守 ‑

+ど

η(πo‑k‑i‑l

，

i)R(k+1‑j十i)}tηー(no‑k ‑j

， 

j) 

i=l 

'k

n   

+ 

n

‑ Lη

ー ( j ，

π

。

^{‑k‑j‑1)}

j=O 

x(  L  R(k‑j

十小

7‑

(川 ‑

k ‑i)) 

i=O 

+ V̲ (nO ‑k ‑

1 )

tη(π

。

2k‑1

， 

k十 1)

ニR(k十

1 ) + 乞

η

ー ( 見 。

‑k‑i‑1

，

i)R(k+1+i)

I=l 

+乞

(R(k

+ 

1 ‑

j )   + 

L 

T ) ー ( 町

k‑1‑

υ)

j=l  ^S二1

x 

R(  k  + 

1 ‑j 

+ 

i))tη

ー ( 九 日 k  ‑j ，

j) 

E m  

π 

軒町︐

い 乞

J二日

x (R(k ‑j)t

， L(

π日 k)

+ 乞

R(k‑j十i)tη(i

， 

no ‑k ‑i)) 

+ηー(k

，

n日 一2k‑l)(R(町 ‑k)+LR(η

。

^{ト i)tη(πo‑k‑i}

^，

ⁱ⁾⁾

i=l 

十V̲(町 k‑l)tη (no ‑2k ‑1

， 

k 

+ 

^1)ー (2.189)  Mi題2ふ2(益)から， (2.189)でη(k，町 一2k‑1)に む か ら 凶 か る 係 数

R(η

。 ‑

k)

十乞

R(no‑k ‑i)tη

ー ( 九 日

k ‑i

， 

i) 

1=1 

=R(no ‑k)

十乞

R(π0 ‑k ‑i)t

T ) ̲ (

町 k‑.i‑l

，

i) 

2三1

+ L R(πo‑k‑i)t

T ) + ( i

ー I川0 ‑k

一山一

π(

。

k)

方

R(π

。

‑k)

+ 乞

R(π0 ‑k ‑i)tη(

。 乱

‑k‑i‑l

，

i)

Z二1

= ‑V+(no ‑k ‑l)t.L(π0 ‑k) 

‑ ~二

^R(l

十 州 ( 川 ‑

k ‑1 ‑i)  (2.190) 

(2.80 )から t

ηーπ(0 ‑k ̲ j

，

j) =tηー(no‑k‑j‑1

，

j)

十らl+

( j‑

1，町 ‑

k  ‑j )

句ー(町

k )

，  t

η

  ( i，π

。 ‑

^{k ‑i) =tη (i  ‑}1，叫日 k ‑i) 

+tη(π

。 ‑ ^{k  ‑i} 

^‑1

^， 

^{i) t.L (no ‑k}

⁾  

(2.191)  で あ る か ら ，J₅の 項 に 代 入 し て ，t 

c 5 . .  (

π

。 ‑k)

に左からからりトかる瓜をまとめると，

J

₅ = 

J

₆十h^t

c 5 . . (

πo‑

k )  

^{qL  噌aA ハu d}

^{︒ ︐}

^u

⁾ 

( 

の 形 に 表 現 で き る . こ こ で

no‑2k‑2 

J6=R(k+1)+

乞

η(見。‑k‑iー 1

，

i)R(k十 I

什)

i=l 

十V̲(no‑k ‑l)tη(no ‑2k ‑2

， 

k十1)

+乞

^(R(k

+ 

1 ‑j) 

+  L

^{η(no ‑k ‑}1 ‑i

， 

i) 

j=l  ^S二1

x R(k十1‑j+i))tη‑(η

。 ‑

^{k ‑1 ‑j}

， 

j) 

'M

π 

 

η︐ 

h

乞

j=o 

x 

(乞

R(ト j

+ 

1 

+ 

i)tη

  i ， (

no ‑k ‑1 ‑i)) 

i=u 

=I

I 5 :

k+l) 

"0  (2.193) 

‑77 

J7 

=玄

(R{k十1‑j)十

2 二

η(π

。 ‑

^{k ‑1 υ )}  

}  = 1  

^zニ1

. ︐

J 

h

パ 川

町 件

t h R  

唱'A

U

↑ + η︐.︐J 

λり

h

+

↑  

︐J O   一π

‑q J 

l (  

+ n p  

仰 い ヤ ム 同

× 一

十 乞

R{k‑j 

+ 

i)t

1 ] + {

町 k‑1‑

υ)) 

i=l 

+η (k

，

no ‑2k ‑l)(‑V+{町 k‑1

)   ' n  

η 十η︐ 

' n  

n 

R 

h

乞 + 

i=l 

十V̲{no‑k ‑l)t

1 ]

+{k

，

π

。

^{2k‑1). (2.194)} 

(2.194)でη(k，no‑2kー1)に 右 か ら 儲 か る 係 数 の 一 つ I :

7 = 1

R{no ‑k ‑i)tη+(i  1，π0 ‑k ‑

i )

は.(2.194)の1行 日 に 繰 り 込 む こ と が で き ， 結 局

J7 = I~ h+ 1) '.0 

) 

にd

nw d 

噌EA

OF 

︐ ︐ . ︑

k+1

壬

_Noの 制 約 条

n

下 で 考 察 し て い る の で ， 再 び 帰 納 法 の 仮 定 よ り J₆= J₇ = O. 

(k+1)  従 っ て ，

n

πo+1=0.E

以 上 よ り ， す べ て の ηξ{1γ・.，

N}

で 命 題

{ * ) n

が 成 立 す る こ と が わ か っ た . 従 っ て 命 題 ( * ) が 成 立 す る . こ の こ と は ， 共 分 散 関 数

( R { π } jI n l 三 N )

^{が 与 え ら}

れれば， ラ ン レ / ユ パ ン デ タ を 確 定 す る ア ル コ リ ズ ム が す べ て 求 ま っ た こ と を 意

味しているー こ乙でアノレコリズムをまとめておく.

[アルコリスム

l

(1)

九

(O)= V̲{O

ト

R{O)

，

(2) d+{l)二 i+{l

，

O)= ‑R{l)R(O)‑

  ， l

(3) d̲

{ l ) 二

i‑

( 1 ，

O)= ‑tR(l)R(O)‑

  ， l

(4) V+{l) = 

( I  ‑

d+(l)IL{l)

)V

+{O)

， 

(5) V̲

{ l )  

= 

( I  ‑

d̲

{ l

)d+

{ l ) ) V

̲{O)

， 

π>2で は

78

(6) d+(π)=一(R(π)

+  L:~~~

^{1'+(π 1}

， 

k)R(k 

+ 

1)

)V

̲(π

ー1)

‑1

，

(7) L(π) = ̲(tR(π)十2;17(π‑l

，

k)tR(ん十1))V+ (π 

1 )

‑1

， 

(8) 1'+(托，O)=d+(π)，

(9) 1'‑(π

，

0) = L(π)

， 

(10) 1

壬

k<πに対し

1'+(π，k)=1'+(πー 1，k ‑1)^十d+(πhー(π1，πー 1‑k)， 

(11) 1

壬

k<況 に 対 し

1'‑(π，k)=1'‑(π 1，k‑1)+L(πh十π(^← 1，πー 1‑k

  ， )

(12)叫η()=

( I

‑d+(π)d̲(π)

)V

+(n ‑1)

， 

(13) V̲(n) = 

( I  ‑

L(n)d+(π)

)V

̲(n ‑1). 

特に， 1次元の日寺はすべての πで ，tR(n) = R(π) = R(π).従って， (1)から (5)ま で の ア ル コ リ ズ ム に よ り ， 例 え ばd+(l)

= 

L(l)， V+(l)二 V̲

( 1 )

がわかる.

多 次 元 の 場 合 は そ の 証 明 が 難 解 だ っ た 補 題 2.5.4も， 1次 元 で は 問 題 な く 成 立 す

る.逐次的に求めれば， 般に

じ + ( * ) ⁼ 

^d̲(*) 

1'+(キ，・)

= 

1'

‑h

^・)，

九(*)

= V̲(*) 

(2.196) 

が 成 立 し . 簡 明 な ア ル コ リ ス ム と な っ て い る .

ここで，Durbin=Levinsonの ア ル ゴ リ ズ ム に つ い て ふ れ て お く .ARモ デ ル に ついては ~2.7 で説明するが， Levinson 

( 1

947)は， 1次 元 の ARモ デ ル に つ い て K M₂0‑ラ ン ン ュ パ ン 方 程 式 と 同 じ ア ル ゴ リ ズ ム を 発 見 し て い る . 赤 池 = 中 川 (1972， pp. 54‑58 ) は ， 多 次 元 の AR(k)モ デ ル に つ い て Levinsonの 発 見 し た 方 法 に よ り 係 数 を 求 め ， そ れ に 伴 う FinalPrediction Error( FPE( 

k ) )

を 提 案 し た.Levinsonの 方 法 は ， 多 次 元 の 弱 定 常 過 程 の 場 合iこ 拡 張 し て 研 究 さ れ ， 現 在 で はDurbin=Levinsonの ア ル ゴ リ ズ ム と 呼 ば れ て い る (Brockwell=Davis(1987)，p.  419) . 

既に述べたように， K M20‑ラ ン ジ ュ バ ン 方 程 式 は ， 揺 動 散 逸 定 理 を 求 め る 過 程 で 導 か れ た も の で ， 原 点 、 を 決 め て 正 負 に 時 間 領 域 を 分 け ， そ れ ぞ れ の 揺 動 部 分 と 散

79 

逸 部 分 間 に 倒lく 相 互 作 I i l を 表 寸 ア ル コ リ ズ ム に 特 徴 が あ る と 三 え る . そ し て ， 補 題 2.5. 4 は 最 も 民 動 散 逸 定 理 ら し い 定 時 と 言 う こ と が で き ょ う .

我々は， KM20ーランゾユハン方ね式の聞論をもとに，次章で.tH 本自~J な問題を議 論 す る . 即 ち ， 釘 限ilo]の 観 測 位 か ら 成 る 時 系 列 が 与 え ら れ た 時 ， こ れ ら が 弱 定 常 過程の実J}~値とみなせるかどうかという問題である.

2.6特 異 な テ ィ フリ yツ行タJI

X=(X(π); 1π1::; 

N)

が， (T.2)を 満 た す1次 元 局 所 弱 定 常 過 但 と し よ う . 即 ち

(2.30)に よ っ て 定 義 さ れ る テ ィ プ リ ッ ツfiylJSn，冗 =1，'・ '，N に つ い て(T.2)

が 成 立 し て い る と す る . 即 ち ， あ る No，No^{ニ 2γ・'，}Nが 存 在 し SπE GL(n ; R)，π =  1，・ .，No ‑1  Sn

便

GL(π;

R)

，丸二No^{，・・ ，}N  と 仮 定 す る . こ の 時 ， 次 の 定 理 が 成 り 立 つ .

(2.197) 

定 理 2.6.1 実数からなるシステム(‑rπ(，

k )

，O(m); 

V

(l)， 

1 壬 k

<

九三

No^， 1 _~ m， 1

三

_No}が唯一つ存在し，

(i)任 意 のπε{1，・・ .，No^{‑l}に対し，}

X(π) = ‑

L 

ⁱ⁽ⁿ

^， 

^{k)X(k) ‑o(π)X(O)十 叫(π)}

^，

^(2.198) 

h二1

九 一1

X(ーπ)=

乞

i(π

，

k)X(‑k)‑O(n)X(O) +νー(π). (2附

(u)任 意 の

η ε

{No，'" ，N}に対し，

No‑1 

X(n) 

=‑乞

i(No^，k)X(ト No

+ 

k) ‑O(No)X(丸 山 ) ，

" = 1  

^(2.200) 

九 一1

X(一π)=

乞

i(No

，

k)X(一π_+No ‑k) ‑O(No)X(一π十No)

(2.201 ) 

( u i )

任 意 のπ，kε N，

I : : ;  

k 

<

π

三

_Noに対して，

i(π，k)=i(n‑l，k‑l)+O(πh(π‑1，π‑k ‑1)，  (2.202) 

V (

π) = (1 ‑O(π)2

) V (

π‑1)

， 

(2.203) 

π‑2 

O(π)=一(R(π)

+  L 

^i(n ‑1

^， 

^k)R(k 

⁺ 

¹⁾

^{) V (}

^π1)一

Io(π‑1)1<1

， 

IO(No)1 = 

1 .  

" = 0  

‑81 ‑

(2.204)  (2.205)  (2.206) 

ここで.i(n，O)=O(π). 

証II]J:時 間

N

_oま で は ， ラ ン ジ ュ ハ ン 方 程 式 の ア ル コ リ ズ ム が 成 立 す る か ら ，

V(No) 

= 

0を 証 明 す れ ば よ い .V(No)

手

Oと仮定しよう.

こ の 時 .X(k)， k ニ 0 ，・・ • ，Noは 一 次 独 立 で あ る . こ の 事 を 証 明 し よ う . Ck

ε

R，k 

= 

0，'・ .，No^を

. 2 : 色 。 c ， .

X(k)

= 

0を 満 た す よ う に と る . K M20ー ラ ン ゾ ユ パ ン 方 程 式 か ら

No‑l 

X(No) 

= ←乞

i(N1日

，

k)X(k)

+ 

v+(No). 

( 2 . 2 0 7 )  

故 に

No‑l 

2 ^二

^{(Ck‑CNoi(No}

^，

^k))X(k) 

⁺ 

^cNov+(No) = O.  (2.208)  上式の両辺』こv+(No)を 掛 け て 期 待 値 を と れ ば .CNo V(No) = O. 従って • cNo ⁼ O. 

同様にして • Ck 

= 

0， k 

= 

0，・・ .，No^{ー 1.故に .}{X(n)j 0

壬

n

壬

_No}は 守 次 独 立 で あり，

( X(No)¥ 

SNo⁺¹ 

=  E(  I  I 

(X(No

， )

・・・ ，X(O)))

ε

GL((No 

+ 

l)j R) 

¥ X(O) 

J 

こ れ は ， 仮 定 に 矛 盾 す る . . 

2.7  偏 相 関 関 数 と 構 成 定 理

K M₂0‑ラ ン ン ユ バ ン 方 程 式 の ア ル コ リ ズ ム か ら ， ラ ン ジ ュ パ ン テ タ は ， 偏 相 関 関 数 か ら 構 成 さ れ て い る こ と が わ か る ー こ の こ と は ， 偏 相 関 関 数 が う ン ン ュ ハ ン 方 程 式 で 基 本 的 な 役 割 を 果 し て い る こ と を 意 味 し て い る 偏 料 開 関 数 を 理 解 す る た め に ， 確 率 変 数 問 に 定 義 さ れ る 偏 相 関 係 数 を 例 に と ろ う .

XO^，X1，X2^を1次 元 の 確 率 変 数 で . 平 均 0，分散 1とする. XO， X₂をX1

に 対 し て 回 帰 さ せ ， 次 の 式 を 得 る .

( x o = ^{ル 匂}

X2=s

九

2Xl

+ 

^{l'匂2. (2.20ω9)} 

ここで，

s O  

^= EXOX1， s2 = E X2X1.この時 ，X1の 影 響 を 除 去 し た ，XOとX2

の 偏 相 関 係 数^1"X^OX¹，X¹は，^1'0と正2の 相 関 係 数 と し て 定 義 さ れ る . 即 ち ， E(1'2 ‑E(2)(eO ‑Eel) 

rxox"x

， 

= COrr.(e2

，

eO)  ^~\-. ~I\~-L' (2.210) 

Jζ) Jv 石 7

X。 あ る い は X²の 影 響 を 除 去 し た 偏 相 関 係 数 も 同 様 に 定 義 さ れ る .

X。と X2の 関 係 を 探 る 時 に ， 双 方 に 影 響 を 与 え て い る 変 数 X1が 存 在 す る 時 に は ， 単 純 に X。と X²の 相 関 係 数 を 見 る だ け で は ， 見 か け 上 の 相 関 か ら 誤 っ た 判断l己 陥 る 可 能 性 が あ る . そ の た め に ，

X

1の 影 響 を 除 去 し た ， あ る い は

X

1の値 を 一 定 に し た と 解 釈 さ れ る 偏 相 関 係 数 ^'J"_XOX，J:X¹が 導 入 さ れ た .Nazem(1988)は， あ る 会 社 の 売 上 ， 利 益 ， 従 業 員 数 の 分 析 で ， 利 益 ， 従 業 員 数 は 正 の 紹 聞 が あ る が ， 売 上 を 一 定 に し た 時 の 偏 相 関 係 数 が 負 に な る 例 を あ げ て ， わ か り や す く 偏 相 関 係 数 の 重 要 性 を 説 明 し て い る .

変 数 が ふ え て も ， 偏 相 関 係 数 は 同 じ よ う に 定 義 さ れ る.π>3とし，

XO，X1，'"  ，Xn  (2.211 )  を 平 均 0，分散 1の1次 元 の 確 率 変 数 列 と す る .Mx"... ，xn̲

，をX_1，・ .，X_n‑1  か ら 構 成 さ れ る 線 形 閉 空 間 と す る .Xo， Xn をMXIV‑1Xn‑zlこ回帰し

( …

^{X 1，"  ，X "}

^い

⁰

^，

Xⁿ =PMxト ，X"̲lX^{n十 九}

(2.212) 

とおく .X1^γ・・，Xn‑1を 除 去 し たXO^とXnの 偏 相 関 係 数 1"XoX"，X]，'"  ，X"̲lは， Corr.(f^町1'0)と し て 求 め ら れ る .

‑83‑

話 を も と に 戻 し て ，

X 

= 

(X(π ) ;   I n l 三 N)

をd次 元 局 所 弱 定 常 過 程 と し よ う .x の偏相関関数 5+(π )， π1 ，・ • ，

N

は，

X(

π) ~ PM~-'(X)X( π) と X(O) ~ PM~-l(X)X(O) の共分散 ir

7

¹Jを 標 準 化 し た も の で あ る . Jl

l l

ち，

5+(π) 

=  E(X(

π) ~ PM~-l(X)X(托 ))t(X(O) ~ PM~-l(X)X(O))R(O) 一 (2.213) 実際，

E(X(

π) ~ PM~-l(X)X( π))t PM~-l(X)X(O) ⁼ 

o .  

(2.214) 

方

X(

π) ~ PM~-l(X)X(n)

= 

5+(π)X(O) 

+  v + (

π ( 2 . 2 1 5 )   であるから， (2.213)の 右 辺 は

E(5+(

π

) X ( O )   +

ν+(π)

) t  X(O)R(O)

一1

二

E(5+(

π

) X ( O ) ) t X ( O ) R ( O )

^ー1

= 

5+(π).  (2.216)  なお， 5^← (π)に つ い て も 同 械 に 定 義 さ れ る .(2.213)か ら わ か る よ う に ， 偏 相 関 関 数

5 + ( n )

は，

X(O)

， X(π) から X(I) ， ・・ • ，

X(

πー 1)の 影 響 を 除 い た も の の 相 関 関 数 で ， パ カ 係 数 と も 呼 ば れ ， 工 学 で 利 用 さ れ て い る .

本 節 の は じ め に ， ラ ン ジ ュ パ ン デ タ が ， 偏 相 関 関 数 か ら 構 成 さ れ て い る こ と を 述 べ た . 大 ま か に い う と ， こ の 逆 の こ と が 成 り 立 つ . つ ま り ， あ る 条 件 の も と で ， 与 え ら れ た 関 数 を 偏 相 関 関 数 に 持 つ 弱 定 常 過 程 が 存 在 す る (Okabe(1988c)， Okabe=Nakano(1991) ) 以 下 ， 構 成 の 概 略 を 示 そ う .

M(d;R)の 元 か ら 成 る シ ス テ ム{V，

5 + (

π); 1

壬丸三

N}が 与 え ら れ た と し よ う .

Vは 対 称 で 正 定 値 と し ，

V + ( O )   =  V ̲ ( O )   =  V

と置く.まず ，

(V + ( I )

， 5̲(1)， 

V ̲ ( I ) )  

を，

削) ( ^{=V  ‑5+}

^(1)V 

^{ム ( 1 )}

L(I) 

=Vt 5 + ( 1 ) V‑

¹

， 

V̲

(1) 

=V  ‑L(I)V匂 ー ( 1 )

と置く.2 

< π <N

に 対 し て ， 逐 次 的 に

( 引 仰 川 … …π吋か日…………)ド同刊川)

=V+(n‑

引叩+仏引仰い(作ト冗ト一1

り )

ム州仰山川……

U

…)院阿川叶(作例陣1引川印冗ル叫帆(山伊山忙叫ト一 5̲(い例n吋

)

九

V

:午t(い冗 1

吋 ) =  V̲

一(作n一1

吋 ) t 5 + (

作例π吋)，

V̲(

π) 

=V̲(

π1)‑L(n)

九

(π1)弘 (π)

(2.217) 

(2.218) 

と定義する.但し，

V 千

π(ー

1 ) ε

GL(dj

R)

，π= 2 ，'・ • ，N  (2.219)  で あ る こ と と ， 九(π)，πニ 1，・・ '，Nが 正 定 値 で あ る こ と を 仮 定 す る .

次に， K M20ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 の ア ル ゴ リ ズ ム に 従 い ，M(dj R)の 元 か ら 成る γステム h+(m，π)，i̲(m，n)j0

三π < m 三N}

を 構 成 す る さ ら に ， 適 当 な 確 率 宅 間

(0

，

B 

， P )上の d次 元 確 率 過 程

v +

= (ν+(π)j 0

壬π壬N)

で ， 任 意 の m，nε N，・0

壬

m，η

S N

に対し，

E(

ν+(π)) 

= 

0

， 

E(v+(m)tv+(

π))二九π

V+(

π)

(2.220)  (2.221)  と な る も の を 選 ぶ . 定 理 1 .5.1か ら ， こ の こ と は 可 能 で あ る . 最 後 に ，d次 元 確 率 過 程 X+ニ (X(n)j0

三

π

壬 N )

を

X(O) 

= 

v + ( O )  

(2.222)  と 置 き ， 以 下π>0に 対 し 逐 次 的 に

n‑l 

X(

π)=

工 科 ^{( n} ， k)X(k) 

Ic=l 

‑05+(π

) X ( O )   +

ν+(π)  (2.223)  と 定 義 す る . そ こ で ， 任 意 の m，πεN・ に 対 し

R(m ，

π) 

=  E(X(m)tX(

π) )  (2.224)  と置くと，

R(m+l

，

n+l) 

= 

R(m

，π)， 

1 

ε N・ (2.225) 

が 成 り 立 つ .(2.225)の証明は難解で， Okabe(1988c)により 22段 階 に 分 け て 証 明 さ れ て お り ， こ こ で は 省 略 す る . 結 局 ， 次 の 定 理 が 成 り 立 つ .

定 理 2.7.1 X+は ，

h+(n

，

k )

， 

i ‑ (

π，

k )

， o5

+(m)

， o5

̲(m)

， 

V + ( l )

， 

V̲ ( l

)j  1 

S 

k < n 

S 

N， 1

壬

m

壬

N，O

三

l

壬

N}を ラ ン ジ ュ パ ン デ タ に 持 つ 局 所 弱 定 常 過 程 で あ る .

85 ‑

特 lこ，d = 1のlI!jは，

(2.226) 

を 満 た す

{V

，5(π);  1

壬

π

壬 N}

から出発すれば，

V(π) 

=  H I ^{( I  ‑}

⁵⁽

^げ

^)}V

> 

^0，πニ 1，...  ，N  (2.227)  k=l 

で あ る か ら ， 対 応 す る 1次 元 局 所 弱 定 常 過 程 が 構 成 さ れ る . 偏 相 関 関 数 を 3つ の 代 表 的 な モ デ ル に 見 て み よ う . [ARモ デ ル 1pを あ る 自 然 数 と し

X (

π) = 

L 

^lJt

k X (

^{冗 ‑}

k )

十E(π) (2.228 ) 

k=l 

と 表 現 さ れ る ，

d

次 元 弱 定 常 過 程

X=(X(

π);πεZ)を 考 え よ う . こ こ で ， 守hξ M(d; R)， k = 1γ・.，p.  E(π)，πεzは ， 平 均0共分散行子JIEの ホ ワ イ ト ノ イ ズ

と す る . ま た Eが 対 称 ， 正 定 値 行 列 で あ る こ と も 仮 定 す る .

この Xの こ と を ， 次 数pのAutoregressiveモ デ ル ， 略 し て AR(p)モデルと い う . こ の 章 の 最 初 に 述 べ た よ う に ， Yule( 1927)に よ っ て 初 め て 研 究 さ れ ， 時 系 列 解 析 の 出 発 点 と な っ た モ デ ル と し て 知 ら れ て い る . さ て ， 行 列 値 多 項 式 lJt

( z )

を 守

( z )

= 1ー 雪lZ ・・・ 曽pZP (2.229)  と置く.

I z l : : : :  

1を 満 た す ， 任 意 の

z

εC'こ対し

空(z)

ε

GL(d;

C )  

(2.230)  と 仮 定 し よ う . こ の 時 ， 次 の 定 理 が 成 立 す る こ と は よ く 知 ら れ て い る .

定 理 2.7.2 (2.228 ) を 満 た す あ る 弱 定 常 過 程

X+=  (X(

π);πξZ)がf‑f({  し ， あ る ふ

ε

M(d;R)， i 

= 

1，2，'"  ，こ対し

X (

π)=

乞む

π ‑(

i ) ，

πεz  (2.231 ) 

と 表 現 さ れ る .

‑86‑

(2.231 )より，

EX(m)tf(π) = 0

， 

m

壬

n‑1 (2.232)  で あ る か ら .(2.228)に右から tX(m)，m = π ‑1，・ .，n‑pを 儲 け て!V

J i

!j偵 を とると，

R ( 1 )   =

曽

l R ( O )

+ ・・・十曽

pR(‑p  +  1 )

， 

R ( 2 )   =

^電

l R ( 1 )

+ ・+雪

pR(‑p

十2)，

R ( p )   =

電

lR(p ‑1) 

+・・・+雪

p R ( O ) .

(2.233)は.Yule‑Walker方 程 式 と 呼 ば れ て い る . こ れ を ま と め る と

(qil， . ..  ，守

p ) S p

= ( R ( l )

γ.. 

，  R ( p ) ) .  

一方.

K M

₂

0

ーランンユパン方程式から，

(‑i+(P

，

p‑1)

，...  ，

‑i(p

，

l )

，‑c5

( p ) ) S p  

(2.233) 

(2.234) 

=(R(l) ， . . .   ，  R ( p ) ) .   ( 2 . 2 3 5 )  

仮 定 か ら .

S p  

ξ

GL(pdj  R)

で あ る か ら ， 次 を 得 る .

補 題 2.7.3

電1= ‑

i+(P ， P  ‑

1)

， 

電p‑l= ‑

i+(P ，  1 ) ，  も =‑

c5

+ ( p ) .  

n>pの時， (2.234)を得たのと同じ方法により，

(雪1，. . . ，雪p，0，...  ，

O ) S n  

= 

(R ( 1 )

γ・・

， R(

π))

を得る. また，

K M

₂

0

ーランジュノミン方程式から，

(‑i+(π，

n  ‑1 )

，・・・，‑i(π，

1 )

，‑c5

( n ) ) S

π 

(2.236) 

(2.237) 

=(R(l)

，・・・ ，

R(

π)).  (2.238)  従って，

‑87‑

定f'4l2.7.4  5+(π) = 0

，

π>p  を得る.

一 方 ， 定 理 2.7.4の逆が成立する.

定 理 2.7.5 X=(X(π); n

εZ)

を

d

次 元 弱 定 常 過 程 ，pをある

I J

然 数 と す る . X の 偏 相 関 関 数 を

5+(n)

，

n 

ξ Nとする時， 5+(η) = 0， 

n  > 

pならば， X は

AR(p)

モ デ ル で あ る .

証 明 の 概 略 を 説 明 す る . ね >p， m = 1，・・1π‑pとする.(2.79)から 1'+(π，m) =1'

+ (

π‑l，mー 1)十5+(π)η(π‑m‑1，m)

ニ1'

+(n‑l ， m

ー

1 )

であるから， inductiveに

1'+(π，π1) =1'

+(p+ 1

，

p )

， 

1'+(π，n ‑

p )  

=1'

+ ( p   + 

1，1)， 

1'+(π，

m)=O

， mニ 1，・・1 η

‑p‑1

を 得 る . ま たν+(π)の 分 散 行 列

V + (

π)は

V + (

π) 

=(1 ‑

5+(π)L(π) 

) 九

π(^← 1)= 

V + (

πー 1)

= V + ( p ) .  

(2.239) 

(2.240) 

(2.241 ) 

η

三

pの 時 は ， 弱 定 常 性 よ り Xの 時 聞 を ず ら し て 考 え れ ば よ い . さ ら に .

v+{k)

， 

k<況 が ホ ワ イ ト ノ イ ズ に な る こ と も 証 明 さ れ る

定 理2.7.4と定理2.7.5か ら 有 限 次 数 の ARモ デ ル を 特 徴 ず け る の は ， ，扇(H4関 関 数 で あ る こ と が わ か る . 具 体 的 に 言 え ば ， 与 え ら れ た デ タが ARモ デ ル の 実 現 値 と み な せ る か ど う か は ， デ タから推定される偏1'11間 関 数 が ， あ る 時 点 か

らOで あ る と 判 定 さ れ る か ど う か に か か っ て い る Box=J enkinsの 方 法 で は テ タ が こ の 性 質 を 持 っ か ど う か を 調 べ る こ と か ら 出 発 す る . こ の 検 定 に ￨ 弘

l

しては，

Q^町 nouille(1949)が 知 ら れ て い る .

‑88 ‑

[MAモ デ ル

I d

次 元 確 率 過 程

x

^二

(X(

η)jnεZ)か，

X(

π)二 e(π)+

乞

^hε

( n‑k )  

(2.242) 

k=l 

と 表 現 さ れ て い る と し よ う . こ こ で ，qε N，争kE M(d; R)，k = 1，'"  ，q.  AR  モデルと同じく， ε(π)，n εZ は，平均 O 共分散行タIJ~ の i ワイトノイズ， ~は 対 称 ， 正 定 値 行7¹Jと す る . こ の 弱 定 常 過 程 を ，q次 の MovingA verageモデル，l1li¥

して MA(q)モ デ ル と い う . 章 の 巌 初 に 紹 介 し た よ う に ， こ の モ デ ル は ロ γアの 数 学 者Slutzky(1927)に よ っ て 導 入 さ れ た . 行 列 伯 多 羽 式 を

争(z)ニ 1+争lZ

+

・・・十φqzq

と置く.

] z ] : : : ;  

1を 満 た す ， 任 意 の zε Cに対し

争

( z ) ε

GL(d;

C )  

^(2.243) 

と 仮 定 し よ う . こ の 時 ， 定 理2.7.2と同様に次の定f'Jlはよく 7、[]つれているー 定 理2.7.6 lJ1

i ε

^{M(d; R)， i二 1，2，・・が7f行し}

巾 ) =乞曽

iX(n‑i)

，

nEZ  (2.244)  と 表 現 さ れ る .

MA(q)モデルの特徴として，相関関数は次の↑'l:質を j'fつ

R(

π) = 

EX(

π

) t X ( O )

ニ 0

，

]π] 

> 

q.  (2.245 )  偏 相 関 関 数 に 関 し て は .MA(q)モ デ ル は AR(p)モテノLに 於 け る 定 理 2.7.4のよ

う な 劇 的 な 結 果 は な い よ う で あ る .1次 元 で q二 lの 湯f?を 紹 介 し よ う . 伊J2.6.1 

とする.この時，

X(n) 

=

ε(π)十争1e(π)

，

πεz 

h(1)=fh 

I十

T L

"，2 

6+(2) 

= 主

¹

( 1   +針十引)'

‑89 

(2.246) 

( φtlπ(1

ー や り

6+(π)=‑h+1)

，

(π> 2).  1 ‑<I>

i 

[ARMAモ デ ル 1p，q をある t‑J然 数 と し

X ( n ) 乞

I}ik

X(

π

‑k) = 巾)+芝〉

μ

( n‑k )   ( 2 . 2 4 7 )  

k=l  k=l 

と 表 現 さ れ る .

d

次 元 弱 定 常 過 程

X=(X(n);n εZ)

を 考 え よ う . こ こ で .I}i/C

ε 

M(d;R)，k=l，.・.，p， <I>/cεM(d;R)，k=l，"'，q.  l'(π) ，πεzは ， 平 均O 共 分散行子IJEの ホ ワ イ ト / イ ス と す る . ま た Eが対称.

L E  

it:{直行列であることも仮 定 す る . こ の モ デ ル は .AR(p)モ デ ル と MA(q)モ デ ル の 混 合 型 で ARMA(p，q) モ デ ル と 呼 ば れ .Box=J enkinsの方法は， このモデルを向干析の対象 lこしている.

ARモ デ ル と 同 様 に .(2.229)に よ っ ご 定 義 さ れ る 曽

( z )

に つ い て (2.230)を 仮 定 す れ ば .(2.247)を 満 た す 弱 定 常 過 程 Xが 存 在 す る .

{9 IJ2.6.2  d = p二 qニ lと す る 時

X(

π)  守

lX(n‑1)=

ε(π)十 争1l'(π  1)  (2.248)  は.1次 元 の ARMA(l，l)モ テ ル で あ る . 共 分 散 関 数 を R と す る 時

p(π)二

R (

π)/

R ( O ) ，

πεz 

を 相 関 関 数 と 言 う . こ の 時

一方

ρ(π)=雪1ρ(π

1 ) ， 

n = 2

・ ・ ，

p(2)ρ(1)2  6(1)ニ

p ( l ) ，

6(2) 

= 

ρ(1 )2 

(2.249) 

(2.250) 

(2.251)  従 っ て ARMA(l，l)モデルは.(2.249)か ら AR(l)の 特 徴 を 持 つ が ， 偏 相 関 関 数

に よ っ て .AR(l)と 灰 別 で き る .

2.8  予 測 公 式 と 予 測 誤 走

最 初 の 仮 定 に 戻 り ，

X=(X(

π);  Iπ￨

三 N)

をd次 元 局IYrI¥

i !

'A:常過程とする.本節 では，

K M

₂

0

ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 に よ る 前 向 き の 予 測 公 式 と 予 測 誤 差 を 与 え る . 定 理 2.8.1(前向きの予測公式)任意の m，nε N，・0

壬

π < m

三

Nに対して，

PM~(X)X(m) = 乞 Q+(m ， n ;  k)X(k) 

(2.252) 

h二O

と 表 現 で き る . こ こ で 係 数 行 列

Q+(m

，

n ; k ) ε

M(d;

R)

は，次の漸化式を満たす.

r

:

^{→ 1}

^{， n ; k )   =} じ )

Q+(m

，π

; k )  

= ‑

L 

^'Y

^+(m

^，

^{I ) Q + ( I}

^，

^{n ; k )  ‑}

^'Y

^+(m

^，

^{k )}

^， 

l=n+1 

O<k<n<n

十 1

< 

m 

<  ^N. 

(2.253) 

証 明 mニ 丸 十lの 時 は 明 か . 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 す る .m ξ{九十1，・.，mo} 

で(2.252)が 成 立 し て い る と 仮 定 し よ う .

EX(k)tv+(mo  + 

1) = 0， 

k 

= 0，・・・ ，mo  (2.254)  であるから，

PM~(X)X(mo +  1 )  

= ‑

L 

^'Y+(mo十

^{1 ， k)X(k)} 

k=O 

"'0 

‑L 

^'Y+(mo十

^{1 ，}

I)PM~(x)X(l)

1=π+1 

二 乞 ( 乞 ' Y+(mo

+  1 ， I ) Q + ( I ， n ; k )  

h二日 l=n+1 

‑ 'Y+{mo 

+ 

1

，  k ) ) X { k ) .  

(2.255)  従って， m = m o十Iの時(2.252)が成立し， (2.255)から (2.253)の 漸 化 式 を 得 る. . 

任 意 の π，mε N，・0

三

π < m

壬

Nに 対 し ， 前 向 き の 予 測 行7¹J

P+{m

，π) ，前向

91 

き の 予 測 誤 差iiタJI

e+{m ，  n )

を

P+{m ，  n )

二

E{X{m)tv+  ( n )   )V + { n )

一1/2

，

(2.256) 

c+{m ，  n )  =E((X{m) ‑

PM~(X)X{m))

x 

t(X{m) ‑

PM~(X)X{m)) (2.257)  と 定 義 す る . 次 の こ と が 成 り 立 つ .

定 原 2.8.2 任 意 の m，n E N，・0

壬 n < m 壬

N に対し

(i) 

X(m)

二

R(m)R{0)‑1X(0) + 

2:~1

P+(m ，  k ) れ ( k )

一

1 / 2V+ ( k ) ，

(u)  PM~(X)X{m) = 

R(m)R{0)‑1X{0)  + 

2:~=1

P+{m ， k ) 叫 ( k ) ‑ 1 / 2 V + { k ) ，

(iii) 

e+{m

， 

n )  

= 

2 : 乙

^π

^{+ 1P+{m}

^，

^{k ) t  P+{m}

^， 

^{k ) .}  

証明:(i)  W = (i)の 左 辺 (i)の 右 辺 と置く

.w

^{の成分は， MO(}

叫)

，こ属 する. ー方

EWtv+{k) 

= 0， 

k 

= 0，'"  ， m.  (2.258)  故 に 日1= O. 

(u) 

EX(k)tv+{l) 

= 0， 

k 

= 0，'"  ， 

n

， 

l  = π+ 

1，・・ '，

m

であるから， (i)より (ii)が 成 り 立 つ .

(iii)  (i)

，

{ii)から

X{m) ‑ PM~(X)X{m) = 玄 人 ^(m ， k )V + { k )

巾 ν

+ ( k ) .

(2.259) 

hニπ+1

従 っ 亡 ， (2.257)か ら (iii)を得る. . 

U:'ffJ!  2.8.3任 意 の m，π ε N

ぺ

0<π<m

三

N に対して，

(ド一(作……冗…川ル………托吋←

=

叫円叫刊…

v

凡叫)

+

ド仰同(刊作川冗

=

ι ニ

1 ( 2 . 2 6 0 )

P+{m

，π)二 一

γ i+{m

，

k)P+{k

， 

n )  

証 明 (2.256)で，

m =

況 と 置 く と

P+{n ， ^{n )}  

= 

E{v+{

π

) tv+ (

π

) ) V (

π)ー1/2ニ

V + ( n ) 1 / 2 .

(2.261) 

EX{k)tv+ {

π) = 0， 

k

二 0，・・.，

n  ‑

1で あ る か ら .

rn‑1 

P+{m ，  n )  =E{{ 乞 i+(m ， k)X(k)

十

v+(m))tv+ (

π)

}V

+(π)巾 h二O

m ‑ l  

=E{( 乞 i+(m ， k)X(k))tv+{

π

)}V+{

π)巾 h=n 

rn‑l 

= ‑

L i

十

(m ， k)P+{ い )

•

^{特に， 1ス テ y}プ 先 の 予 測 誤 差 行 列 と し て 次 を 得 る . 定 理 2.8.4 任 意 の πε{O，・・ .，N ‑1}に対して，

e+{n 

+ 1， 

n )  

= 

( 1  ‑d+{n 

+ l)L{π+ 1))・・・

( I‑ d+{l)L{l))R{O) 

証

e+{

π+ 1

，

^π) = 

V+(

π十

l)= ( I ‑d+{

π+l)L{π

+  l ) )V +{n) 

で あ る か ら ， 逐 次 的iこ 求 め れ ば よ い

E 

‑93 ‑

2.9  非 線 形 K M₂0・ランジュノミン方ねえ

K M20ーランジュパン方程式の特徴のーっとして，非線}f;の項を持つ五程式もそ の 埋 論 の 一 環 と し て 含 ん で い る . し か も そ の 非 線 形 方 程 式 は ， 次 章 の 定 常 性 の 検 定(S)の誌自主作成に大きな役割を担っている.

y = 

( Y (

π)j  0

三π壬 N )

を あ る 確 率 空 間 (!1，

B

^，

P )

^{上 の} 1次 元 確 率 過 程 で Y(π)ε L⁶(!1，  B， P)，π= O，...，N  (2.262)  を 満 た す も の と す る . こ の 時 ， 1次 元 確 率 過 程

x

{l)ニ

(x

{l)(π)j0

壬n壬 N )

と 2次 元 確 率 過 程x(p)= (X(p)(π)j 0

壬π三

N)，p =2，3を

x

(1)ニ

Y(

π)‑

E(Y(

π)) 

，  xω) ー(

-~(π) ‑E(Y(η~L

) 

‑¥ Y(π)P  ‑

E(Y(

π

) P )  } 

と し て 定 義 し よ う . 次 の 定 思 が 成 立 す る .

定 埋 2.9.1 X(p) ( p=1，2，3)は， (T.l)を 満 た す 弱 定 常 過 程 と す る . こ の 時 実 数 か ら 成 る 3極類のゾステム，

h~l)(π， ^{k ) ;}  

0

壬 h

くn5N}，{72)(nA);15i

壬 日 三

k<π壬N}(p = 2，3) ， 3穏 類 の l次 元 確 率 過 程 咋)=(uY)(π)j0

壬π 三

N)(pニ 1，2，3)がそれぞれ唯一つ存在し，

(i)  任 意 の π =1，・・ '，Nに対して，

(i.1 ) 

円

0)E(Y(0))?)j

Y(π) ‑

E(Y(

π)) = ‑

L  ì~l)(n， ^{k ) ( Y ( k )  ‑E(Y(} 的))

(i.2 ) 山 ) は 平 均Oの直交過程，

(i.3) 

E(Y(m)v~l)(π))=0 ， ^{m = O}

^，"'，

^n‑l

^， 

(i

刈 {Y(m)‑E(Y(m))j 

0

壬

m

壬

π}の 作 る 線 形 閉 集 合

= Mò(ν~1)).

(ii)  p = 2，3と 任 意 の π=1，・・ '，

N

に対し，

‑94‑

(2.263) 

) 

噌' A

・I

・ ‑

( 

'M  

Y  E 

'M  

Y 

E配π 

何十7 

川 つ

1﹁

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︑ 一

ドキュメント内 経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用 (ページ 83-103)