= 作

4.2 Granger因 果 性 の 理 論 的 同 値 性

与 え ら れ た モ デ ル の 枠 組 み の 中 で ， Granger因 果 性 ， あ る い は 瞬 間 的 因 果 性 の 理 論 的 な 同 値 性 がGranger(1969)，Sims(1972)， Pierce=Haugh(1977)等 に よ り 研 究 さ れ た . 本 書 で は ， 独 自 に 因 果 性 の 理 論 を 展 開 す る が ， ，夜史的な研究の経過を ふ ま え ， こ れ ま で の 研 究 結 果 を 紹 介 す る こ と に す る .

d₁ 

= 

d₂ 

= 

1として 2変 量 の 弱 定 常 過 程X，Yを 考 え ， 観 測 可 能 な 集 合 は X， Yか ら 構 成 さ れ る と も の と す る .~4.1 の仮定に加え，

z  ε 

納品

︑ ︑

ta F/

π π   X Y  

d〆 ︐

'E E︑ ︑ ︑

Z  π 

一 一

( 4.7)  は ， 平 均0で 決 定 的 な 部 分 を 持 た な い ， 一 次 独 立 な 2次 元 の 弱 定 常 過 程 と す る . Woldの 定 理 か ら

Z (

π)は

) 

o o

  at  

‑ ‑

︑

︑ ︑

︑

12 tF /

) )   π π   ( (   α ' o  

/

︐

︐

EE

と 置 く . 次 の 定HH(Granger(1969))は よ く 知 ら れ て い る . GC 

定 理4.2.1Y

許 →

X の 必 要 十 分 条 件 は ， 以 下 の と れ か が 成 立 す る こ と で あ る .

(1)争

u( B )

= O.  (2)曽12(B)= O. 

次に， X，Y を そ れ ぞ れ 単 独 に Wold分 解 し

( 5 j ; J ) = ( ヤ ) J B ) ) ( 2 3 )

^(4.15 ) 

と置く.(4.8)と 同 じ よ う に ，F(z)， G(z)は

z

ε Cの多項式で，

I z l 壬

1で

F(z) 

# 

0， G(z)

チ

0としよう ま た，F‑¹(z)， G‑¹(z)， 

I z l     : s

^1が

z

の 巾 級 数 に 展 開 さ れ る と す る . こ の 時

と置けば，

( : ; : ( ; ; ; ; お ) = ( F l ( z ) Gh z ) )  

×

( ; ; : j ; ; ; ; ; ( : ; )   ( 幻 ) = ( : ; : ( i J : ; ね) _(~ロ)

GC 

(4.16) 

( 4.17)  の 関 係 が 成 立 し て い る . 定 理4.2.1以 外 の Y f

→

Xの 必 要 十 分 条 件 を 求 め よ う . 包(π)， πεZ の張る空間を M~∞(包)とする.この時

PM二 川(π)

=乞

λiu(πj)

} = 白3

=λ

( B ) u (

π)  ( 4.18)  であれば，

旬(π)二 λ

( B )

也(η)

+ 

f(π)  (4.19) 

と 表 現 で き る . 定 義 か ら

f (

π)は包

( m )

，m 

εz

と 直 交 す る . 同 様 に し て

包(π)=ω(B)匂(π)十g(π).  ( 4.20) 

こ こ でg(π)はψ

( m )

，m 

εz

と 直 交 し て い る .(4.15)， (4.19)から

Y(π) =G(B)旬(π)= G(B)λ(B)F‑¹(B)X(n) 

+ 

G(B)f(π) 

=V(B)X(n) 

+ 

h(π).  (4.21) 

f (

^π)が包

(m)

，m 

εz

と 直 交 す る こ と か ら ，

h (

π)は

X(m)

，m 

εz

と直交する.

V(z) 

=  L  ^{V j}

^{zi  ( 4.22)} 

} = 臼3

163 

とおき，也(π)，

n

εZとψ

(m)

，εzの 交 差 相 関 関 数 を

E(包π ‑(

k ) v (

π)) 

ρ

( k )  

= 

JEu(π)2E暫(π)2

と定義する.この時， Pierce二 Haugh(1977)は 次 の 定 理 を 得 て い る . GC 

(4.23 ) 

定 煙4.2.2 Y

非→ x

の 必 要 十 分 条 件 は ， 以 下 の ど れ か が 成 立 す る こ と で あ る .

( 1 )  

e12(B) = O. 

(2)

巧 =

0

， 

j 

< 

O. 

( 3 )  p ( k )  

= 0

，  k  < 

0 

(2)はSims(1972)によって示され， (2)が成り立つ時， (4.21)は 分 布 ラ グ モ デ ル と 呼 ば れ る .

GC 

次 節 で 紹 介 す る が ， Y

非→

X の検証法は， Granger自 身 に よ っ て 得 ら れ た 定 煙4.2.1(2)に関する検定が最有力で， X，Y が 多 変 重 の 場 合 も 容 易 に 拡 張 で き る . 即 ち dt， ゐ 三 1の時， (4.12)を

( d

₁+ ゐ ) 次 元 の 万 程 式 と 考 え る こ と が で き る . こ の 時 i，j二 1，2に 対 し て ， 守ij

( z )

は め xdj‑行 列 多 項 式 ，'l1

( z )

は ブ ロ ソ ク 行 列 多 項 式 で あ る . こ の 時 2次 元 の 場 合 と 同 様 に ， 次 の 定 理 が 成 り 立 つ .

GC 

定 理4.2.3 Y

井→

X の 必 要 十 分 条 件 は ，'l1n(

B)

= 0である.

さらに， d1 

> 

2の時， Xの 成 分 間 の 因 果 関 係 をXの 枠 組 み の 中 で 考 え る こ と が で き る .(4.12)と同じく

雪

(B)X(

π)ニ α(π)

，

πεz  ( 4.24)  /  ¥  /守

l l ( B )

・・・ 曽ld，

( B )¥ 

( X1(^{冗 ) ¥}

I

，;r J.J.~:(

. ; r . J

^G1

i : (   ¥ 

(  " ' ¥ ' " '   ¥  I 

'l1₂₁

(B) 

・・・ 曹 叫

(B) I 

X( π )   = 

I  1，唾

( B ) = 

I  ^(4.25 ) 

¥X

_¥ d

， (

π) / _/  ¥ _{¥  d}.T. _，

_l

I 

_{( B}

D ¥ 

_{)   .}

_・・ . T . '  _曽d，d，

₍

I 

_B

D ¥ 

_{)  /}  J 

と置く. ここで ，a(π)， nεzはd1次 元 の ホ ワ イ ト ノ イ ス と す る .(4.14)と同 様 に 雪(0)= 電(z)lz=o= 1と 仮 定 し よ う . 次 の 定 理 を 得 る .

GC 

定 理4.2.4 i， j二 1，・・.， d₁，子生jとする.XJ

件 → X

_iの必要十分条件は，

'l1_ij

( B )  

= 0  ( 4.26)  である.

さ て ， 瞬 間 的 肉 果 性 の 同 値 条 件 を 示 そ う . 本 節 の 最 初 の 仮 定 に 戻 り ， d₁ 

= 

d2 

= 

1  の2変 量 の 場 合 を 考 え る . 簡 明 さ の た め に (4.13)，(4.14)を 仮 定 し た が ， 瞬 間 的 因 果 関 係 に つ い て は ， そ れ ら の 仮 定 が 定 慢 の 成 立 条 件 に 直 接 絡 む の で ， (4.13)， (4.14)  の 仮 定 を は ず し て い ま ま で の 議 論 を 展 開 す る . こ の 時 ， Pierce=Haughに よ っ て 次 の 結 果 が 得 ら れ て い る .

‑164 ‑

定 埋4.2.5 Yー→X または Xー→GIC Y で あ る 必 要 十 分 条 件 は ， 以 下 の ど れ か が 成 立 す る こ と で あ る .

(1)ρ(0)

手O

.

(2)λ(0) =λ(z)lz=o

手

O. (3)ω(0) =ω(z)lz=o 

# 

O. 

(4)少 な く と も cov(α

( n )

，

b (

π) )，世12(0)= 嘗12(z)lz=o， 'lt21(0)ニ 雪 2 l(z)lz=oの一 つは Oではない.

4.3 Granger因 果 性 の 実 証 方 法

与 え ら れ た デ タから Granger因果性の有無を確認する方法は， Granger， Sims  を は じ め こ れ ま で に 多 く の 研 究 が な さ れ て い る . そ れ ら の う ち の い く つ か は ， 山 本(1987)に 詳 し く 紹 介 さ れ て い る . 本 節 で は 代 表 的 な 方 法 を 紹 介 す る こ と に す る . Caines=Keng=Sethi( 1981)の 方 法 以 外 は ， い ず れ も

d

₁

=ゐ =

1の2変 量 を 対 象 と し て い る .

[ Grangerの 方 法 1(4.12)で 電

( z )

がp次 の 行 列 多 項 式 と す る . 即 ち ，

曽(z)

=  L 

^{'lt(j)zj  ( 4.27)} 

とする. この時 ，

Z (

η) ，

πεz

はAR(p)モ デ ル で X(π)=

乞叱

)X(π‑

j )  

j=l  (4.28) 

L  'lt~j2)Y(冗 -j)+ α(π)

G C  

とおける そこで，

Y 手 → X

の検証のために，

帰 無 仮 説

(H

o):任意の

jε{1

，...，p}で''lt

W =  0 

(4.29) 

対 立 仮 説(H

r )

:ある j

ε{1

，...  ，p}で 叱 ) 手

o

(4.30) 

を 検 定 し な け れ ば な ら な い . そ の 方 法 と し て は ， 計 量 経 済 学 で の 多 重 回 帰 モ デ ル 分 析 と お な じ よ う に F‑検 定 を 適 用 す る . 実 際 の 手 順 は 以 下 の 通 り で あ る .N+1個 のデ タ が 与 え ら れ た と し よ う まず帰無仮説のもとで， (4.28)の 係 数 叫1)(j=

1，・・・ ，p)を 最 小 二 乗 法 に よ り 推 定 す る . こ れ よ り

X (

冗)の推定値を得る .

X (

π) 

と推定値との差(推定誤差)の2乗 の 総 和 をLSEoと す る . 次 に ， 対 立 仮 説 の も と で ，(4.28)の 係 数 叫i)ιii)(j=I，

J)

を 通 常 の 最 小 二 乗 法 に よ り 推 定 し ，

X (

η)の 推 定 誤 差 の2乗 の 総 和 を LSS₁とする.

巴笠

ι

笠主

i

F 

一 一

^‑̲P‑_LSS

一

_， 

一 一

(N+1‑2p) 

‑165 ‑

(4.31 ) 

と 置 き ， 自 由 度 (p，N+I‑2p)の

F ‑

検定を行う.この方法は， Sarjent( 1976)によ り ， 失 業 率 と 通 貨 供 給 量 等 の 因 果 関 係 の 分 析 の た め に 導 入 さ れ た も の で あ る . 多 変 重 の 場 合 も 適 用 可 能 で ， (4.29)， (4.30)の 検 定 は Fの 臼 由 度 を 訂 正 す る だ け で 全 く お な じ 手 順 で で き る .

F‑検 定 は ， 多 重 回 帰 モ デ ル で の 目 的 関 数 ( こ こ で は X(π)) の 変 動 を 説 明 変 数 (ここでは

X(m)

，

Y(m)

， m

三世 1 )

の 変 動 で 説 明 が つ く か ど う か を 見 る た め に 導 入 さ れ た も の で ， 帰 無 仮 説 の 棄 却 に 重 点 、 を お い て い る . 多 重 回 帰 モ デ ル 解 析 で は，fjf.定された回帰係数が t検 定 で 有 意 で な く て も ，F‑検 定 で は 有 意 で あ る 場 合 も 十 分 生 じ る こ と が 知 ら れ て い て ， 実 際 的 な 適 用 の 観 点 か ら は ， 回 帰 式 の 有 意 性 に関する F‑検 定 に は 限 界 が あ る こ と が 指 摘 さ れ て い る ( ピ ン デ イ ^yク=ルピンフェ ルド(1976，p.  70) .従って， Grangerの方法でも， (4.31)で 定 義 さ れ たFが，自 由度 (p，N 

+ 

1 ‑2p)のF分 布 に 従 う か ど う か の 問 題 も 含 め ， 多 重 回 帰 モ デ ル 解 析 と同じ問題点、は残る.

[ Simsの 方 法

l

定 理4.2.2(2)から， Y

許

GC 

→

Xの 必 要 十 分 条 件 は

Y(π) =V(B)X(π) 

+ 

h(π) 

=乞巧 X(

πー

j ) +  h ( 冗 )

( 4.32) 

と表現され，

E(X(

π

) h ( m ) )   = 

0

，  n ， 

m εz  ( 4.33)  が 成 立 す る こ と で あ る .

( 4.27)と 同 じ よ う に .V(z)がzに 関 す る 有 限 次 の 多 項 式 で あ る と 仮 定 し よ う .

R n

^ち，

n z n

十  

π  X 

子 午

弘 ︐

一 一

π 

Y 

( 4.34)  i=O 

と 置 く ー そ し て (4.34)が 成 立 し て い る か ど う か の 確 認 の た め に ， 基 本 的 に は Grangerの 方 法 と 同 じ く ， 回 帰 分 析 に 帰 着 さ せ る . す で に 指 摘 し た よ う に ， 任 意 のη，m εzで .

h (

π)と

X(m)

は 直 交 し て い る が .

h (

π

  ， ) n

εz自 身 は 系 列 相 関 の 可 能 性 が あ る .Simsは ， 米 国 の マ ネ ー サ プ ラ イ と GNP(1947‑1969の 四 半 期 デ タ ) の 因 果 分 析 に あ た り ， あ ら か じ め デ タ を 変 換 す る こ と に よ り こ の 問 題 を 処 理 し よ う と し た . 具 体 的 に は

T(z) 

=(1 ‑

0.75z)2 = 1 ‑L5z 

+ 

0.525z2

， 

(4.35) 

x ・

(n)=T(B)X(n)

， 

(4.36) 

Y ・

(π)=T(B)Y(π (4.37)   

と 定 義 し ， 変 換 さ れ たX

・ ( n )

，

Y ・

(π)，πεzが M1 

y

・

π)=(

芝町 γ (n‑

j) 

+  h * ( n )  

( 4.38) 

‑166 ‑

を 満 足 し ， し か も

h . (

π)εZが ホ ワ イ ト ノ イ ズ に な る こ と を 主 張 し て い る . こ の 主 張 が 正 し け れ ば ， Grangerの 方 法 と 基 本 的iこ は 同 じ よ う に 回 帰 分 析 に 帰 着 で き る . 即 ち ， 適 当 な

M

2

> 

0を選び，

(4.39) 

n 

L叫十

. 僧

π  ︐

X  K ︐ 

肌 苧

γ ε

μ

品

J 

Y.(π)= 

( 4

. 4

0)  (4

. 4

1 )  を 帰 無 仮 説(Ho):任意のj

ε{1

， ・ .. ，M2}で 円 =0

対 立 仮 説

(H

1):ある

jε{1γ

・・

，

M2}

で巧 #0

と し て 検 定 す る .

この方法では， 3つ の 問 題 点 が あ る .

( 1 )

す で に 指 摘 し た よ う に ，

(2)  Ml， M2を ど う 選 ぶ か .Simsの 例 で はM1= 4， M2 = 8で あ っ た . (3)変 換

T(B)

に よ っ て 系 列 相 関 の 問 題 が 解 消 で き る か .

以 上 で あ る . そ し て ， Feige=Pearce(1979)を は じ め ， 問 題 点(2)，(3)を 指 摘 し た 論 文 は 多 い . 一 方 で は ， こ れ ま で に 数 多 く の 類 似 し た 論 文 が 出 版 さ れ て い る .

回 帰 分 析 自 体 が 持 つ 問 題 .

こ の 方 法 は Grangerの 方 法 と Simsの 方 法 の 折 衷 案 と

Grangerの方法と同じく， (4.27)を 仮 定 し て 話 を 進 め る . + 4 ︒

仲T

h弘 一 ポ

分十要必

11・ る︐ 主 あ じ 一 如

T X

の⁝ い

ω h

h

き

Y

U即べ

ハ け 岬

も こ

( 4

. 4

2) 

( 4

. 4

3) 

X(

π)=‑

L ^{略 ) X (}

^π‑

^{j )   +  a ( n )}  

Y(

π)=

一乞雪釘 X(

π‑j) 

一乞古宮

Y(n‑j)+b(π)

である.電

( z ) 手

0，

I z l三1

で あ る こ と を 仮 定 す れ ば ，

X( π )

， 

Y( π )

は

a(m)

，

b ( m )

，  m壬 況 の 一 次 結 合 で 表 さ れ る の で ，

b (

旬)は

X(m)

，

Y(m)

，壬π 1と直交するが，

必 ず し も

X(m)

，m 

2 :

πと は 直 交 し な い . そ こ で ， 一 般 に は Cov.(a(吋，

b (  n ) )  

=  σ d

手

Oであるから， Cov.(α(

n )

， 

a ( n ) )   = 

^tTq.q.と し て ， 直 交 行 列 Cを，

ー ん ご

f' a' E1︑

C 

( 4

. 4

4) 

( 4

. 4

5) 

︑ _l

l /

︑ . ︐ ︐

︑ . ︐ ︐

冗 句

︐s・ ・ ︑ ︐ ︐

. .   ︑

X Y  

/I 11 _︑

C 

‑167 

と定義し， (4

. 4

2)， (4必 ) か ら

(4.46 )  適 当 な 'Yj，j 

= 

0，・・・ ，pを丹j，、て，

Y(

π)=一

2 :

^'Y

^jX(

^π←

^{j )}  

‑ 2 : ' l ! 弘

ly(πj)

+ 

bc(n

  ， ) b c (

π)= 

主 土

α(η)

+  b (

π) 

σaa  を 求 め て 整 型 す る と ，

( 4.47)  この時，

と 表 現 で き る .

(4.48 )  πヲi=m

E(b(π

) a ( m ) )   = 

0

， 

(4.49 )  π

，

m εz. 

E(b

c (

π

) a ( m ) )  

= 0

， 

であるから，

( 4.50)  適 当 な M を 選 ひ

π 

c 

' o  

+ 

J内HM

九 円 九

X 町

小 リ

υ

没

︑

dM

叫

P E

7 Z

M  

GC 

結局， Y

升 →

Xの検証のために，

Y ( n )  

= 

(4.51 )  の モ デ ル に つ い て

帰 無 仮 説(Ho): 任 意 のjε{1γ・ .

，

p}で 'Yj = 0 

の 検 定 を 行 う . 後 の 手 順 は Grangerの 方 法 と お な じ で あ る .

こ の 方 法 で は 系 列 相 聞 の 問 題 は 生 じ な い が ， Grangerや Simsの 方 法 と 同 じ よ う に ， 回 帰 分 析 の 信 頼 性 ，M を ど の よ う に 選 択 す る か と い う 問 題 が 残 る .

[ Piarce=Haughの 方 法

1

X，Y聞 に 因 果 関 係 が な い の を 検 証 す る 検 定 で あ る .

X

，

Y

が ， そ れ ぞ れ

1

変 量 の

ARMA

モ デ ル に 従 う と 仮 定 し ，

れ て

そ れ ら が 変 形 さ

( 4.52)  (f(B

川 引

G

・ ^(B)Y(

π)=ψ(η)

と 表 現 さ れ た と し よ う . こ こ で ， 也

( n )

，πεz，旬π(

， )

πεzは そ れ ぞ れ ホ ワ イ ト ノ イ ズ と す る . 次 にBox=Je此msの 方 法 に よ り (4.52)を 推 定 し ，

F*( z )

， G^皐

( z )

を そ れ ぞ れ F

・ ( z )

，G

・ ( z )

の 推 定 と す る . そ し て

( 4.53) 

(

ドキュメント内 経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用 (ページ 170-176)