一 2

程X=(X(乱

) j I n l 三 N )

に士、

i

しては ，SHN(X)， SHN，j(X)を 対 応 さ せ た ら よ い 定 義3.8.3 局 所 弱 定 常 過 程X=(X(π)jIπ￨

壬 N )

に対し，SHN(X)をXの 見 本 エ ン ト ロ ピ ，SHN，j(X)をX の 成 分 Xjの 見 本 エ ン ト ロ ピ と い う . さ ら に， SHUJ(X)^を X^{の 成 分} X^jの1次 元 と し て の 見 本 エ ン ト ロ ピ という

以 上 の 準 備 の も と に ， デ ー タ

Z =  ^{( Z (}

^π)j 0 

: S  

ⁿ

三 N )

が 与 え ら れ た 時 ， 見 本 エ ン ト ロ ピ の 具 体 的 な 求 め 方 を 考 え よ う . 以 下 ， 前 節 と 同 じ 記 号 を 用 い る . ま ず ， 標 準 化 さ れ た デ タ.l:'= 

( X ( n ) j  

0

壬

^π

壬 N )

^{が 検 定}(S)を 通 っ て い る と し よ う .

M 

= 

[3VN τ1/ 司‑

^{1  (3.148)} 

と 置 く と ，{R^X(π)j 0

壬

^π

壬

M}が 信 頼 で き る 標 本 共 分 散 関 数 で あ る . 各 i

ε  { O

^，・・ .，N‑M}に対して，

ZMohz(π)tY+i(n)  SH(i)^{ニ ー}log{det(  ^{π = 0 H a}_唱 ) }  

2d 

十log(2_官官)

と貨く.

定 義

3 . 8

.4

SH(Z)

をZの 見 本 エ ン ト ロ ビ ー ，

SHj(Z)

をZのj成 分 と し て の 見 本 エ ン ト ロ ピ という.

SHY)(Z)は こ と わ る ま で も な く ， 弓 の 見 本 エ ン ト ロ ビ ー で ，

Z j

が 本 来 持 っ て い る ラ ン ダ ム 平 ス と 考 え る こ と が で き る . 一 方

SHj(Z)

は，

Z

の 他 の 成 分 か ら 情 報 を 賃 っ た 時 の ラ ン ダ ム 不 ス と 解 釈 さ れ ， 単 独 の 場 合 の ラ ン ダ ム ネ ス

SH?'(Z)

に 比 べ ， 与 え ら れ た 情 報 の 分 だ け ラ ン ダ ム ネ ス が 下 が る と 考 え ら れ る . 従 っ て ，

Zj 

を 成 分 lこ 持 つ 多 次 元 デ ー タ が 複 数 存 在 す る 時 に ， 21jの ラ ン ダ ム ネ ス を よ り 多 く 減 少 さ せ る デ タが， ZJに ， よ り 多 い 情 報 . あ る い は よ り 強 い 影 響 を 与 え る テ タ と 考 え る こ と が で き る . こ の 考 え は ， 次 章 で 経 済 時 系 列 聞 の 影 響 性 の 強 さ を 測 る の に 応 用 さ れ る .

‑158‑

4

^章 時系列!百

i

の 因 果 関 係 ， 影 響 関 係 の 分 析

因 果 関 係 あ る い は 影 響 関 係 と い う 慨 念 は ， 哲 学 を は じ め ， 統 計 学 ， 経 済 学 等11; い 分 野 に 存 在 す る . 哲 学 で は 因 果 と そ の 概 念 に 関 し て ， さ ま ざ ま な 論 争 が 行 わ れ て き て い る .

Wold(1954)は 科 学 に お け る 因 果 の 概 念 の 重 要 性 を 説 き ， 因 果 の 概 念 は 経 験 で は な く 埋 論 に よ っ て と ら え る べ き こ と ， 因 果 の 概 念 よ り も 因 果 の 法 則 性 を 定 義 す る こ と が 難 し い こ と を 強 調 し て い る . 彼 自 身 は ， 因 果 性 を 関 数 関 係 や 予 測

l

可 能 性 で 定 義 す る こ と に は 百 定 的 で ， 統 計 モ デ ル や 経 済 モ デ ル を 伊

l

に と り 因 果 性 の 説 明 を 試 み て い る .

時系列間の因果牲については， Granger(1969)に よ る 定 義 以 来 Sirns(1972)をは じ め 多 く の 研 究 が な さ れ て き た .Grangerに よ る 因 果 性 の 定 義 は 本 当 の 意 昧 で の 因果性の定義ではないが， "Grangerの因果性"として定着している.Grangerの同 果 性 は 予 測 の 観 点 か ら 定 義 さ れ た も の で あ る .Nakano(1992)は

K M

₂

0

ーランYユ

川 ン 方 程 式 の 立 場 か ら ， 局 所 的 な Granger因 果 性 の 概 念 を 導 入 し た . そ の 解 析 訟 と し て ， 二 つ の 時 系 列 が 影 響 し あ う か と う か の 問 題 は ， 検 定(S)に 帰 着 す る こ と が 導 か れ て い る .Sirnsを は じ め ほ と ん ど の 論 文 は ， デ タ の 弱 定 常 性 を 前 提 に し て， ARモ デ ル やARMAモ デ ル を 仮 定 し ， 因 果 性 を 論 じ て い る . 一 方 ， Nakano  の 導 入 し た 方 法 は

K M

₂

0‑

ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 の 理 論 を 基 に ， ま ず デ タ に 検 定 (S)を 適 用 し ， デ ー タ の 弱 定 常 性 を 確 認 す る こ と か ら 出 発 す る . そ し て ， 弱 定 常 性 を 持 っ と 判 断 さ れ た デ ー タ 聞 の 局 所 因 果 関 係 の 有 無 に つ い て は ， 定 理4.4.2を 応 用 し て 分 析 す る . こ れ ら の デ タ 解 析 に 際 し て ， 何 等 の 仮 定 を も し て い な い こ

と を 強 調 し て お か ね ば な ら な い .

定 理4.4.3は 局 所 因 果 関 係 の 構 造 式 を 示 す も の で ， こ の 構 造 式 か ら 我 々 は ， 局 所 因 果 関 係 を 緩 や か な 因 果 関 係 と 考 え る こ と が で き る . さ ら に 統 計 上 の 処 煙 か ら 生じる瞬間的な局所因果関係も定義され，その検定方法.!:して定理4.4.6を

m

怠 し た . さ ら に 瞬 間 的 な 局 所 因 果 関 係 の 構 造 式 と し て ， 摘 題4.4.4を示すことがで きfこ.

これらの理論を基に， ~4.5 で， GNPとマネ サ プ ラ イ を は じ め と す る い く つ か の 重 要 な 経 済 時 系 列 に 検 定(S)を 適 用 し ， 変 数 聞 の 局 所 因 果 関 係 を 分 析 し た . 分 析 の 結 果 は ， 経 済 学 で 既 に 知 ら れ て い る 事 実 を 再 確 認 す る も の も あ る が ， そ れ 以 上 に 詳 し い 結 果 も 得 る こ と が で き た と 思 う . ま たOkabe(1988b)に よ る 標 本 エ ン ト ロ ピ ← の 導 入 に よ り ， 変 数 聞 の 影 響 性 の 強 さ の 比 較 が 可 能 に な り ， よ り 詳 し い 分 析 と な っ た .

厳 密 な 意 味 で の 因 果 性 は Okabe=Inoueに よ っ て 定 義 さ れ ， そ の 判 定 の た め の 式も証明されている.これらは ~4.6 で紹介される.

‑159‑

4.1 Granger因 果 性 の 定 義

因 果 を 考 え る 場 面 あ る い は 立 場 が ど う い う も の で あ れ .

I

羽 果 は ， 過 去 が 現 在 ま た は 未 来 iこ 作 用 す る 結 果 で あ り ， そ の 逆 は な い と い う の は ， 共 通 の 立 場 と い っ て い い だ ろ う . 時 系 列 解 析 で は ， 決 定 的 な 過 程 聞 に 困 果 関 係 は 考 え ら れ ず ， も し あ る と す れ ば 非 決 定 的 な 過 程 聞 に 因 果 関 係 が 存 在 す る と 考 え る の が 自 然 で あ る .

Grangerは， 1969年 に 発 表 し た 有 名 な 論 文 で 因 果 性 (causality)，瞬間的因果性 (instantaneous causality)の 概 念 を 導 入 し て い る . ま ず そ れ を 説 明 す る こ と か ら 始めよう.

X=(X(

η) jπεZ)， 

y=(y(

π)jπεZ)を そ れ ぞ れ

d

₁，

d

₂次 元 の 弱 定 常 過 程 と する.nεZとしよう.

州 ) = 山 ^Y( π ) = ( ; : )

^( 4.1) 

と置く .Xi(π) ，巧(π)，i 

= 

1，・・.， d1， j 

= 

1，・・.， d2を 含 む ， 時 点η で 観 測 可 能 な 確 率 変 数 の 集 合 を Jn^，Un ⁼ {Jmj mさπ}と 置 く . ま た ， 時 点π以 前 のXの過 去 の 情 報 の 集 合

{ X i ( m ) j

m

壬

π，

i

=I，‑‑‑，d1}を

X(

π)，同様に時点η 以 前 の

Y

の 過 去 の 情 報

Y (

π)も定義する.

I

を あ る 観 測 可 能 な 確 率 変 数 の 集 合 と す る 時 ，

X (

π)の

I

に よ る 線 形 最 良 予 測 を X₁₍π)，予測誤差 X(n)‑XI(n)の 分 散 を σ2(X(π)11)と置く.Gra時erはX

を予測する時， yか ら 得 ら れ る 情 報 を 利 用 す れ ば ， そ の 予 測 誤 差 が 小 さ く な る 時 ，

Y

から

X

へ の 因 果 が あ る と し て い る . 即 ち

定 義 4.1.1(G日 時erの因果性)

σ

2(X(π)

! U ト d<σ

2(X(π)

! U

n‑l ‑

Y(

π1))  (4.2) 

、

、 GC(U)

の時， Grangerの 意 味 でYから Xへの因果関伝かあるといい， y ー→ Xと表 す . た だ し ， 集 合

A

，

B

に対し ，

A‑B

はAから Bを 除 い た 集 合 で あ る .

Xから Yへ の 因 果 関 係 も 同 様 に 定 義 さ れ る . 定 義4.1.1と同値な定義を与えて おく.

定 義 4.1.2 (Grangerの因果性)

σ2(X(π)

! u

πー

d = 

(1'2(X(π)

l U

n‑l ‑

Y(

πー 1)) (4.3) 

GC(U)  の時， Grangerの 意 味 でYから Xへ の 因 果 関 係 が な い と い い ， Y

升 → x

と 表す.

と こ ろ で ， 経 済 デ タ は 月 次 あ る い は 四 半 期 毎 に 集 計 さ れ る ケ ス が 数 多 く み う け ら れ る . そ の た め 実 際 の デ ー タ に は 時 間 の ず れ が あ る の に ， 集 計 の 過 程 で そ

れが無視され，同時点、でのデ タ と し て 処 理 さ れ る こ と に な り . 統 計 上 の 諸 問 題 が 生 じ る こ と に も な る .Grangerは 因 果 に 関 す る こ の 問 題 を と ら え ， 次 の 定 義 を 与えた.

定 義4.1.3(Gra時erの 瞬 間 的 因 果 性 )

σ2(X(η

) W

^{π 1}

，  Y (

π)) 

< 

^U2(X(π) 

I 九 d

(4

. 4 )  

の時.Grangerの意味でYからXへ の 瞬 間 的 因 果 関 係 が あ る と い い. Y一→(U) X と表す.

Y(

π)が

X(

π)の 予 測 に 影 響 を 与 え な い と い う 定 義 は ， 次 に 与 え ら れ る . 定 義 4.1.4(G日 時erの 瞬 間 的 因 果 性 )

σ2(X(π)

! U

n‑1

， 

Y(π)) =σ2(X(π)

! U

n‑d  (4.5) 

GIC(U)  の時.Grangerの意味でYからXへ の 瞬 間 的 因 果 関 係 が な い と い い.Y

メ →

X

と表す.

Xから Yへ の 因 果 関 係 ， 瞬 間 的 因 果 関 係 も 全 く 同 様 に 定 義 さ れ る. XとYの Grangerの 意 味 で の 因 果 関 係 を 分 類 す る と 以 下 の よ う に な る .

(1) X ， Yに は 因 果 関 係 は な い .

(2) Y →(U) Xだけが成立.

(3) X ー→(U) Yだけが成立.

C(U) ~ ~ GC(U) 

(4) Y -~' X， X → Y即 ち フ ィ ドパックが成立.

瞬 間 的 因 果 関 係 も 4通 り に 分 類 さ れ る の で ， 因 果 関 係 ， 瞬 間 的 因 果 関 係 を 併 せ れ ば 16通 り の パ タ ンがある.

Granger に よ る 因 果 性 の 定 義 は ， 言 葉 自 体 の 持 つ 本 来 の 意 味 か ら 少 し ず れ て い る . Granger自身が.Granger=Newbolt(1977)の中で，むしろ "iemporally問laielf'が ふ さ わ し い か も し れ な い と 述 べ て い る . つ い で に .Grangerが ， 因 果 性 の 定 義 に 至 っ た 経 緯 を 説 明 し て お こ う

. B

が 与 え ら れ た 時 のAの 条 件 付 き 分 布 を

P(AIB)

，0πー1をπ‑1時 点 ま で の 情 報 全 体 と す る .Grangerは

P ( X (

冗)IOn‑d= 

P ( X (

π)IOn‑1 ‑

Y (

π ‑1))  (4.6) 

の時.X，Yに は 因 果 関 係 は な く .(4.6)で 等 号 が 成 立 し な い 時 ， 因 果 関 係 が あ る と考えている. し か し な が ら ， 有 限 個 の デ タ か ら 分 布 を 特 定 化 す る の は 容 易 で は な く ， そ れ 以 上 に (4.6)を 検 定 す る の は 難 し い . そ こ で 検 定 可 能 な 代 替 案 と し て 浮 上 し た の が ， 予 測 誤 差 に よ る 定 義4.1.1である.定義4.1.1では，。π 1は時 点

、π‑1ま で に 観 測 可 能 な 集 合U包 ー1に 限 定 し ， よ り 具 体 的 に な っ て い る . な お3

時 間 領 域 が Zの 弱 定 常 過 程 を 対 象 に し て い る か ら .Grangerの 定 義 は 時 間πに 無 関 係 と し て い る . と い う の も 因 果 が 1ス テ yプ 予 測 誤 差 を 基 準 に 定 義 さ れ て い

る か ら で ， 大 域 的 弱 定 常 過 程 に お い て 1ス テ yプ 予 測 誤 差 が 時 間 況 に 無 関 係 と い うことは.Woldの 分 解 定 理 の 証 明 に 見 る こ と が で き る .

‑161 ‑

4.2 Granger因 果 性 の 理 論 的 同 値 性

与 え ら れ た モ デ ル の 枠 組 み の 中 で ， Granger因 果 性 ， あ る い は 瞬 間 的 因 果 性 の 理 論 的 な 同 値 性 がGranger(1969)，Sims(1972)， Pierce=Haugh(1977)等 に よ り 研 究 さ れ た . 本 書 で は ， 独 自 に 因 果 性 の 理 論 を 展 開 す る が ， ，夜史的な研究の経過を ふ ま え ， こ れ ま で の 研 究 結 果 を 紹 介 す る こ と に す る .

d₁ 

= 

d₂ 

= 

1として 2変 量 の 弱 定 常 過 程X，Yを 考 え ， 観 測 可 能 な 集 合 は X， Yか ら 構 成 さ れ る と も の と す る .~4.1 の仮定に加え，

z  ε 

納品

︑ ︑

ta F/

π π   X Y  

d〆 ︐

'E E︑ ︑ ︑

Z  π 

一 一

( 4.7)  は ， 平 均0で 決 定 的 な 部 分 を 持 た な い ， 一 次 独 立 な 2次 元 の 弱 定 常 過 程 と す る . Woldの 定 理 か ら

Z (

π)は

) 

o o

  at  

‑ ‑

︑

︑ ︑

︑

12 tF /

) )   π π   ( (   α ' o  

/

︐

︐

EE

ドキュメント内 経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用 (ページ 165-170)