ん)

.:..(p) ι(p) 

Y  (N

十mo^十

1 )

= 

Y  (N  + 

mo)^{十 五}1 (3.135 ) 

Mp‑m o‑l 

2 二羽

^l(Mp

，

k)(y(N ~ ^Mp 

+ 

1 

+ 

mo 

+ 

k)

一 戸 d

1

<= 0  

ら(p)

一 九

)1(Mp

，

MF‑mo)(Y (N十1)

~ Y(N)  戸 d

竺旦 ι(p)  .:..(p) 

~ ~ = r

<:11(Mp

， 

Mp 

~

¹ 

~

^mo 

+  m ) ( y ' "   (N  + 

m) 

~ y ' "  .  (N

十mー 1)

~ i i d  

Mp‑mo‑l 

2 二 ^(ad ら ) 干

<:12(Mp

， 

k)(y(N ~ Mp 

+ 

mo 

+ 

1十k

) P ん)

1<=0 

.:..(p) 

一(品川p

)

官

2(Mp

，

Mp ~

^{mo)((Y  (N}

^十

^{1 )}

~

^Y(N ) ) P   ん)

.:..(p) ι(p) 

~ L (

^在

d ら)市

2(Mp

，

Mpー ト

mo+m)((Y (N+m)~Y (N+m~lW

m = 2  

を 通 る の を 利 則 し て 予 測 を 行 っ た 表3.24は そ の 予 測 値 と 夫 際 の 観 測 値 と を 比 較 し た 表 で ， 図 示 し た の が 図3.5である.

表 3.24

黒点数の予測値と観測値(1

980‑1988) y巴ar KM10‑

予測値 観測値

1980  163. 9  154. 6  1981  154. 1  140. 9  1982  133. 1  115.9  1983  107. 5  66. 6  1984  87. 0  45. 9  1985  73. 0  17. 9  1986  69. 3  13. 4  1987  73. 6  29. 2  1988  110.2  100. 2 

図

3.5

黒点取の予調明直と観潰明直

(t袋沼ー1祭主BJ 1回

1回

J. . . . .  

14O  1泊

1田 団 回 4O 

担

8 1袋 姐 81 

︑︑︑︑

  ι、

巴

.、

. 

_、

、

噌. ， 

•

• _， 

， 

‑

. 

'.ーー ...可F

‑ーーー・‑ーー

担 回 84  ^部 部 87  ^舘

一 観 測 直 … 附2

0

ー予調￨掴

‑150‑

現紅太陽県内、数は 1989年 ま で 允 表 さ れ て い る OkabeニNakano

( 1

991)は1888 年 か ら 1988年 ま で の テ 7を使って， 1989匂ーから 1997¥1ーまでの黒点数を予測し た が 1989 ¥joの 予 測I{直は 142.6で あ っ た . そ の 後 ， 実 際 の 観 社

t

^l]値 157.6が発表さ れたが， 1988 'fの 観 測 値 100.2から 57.4の上昇で，この 2¥f聞 は 急 増 し て い る

本 書 で 再 び 1990年 以 降 の 10年 間 の 太 陽 黒 点 数 の 予 測 を 試 み よ う . 表3.25は 1989年 以 前 の 黒 点 数 の 検 定(S)の 結 果 で あ る .

year  1890・1989 1889・1989

表 3.25黒 点 数 の 検 定(S)

( 1

889‑1989) 

表3.23と同じく， 1989年 か ら 1989年までのー￨浩階差のデ タ が ， 検 定(S)を 通るので，

I

階 差 を も と に 黒 点 数 を 予 測 し た ( 図3.6， 表3.26). 

1回 170  1団 150  140  1担

120  111'1  1回

調 朗 70 

問 団 40 

図

3.61

民泡年から

1

袋冶年までの太措 黒点激の予測のグラフ

1袋焔 1991 提 93  94  部 笛 97  gg  99 

‑151← 

表 3.26黒点数の予測(1990‑1999)

year  KH₁0・予測値 1990  175.53  1991  166.75  1992  139.36  1993  102.68  1994  75.76  1995  67.27  1996  48.87  1997  60.74  1998  95.20  1999  129.62 

3.8見 本 エ ン ト ロ ピ

エ ン ト ロ ピ は ， ラ ン タ ム な 現 象 の あ い ま い さ ( ラ ン タ ム ネ ス ) を 測 る 量 と し て ，

C.

E .  

Shannonに よ っ て 明 佐 な 形 で 定 義 さ れ 通 信 埋 論 にLL、JlJさ れ た . も と も と エ ン ト ロ ビ ー は 物 理 学 の 概 念 で あ り .L. Boltzmannに よ る 別 の 定 義 は Boltzmannの エ ン ト ロ ピ と し て 知 ら れ て い る . 一 方 .Shannonの エ ン ト ロ ピ は 現 象 の 確 率 分 布 に よ り 定 義 さ れ て い る の で ， そ の 分 布 を 知 る こ と な し に 定 義 す る こ と は で き な い . 後 述 す る よ う に . 弱 定 常 過 程 の エ ン ト ロ ピ は，エントロピ レ トという 方 法 で 定 義 さ れ て い る が ， 分 布 が わ か ら な け れ ば 定 義 で き な い こ と は 同 じ で あ る .

そ れ で は ， あ る 現 象 か ら の 有 限 個 の デ タ が 与 え ら れ た 時 に ， そ の エ ン ト ロ ビ ー を ど の 様 に 求 め た ら よ い の で あ ろ う か . も ち ろ ん ， ど の よ う な デ タ に 対 し で も と い う わ け で も な く ， ゆ る や か な 法 則 を 持 つ ク ラ ス ， つ ま り 局 所 弱 定 常 過 程 の 実 現 値 と 判 断 さ れ る デ タ を 対 象 に す る わ け で あ る . 経 済 現 象 は 特 に 代 表 的 な ケ

ス で あ る が ， 同 じ 条 件 下 の 繰 り 返 し 実 験 が 不 可 能 な 現 象 は ， デ タ 以 外 に 情 報 は な く ， 従 っ て そ の 分 布 を 未 知 と 考 え る の は 普 通 で あ る . そ も そ も ， あ る . l J

I

象 の エ ン ト ロ ビ ー を 測 ろ う と す る の は ， そ の 現 象 自 体 が 我 々 に と っ て 未 知 ] だ か ら で あ っ て ， 分 布 を 仮 定 し て エ ン ト ロ ピ を 求 め る こ と は ， 現 象 を 規 定 し て し ま い 本 来 の 主 旨 に 反 す る よ う に 思 え る .

そ れ で は ， 具 体 的 に ど の よ う に 求 め た ら よ い の で あ ろ う か . そ も そ も ， ラ ン タ ム ネ ス を 現 象 の 予 測 し に く さ と 考 え れ ば ， エ ン ト ロ ピ を 予 測 誤 差 あ る い は そ の 平 均 で 測 ろ う と す る の は 自 然 な 発 想 で あ ろ う . 従 っ て .X=(X(π)j 

I n l   : : : :  

N)を1 次 元 の 局 所 弱 定 常 過 程 と す れ ば ， 会

2 ? J J V + ( π ) 2

あ る い は そ の 関 数 で 測 る と い

う 考 え に 至 る .

こ の 観 点 か ら 岡 部 (1988b)は.KM20ー ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 の 応 用 と し て ， 見 本 エ ン ト ロ ピ 及 び 標 本 見 本 エ ン ト ロ ピ の 概 念 を 提 案 し た . こ れ は エ ン ト ロ ピ レ ト の 考 え 方 に 沿 っ て 導 入 さ れ て い る が ， 予 測 誤 差 の 考 え と 一 致 し て い る こ と も 示 さ れ 自 然 、 な 定 義 と な っ て い る . 以 下 概 略 を 紹 介 し よ う .

X=(X(π)jπεZ)をd次 元 弱 定 常 過 程 と す る . 各 N ε Nに対して，

(

ー J ) ^l

の 分 布 密 度 関 数 を

PN

とする.Shannonに 従 い ， こ の エ ン ト ロ

X(N ‑ 1 ) )  

ピー

H(P

N)を，

H(PN)  =  ‑ I 

PN(z)logPN(z)dz 

JRdN 

‑153‑

(3.136) 

と 定 義 す る . 離 散 分 布 の 時 は ， 積 分 が 干11の 形 式 に 置 き 換 え ら れ ， 本 質 的 な 意 味 は 変 わ ら な い .

次 の 仮 定 を お く. Xの 相 関 関 数 Rの ス ベ ク ト ル 制 度 は ， 連 続 な 密 度 関 数

s ( . ) =  ( 企

jlc(・)h<j，lc<dをj寺ち，

log(s(

・ ) ) ε

Ll(一κπ). (3.137)  こ の 時 ， 次 の 基 本 的 な 補 題 が 成 り 立 つ .

補 題 3.8.1各

N ε N

に 対 し て ， あ る 定 数 C> 

0

が 存 在 し

mini{det(V+(N)) ， 

det

( V ̲   (N))} 

三 川 仇 x d l : ^{附 ts(B))d}

^{θ) (3.138)} 

方，

K M

₂

0‑

ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 の ア ル ゴ リ ズ ム か ら

V+(N) 

= 

V+(N ‑ 1 )   ‑ d+(N )V ̲(N ‑

l)t

d+(N). 

従 っ て ，

V+(N)

は

N

に つ い て 単 調 減 少 で ， 補 題3.8.1か ら 次 の 定 理 を 得 る . 定 理 3.8.2 limN

→∞ V+(N) 

= 

V+(

∞ ) が 存 在 し ， 正 定 値 行 列 で あ る .

今X は ， ガ ウ ス 型 定 常 過 程 で あ る と 仮 定 し よ う . こ の 時 ， 次 の こ と が わ か る . 定 埋3.8.3 各

N ε N

に対して，

H 町 ( 川 ん ) ト = ト j シ μ μ 均

o

噌 1 阿 叫

g

以((附 0

( マ … J l

の 分 散 行 列 が

SN

で あ る こ と に 注 意 す れ ば ， こ の 事 は よ く 知 ら れ

X(N ‑1) 

て い る . 一 方 det(SN)

= 

rr~':oL N‑l 

d e t ( V + ( k ) )

で あ る か ら ， 次 の 定 理 を 得 る . 定 理3.8.4

limN~oo 等i は収束する.

こ れ を H(X)と置くと，

log( 271"e)  ， 1og(det(V+(

∞ ) ) )  

H(X}=

ーヲ一一+

--<>\---~'JT\--"'. (3.139)  H(X)をXの エ ン ト ロ ピ レ トという.

一 般 に は ， エ ン ト ロ ピ レ トは limN

→∞互安 i

で 定 義 さ れ る が ， ガ ウ ス 型 定 常 過 程 の 場 合 に は ， limが 存 在 し (3.139)で 定 義 さ れ る .H(X)の 本 質 的 な 部

‑154‑

分は， 1ステ yプ 予 測 行

ρ l

の 極 限 で あ る が ， や は り 阿 部 (1987a，1988a， 1989a)に よ っ て 求 め ら れ たKMOーランンュハーン方程式の立場 iこ立てば， 1ステ yプ 予 測 行 列 が 本 質 的 な 部 分 に な っ て い る . 慨 略 を 説 明 し よ う .

各

N ε N

に対して，

f

'Y

+(N ， N ‑

π)

， 

(0

三n 壬 N)

'Y~(n)

= 

< 

日

l

0

，

η

>  N )  

と 置 く と 次 の 定 理 が 成 立 す る

(3.140) 

定 理 3.8.5 平 均 0，共分散Iの ホ ワ イ ト ノ イ ズ 〈 十=(((π)jn E Z)が 存 在 し，各

πεZ'

こ対し

X(

π)=‑Lim(7L本

X)(

π)

川 → ∞

+  V~/2(∞)(( n )  

(3.141)  (3.141 )は， KMOー ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 で あ る. Xの1ステ ^yプ 予 測 行 列 を

PE(X)とすると， (3.141)か ら 時 点 況 に 関 係 な く

PE(X) =E((X(n + 1) ‑PM士∞(X)X(π

+

l))t(X(n + 1) ‑PM

二

(X)X(π+1))) 

=九(∞).

(3.142) 

従 っ て ，

H ( X )

の 別 の 表 現 を 得 る . 定 理 3.8.6

g(2πe)  . 1og(det(PE(X))) 

H ( X )   = ーヲ一一+

^(3.143) 

故 に ，

H ( X )

を

X

の

1

ステッフ固予測行列の関数として求めることができる.

こ こ で ， 確 率 変 数 系 {ν

+ ( n ) j n ε N

・ } に 独 立 性 を 仮 定 す る と ， 大 数 の 強 法 則 より

従 っ て ， 次 の 事 が 成 立 す る .

li_m m 

2 : f と J J J U + A ( い

^ω

U

^7π

^吋

^z

^け

^{)t勺乍川 ノV}

N→∞ 1~

hI1 

2 と J v : + ( π )  

N→ ∞

N 

=叫(∞)

•

‑155‑

(3.144) 

定 埋3.8.7

EJN7U+(π)tV

+ ( 冗 )

Fm 

n‑. log{ det(  π二一 )} 

N→∞2d 

log(2π

e )  

=  H(X) 一ーヲ一一

(3.145) 

そ こ で ， 各 N ε Nに対し

ZNI U+(π)tV

+ (

π) 

SHN(X)  =

一log{det(π=

ー ) }

2d 

log(2π

e )  

+一一一一

₂  (3.146) 

と置く.

limN→ ∞ 号 炉 の 収 束 性 を 見 る た め に Xが ガ ウ ス 型 定 常 過 程 で あ る と 仮 定 し た が ，

SHN(X)

の 定 義 自 体 に は そ の 仮 定 は 必 要 は な い . 従 っ て ， 任 意 の 弱 定 常 過 程 X に 対 し て 次 の 定 義 が で き る .

定 義3.8.1確 率 変 数 系

{SHN(X)jN

εN}をXの 見 本 エ ン ト ロ ピ と言う 各 jε{1γ・.， d}に対し， Xのj成 分 を X_j

= 

(X_j(π)jπζZ)と し よ う . 同 様 に ， 揺 動 力ν+(π)，πεN・の

j

成 分 ，

v + j ( n )

，πεN・ に 独 立 性 を 仮 定 す る .

定 理 3.8.8

25Jlhj(π)2 

Jim ~n=U 肝~巧 j( ∞)

= 

PE(X)jj. 

N→ ∞ 川

従 っ て (3.146)と 同 様 に ， 各N ε Nに対し

2N7hJ(π)2 

SHN

，

j ( X )  

=~ log( LJn‑U ~

と置く.

+  ‑

log(2₂ π

e )  

(3.147) 

定 義 3.8.2 確 率 変 数 系

{SHN

，

j ( X ) j N

εN}をXの 成 分X_jの 見 本 エ ン ト

ロピ と言う.

一方，

x i

^{は 1}次 元 の 弱 定 常 過 程 で あ る か ら ， 単 独 に 見 本 エ ン ト ロ ビ ー を 求 め る こ と が で き る これを， {SHIl(X);NεN}^と表す

以 上 は ， 大 域 的 弱 定 常 過 程 に 原 理 的 に 導 入 さ れ た 定 義 で あ る が ， 局 所 弱 定 常j邑

‑156‑

程X=(X(乱

) j I n l 三 N )

に士、

i

しては ，SHN(X)， SHN，j(X)を 対 応 さ せ た ら よ い 定 義3.8.3 局 所 弱 定 常 過 程X=(X(π)jIπ￨

壬 N )

に対し，SHN(X)をXの 見 本 エ ン ト ロ ピ ，SHN，j(X)をX の 成 分 Xjの 見 本 エ ン ト ロ ピ と い う . さ ら に， SHUJ(X)^を X^{の 成 分} X^jの1次 元 と し て の 見 本 エ ン ト ロ ピ という

以 上 の 準 備 の も と に ， デ ー タ

Z =  ^{( Z (}

^π)j 0 

: S  

ⁿ

三 N )

が 与 え ら れ た 時 ， 見 本 エ ン ト ロ ピ の 具 体 的 な 求 め 方 を 考 え よ う . 以 下 ， 前 節 と 同 じ 記 号 を 用 い る . ま ず ， 標 準 化 さ れ た デ タ.l:'= 

( X ( n ) j  

0

壬

^π

壬 N )

^{が 検 定}(S)を 通 っ て い る と し よ う .

M 

= 

[3VN τ1/ 司‑

^{1  (3.148)} 

と 置 く と ，{R^X(π)j 0

壬

^π

壬

M}が 信 頼 で き る 標 本 共 分 散 関 数 で あ る . 各 i

ε  { O

^，・・ .，N‑M}に対して，

ZMohz(π)tY+i(n)  SH(i)^{ニ ー}log{det(  ^{π = 0 H a}_唱 ) }  

2d 

十log(2_官官)

ドキュメント内 経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用 (ページ 157-165)