( ケ

/兵訂可

十 l

品ふふ一副}存~)子戸 J才~)トトいいい (σ何仰附叫 Z判仰刷併ん山(伴例件 h 山 h刈件h 川)ト川げ一 -

^Jμ

^〆

^LZz

ふ

^{)トトトいい叫川山川+(巾刷(π}

^吋)ハ…

^{作川 πド山=斗}

…

¹

^N 

‑106 ‑

が

i

専られる.

中 川 ) (ケム ^{J 7 + ( 川 )}

( 寸 ^{V R : ( O ) ‑ ， )}

/伊石o)

0  ¥ 

O<k<πく N

(3.31 ) 

v~(π)

⁼ 

I 

一 一 一

I

V+(π)， 

n 

= 0，・・ ， N  (3.32) 

¥ o   ， /   R J d ( O )  / 

と 置 い て ， デ タ

Z

自 身 に 対 し て 次 の 定 義 を す る .

定 義 3.2.2 b!(n

， 

k)j 0 ~ k <π

壬

N}

， v !   = 

(ν!(π)j 0

三

π

壬

N)を それぞれ， デ タ

Z

に 付 随 し た 前 向 き の

K M

₂

0

ーランジュ川ンテ タ，前向き の

K M

₂0‑ラ ン ジ ュ パ ン 力 と い う .(3.30)は ， デ ← タ Zに 付 随 し た 前 向 き の 標 本

K M

₂0‑ラ ン ン ユ パ ン 方 程 式 と 呼 ば れ る .

多 次 元 の デ タ 解 析 で は ， そ れ ぞ れ の 変 量 の 単 位 ， 尺 度 等 が 異 な る た め に ， 標 準 化 さ れ た デ ‑7  Xを利用するのが自然で， (3.22)に よ る 定 義 は そ の た め の も の で あ る . 定 義3.2.2はデータ Z自 身 を 解 析 す る た め に 利 用 さ れ る . な お ， 定 義 3.2.1と 定 義3.2.2で は そ れ ぞ れ の 定 義 に " 前 向 き の " の 言 葉 が つ い て い る が ， 今 後

はデ タ 解 析 に 関 す る か ぎ り ， そ れ を 省 略 す る .

さ て ， 生 の デ タ iこ は 増 加 す る 傾 向 を 持 つ な ど の 明 ら か に 弱 定 常 性 を 持 っ て い な い 思 わ れ る ケ ス が 存 在 し て い る . さ ら に は " 異 常 値 " を 含 ん で い る が た め に 弱 定 常 性 が 崩 れ る デ ー タ も 存 在 す る . デ ー タ 解 析 の 立 場 か ら は ， 異 常 値 を 含 むデ タ に む し ろ 興 味 を 持 つ . そ こ で ， デ ー タ に 種 々 の 変 僚 を 施 し ， 変 換 さ れ た デ タ が 弱 定 常 性 を 持 つ よ う に 工 夫 し ， 変 換 さ れ た デ タ に 弱 定 常 性 の 理 論 を 適 用する.

本 書 で 扱 う デ タ の 変 換 は 以 下 の と う り で あ る .

(i)階 差 標 本

K M

₂

0‑

ラ ン ジ ュ バ ン 方 程 式

ま ず 一 階 の 階 差 か ら 説 明 す る .

N+2

個 の d次 元 ベ ク ト ル

Z (

π)(‑1

壬

η

壬 N )

が 与 え ら れ た と し よ う . こ の 時 ， デ ー タ

Z=  ( Z ( n ) j

一1<丸三

N )

の 一 階 の 階 差 デ タ

Z=  Z ( n ) j  

0

壬

n

三 N )

は

Z (

π

)=Z(n)‑Z(

ηー1)，ね

=0

，'" ，

N 

(3.33)  と 定 義 さ れ る . 定 義3.1.1に従い ，Zの 標 本 平 均 ベ ク ト ルμZ 標 本 共 分 散 関 数R^Z

が 定 義 さ れ る .(3.22)と同織に ，Zを 標 準 化 し た デ ー タ 107 

え.= 

( . ‑ 1 : '

(π); 

0  S 

n

三 N )

は

;  i 

‑n u 

i

ー士

z u

︻

一

R

/F 'E BE BE E‑

‑1︑

) 

E 

︐ ︐   〆 ︐

a︑

一

u f

) 

ⁿL

r 

︐

t   

) 

n 

( 

Z

(   

町 ︑

kh EE EE_﹄

11/

;  i 

一白り

l i  

︻

τ z u

一

R

(3.34) 

と 定 義 さ れ ， そ れ に 伴 い ア ル ゴ リ ズ ム (1)ー(13)か ら デ タ4・のランジュバンテー タ{手

π ( +

^，

^{k ) ;}

⁰

^{壬 k<} π ^{壬 N}}

^{が 定 ま る .}

さ ら に (3.28)から Xの う ン ジ ユ バ ン 力

V+

二

( v + (

η);0

三

π

壬N)

が 定 義 さ れ ，Xの 標 本

K M

₂

0

ーランジュパン方程式は，

ド ^{( 0 )=v+(O)} 

(3.35) 

王 ( π ) =

^一

^{L = y +(n}

^， 

^{k ) X ( k )  + λ ( n )}

^，

^n=I

^， 

と tJ.る.

定 義 3.2.3

予 { +(n

，

k ) ;

0

壬 k< π ^{三 N}}

^，

^{v +}   =  ^{( v + (}   ; ) π

⁰

^壬 π ^{三 N )}

^{を そ れ ぞ}

れ， デ タ

Z

に 付 随 し た 標 準 化 さ れ た 一 階 階 差

K M

₂

0‑

ラ ン ジ ュ パ ン デ タ，標 準 化 さ れ た 一 階 階 差

K M

20‑ラ ン ジ ュ バ ン 力 と い う .(3.35)は，デ タZに 付 随 し た 標 準 化 さ れ た 一 階 階 差 標 本

K M

₂

0

ー ラ ン ジ ュ ハ ン 方 程 式 と 呼 ば れ る .

(3.30)を得たのと同様に， (3.35)から

Z

に 関 し て 次 の 方 程 式 が 成 り 立 つ . 

. 2 ( 0 ) ペヤふ ^)λ(0)

. 2 (π)J=‑zjfA( ^{川 )}

( 幅 二 ;

(  V R : ( O I  

(3.36) 

ふ) ^{( 2 ( . 1  ‑ pZI}  ふ ) ^{" + 1 π ) π =   1 ...N} 

‑108‑

従って， (3.31)， (3.32)と 全 く 同 様 に

h!(

九k); 0

壬ん <π 壬

N}，

v !  

( v . t (

π)j  0

壬

π

壬 N )

をf}}るこ士ができる

定 義 3.2.4

h ! ( π ， 

k); 0

三

k

<  n 三

N}

， v !  

= 

( v ; ( π ) ;  

0

三九三

N)を それぞれ， データ Zに 付 随 し た ￨稽￨格差KM20‑ラ ン ン ユ ハ ン テ J，  一階￨階 差KM₂0‑ラ ン ジ ュ パ ン 力 と い う .(3.36)は，テ タZに 付 随 し た 一 階 階 差 僚 本

KM₂0ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 と 呼 ば れ る .

二 階 以 上 の 階 差 も 帰 納 的 に 定 義 さ れ る.hε Nとし， N+1十h

I

回のd次元ベクト ルZ(π)_{(-h 壬 π~}

N )

が 与 え ら れ た と し よ う . デ タZ= (Z(π); 

‑h 壬

n

壬 N )

の 一 階 階 差 は ， 既 に 見 た よ う に

s1  Z (

π) 

=Z(

π) 

=Z(π) ‑Z(π 1)， nニ h十 1，・.， N  (3.37)  と 定 義 さ れ る が ，h階の￨瞥差は帰納的に

skZ(π) = sk‑1Z(π) 企k‑1Z(π 1 )  

会 ( ^州

^Z(π

^{ー い}

⁰

^{， ' " ，}

^N 

^同

と定義される(;)= 可 出 刊 二 項 係 数 で あ る

Box‑J enkinsの 方 法 は ， 数 階 の 階 差 を デ ー タ に 施 し て ， フ ィ ッ 卜 す る ARMAモ デ ル を 探 す わ け で あ る が ， 経 済 の デ タ は 経 済 学 上 の 意 味 か ら も 特 に 一 階 及 び 二 階 の 階 差 を と る こ と が 重 要 で ， 後 lこ 展 開 す る 定 常 性 の 議 論 と も 密 践 に 関 連 し て く る.なお，二階の階差I!~ち h=2 の時は

skZ(π) =Z(π) ‑2Z(π‑1) 

+ 

Z(π ‑2)， n = 0， . . . ， N.  (3.39)  言うまでもなく， h階 の 階 差 デ JskZ=(skZ(π); 0

壬

π

壬 N )

に対しでも，

一 階 の 時 と お な じ よ う に デ タ 処 理 を 施 し ， デ タ

Z

に 付 随 し た 標 準 化 さ れ た

h

階 標 本

K M

₂

0

ーランジュパン方程式や，データ

Z

に 付 随 し た

h

階 標 本

K M

₂

0

ーラン

ジ ュ パ ン 方 程 式 等 を 定 義 す る こ と が で き る .

(u)  非 線 形 標 本KM₂0‑ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式

N  + 

1個 の l次 元 デ タ

y (

π)(0

壬

n

壬 N)

に対し，

N 

< 一

冗< 一

向u

od   9u

一 一

 

明r

︑ ︑

BB

﹄ ︐ ︐ ノ

︑ ︑ _hyp

円

九円

π︑ ︐ VM

w

ハ

/' '' aE E

︑ ︑ ︑ 一 一

F 

π 

︐ ︐ . ︑

Z 

(3.40) 

と 置 い て ， 二 種 類 の2次元データ Z(2)

= 

(Z(π)(2);  0

三

π

壬 N)

，Z(3)ニ (Z(π)(3); 0

壬

π

壬

N)を 構 成 で き る .

y(

π) (0 ~ n

壬

N)，

Y(

π)2(0 ~ n

壬

N)，

Y(

π)3(0

壬

‑109 

π

三 N )

の 標 本 平 均 を そ れ ぞ れ ， μ1，μ2，μ3，標本際司f;仰江ーを白1，臼2，臼3と し よ う . I![Jち q= 1

，

2.3に)(.jし

y 

N

芝 山

1 一 +一

N μ 

_(3.41) 

1‑ 2 

μ 

π 

V

J 

N

乞 一

ー 一 山

α 

(3.42) 

以 下 p= 

2

ま た は

3

としよう..Z(p)の 標 準 化 さ れ た 傑 本

K M

₂

0‑

ラ ン シ ュ パ ンテ タ ， 標 本

K M

₂0ーランジユバン力を，

h~)( い )j

⁰

三 k<

π

: s ^N}

^， 

v~)

⁼ 

(庁)( π ) j  

0

壬π壬 N )

と す れ ば ，Z(p)の 標 本

K M

₂0ーランゾユハン方程式は， (3.30) 

より

( A G L 二 に ) ニ ( 3 1 : ) U 7 ) ^例

^(3.43) 

( ぷ l l ) = 2 ( t : ) 7 7 ) ( n A ) ( α J I J 1 ) ( 糾二二) + ( : l L ) u y ) ^{川 冗 二}

¹

^{， ' " ，}

^N 

(3.44) 

(P)/7YJ1(π

，  k )  

~)(π ， k) = 

I 

¥ 

1~11(π， k)

(p)( ‑¥ ‑

ν ( げ(川 :;'(π)=l‑l 

い 忠

^(π))

N 

<‑

托< 

'H  

< 一

AHV 

¥1 1' /'  

) )   ' n ' n  

R R  

( (  

句4骨必

)L)E  んげ 一ナ リド

吋 ︐ ︐

_(3.45 ) 

0<η < N   (3.46) 

と 置 け ば ，Z(p)の 標 本

K M

₂

0‑

ラ ン シ ュ パ ン 方 程 式 の 第 成分は，

"

t 

a az  

qd

μ 

 

' n  

a

︐ ︐ ︑

市J

前叫 ' 両

官A

L

川 町

﹂

印 い fv

ト

) 1 1

;

︒

ん げ rT

二︑

y

一 =

U π

司

4 h 町

一 一

一

一 一

唱A噌A

μ μ  

一 一

) )  

o n   y y  

〆E

BE EY

︑

_E

BE Et

ーデ(竺 h 勺

2(π

， k ) ( Y ( k ) P  

μp) 

"=0α2 

+ α 1 A ) ( π )

^{， n = 1，'"  ，N} 

‑110‑

定 義 3.2.5 p=2又はpニ 3とする.(3.47)を;)1一線形p型 標 本K M20ーランゾユ ぐ ン 方 程 式 と 高 う .

b~)(n ， k); 。三 k < 百三 N} ， uy) 二 (v~)( π);

0

壬

π

三 N)

は 標 準 化 さ れ た 非 線 形p型 標 本K M₂0‑ラ ン ン ユ パ ン デ タ， 1'1J力 と 言 う .

また

h

階 の 階 差 を と り ， 同 十 王 な テ ー タ 処

m

をして， ;1

: 1

線 形 標 本K M2

0

ーランゾ ュ パ ン 方 程 式 を 構 成 す る こ と が で き る .h 

= 

1の 時 を 説 明 し よ う N 

+ 

1個の 1次 元 デ タ

y (

π)(‑1 

s : :

π

三 N )

が 与 え ら れ た と し よ う . ‑1皆 階 差 の デ タ

y  =  ( y (

π); 0

壬丸三 N )

は，

y(

π) = 

y(

π) ‑

y(

πー 1)， η =  0，・・・ ，N  (3.48)  で 与 え ら れ る .

z ( p )  

= 

(z(

π

) ( p ) ;  

0 

: S :  

n

三 N )

^は， (3.40)と 同 じ よ う に 定 義 さ れ

y ，

^{こ関して，}

(3.4 7)と同じように，

) 

A日必宝

内υ

a︐ ︐

t︑

) 

' L  

‑ HP '

 

︑ ︐ ︐ ︐

EM  

(  ‑

Y  

( ) 

' 白

π 

( 

I 

︐

︑ 7 1

)

;  

印V J ゲ ド

ぺ ︐

1 1

︑

do hu +

こう一=

‑U π

司

4 h

‑ 町 一 一一 一一 1 1   μ '‑ up   一 一

) )  

n u n  

‑ M

‑ K  

〆'

EE

r

︑

E

︐

_O

BE Et

ヲ : ( 2 1 ) ^予

^TJ2(π

， k ) ( y ( k) p ん)

k=O u2 

+aA)(π)， π= 1，・ ，N

を 得 る こ と が で き る . こ こ で q= 1，2，3に対し N 

戸 q 二社 TP(η

)q

，

N 

aq 

= ( 討 T E ^向

^q

^ん

⁾²⁾

^t 

(3.50) 

(3.51) 

{ ぜ

⁾⁽ⁿ

，

k);0

三k< 党三

N}

， v < [ )   =  ( 背

)(π);0

三

π

三N)

は

i

'(p)(π) 

=  ( そ

¹

::::~1 i  ^{( Z ( p ) (}

^π)一μ

^{z ( p ¥}

⁰

^{壬n 三N}

^(3.52) 

¥ ‑p ノ

で 定 義 さ れ る ，

Z ( p )

を 標 準 化 し た

i ( p )

= 

( X ( p ) (

π); 0三π

壬 N )

のK M₂0ーラン ジ ュ パ ン デ タと力である.但し， μz(p)= t(

戸

h

戸 p ) .

定 義 3.2.6 p=2又 はp=3とする.(3.49)を 非 線 形p型 一 階 階 差 標 本K M₂0‑

ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 と 言 う

{ す ¥ n

^，k);0

三

k< 

n  : S :  

N}， îí~) ⁼ 

(咋)

(π); 0

壬

‑111 ‑

π~ N)は 標 準 化 さ れ た

J I

線

) f ;

P 1¥'1一階階差

1 1 f t . 本 K M

₂

0‑

ラ ン ン ユ パ ン デ タ， I~J 力と

ι

う.

(iii)  Log変 挽

N十1個の d次 元 デ タZ= (Z(π)j 0 ~ n

壬

N)を 考 え よ う . こ こ で

) 

の ︽

υvhリ

qd  

( 

N 

n u

一 一  

π 

︑ ︑ ︐ ︐

.E E‑

ノF‑

︐

) )  

π π  

(

・ : (

1 4  

z z  

J︐ ︐ 't t' BE Et

︑

1︑

Z  (  π  ) 

一 一

Zの全ての成分が正， !!~ち

Zj(π) 

> 

0， j = 1，'"  ， d，π=0，'"  ，N  (3.54)  の時，

( log(Zl(n))¥ 

(LogZ)(π)= I  1， π =  0，・・・ ，

N 

¥log(Zd(π)) } 

と置く.LogZニ ((LogZ)(π)j0

壬

n

三 N )

は ， デ ー タ ZのLog変 換 デ タとい (3.55) 

われる.

Log変 換 は ， 経 済 学 で は 乗 法 定 ! モ デ ル に 有 効 で あ る こ と が よ く 知 ら れ て い る . そ の他にも例えば， Moran(1949，1951)， Tong(1977)は カ ナ ダ オ オ ヤ マ ネ コ の デ ー タ にLog変 換 を 施 し て 分 析 し て い る .

(iv)  Sw変 換

2次 元 テ タ Z= (Z(n)j 0

三n 壬

N)が与えられ，(3.22)に よ っ て 標 準 化 さ れ たデ タλ.= (X(n)j 0

壬

π

三 N )

を 考 え よ う . こ こ で

N 

Aり

︑

ノI

︐

422 π  一 一

n n   ( (  

1 2  

z r  

/I f‑

‑

︑ ︑

え

π 

一 一

(3.56)  w

モ(

0，1)と し ， ふ =(ι(π)j  0

三九三 N )

を ， 一 線 乱 数 の 実 現 値 を 標 準 化 し た

デ タとしよう.この時， 2次 元 テ ;; 

x

ム=(えム(π)j0

壬

π

壬 N )

は

冗)=(x( 「(π:~1L(

_2ln 十 初 包 ^n) ) / ^{，η=0，'"  ，N} 

(3.57)  と し て 与 え ら れ る . え ム は ，ZをSw変 換 し た デ タ と い わ れ る . も と の デ タZ が，

ι

と 独 立 に 得 ら れ た デ タ と し よ う . こ の 時 ，Zが 局 所 弱 定 常 過 程 の 実 現 値 で あ れ ば ，X_wは 局 所 弱 定 常 過 程 の 実 現 値 で あ る し ， そ の 逆 も 正 し い . そ の 性 質 か

ら こ の 変 換 は ， 定 常 性 検 定(S)で 重 要 な 役 割 を 果 た す . (v) Ardangent変 換

112

d次Jじテ タZ二 (Z(π)j  0

三九三

N)が 与 え ら れ ，.1'ニ (ι(π)j0

壬

π

三

N) は， (3.22)に よ 「 て 標 準 化 さ れ た テ タとしよう.

/ arcta

叫

ι'1

( η ) ) ¥  

(Arct).‑l:'(π) = 

I  卜

π =  0，・・ '，N (3.58) 

¥arctan(

ゐ

(π))

J 

と定義すれば， ArctX = ((Arct)X(π)j 0

三九三

N)は ，ZをArctangent変 換 し たデ タ と い わ れ る . こ の 変 換 は ， 1対1変換であり， し か も 大 き さ の 順 序 を 保 つ 特 徴 を 持 っ て い る . さ ら に 変 換 さ れ た デ ー タ は 有 界 で あ る . こ の 変 換 に よ っ て ， も と の デ ー タ

Z

が 異 常 値 を 含 み 局 所 弱 定 常 過 程 の 実 現 値 と 見 な せ な い 場 合 で も ， デ ー タ の 圧 縮 に よ っ て ， 変 換 さ れ た デ タ が 局 所 弱 定 常 過 程 の 実 現 値 と 見 な せ る 場 合 が 生 じ る .

3.3検 定 (S)

3

3.2の 最 初 の 設 定lこ戻ろう.即ち ，

N  + 

1個のd次 元 デ タ

Z

= 

(Z(

π)j  0 ::;  π::; N)が 与 え ら れ ，X = (X(π)j 0 <π

三

N)を ，Zの 標 準 化 さ れ た テ タ

とする.従って， (3.24)あ る い は そ れ と 同 値 な (3.25)の 仮 定 の も と で ，Z 

，

^こ付

随 し た 標 準 化 さ れ た

K M

₂

0‑

ラ ン ジ ュ パ ン デ ー タ お よ び 力 で あ る

b+(n

，

k ) j 。 壬

k 

<

π

壬

N}，

v +

ニ

( v + (

π)j0壬η

壬

N)が 定 ま る . そ こ で ， ト半二fijj 

r 

7¹J 

W+(

叫

) ε GL(djR)

を

V+(

π) = 

W+(

π

)tW+(

π)， π =  

O

，"'，

N 

(3.59)  と な る よ う に と る .

例 え ば ， 一 次 元 の 時 は ，

W+(

π) = 

JV+(n)

， 

n 

= 0，ー ，

N

(3.60)  と と れ ば よ い .2次 元 で は

(V+ll(n)  V+d

π

) i   ̲̲ 

V+(

π)= 

l  l 

^， n 

O

，・・.， N  (3.61) 

¥ .

  V+

21(π) 

V+

22(π) 

) 一

とすれば，

として，

(  W+l l(

^{叫 )}

W+

12(π)¥ 

W+(

π)= 

l  l 

， π  0，・・.， N  (3.62) 

¥ .

  W+

21(π) 

W 

+22(π) 

) 一

W+ 川

π)

= 

vv.;:可可，

W+ 叫

π)

= 

0

， 

+12(π)  1(π)=一 定 = 子 v' V+1 1~π)

‑113 ‑

(3.63) 

ととhばよい.

さて，

しい) = 

W+(n)一lv+(n)，n 

= 

0，'"  ，N  (3.64)  と 定 義 し て .d次 元 の デ 1 ~+=(~+(π)j 0

三九三

N)を 偶 成 す る .2草 で の 理 論 展 開 よ り 次 の (S.l)は(S.2)と同値である

(S.l) .‑l:'が(3.23)で 定 義 さ れ た .R^X を 共 分 散 関 数 に 持 つ 局 所 弱 定 常 過 程 の 実 現 値 で あ る

(S.2)ご+はd次 元 の 標 準 化 さ れ た ホ ワ イ ト ノ イ ズ の 実 現 値 で あ る

た だ し ， 標 準 化 さ れ た ホ ワ イ ト ノ イ ズ と は ， 平 均 ベ ク ト ル 0， 共 分 散 行 列Iの ホ ワ イ ト ノ イ ズ の こ と を い う .

/ ~+1(π)\

~+(π) = 

I  I 

'π=0γ・ .

，

N 

¥ む

d(π)/ 

とする.(3.65)を並べなおして， 1次 元 の テ タ

(~+1 (0) ，... ， ~+d(O) ， ・・・ ， ~+1(η) ， ..  . ， ~+d( π)) を構成できる.即ち， π=0，・・・ ，d(N

+ 

1)  ‑1に対し，

(3.65) 

と

(π)= ~+p(m) ，

n 

= 

dm  + 

p ‑1 (1

三

p

三 d ，

0

壬m 三 N) ( 3 . 6 6 )  

と置いて.1次 元 デ 1 _~ = 

w

^π); 0 壬 π~ d(N十1)‑1)を 構 成 す る . 明 ら か に ， 次 の(S.3)は.(S.l)及び (S.2)と同値である.

(8.3)と は 標 準 化 さ れ た 1次 元 の ホ ワ イ ト ノ イ ズ の 実 現 値 で あ る .

前 節 で も ふ れ た よ う に ， 信 頼 で き る 標 本 共 分 散 関 数{R^X(π);0

三

π

三

N}の個 数 ， 即 ち 有 効 数 と し て

M=[3

ゾ万 τ1/ 司‑

1  (3.67)  と 置 い て .{R^X (π); 

0 壬

π

三

M}を 信 頼 で き る 標 本 共 分 散 関 数 と 考 え よ う . 従 っ て.h+(π，k);  0 _~ k 

<

π壬M}が 信 頼 で き る K M₂0ランンA ハンテ タと 考 え ら れ る.X^{の 標 本}K M₂0ーランジュバン方程式は.(3.29)からわかるように，

n=lγ・'，Nに対し .X(π)をX(O)γ・.，.r(n‑l)の ー 次 結 合 と 標 本K M₂0ーラン シ ュ パ ン 力 と の 和 で 表 現 す る の で あ る が ， 双 方 と も 乱> Mの時には.K M₂0ーラン ジ ュ パ ン デ ー タ の 信 頼 性 の 低 さ か ら 意 味 を 無 く し て し ま う . 従 っ て ， 標 本K M₂0‑

ラ ン ジ ュ バ ン 方 程 式 が 意 味 を も つ よ う に ， 初 期 値 を ず ら し た ， テ 1 .l・の部分集 合 か ら 成 る テ タXi， ε{O，'"  ，N ‑M}を 導 入 し よ う . 即 ち

ゐ

=(X(O)，...，.l'(M)

  ， )

ぷ

=(.l'(i)γ・・

，

X

( i   + 

M)

  ， )

(3.68) 

XN‑M =(X(N ‑M)

， ' "   ，

X(N)) 

‑114 ‑

と定義する.

以下

i

ε{O，・ .，

N‑M}

を同定しよう.

必 =(.Y(i十π);0

壬

π

三 M)

に対して， (3.28)と 同 様 に U竹 二 (V+i(π);0

壬

π

壬 M)

を

AUd po 

n δ 

M 

唱' A一一

π E

M 

+ 

1

・

'R  

π 

+ 7 1

︑

d o

‑ ‑ ︑ ' ‑ 一 一

π司

4Lm

+ 

π 

lhム+l・t・z

( (   k k  

一一 一一 n u π  

村H

U V  

︐r

tt lt EE E1  

と置く.(3.69)を書き換えれば，

(  刈刈州恥い…… i

けトいい)ト

M 同 二 司

νh

川 引 州

+

叫 +

i

叩 吋

(

卯

O0

(3.70) 

X(i  +

π)=

←乞1'

+(π，

k )

え(i

+  k )

十V+i(π)，n = 1， 

(3.70)を ， え } に 付 随 し た 標 本K M₂0ー ラ ン ジ ユ バ ン 方 住 式 と 言 う (3.64)と 同 様 に

) 

叫

rt E

︑

︐

斗

¥1 11 11 /

j J ) )  

L一

斗 ん 円 九 円

)

‑ l  

冗 れ

‑M

i t + +   +

︑

F

︑

F

W / I l l 1

¥  

一一一一

) 

托

( 

+ 

pp

︑

π=0

， ' "   ，

M  (3.71) 

と 定 義 し て ，d次 元 デ タ しi= (C+i(π); 0 ::;π

三

M)を得る.また， (3.66)と 同 様 に ， 托 =0，・・ .，d(M 

+ 

1)  ‑1に対し，

c;(π)=

ふり ( m ) ， n=dm+j‑1 ( 1 壬

j::; 

d ，  0 三

m

壬 M) ( 3 . 7 2 )  

と置いて， 1次 元 デ タふ=(ふ(π);0

壬π 壬d(M

十1)‑1)を 構 成 す る . こ う し て 構 成 さ れ た X;，C+i， Ciの聞には， (8.1)， (8.2)， (8.3)と同じ関係が成立する.関]ち，

(8

. 4 ) ;  

ぷ が(3.23)で 定 義 さ れ たR^Xを 共 分 散 関 数 に 持 つ ， 局 所 弱 定 常 過 程 の 実現値である，

(8.5);  C+iはd次 元 の 標 準 化 さ れ た ホ ワ イ ト ノ イ ス の 実 現 傾 で あ る ， (8.6);  Ciは 標 準 化 さ れ た 1次 元 の ホ ワ イ ト ノ イ ズ の 実 現 値 で あ る ， とする時， (8

刈

i，(8.5);， (8.6);は

I

司値である.

我 々 は(8.6);即ち，

c ;

^{が 平 均}Oで 分 散 1の 1次 元 の ホ ワ イ ト ノ イ ズ の 実 現 値 で あ る か ど う か を 検 定 す る . そ の た め に ， つ ぎ の 統 計 値 を 導 入 す る .

‑115 ‑

定 義 3.3.1 ~;の燃本、r 均，/-.，傑本分散 ut.?襟 本 共 分 散 関 数 族R(;(n，m)

( 1 壬

n

壬

L

，

0

三

m

壬L

π)を

d(M +1)‑1 

μt・二一ーと一一

、 、 ^{ふ ( k)   ，}

d(M 

+ 

1)

白

d(M+1)‑1 

ルニーーち ~;(k)2

， 

d(M+1)k 。

唱 d{M+1)ー1‑n

R(

・

(π

， m )

二 一 一

、 、 ^{ふ ( k ) ふ ( n +  k )}  

d(M+I)tz 

と 定 義 す る . 但 し

L

= [2y'd而

τ 百]‑

1. 

(3.73) 

(3.74) 

(3.75) 

こ こ でLと(3.75)に つ い て ， 補 足 し て 説 明 す る .(3.67)と し て M を 定 義 し た の と 同 じ 考 え よ り ， 定 義3.1.1に従い，ふ(k)，k = 0，'"  ， d( M 

+ 

1)  ‑ 1から 構 成 さ れ る 標 本 共 分 散 関 数 {R(

・

(π)j0

壬

π

壬

d(M

+ 

1)^← 1}の う ち ， 信 頼 さ れ る ク ラ ス の ー つ は ，

{ R ( ' (

π)j 0

壬

π

壬 L }

で あ る

R ( ・ ( L )

はふ

( k )

，

k

二

0，一，d(M 

+ 

1) ‑ 1のL時 点 離 れ た も の の 積 の 総 和 を 平 均 し た も の か ら 求 め ら れ ， そ の 積 の 個 数 は d(M十 1)‑Lで あ る 同じように， 0

壬

π

三

Lの時は，

~;(k) ，

k 

= 0^{，・・ .，}d(M 

+ 

1)‑1^のπ時 点 離 れ た も の の 積 の 総 和 か ら 求 め る が ， 出 発 点 を ず ら し ， 出 発 点 以 降 のπ時 点 離 れ た も の の 積 の 個 数 がd(M

+  1 )  ‑

L以 上 を 越 え る も の に つ い て の 総 和 の 平 均 も ， よ り 厳 密 に 解 釈 す れ ば ， ~;の標本共分散 関 数 と 考 え る こ と が で き る . 以 上 の 理 由 で ， 我 々 は (3.75)の 定 義 を 導 入 し た .

(S.6);のチェックのためには， μ('，v('  ‑1， R(

・

(π，m)， 

( 1 三九三

L，0::::  m

壬

L ー π) が十分 O に近いこ.1::を統計的に検定する必要がある.まず ~;(k) ，

k  = 

0，...，d(M+1)‑1を佐不変数と考えて， 一般的性質を導く そ の た め に ， ホ ワ イ ト ノ イ ズ よ り 強 く

(A)  ふ

( k )

，

k 

= 0，・・ .，d{M十1)‑111.4次 の モ メ ン ト を も っ ， 平 均O分 散 1の 独 立 同 分 布 の 確 率 変 数 で あ る .

と 仮 定 し て 議 論 を 進 め よ う . ま ず(3.73)を，

噌 d(M+1)‑1

Jd(M+

一 、 り

μふ = π^d(M

六午でで ^{+  1 )} )  ^訂

_{~ ~;(k)}

( 3 . 7 6 )  

と 変 形 す れ ば ， 中 心 極 限 定 珂 か らMが 十 分 大 き け れ ば ， y ' d 百τ1)μt l土 近 似 的 に 平 均 O分 散 l のiUll分ltiに

1 f t

う . 放 に ， 近 似 的 に 確 率0.95で

J 而 τ 百

￨μt

・ I < 

1.96  (3.77);  が 成 立 す る .

116‑

次 に(3.75)の 変 形 を す る . "_~生に

d(M+l)‑lーπ

d(M  +  1 ) が ( n 川 ) = 乞 . ; ; ( k ) . ; ; ( n +  k )   ( 3 . 7 8 )  

は ， 互 い に 独 立 な 項 の 和 か ら 成 る 二 つ の 確 率 変 数

R f ' { 九 m )

^，

R ; ' ( n

^， m)の 和 に 分 解 さ れ る . て つ の 例 で こ れ を 見 ょ う .

例 3.3.1 d = 1， N = 99としよう. この時 ，M = [3V

百 τ1]‑

1 = 29， 

d(M 

+ 1)  = 30， L = [2

Jd 所司]‑

1 = 9で あ る.π =2，m = 5とする こ の 時

R~'(2 ， 5) 

= ふ

(5)

ふ

(7)

+ ふ

(8)

ふ

(10)+';;(9)

ふ

(11)

十 ふ

(12)

ふ

(14)+ ';;(13)

ふ

(15)

+ ふ

(24)

ふ

(26)

+ ふ

(25)

ふ

(27)

，

R~'(2 ， 5) =';;(6)

ふ

(8)

+ ふ

(7)

ふ

(9)

+ ふ

(10)';;(12)+ ';;(11)';;

( 1

3) 

+ ';;(26)';; (28)

十 ふ

(27)';;(29)

と置くと ，R~'(2 ， 5)， R;'(2， 5)の い ず れ も ， 互 い に 独 立 な 確 率 変 数 の 和 で 構 成 さ れ ていて，平日の(回数はそれぞれ11個と 12個 で あ る . そ し て

d(M  + 

^I)Rふ(2，5)= R~'(2 ， 5) 

+ 

^R;'(2， 5) 

が成、7している.

例 3ふ 2 d = 2， N = 99と す る . こ の 時 ，M = [3V

百τ1/2J‑1 

= 14， 

d(M

十1)‑1 = 29， 

L 

= 

[ 2 Jd 胃可]‑

1 = 9. 

n  = い

=0の 場 合 を 考 え る この時，

R f ' ( 4 ， 0 )   = ' ; ; ( 0 ) ふ

(4)

+  ・ ・ 十 ふ

(3)';;(7) + ';;(8)';;(12) 

+・・・+

';;(11)

ふ

(15)  + ';;(16)';;(20)

十・・・+ふ

(19)';;(23) + ';;(24)';;(28) 

+ ふ

(25)';;(29)

，

‑117‑

R~'(4 ， 0) =(i(4)ふ(8)+・・・ +(i(7)(i(11) 

+ふ(12)ふ(16)十・・・十ふ(15)(i( 19) 

+ ~i(20)ふ (24)+・・・ +~i(23)ふ (27)

と置く .Ri'(4，0)は14個の， R~'( 4，0)は12個 の 互 い に 独 立 な 確 率 変 数 の 項 の 和 になっている 定PJIの形でまとめると

定 理 3.3.1 1 

< π : : : ;   L ， 

0:::; 

m : : : ;   L  ‑n

に対し

d(M 

+ 

1)R{・(π，m)= Ri'(n， m) 

+ 

_{R~'(n ，} m)  (3.79)  と 分 解 さ れ

.R i ' {

叫，m)，

Rh

π，m)は 互 い に 独 立 な 確 率 変 数 の 項 の 和 か ら 構 成 さ れ . 以 下 の よ う に 表 現 さ れ る .

d(M + 1)

， 

m を そ れ ぞ れ2π とπで割り，

d(M 

+ 

1) =q(2n) 

+ 

r

， 

(0

壬?壬

2n‑1)  (3.80) 

m 二8n+t

， ( 0 壬

t

壬

πー 1) (3.81) 

とする.

Tε{O，・・・，π} であれば，

Ri'(n

， 

m) 

(  2:~~~-1 ~i(m

+ 

k)(i(m十九十k) (8が偶数の時)

=~ ^+ 2:;二;a+m(2;;;tz(2jn+h)ふ((2j+

恥

+

k ) )

， 

l  2:;~二ヰ L:L い，叶+1叫1リ)川/

R~'(π仏， m)

2:;~:/2( 2:~~~

(i((2j + 1)π+ k)Ci(2

( j  + 

1)π十k)) (8が偶数の時)

十2:~二 ~~i((2q-1)π +

k)

ι

(2qπ+ k)， 

2:~~~-1 ~i(m

+ 

_k)~i(m +π+ k)  (8が奇数の時) 十Zj;fa+1)/2(2;;;ι ((2j+ 1)n + 

k ) ふ

(2

( j

+ 1)π

+  k ) )   ( 3 . 8 3 )  

+ 

2:~二;ふ ((2q

‑

1)π +k)~i(2qπ +

k). 

T

モ

{π十1，・ー・，2π 1}の時は，

Ri'(π

，

m) 

2:~二 1 ~i(m

+ 

k)~i(m +π+ k)  (8が 偶 数 の 時 )

+27;Ja+Z)/2(2;;;&(2jπ + k)~i((2j ^{+ 1)π + k))}  + 

2:~二;-1L(2qπ + k )

ふ((2q+ 1)π

+  k )

， 

2j二よ+1)/2(2;;;ι(2jπ+k)Ci((2j + 1)n + k))  (8が 奇 数p.84) + 2:~二~-1ci(2qn + k)cj(2(q + 1)π +k)， 

‑118‑

R~'(n ， m) 

(  ~J二/22;;; ふ ((2j

+ 1)π+ 

k ) ふ

(2

( j

+ 1)π+ 

k ) )

， (8が 偶 数 の 時 )

={  2 ; ; ; ‑ 1 t i ( m

十

k ) e i ( m + 

n 

+  k )  

(8が 奇 数 の 時 )

(  十

2 j ; 7 ・

^+1)/2

~~二九((い 1)π + ^{k ) e i ( 2 ( j  +} 

^{1)冗 十}

^{k ) ) . ( 3 . 8 5 )}  

L C L L i f J n

は そ れ ぞ れ

R f

^，

R ; ‑

^{の項の総数で，}

Tε{O，・・・ 1π}の時，

{

_L~2)..

:

ⁿ

^{， =}   バ

^l

…

^π(

^q

^{一(8+1)/2‑ m}

^{， )}

= [ n(qー 1‑(8/2)) 

+ 

^1'， 

民 情 lπ(q‑1 +(8 + 1)/2)十1'‑m.

Tε{π+ 1，・・・，2πー 1}の時は，

l U ω ‑ 1 + ( 8 /

小

‑ m

n，m  lπ(q‑1‑(s十1)/2)+1'，

L~2~ 冗(q

‑(

8/2))

， 

n，m π(q+(8+1)/2)‑m. 

両者の聞には，

(8が 偶 数 の 時 )

(8 が 奇 数 の 時 )

(8が 偶 数 の 時 )

(8が 奇 数 の 時 )

(8が 偶 数 の 時 )

(8が 奇 数 の 時 )

(8が 偶 数 の 時 )

(8が 奇 数 の 時 )

L~~~ + L~~~ =(d(M + 1) ‑1 ‑

n )

一(m‑1) 

=d(M 

+ 

1)π‑m 

が 成 立 し て い る .

(3.86) 

(3.87) 

(3.88) 

各π，

m(l 壬

n

壬 L

，

O 壬

m

三 L

ーπ)，こ対し，中心極限定理から

M

が 十 分 大 き ければ， Ri‑(mm)，RT(π，

m)

の 分 布 は ， 近 似 的 に 正 規 分 布 に 従 う . 放 に ， 近 似 的 に 確 率0.95で

(L~~~)-1/2IRhπ ， m)1 <  1 .

96  が 成 立 す る .

同 様 に ， 近 似 的 に 確 率0.95で

(L~~~t1/2IRhπ， m)1 <  1 .

96  (3.89)， (3.90)が 成 立 す る 事 象 を そ れ ぞ れ

E 2 L E 2 L

^とする.

P(E~~~

U 

E~~~) =P(E~~~) +  P(E~:~)

‑

P(E~~~ n  E~弘)

< 

1 

‑119 ‑

(3.89) 

(3.90) 

ドキュメント内 経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用 (ページ 114-139)