成されるのか，ある程度の数学的素養があれば理解できる形式

に記述している.それらは，

KM.O-

ランジュパン方程式に於ける中心的な揺動

散逸定理である補題

2

ふ

4を核として展開されている.さらに，予測公式や予測

誤差，非線型

KM.O-

ランジュパン方程式の理論も論じられている.

検定(

8

)を構成し，検定(

8

)がデータ解析においていかに有用であるか示すこ

とが，第

3

章の目的である.太陽黒点，株価等の時系列データが分析され，さら

には応用として予測問題も扱い，今後

1

0

年間の太陽黒点も予測した.

第

4

章では最初に，

Granger

因果性に関するこれまでの研究をまとめてみた.

後半は，既に述べたように，因果解析に関する私の方法を展開し，さらには岡部

教授による因果解析法を紹介している.

私は

1

9

7

2

年滋賀大学経済学部の助手に採用されたが，周年

1

0

月に名古屋大学

理学部講師として赴任されたばかりの阿部教授と名古屋大学の研究会で知り合う

ことになる.それ以来，阿部教授は私の師であり友人であった.どん底時代の私

を常に励まして下さった.阿部教授との出会いがなければ，今日の私はない.東

京大学理学部に戻られた阿部教授の下で，

1

9

7

9

年

5

月から

1

0

カ月間，情報処理

内地研究員として研究させて頂いたのも，私の実質的な研究生活の始まりとして

今では良き思い出である.ハイデルベルグの古城を阿部教授と散歩しながら，岡

部の理論に関する本の執筆を誓ってから既に

2年 7

ヵ月過ぎようとしている.やっ

と本は完成したが，私の力量不足のために，阿部の理論を正確に伝えきっていな

いという恐れを持っている.ここに許しを乞う.

私はこれまでに良き指導者，同僚に恵まれてきた.九州大学理学部の古川長太

先生は，私に数学の楽しさ，厳しさを教えて下さった.先生の御指導と御助言が

なければ，このようにして大学で研究する生活は考えられない.同じく九州大学

理学部の佐藤担先生は，怠惰な院生であった私を指導して下さった.両先生に深

い謝意を表する.

また滋賀大学の現在及び過去の同僚の諸先生に感謝しなければならない.研究

に対する滋賀大学の良き理解，雰囲気があればこそ，ゆっくり時聞をかけ研究す

ることができたと思う.

最後に，私の研究に貴重な御助言を与えて下さった滋賀大学経済学部の片山貞

雄教授，梶田公教授，吉田稔教授，浜松医科大学の野田昭男教授，九州大学理学

部物理学教室の守田治助教授に感謝したい.

ささやかながら，私の研究が岡部理論の普及に役立ち，純粋理論の分野だけで

なく工学や経済学を含む幅広い分野で実用化されるようになれば幸いである.

1

9

9

1

年

1

2

月

18

日

彦根の研究室にて

著 者

経済時系列の統計的研究

-阿部の理論とその応用一

1章 数学的準備 …

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・..………・・・

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確率空間と確率分布....・

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2

射影

…

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3

確率変数の収束…....・

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7

1.

4

大数の法則と中心極限定理……・

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5

定常過程と Woldの定理………・・

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4

2

章

KM.O

・ランジュパン方程式の理論 … … ・ … …

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・-…・……

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1

揺動散逸定理

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2

ティープリッツ

1

1

'

列 …

…

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4

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3

KM.O

・ランジュパン方程式 …

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2

7

2.

4

アルゴリズム

1:

散逸部分の関係式……....・

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5

アルゴリズム

2:

揺動散逸定理 …

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3

4

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6 特異なティープリッツ行列…....・

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8

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7

偏相関関数と構成定理・・………

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…

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・-…・…・…...……・

8

3

2

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8

予測公式と予測誤差

…・……

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・-…・・・…-……-…・……

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・-……・

9

1

2

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9

非線形

KM.O-

ランジュパン方程式

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・…・…・…・・

9

4

3章 定 常 性 の 検 定(

8

)とその応用

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標本共分散関数

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0

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標本

KM.O

・ランジュパン方程式…

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5

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3

検定

(

8

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・...……・・・………

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… …

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…

…

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…

一

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1

1

3

3.

4

検定

(

8

)

のための基礎実験…....・

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…

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5

太陽黒点等の解析...……...・

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…

…

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…

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3

2

3

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6

シミュレーション・

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7

予測…

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，

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8

見本エントロビー…...・

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章時系列閣の因果関係，影響関係、の分析………

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因果性の定義

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G

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g

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因果性の理論的同値性…

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6

2

4

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3

G

r

a

n

g

e

r

因果性の実証方法 …

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・-…・……

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・

H

・-…・・…・………

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-

…

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1

6

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4.

4

KM.O-

ランジュパン方程式による局所因果性の定義，その実証方法… 1

7

1

4

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5

経済時系列等の局所因果性分析…

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・

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・-………

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…

…

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.1

8

2

4

.

6

阿部=井上の因果解析…

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・

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…

…

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…

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・

H

・

-

…

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9

5

1

章 数 学 的 準 備 次 章 以 降 で 必 要 な 確 率 論 ， 統 計 埋 論 を こ の 章 で 準 備 す る . い わ ゆ る 確 率 論 は ， 時 間 パ ラ メ タ が 連 続 の 確 率 過 程 を 分 析 の 対 象 に し て い る が ， そ こ で は マ ル コ フ 過程論， Ii在千:微分方程式等の理論が研究，整備されていて，そこに到るまでの準 備 は た い へ ん で あ る が ， 半 面 利 用 で き る 理 論 は 豊 富 と 言 え る . 本 書 は ， 時 間 パ ラ メ タ が 離 散 集 合 の 確 率 過 程 を 分 析 の 対 象 に す る の で ， そ れ ほ ど 大 が か り な 数 学 の 準 備 を 必 要 と は し な い が ， そ れ だ け に 利 用 出 来 る 数 学 は 限 定 さ れ ， 理 論 の 展 開 に は 難 し い も の が あ る . 事 実 ，

2

章 で 展 開 す る

K M

2

0

ーランジュハン方程式のア ル ゴ リ ズ ム の 証 明 は 難 解 で ， そ の 難 解 さ は 演 算 の 復 雑 さ か ら 生 じ て い る . こ の 章 で は ， 確 率 変 数 列 の 収 束 を 中 心 に ， 次 章 以 降 で 必 要 な 確 率 論 ， 統 計f望論を準備し て い る . な お 紙 数 上 の 制 約 か ら ， 証 明 を 一 部 割 愛 し た . 1.1確 率 空 間 と 確 率 分 布 ル平 yサ ン ス の 時 代 に 地 中 海 の 沿 岸 で は 貿 易 が 盛 ん に な っ た が ， そ の 担 い 手 で あ る 船 員 達 が 天 候 等 の 理 由 で 航 海 に で ら れ な い 時 に 港 で 賄 事 を 行 い ， 勝 つ 率 の 大 小 を 求 め た の が 確 率 論 の 起 源 と 言 わ れ て い る . 賭 事 に 関 す る そ の よ う な 問 題 は ， 事 象 の 組 合 せ の 個 数 を 求 め る こ と に 帰 着 す る が ， フ ラ ン ス の

P

a

s

c

a

l(

1

6

2

3

-

1

6

6

2

)

と

F

e

r

m

a

t

(

1

6

0

1

・

1

6

6

5

)

等によって研究され，

L

a

p

l

a

c

e

(

1

7

4

9

-

1

8

2

7

)

の 著 " 確 率 の 解 析 的 理 論 " に よ っ て 大 成 さ れ る に 至 り ， 現 在 で は 古 典 確 率 論 と 呼 ば れ て い る . 古 典 確 率 論 は 進 歩 発 展 し ， 測 度 論 の 思 想 、 と 結 合 し て

A

.K

o

l

m

o

g

o

r

o

v

の 名 著 " 確 率 論 の 基 礎 概 念 "

(

1

9

3

3

)

に 結 実 す る . こ の 書 で

K

o

l

m

o

g

o

r

o

v

は ， い わ ゆ る

K

o

l

m

o

g

o

r

o

v

の 公 理 を 与 え ， 近 代 確 率 論 の 板 本 原 理 を 打 ち 立 て そ の 後 の 確 率 論 発 展 の 礎 を き ず い た . それでは，

K

o

l

m

o

g

o

r

o

v

に よ っ て 定 義 さ れ た 確 率 空 間 ， 確 率 変 数 を 導 入 し よ う . Qを 任 意 の 空 間 と す る

.0

の 部 分 集 合 族 βが 次 の

3

条件を満たす時， σ加 法 族 と L、う.

(

B

.

1

)

0

ε8

，

(

B

.

2

)

AεB

な ら ば

A

Cε8

，

(

B

.

叫 ん

ε

8

，n

=

1

，

2

・・1 な ら ば

U

二

1

An

ε8.

Qを標本空間，

8

の 元 を 事 象 と い う . 任 意 の 事 象

A

に 対 し 定 義 さ れ る 関 数

P(A)

が ， 次 の

3

条 件 を 満 た す 時 ，

P

は

(0

，

8)

上 の 確 率 測 度 と い う .

-1-(

P

.

1

)

任 意 の

AεS

に対し

o

:

S

P(A)

三

1

，

(

P

.

2

)

An

ε

s

，π =

1

，

2

・・・が交わりをもたないならば

P(U

An)

=

三

二

P(An)

，

(

P

.

3

)

P(O)=

l. 定義1.1.1 Bがσ加 法 族 ，Pが 確 率 測 度 の 時lこ，三つ組 (O，

s

，P)を 確 率 空 間 と L、う. 次 に 確 率 変 数 を 定 義 し よ う

.x

を Q上 で 定 義 さ れ た 実 数 値 関 数 と す る . 実 数 全 体 を

R

で 表 す .

d

次 元 ユ ク リ ッ ド 空 間

R

d_ま，，

_d

_x

₁

_{実 ベ ク ト ル 全 体 で あ} る . 任 意 のα

モR

に対して，

0

の 部 分 集 合

{

ω ;x(ω

)壬α}(={x(ω

)三α

}= {x三α}

と も 書 く ) が 常 に

B

の 元 で あ る 時 に ，

x

は

(O

，

B)

上の

l

次 元 確 率 変 数 ， あ る い は 単 に 確 率 変 数 と い う . 多 次 允 の 確率変数も自然、に導入される .

d

個 の 確 率 変 数 の 組

、

、

、

S E E l / 唱 i E a

x

-x

， ， ， J t I l l -

、 ¥

一 一

X

咽

)

a A

•

噌 E A J '

・

1、 を

d

次 元 確 率 変 数 と い う . 次 に

d

次 元 ユ ク リ ッ ド 空 間

R

d上 に σ 加 法 族 を 定 義 し よ う . 任 意 の 実 数α"

<

b

"

，

k

=

1

，... ，

d

に 対 し て

{

z

ε

Rd;a"

<

z

"

壬

b"，k =

1

，・・・ ，d} を 含 む

R

dの 最 小 の σ加 法 族 を ボ レ ル 集 合 族 と い い ，BRdで表す.ここで， Zk は zの

h

成 分 と す る . こ の 時 ， 任 意 の

E

ε

BRdに対し ，

{x

εE}εβ

である から，

P

x

(

E

)

=

P(X

εE

)

噌_'

_•

n， “

)

i ， ， ， •••• ‘ 、 は βRd上の確率i!tJI度 に な る . 定義1.1.

2

Px

を

X

の分布という. 確 率 変 数 は 確 率 空 間

(

O

，

B

，

P

)

上 の 確 率 演 算 が 可 能 な 変 数 の こ と を 意 味 し ，

(

1

.2

)

で 見 ら れ る よ う に 積 分 も ル ベ グ 積 分 の 考 え 方 で 自 然 に 導 入 さ れ る ( 例 え ば 伊 藤

t

青

(

1

9

9

0

)

)

.

-2-d=l

としよう.

別 )

=

1

0

X

(

w

)

d

P

(

ω)

，

V

(

X

)

=

1

0

(

X

町

X

)

州

ω

)

と置く .

E

(

X

)

を 確 率 変 数

X

の 平 均 ，

V

(

X

)

を分散という. 普 通 ， 分 析 の 対 象 に な る 確 率 変 数 の 分 布 に は 離 散 的 な も の と 連 続 的 な も の の

2

種 顛 が あ る . 特 に と り あ げ な い が ， 両 者 の 混 合 型 も 存 夜 す る . そ し て 本 書 の 珂 論 は ， 分 布 に 関 係 な く 展 開 さ れ る こ と を こ と わ っ て お か ね ば な ら な い .

)

q d 唱 ・ A

(

(

1

.

4

)

可 算 集 合

{

C

t

，C2， • • . } と そ れ に 対 応 す る 正 数 列

{

P

t

，P2，・・・}が存在し任意の α E Rに 対 し て

P(X

壬a

)

=

L

Pn

(

1

.

5

)

~n. <a. が 成 り 立 つ 時

.X

は 離 散 的 な 確 率 変 数 と い う 任 意 の

a ε R

に 対 し て

市 三 α

)

=に仰

z

nh

)

u

•

唱_E A

(

となる

R

上 の 実 数 値 関 数

f

が 存 在 す る 時

.X

は 連 続 的 と い い

f

を

X

の 確 率 密 度 関 数 と い う . 例1.1.1確 率 密 度 関 数 が

(1

，

(0<

:

2

<1)

f

(

2

:

)

= ~

_l

0

，

(

z

三

1

，

z壬

0

)

のとき. Xの 確 率 分 布 は

(

0

，

1

)

上 の 一 線 分 布 と い う .

(

1

.

7

)

例1.1.

2

一∞ <m<∞パ

>0

とする.

f

(

z

)

=

与

E

ー ザ

"¥/ I/TrV

(

1

.8

)

のとき

. X

の 確 率 分 布 は 平 均 m ， 分 散 型 の 正 規 分 布 と い う

. X

は

N(m

，

ψ

)

に 従 う と も い う . 正 規 分 布 は

d

eM

o

i

v

r

e

(

1

6

6

7

-

1

7

5

4

)

に よ っ て 発 見 さ れ た が .

G

a

u

s

s

(

1

7

7

7

-

1

8

5

5

)

は 誤 差 理 論 と の 関 連 で 正 規 分 布 を 研 究 し そ の 実 用 的 価 値 を 明 ら か に し た . 従 っ て 正 規 分 布 の こ と を ガ ウ ス 分 布 と も い う . 正 規 分 布 は ， 確 率 論 及 び 統 計 学 で 最 も 愛

-3-要な篠率分布で， u在ヰミ過 程

J

命 で 重 要 な ブ ラ ウ ン 運 動 は

l

U

J

l

分 布 を 尽 に 構 成 さ れ て い る . ま た 統 計 用 論 も 正 規 分 布 を 時 論 の 中 心 に お い 亡 発l起 し て き た れ 会 現 象 の 中 iこ 正 規 分 布 を " 発 見 " し た の は ベ ル ギ の 統 計 学 者

Q

l

l

e

t

e

l

e

t(

1

7

9

6

-

1

8

7

4

)

-C， 彼 は ス コ y ト ラ ン ド の 兵 士 の 胸 囲 の 測 定 値 か ら そ れ が 平 均 値 を 中 心 と し て 止 規 分 布 を し て い る こ と を 認 め て い る ( 小 杉

(

1

9

6

9

)

)

.Q

l

l

e

t

e

l

e

t

は人口増加]曲線として知 られる

L

o

g

i

s

t

i

cC

l

l

r

v

e

の 原 理 の 考 案 者 で も あ る ( 実 際 に

L

o

g

i

s

t

i

cC

l

l

r

v

e

を 導 い た の は ベ ル ギ の 数 学 者

V

e

r

h

l

l

l

s

t

(

1

8

0

4

-

1

8

4

9

)

).

次 に 多 次 元 の 確 率 分 布 を 定 義 し よ う . 記 号 の 導 入 を し て お く. Nを臼然数全体，

N

に

O

を 加 え た 数 全 体 を

N

・ で 表 す .

d

₁，

d

₂

ε N

と す る . 成 分 が 実 数 値 か ら 成 る

d

₁ X

d

₂行 列 全 体 を

M(d

1x

d

2

;R)

で 表 す . 特 に

d

1=

d

2二 dの 時 ，

M(d;R)

と 書 く . 同 様 に 成 分 が 複 素 数

C

の 行 列 を ， そ れ そ れ

M(d

1x

d

2;

C)

，

M(d;

C)

と表 す . ま た ， 集 合

M(d;

R)

，

M(d;

C)

の う ち 正 目Jlな も の 全 体 を そ れ ぞ れ ，

GL(d;

R)

，

GL(dj

C)

と 表 す . ま た ，

u

ξ

M(d

₁ X

d

₂

j

C)

に対し

t

u

ε

M(d

2X

d

1

j

C)

は ，

u

の 転 置 行 列 を 表 す

V

ε

M(djC)

に対し，

detV

は ，

V

の 行 列 式 ，

V-

1_は

_V

_の 逆行子Jlとする. d

ε N

，

d

三

2

としよう. (1.1)の

X

の 平 均 は

則

)

ニ

(

:

:

)

(

1

.

9

)

と 定 義 さ れ る .1

壬

i，j

三

dに 対 し て

日

j=

C

o

v

.

(

X

;

，

X

j)ニ

E(X;-E(X;})(X

j -

E(X

j)) (1.1

0

)

と置く

V(X)

=

(

日

j;，)jニ1

，

.

.

.

，dξ

M(dj

R)

を

X

の共分散行子，1)

C

O

V

.

(

X

;

，

X

j) を

X;

，

X

jの 共 分 散 と い う .

V(X)

は 対 称 正 定 値 に な っ て い る . 多 次 元 の 確 率 密 度 関 数 を 定 義 し よ う 任 意 の a1γ・・，adε Rに 対 し て

m

壬

μ

臼

a向1

，

.

.

.

，品ん恥壬拘

α

匂 牛

d となる Rd_{上 の 実 数}

_f

_値直関数

_f

_{が 存 在 す る 時 ，X は 連 続 的 と い い}

_f

_を

_X

_{の 確 率 密} 度 関 数 と い う .

例1.1.3 Z， m ξ

Rd

，

V

ξ

M(d;R)

は対科、IF}Eflむとする

fC(Zl

，

・・・

，

Z

d

)

)

二

l

(

2

π

)

d

/

2

V

d

e

t

V

×

exp{jt(z m)VI(z m ) } ( 1 1 2 )

で 与 え ら れ る 時 ，

X

の 確 率 分 布 は 平 均 m ，共分散

V

の

d

次 元 正 規 分 布 と い う . 1次 元 と 同 線 に X は

Nd(m

，

V

)

，

こ従うともいう. 本草

n

の 最 後 に σ加 法 族 を 1つ 定 義 し よ う . 定義1.1.

3

任 意 の

EεBRd

に対し

{

X

'

ε

E}

を 元 と し て 含 む Q上 の 最 小 のσ加 法 肢 を σ

(

X

)

で表す. 確 率 空 間

(

O

，

B

，

P

)

上 で は ， 測 度

O

の 集 合 を 除 い た

o

J

-

で 成 立 す る 命 題 は ， 本 質 的 に 成 立 し て い る と 考 え る . 本 書 で は ， 損IJ度 Oの 集 合 を

s

ミL、た

o

J~ で成立す る命題は，

0

全 体 で 成 立 し て い る と し て ， 特 に そ の こ と を こ と わ ら な い . 1.2射 影 定 義1ふ 1

P三1

とする .

d

次 元 確 率 変 数 X

=

t(X1，... ，Xd)で EIXIP = E(Xi

+

・・・

+XD<

∞

を 満 た す も の 全 体 を

LP(O

，

B

，

P)

で表す.

p=2

とする .

X

，

Y

ε

L

2

₍₀

_，

_B

_，

_P)

，

_こ対し，

_Ca

山

h

y

-

S

c

h

w

a

r

z

の 不 等 式 か ら

(

1

.

1

3

)

∞

<

一

< 一

y

x

t

E

(

l

.

l4

)

従 っ て ，

X

，

Y'

こ内積

<

X

，

Y

>=

EtXY

(

1

.

1

5

)

が 導 入 さ れ ， ノ ル ム

I

I

X

I

I

=<

X

，

X

>

2

r， . ‘ 、 唱_EA 唱_EA a u

)

が 定 義 さ れ る . こ の 内 積 に よ っ て ，

L

2

₍₀

_，β，

_P)

_{は ヒ ル ベ ル ト 空 間 に な る ( 例 え ば}

Brockwel

l=Davis (

1

9

8

7

)

，

p.

6

8

)

.

今 ， 一 般 に ヒ ル ベ ル ト 空 間 を 冗 ， そ の 内 積 を < ， > で 表 そ う .

-5-定義1.

2

.

2

( 間 部 分 空 間 ) 冗 の部分空間ルイ は ，

X

π ξ んイ， π =

1

，・・1 に 対し limn→∞

I

I

X

n -

X

I

I

=

0

ならば ，

X

ε

ルイを満たすlI!f，行 の 間 部 分 明 間 で あるという. 定 義 1 .

2

.

3

(直交納空間) 任 怠 の

Yε

人イに対し，

<

X，

Y

>=

0

となる

x

ε

行 全 体 を ， ん

4

のl直交楠空間といい，ルイi で表す.i'Xの定理はよく知られて いる. 定理1.

2

.

1

(射影定

F

j!)ルイを行 の 間 部 分 空 間 ，

Xε

行 と す る . こ の 時

￨￨X-X￨￨=JFLUX-Y￨￨

唱_' 唱_EA 勾d

)

A ， ， 目 、 、 となる

Xε

ん

f

が 唯 一 つ 存 在 し

X-Xε

ん

4

よ.

)

O 凸 噌 a A

•

噌_' A J S 目 、 、 逆に(1.1

8

)

を 満 た す

X ε M

は唯一つ存在し， (1.1

7

)

を満たす. 定理1.

2

.

1

は ， 任 患 の

XEH

が ん イ の 元

X

とんイ上の元

X-X

と の 和 に 一 意 に 分 解 さ れ る こ と を 示 し て い る. Xを

X

の ん イ へ の 射 影 と い い

PMX=X

A

)

u d t i

•

噌 ， i

(

と表す.

Y

1，'" ，

Y

n

ε

L

2

(O

，

B

，

P)

を1次 元 の 確 率 変 数 と す る .Y1，'・ .，

Y

n の 線 形 次 結 合 ，2:~=1α，. Y，.， α1 ，'" ，an

ε R

か ら 成 る 線 形 閉 集 合 を

M

とする

. X

を(1.1) で 定 義 さ れ る

d

次 元 確 率 変 数 と す る . こ の 時

/PMX

1¥

PMX=

I

¥PMX

d/

)

n U 9 血 咽 EA

(

と置く.

2

章 で は こ の 表 現 を 用 い て 演 算 を 行 っ て い る 次 元 の 異 な る 確 率 変 数 聞 の 直 交 性 を 定 義 し て お こ う. Xをd1次 元 ，Yを の 次 元 の 確 率 変 数 で .

L

2

(

O

，

B

，

P

)

の元とする. 定 義 1.

2

.4

E(Xty)

=

0

の時

. X

と

Y

は 直 交 す る と い う . 但 し ， 行 列 値 を と る 確 率 変 数 の 期 待 値 は ， (1.

9

)

と 同 様 に そ れ ぞ れ の 成 分 毎 に 期 待 値 を と っ て 定 義 す る .

6

1.

3

確 率 変 数 の 収 束

X

を

d

次 元 の 確 率 変 数 ，

X

1，'" ，

X

n，'・1 を

d

次 元 の 艇 中 変 数 タJIとする.以下， 確 率 変 数 列 の 収 束 を 定 義 す る . 定義1.3.1( 概 収 束 ) P( lim IXn -XI = 0)= 1 唱_E 、 ‘ . ， ， e A の 4

•

' E -ム

(

の 時 .{X_n}は

X

に 概 収 束 す る と い い. Xπ一→ X a. s.と書く. 定 義 1ふ 2( 確 率 収 束 ) 任 意 の (

>

0に対し lim P(IXn -XI >

正

)

=

0 π一→C由

(

1

.

22) の 時 .

{X

π

}

は

X

に 確 率 収 束 す る と い い .

X

n P→

X

と書く. 概 収 束 と 確 率 収 束 の 関 係 を 示 す た め に 次 の 定 理 を 用 意 す る . 定 埋 1ふ 1

{X

n}が

X

，

こ 確 率 収 束 す る 必 要 十 分 は

/ I

Xn -XI

l

i

m

E(.

，

-

-

"

-

-

'

"

，

)=0.

π→∞、

1

+

IXn -XI

(

1

.2

3

)

証明 : 必 要 性 を 示 す . 任 意 の

ε>0

に 対 し ， 十 分 大 き い 況 を と れ ば

E(~XπXL)

、

l+IXπ

XI' r X n - X

I

l n， r

X

π

- X J1Xn-XI?

ε1 +

IXn -XI-- . JIXn-XIく

ε1+

IXn -XI一

<

I

ldP

+

I

一

三

-dP

JIXn-XI三

ε

JIXn-XI<

ε1+ε

三

P(IX

π

XI

三E)+7LP(￨Xn-X￨<E)<2ι(

1

.

2

4)

1十E 十 分 性 を 示 そ う . 任 意 の

ε>0

に対し r Xn -XI P(IXn -XI

三

ε

)

壬 一 一

l

JIXn-XI?<

1

+

IX

n

-

XI

￨

X

π

XI <ー~E(.. 1.-~l:r --I~I) → o

(

n

→∞).

(1.25) f - ¥ 1

+

IX_n -XI

•

定 理 1 .

3

.

2

概 収 束 す れ ば 確 率 収 束 す る .

-7

証 明 : 慨 収 束 す れ ば ， ル ベ グ の 収 束 定 理 よ り I

IXπXI

、

lim

EI

'

.

)

= 礼 → ∞ 、

l

十

I

X

π

-

X

1

1

(

1

.2

6

)

•

概 収 束 は

{X

n}の 収 束 を 通 常 の 数 列 の 意 味 で と ら え た 時 に

. X

に 収 束 し な い Q の 確 率 が

O

で あ る こ と を 主 張 し て い る が ， 確 率 収 束 は 少 し 幅 の あ る 定 義 で あ る . 確 率 収 束 す る が 概 収 束 し な い 例 が 伊 藤

i

青

(

1

9

5

2

，p.

5

9

)

に 示 し で あ る . 定 義 1 .3.3( 平 均 収 束 ) lim

EIX

π -

XI

2 =

0

(

1

.2

7

)

の 時 .

{X

η

}

は

X

に 平 均 収 束 す る と い い .

l

.i.mXn

=

X

と書く. 定 理 1 .3.3 平 均 収 束 す れ ば 確 率 収 束 す る . 証明:任意、の1"

>

0に対し

EIXn

-XI

2

三

I

I

X

π _

XI

2

dP

JIXn-XI主ε 三 1"2

P(IX

π

-XI

三1").

(

1

.2

8

)

故に.

(

1

.2

2

)

が 成 り 立 つ .

I

次 に 法 則 収 束 の 定 義 を す る .

R

d_{上 の 連 続 関 数 で ， あ る 有 界 集 合 以 外 で は}

_O

_に な っ て い る も の の 全 体 を

₅

とする.定義

1

.

1

.

2

に従い

_Xn

の 分 布 を

PXn

としよう. 定 義 1 .3.4(法目IJ収 束 ) 任 意 の

fε5

に対し lim

I

f(z)dPxn(z)

ニ

I

f(z)dPx(z)

(

1

.

2

9

)

π→ ∞JRd JRd が 成 り 立 つ 時 .

{X

_n}

は

X

に法目JI収 束 す る と い い .

Xn~X と書く.

法 則 収 束 は 分 布 の 収 束 を 問 題 に し て い る の で ， 異 な っ た 確 率 空 間 上 で 定 義 さ れ て い る 確 率 変 数 間 で も 定 義 で き る . ま た

.X

を 表 に 出 さ な く と も よ く .

f

9

JIえば X が 正 規 分 布 lこ従うときは .

{X

π

}

は 正 規 分 布 に 法 則 収 束 す る と い う . 各 zζ

R

dに 対 し

ゆX(z)

=

E(e

i'

zX)

(

1

.

30 ) と置く .ttxは 法 則 収 束 を 調 べ る た め に 導 入 さ れ た も の で

X

の 特 性 関 数 と 呼 ば

-8-れ る . 次 の 定 理 は よ く 知lられている 証明は仰￨えば鶴見(1964，p.85). 定f型1.

3

.4 (GlivenkoのJ.i:'I'

U

)

符z

ι R

d に丸_i

し

ゅ

x

.

{

z

)

ー→ゆ

x(

z

)

な らば

，

X

花王→

X. こ の 時 ， 次 の 事 がIJXり立つ 定 煙 1 .3.5 確 率 収 束 す れ ば 法 則 収 束 す る 組 時 ま ず

LdMM)=

訓 川 )

咽E

)

i Q 屯 υ 噌 E A

(

が 成 り 立 つ こ と に 注 意 す る .

(

1

.

31)は ，

_f

が 単 関 数 の 場 合 に は111リjであり ，

_f

ε

ジ

に 対 し て は ，

_f

に収束寸る単関数が存在するので， 般に!点，'，する

i

えっ C，

{X

，

，

}

が X に 確 率 収 束 す るH寺 lim

E

₍

_f

(X

n))

=

E

(

f

(X))

(

1

.

32) を 示 せ ば よ い .

_f

は ー 椋 連 続 で あ る か ら ， 任 意 の 正 >

0

に 対 し で あ る

5

(

E

)

_>

0

が 存在し，

I

z

-

y

l

_<

5

(

ε

)

な ら ば

If(z)-f(

ν

)

1

<

E. 一 方 ，

_f

は 有 界 で あ る か ら ， あ る

C>O

が 存 在 し て

I

f

(

z

)

1

<

c

，

z

ξ Rd

A

;

=

{IXn

-

X

I

>

5

(

E

)

}

と置くと

IE

(

f

(Xn)

一

f

(

X

)

)

1

三

llf(X

n(

ω

)) 一 削

壬

ι

L

げ

凶

f

引

仇

州

利(州

L

(

仇

f

引

(

何

_刻

X

問

_均

₍

仰

_い

川

_例

ω

_叫)

)

I

μ

d

d

臼

P

_町

削

_即

_刷

酌

₍

_い

川

_川

ω

_吋)+

l

ι

ム

l-A':

川

￨

げ

I

凶

引

f

f

σ

(

(

X

，

，

(

い

ω)

け

)

削 州 門 仲 刷

ω

叶)

壬

2cP(A;)

₊

EP(n -A;)

三

2cP(IX

π -

X

I

>

5

(

E

)

)

十

E

.

故iこ ， 十 分 大 き い

N

をとり， π

> N

と す れ ば

IE

(

f

(X

n)

)

-E

(

f

(

X

)

)

1

<

2

E

-9-定理1.

3

.

5

の 証 明 は 伊 藤 清 ( 1

9

5

2

)

に 依 っ た が 他 に も い く つ か の

1

う(l;が あ る ( 例 え ば

F

u

l

l

e

r

(1

9

7

6

， p.

1

9

5

)

統率収束子

J

I

の 関 数 に よ る 変 検

y

l

J

iこ閑

L.

次 の 定 理 が 成り立つ. 定 埋 1.3.6 d

oε N

とする .

f

をRd_{から Rdoへ の 述 続 関 数 と す る .{Xπ}} が

X

に 確 率 収 束 す れ ば .

{

t

(

X

n

)

}

は

f

(

X

)

，

こ 確 率 収 束 す る 証 明 : 任 意 の

6>0

に対して，ある

c>O

が 存 在 し

P(￨X￨>C/2)<;6

K =

{

z

E Rdj

I

z

l

S

c

}

とする.

f

は

KL

で ー 禄 連 続 で あ る か ら ， 任 意 の

f>

0

に対しある

6

(

正

)

>

0

(

c

j

2

三6

(

1

'

)

)

が 存 在 し

.lz-yl<6(

t)を満たす

z

，

y

ε Kに対し

I

f

(

z

)

-

f

(

ν

)

1

<

e. 仮 定 か ら あ る

N ε N

が存在し，任意の η

> N

に対し

P

(

I

X

n

-X

I

>

作

))<;6

放 に

.n>N

に対し

P

(

l

f

(

X

n

)

-f

(

X

)

1

>

1

'

)

S

P

(

l

f

(

X

n

)

-f

(

X

)

1

>

I

，

'

1

X

I壬

c

，

I

X

π

￨

三c

)

+

P

(

{

I

X

I

>

c

}

U

{

I

X

n

l

>

c

}

)

さ

P

(

I

X

冗 -

X

I

>

6

(

1

'

)

)

十

P

(

I

X

j

>

c

)

十

P

(

I

X

I

>

c

j

2

)

+

P

(

I

X

n

-X

I

>

c

j

2

)

<

6

.

•

次 の 定 理 は ， 確 率 収 束 と 法 則 収 束 の 混 合 型 で あ る . 定 理 1ふ

7 {X

π

}

がX に法即￨収束し ，

{Y

n}が あ る 定 数 Cに依;干1収 束 す る と 仮 定 す る . こ の 時

Xn

十 九 三

-

.

X

十

c

，

Xn

九三→

c

X

.

_- q o n︽リ 、 ‘ ， ， ， 唱_a i

(

さらに

clO

な ら ば

X

n

/

，

Y

π

三

-

>

X

/

ι

(

1

.

3

4

)

証 明 は ク ラ メ ル

(

1

9

7

3

，

~20.6) を参照. 1.

4

大 数 の 法 則 と 中 心 極 限 定 埋 伊 藤 清 ( 1

9

5

2

)

に 従 い ， 確 率 変 数 系 の 独 立 性 に つ い て 定 義 し よ う .X_i， 1，... ， nを そ れ ぞ れ di次 元 の 確 率 変 数 と す る . 定 義 1.4.1 任 意 の

E

i

εβR d• に女、!し，

P(X

1 E

E

1

，

.

.

.

，

X

n亡

Eπ)

二

I

I

P(X

_i

モ

E

_i)

(

1

.3

5

)

i=l が 成 立 す る 時 に

X

_i， ニ 1，・・ .，nは 独 立 と い っ . 定義1.

4

.

2

無限{国の確率変数系ii， そ の 任 意 の 有 限 個 が 独 立 の11与に独立という 独立確率変数の平日に関する収束，即ち/:..数の法

W

I

は ス イ ス の 数 学 者

Jacob

B

e

r

n

o

u

l

l

i

(

1654-1705)

， フ ラ ン ス の 数 学 者

P

o

i

s

s

o

n(

1

7

8

1

-

1

8

4

0

) の 研 究 に 源 を 発 す る . 次 の 定 理 は 大 数 の 弱 法 則 と し て 匁lられている 定 理 1 .4.1

(Khinchin

の 定 埋 )

X

i，

i

=

1

，

2

，・・・を独立同分布の

1

次 元 確 率 変 数 列 と す る .

Sn

=

"

L

X

i

(

1

.

3

6

)

と 置 く . こ の 時

一 一

n

(

1

.

3

7

)

証 明

X

1の 分 散 を σ2とすると，各社に士、jして

S

n

-E(Sn)

E

(

一一一一一)=0

，

n

S

π -

E(Sn)

σ2

V

(

一一一一一)二一.

π π

(

1

.

3

8

)

(1.

3

9

)

1

1

従って，任昔、の

e>

0に 対 し と

Sn

~

E

(

S

n

)

"

¥

~ 1 D，

S

n

-E

(

S

n

)

'

2

P

(

ト一一一一一日

_n

e

)三τ

E

I

一一一一一￨

ε“ n 2 σ ne2 放に，

S

n

-E(Sn)

lim

P

(

I

-

n

-

¥

-

>

<

'

1

三E)

= O. n→∞ π

•

定f!U1.4.1よりも Jと 強 い ， い わ ゆ る 大 数 の 強 法 f!l)が 成 立 す る . 定 f里1.4.2 (Kolmogorovの 定 理 )Xi， i = 1，2，・司・を1次JC独 立 確 率 変 数 列 で .

L

2

(

O

，

s

，

P

)

のJしとするー

{

V

(

X

n)}か 有 界 な ら ば (1.40 ) 証 明 は 伊 藤 清 (1990，p.200 )にある. 大 数 の 法 則 はη 個 の 独 立 確 率 変 数 の 和 を そ の 個 数η で 割 っ た 平 均 の 収 束 を 論 じ た も の で あ っ た . も う 少 し 小 さ い

v

n

で 割 っ た 時 にi1:規分布に法則収束する問題 を 扱 う の が 中 心 極 限 定 煙 で .Gauss， Laplace ( 1749-1827 ) に よ っ て 最 初 に 研 究 さ れた. この

i

i

f

里 は ， あ る 条 件 の ド で 独 立 確 不 変 数 の 和 の 分 布 が 近 似 的 lこ正規分布 に 従 う こ と を 保

.

i

i

l

しているのご， ，

¥

1

量 経 済 等lこ於ける!日

l

対

h

程式の誤差工員(独立 した要岡のキ[1か ら 成 る と 考 え ら れ る ) に 正 規 分 布 を ( 反 定 ず る 一 つ の 根 拠 に も な っ ている. 定理1.4.3( 中 心 極 限 定f'l')

X

i， iニ 1，2γ ーを、FJ勾μ，分散σ2の 独 立 同 分 布 の1次 元 制 変 数 ダ)1とする

Sn

を(1.36)に 上 っ て 定 義 す る この時.

{わ子}

は ， 平 均

o

. 分 散 1の

1

1

:

tJ，!分イfjに 法 則 収 束 す る .

••

1

1 ' ノ ι ι r_卜 L 一 三 目 Zπ

一生コ

一

J

L

)

σ

、

π

=

土

xJ

-σ

、

π (1.41)

と置くと，独な↑

1

'

ーの仮定より

九

(

z

)

工

立

恥

p

{

i

z

(

さ

矛

)

}

)

=(Eexp{iz

洋 子

)}t

σ

、

n (1.

4

2

)

4 h u

E

(

e

x

p

{

i

z

(

主主)})

=

1

三

十

o

(

三

)

σ

、

n ，(，叫 n (1.

43 )

故 に 九

) )

♂

一

π

(

。

+

2 一

π

z

-9

“ ' ' A

(

一 一 z

(

n Z A V 従って，

l

i

m

<

P

zJz)

二 位

P{?}

( 1.

4

4

)

(1.

44

) の む

i

l

l

i

土、ド均

O.

分 散

1

の

i

上

k

.h!分布の特性関数であるから.

G

l

i

v

e

n

k

o

の 定f1J!より定埋1.

4

.

3

は 成 立 す る .

I

1

3

1.5 定 常 過 程 と Woldの定J'J!

(

O

，

s

，

P

)

をある篠$':空間 ，

T

を 実 数

R

の 任 意 の 部 分 集 合 と す る

.T

を 時 間 領 域 と 考 え ， 各 t

ε T

に士、jして ，

X

(

t

)

が

d

次元の確率変数である日寺に，

x =

(

X

(

t

)

j

t

ε

T)

を

d

次 元 の 確 率 過 程 と い う . こ の よ う に 定 義 さ れ た 確 率 過 程 は ， 時 間 と と も に 不 規 則 ￨ 変 動 す る 現 象 を 数 学 的 に 表 現 し た 概 念 と 考 え る こ と が で き る .

T = R

または区間の時に，

x

は 連 続 型 と 呼 ば れ ， 離 散 集 合 の 時 に 離 散 型 と 呼 ば れる. さ て ， 本 書 をJ重 し て 最 も 重 要 な 慨 念 で あ る 定 常 性 の 定 義 を し よ う 各 t

ε

T'

こ 対し .

X

(

t

)

ε

L

2

_(O

_，

_s

_，

_P

₎

_{を仮定する.} 定義1.5.1( 弱 定 常 性 )

x

=

(

X

(

t

)

j

t

モ

T

)

が 次 の

(

i

)

，

(

u

)

を 満 た す 時 に 弱 定 常 過 程 と い う .

(

i

)

任 意 の

t

ι T

に対し .

X

(

t

)

の 平 均 が

t

に 無 関 係 な 値 で あ る .

R

f

l

ち

E

(

X

(

t

)

)

=

μ

，

t

ξ

T

.

(

1

.

45 )

(

u

)

任 意 の

t

，

s

ε T

に対し ，

X

(

t

)

と

X(8)

の 共 分 散

R

(

t

，

s

)

が tとsの 時 間 差

t

-s

だ け に よ っ て 定 ま る 量 で あ る . こ れ を

R

(

t-s

)

と置くと

E

[

(

X

(

t

)

μ)

t

(

X

(

s

)

μ

)

]

=

R

(

t

，

s

)

=

R

(

t

-

8

)

.

(

1

.

46)

R

を

X

の 臼 己 共 分 散 関 数 と い う が ， 本 書 で は 単 に 共 分 散 関 数 と い う こ と に す る 定 義 か ら す ぐ わ か る よ う に ， 共 分 散 関 数

{

R

(

t-s

)

，

t

，

s

ε

T}

に 対 し て ， 次 の 事 が 成 り 立 つ .

(

R

.

l

)

、j士称

t

主，

tR(t-s)=R(s-t)

，

(

R

.

2

)

i

E

定

M

:

t

lJ:

T

の 任 意 の 元

t

1，・・.，

t

n1任 意 のal，・・

1απεR

dに 対 し て

L

t

a

j

R

(

t

j

ω

a

k三

0 逆に.

{

R

(

t

-

s

)

，

t

，

s

ι

T

}

が

(

R

.

l

)

，

(

R

.

2

)

の 性 質 を 持 つ と し よ う . こ の 時 ， 次 の 定 聞 が 成 立 す る . 定 時 1.

5

.

1

{

R

(

t

-

8

)

，

t

，

s

ξ

T}

を 共 分 散 関 数 に 持 つ が ウ ス 型 定 常 過 程 が 存 干主する.

-14-証 明 はj71/え ば ， 国 間 (1976，p.28). なお，法本的な的・4-;過程として9:11られる プJウ ス 過 程 は 以 下 の よ う に 定 義 さ れ る

X

(

t

}

ニ

t(X

1

(

t

)

γ・'，

Xd

(

t

)

)

とする. 定 義 1 .5.2 確 率 変 数 系

{

X

i

(

t

}

;

iニ 1，.・.，

d

，

t

ξ

T}

の 任 意 の 有 限 個 の 一 次 結 合 が ， ガ ウ ス 分 布 に 従 う 時 ，

X

を ガ ウ ス 過 程 と い う . 特 に 弱 定 常 ↑ 生 を 持 つ 時 に ， カ ウ ス 型 定 常 過 程 と 呼 ば れ る . 我 々 の 目 的 は 不 規 則 現 象 の 解 析 で あ る が ， そ の た め に は な ん ら か の 数 学 的 法 目1/ 性 を 前 提 に し な け れ ば な ら な い . そ の 数 学 的 法 目/1↑

4

'

が 弱 定 常 性 で ， 時 間 を ず ら し て も 共 分 散 が 変 わ ら な い と い う 緩 や か な 仮 定 で あ る . 次 に ， よ り 強 い 概 念 で あ る 強 定 常 性 を 定 義 し よ う . 定 義 1 .5.3 ( 強 定 常 性 ) πを 任 意 の 自 然 数 と す る

.T

に 属 す る 任 意 の ん

t

1γ・.，

t

n を 任 意 に

h ε R

ず ら し ，

t

1

+

h

，'・.，

t

n

+

h

ε T

な ら ば ，

X(t

1十

h

)

，...，

X

(

t

n+

h}

の 分 布 が

h

に依存しない時に，

X

を 強 定 常 過 程 と い う . 定 義 か ら 明 か な よ う に ， 強 定 常 過 程 で あ れ ば 弱 定 常 過 紅 で あ る .

Z

を 整 数 全 体 と す る

. T

を

Z

の 部 分 集 合 と し ， 本 書 で し ば し ば 利 用 さ れ る 定 常 過 程 の 例 を あ げ よ う . 伊/ 1.

5

.

1

X

=

(

X

(

π);πε

T

}

を

R

を 共 分 散 関 数 に 持 つ

d

次 元 の 確 率 過 程 と する.π，m

ε T

に 対 し

n = m

(

1

.

47)

n # m

の

W

f

'

，こ，

X

は 平 均μ共 分 散

2

を 持 つ ホ ワ イ ト ノ イ ズ と い う ー 次 に ， Chaoticな 変 換 と し て 知 ら れ る ，

2

つ の 変 換 を 紹 介 し よ う . 例 1.

5

.

2

ctzを

[

0

，

1

]

上 の ロ ジ ス テ ィ ッ ク 変 換 と す る .Jl

l

l

ち

。

I

(

Z

}

=

4

z

(

1

-z

}

.

(

1

.

48)

。

tは

P

z

(

d

z

}

=

二一

dz

宵

yz(l-z

)

(1.

4

9

)

を 唯 一 つ の 不 変 測 度 に 持 つ Kolmogorov変 換 で あ る (Mori=So=use(1981)} . 任 意 の η

モ

N

，こ対し πhmes

"..-"ーーーーヘ

日

(

z

)

=

ゆ

(

I

O

"

'

O

C

T

I

)

(

Z

)

(

唱EA z d

) nu

-1

5