一 ︑

) 

噌' A

・I

・ ‑

( 

'M  

Y  E 

'M  

Y 

E配π 

何十7 

川 つ

1﹁

d o

/t

︑ 一

と 定 義 し .(2.265)の第一成分をとると， ンステム

b t

^l(

丸 刈 壬

i

三

2，0

壬

k 

< π 壬 N} と[在宅過程 v~l (v~\n)j

0壬π

三

N)は， (ii.l)と (ii.2)  を 満 た す 方 程 式 の 構 成 の 仕 方 か ら uy)(π)は

Y(m) ‑E(Y(m))

， 

Y(m)P ‑ E(Y(m)P)

， m ニ 0，・・，π 1と 直 交 す る . 従 っ て (u.3)が 成 立 す る . 次 に (ii

刈

を 示 そ う .(ii.4)の右辺が左辺iこ 含 ま れ る の は (ii.l) か ら 明 か で あ る .(ii.l)よ り.

Y(O) 

= 

E(Y(O))  + 庁

l(O)で あ る か ら .

Y ( O )

， Y(O)P は， σ(v~l(O))ー百Ht^l1

で あ る

同様に (ü.l) から Y(l) は， σ(v~)(O) ， v~l (1))ー可測になり ， Y(l ) P

も σ(

庁

l(O)，

v~)(1))- 可i!l.

¹

1 であることがわかる

逐 次 的 に ， 任 意 のη =O，"'，Nで，

Y (

^{π)は .}IT(

庁

^l(m)j0

壬

m

三

π)ー司測である 故 に (u.4)が成り立つ

一意性を示そう

{ 也

l(n，k)j  1

三

z

三

2，0 

  s :

^k 

<

π

壬

N}，DY)=(

庁

l(n)j0

壬

π

  s : N)

を.(ii.l)ー(ii.4)を満たすγス テ ム と 確 率 過 程 と す る .(2.265)の 第 二 成 分 をとれば，

Y(

π

) P   ‑E(Y(

π

)P)=

一

L

ì~il(η，

^{k ) ( Y ( k )  ‑E ( Y ( k ) ) )}  

k=日

L 

ì~i2(π ，

k ) ( Y ( k ) P   ‑E(Y(k)P)) 

+4)(π) 

そこで，

‑(P)idhA)? ， +

I(π

，  k )  

I(~~ ';‑' 

  ， ̲ .

I(~~

忠

π，(';‑' '"' 

k )  ' ¥  

1 7 T L ( π ^， h ) 7 T J ρ ^，

^k)) 

バ )

(π) 

=  ( _¥  宅 _{v +} ; _{' i} 叶 ₍

π

) J  

と 置 く と ， 任 意 のπ =1，・・ '，

N

に対し，

ORU CU 

︒

a

qL 

︑ ︑ . ︐ ︐ ︐ n 

九 げ

十

μ 

+

'R  

宵r

x 

'H

η   

九 げ +

︐ ・

7

川 つ

1﹁

d o

it

︑ 一 一 ︐

‑ 一 一

J︐n

4 h  

d 一

一 一 一 一

o n  

伊

x

国

x  

il

﹄

t 1 1 1

任 意 の m，πε{O，・・ .，N}， 0

三

m <n

三N

に対し，

E(X(p)(m)t /L~)(π)) = 0  (2.269) 

であるから，

バ )

^{(π)ニ X(}

^引い)‑

PM;;‑l(X(Pl)X(刈(π)，π= 1，...  ， N.  (2.270) 

従って，

バ )

^{(π) =ν(p)(π)，π= O，...，N  (2.271 )} 

第一成分が等しいことより，

庁)

(π) =ν

白

(π)，π=0，...  ，

N 

(2.272) 

さらに.(2.265)，(2.268)， (2.271)，より

Lì~)(π， k)X作)(k)

= 

L  -ÿ~)(n ，

k)X(

什

k)，π=0，...  ，

N 

10=0  10=0 

最初に注意したように •

{ Y ( m )  ‑E ( Y ( m ) )

， 

Y ( m ) P  ‑E ( Y ( m ) P ) ;  

0

三

m

三 N

‑1} 

が一次独立であるから，

d)(π，k) = 

-ÿ~)(π， k) ，

0

三k<

π

: s

N.  (2.273) 

従って，

72)(π，k) =

市 l (

π，k)，i = 1，2，0

壬k<

π壬N. (2.274) 

E 

K M₂0ー ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 の 理 論 か ら .X(1)が弱定常性を持てば，共分散関 数 か ら ， ア ル コ リ ズ ム に 従 っ て ，

{ì~l)(π，

k); 0

壬k<

π

三N}

を 求 め る こ と が で きる 同 様 に ， 各p= 

2， 3 に対し •

^x(p)が弱定常過程であれば， {72)(π，

k ) ;

1

壬

i

壬

2，0

壬

k<π

壬

N}を 具 体 的 に 求 め る こ と が で き .(ii.1)から Yのp次 の 非 線 形 方 程 式 が 具 体 的 に 構 成 さ れ る .

定 義 2.9.1 (ii.1)を ，x(p)  か ら 生 成 さ れ る ， タ イ プpの非線形前向きK M20 ラ ン ジ ユ パ ン 方 程 式 と い う また.h~/(π， k); ¹

三 i 三

2，0

壬k< π 三

N}，l/~)

は ， そ の ラ ン ジ ュ パ ン デ タ，及び力と呼ぶ.

Yが 強 定 常 過 程 な ら ば .x(p)が 弱 定 常 牲 を 持 つ の で.Yのp次 の 非 線 形 方 程 式 を 得 る こ と が で き る . 従 っ て ， 強 定 常 過 程 で あ る テ ン ト 変 換 ， ロ ジ ス テ ィ yク 変 換 か ら 非 線 形 方 程 式 が 構 成 さ れ 次 章 で 利 用 さ れ る .

定 理2.9.1と 同 じ 仮 定 の も と で .3種 類 の 予 測 誤 差ET)(m，π)(0

壬

π

壬

m

壬

‑97‑

N

，

l

三

p

三3

)を

e~)(m川) ⁼ E(IY(m) ← PM~-l(x(p))Y(mW)

と 置 く . こ の と き ， 射 影 の 定 義 か ら 明 ら か に

ど

^)(m

，

π)

三EU)(m ，

π)

，ど

)(m

， n ) 壬EU)(m ，

η) (2.275 )  こ の 事 は ， 定 厚2.9.1の 仮 定 を 満 足 す れ ば ， 予iWJに 関 し て ， 線 形 予 測 よ り も 非 線 形 予 測 が 効 果 的 で あ る こ と を 意 味 し て い る .

‑98 ‑

3

章 定 常 性 の 検 定 (

S )

と そ の 応JIJ

時 間 の

t f t

移 と と も に 変 動 す る ， し か も 不 規 則 に 変 動 す る い わ ゆ る 確 率 現 象 は ， 我 々 の ご く 身 近 な 所 に 生 ず る も の か ら ， r1 ; い 宇 宙 の ど こ か で 観 察 さ れ る も の ま で 幅 広 く 存 在 す る .11寺 系 列 は ， 一 般 に は ， 時 間 の 経 過 と と も に

l

順 次 に 記 録 さ れ た 観 測 値 の 集 合 を 意 味 す る が ， そ の 中 で も 確 率 現 象 か ら 得 ら れ た と 考 え ら れ る 観 測 値 が ， 我 々 の 解 析 の 対 象 に な る . そ の 観 測 値 を 時 系 列 デ ー タ と 呼 ぶ .

具 体 的 に ， 時 系 列 の 例 を あ げ て み よ う . 数 え 上 げ る ま ま に あ げ て い く と ， 火 山 地 帯 に 於 け る 火 砕 流 の 発 生 回 数 ， 太 陽 黒 点 数 な ど の 自 然 現 象 ， 製 鉄 所 の 溶 鉱 炉 内 の 温 度 ， ビ ル の 生 産 量 な ど の 工 学 あ る い は 討 会 現 象 ，

GNP

， 卸 売 物 価 指 数 な ど の 経 済 現 象 等 ， 多 岐 に わ た り 枚 挙 に い と ま が な い . こ れ ら の 時 系 列 に 共 通 す る こ と は，当然、のことであるが，そのテ タ の 個 数 は 有 限 個 だ と い う こ と で あ る . 従 っ て ， 我 々 の 得 る こ と が 出 来 る 有 限 個 の デ タ か ら ， 何 ら か の 数 学 的 法 則 性 を 捉 え ， 背 後 に あ る 確 率 現 象 の 構 造 を 明 か に す る こ と が ， 時 系 列 島 幸 析 の 第 ー の 目 的 と 考 え る こ と が で き る . こ の 数 学 的 法 目)1を 我 与 は 弱 定 常 性 と 解 釈 す る の で あ る .

現 在 の 時 系 列 解 析 の 主 流 と な っ て い る A l

C

規 準 に よ る 方 法 . あ る い は

B o x ‑

‑ J e n k i n s

法は，

AR

モ デ ル あ る い は よ り lよく

ARMA

モ デ ル を ， 与 え ら れ た 時 系 列 デ タ の モ デ ル と し て 選 択 す る . 確 率 論 の 立 場 か ら 見 れ ば ，

AR

モ デ ル や

ARMA

モ デ ル は ， 弱 定 常 性 と 有 限 重 の マ ル コ フ 性 と い う つ の 側 面 を 持 つ . 有 限 委 の マ ル コ フ 性 と い う の は ， 直 観 的 に 説 明 す れ ば ど の 時 点 、 に お い て も ， ー定個数の過去 を 引 き ず っ て い る こ と を 意 味 す る . つ ま り ，

AR

モ デ ル や

ARMA

モデルはー∞か ら 続 く 確 率 過 程 で あ り ， 有 限 個 の 時 系 列 デ ー タ で は こ れ を 説 明 で き な い . こ の よ う に ， 有 限 個 の 時 系 列 デ ー タ の 解 析 に

AR

モ デ ル や

ARMA

モ デ ル を 利 用 す る こ と は ， 自 己 矛 盾 を 含 ん で い る .

ま た 弱 定 常 性 と い う も う 一 つ の 面 か ら 考 え て も 問 題 が あ る .AIC規 準 に よ る 方 法 ， あ る い は

B o x ‑ Je n k i n s

法 の い ず れ も ， 弱 定 常 性 を 大 前 提 に し て ， モ デ ル を 選 択，パラメータ を 推 定 し ， 選 択 さ れ た モ デ ル の 妥 当 性 を チ エ ソ ク す る と い う 段 階 を 経 る . で は ， 前 提 と な っ て い る 弱 定 常 ↑ 吐 は と の よ う に チ ェ yク し た ら よ い の で あろうか.

佐和 (1983)は ， 経 済 学 の 立 場 か ら ， 時 系 列 解 析 を 批 判 し て い る が ， そ の 論 点 を 要 約 す る と ， 以 下 の と う り で あ る .

( 1 )

予 測 は 有 限 個 の 変 数 の 枠 内 で 促 え ら れ る も の で は な い .

( 2 )

モ デ ル と し て い る ， 確 率 過 程

(AR

モ デ ル や

ARMA

モ デ ル ) で は ホ ワ イ ト ノ イ ズ 等 の 偶 然 変 重 の 外 性 変 数 が 決 定 的 役 割 を 持 ち ， 経 済 学 に そ ぐ わ な い . そ も そ も ， 確 率 論 は 無 限 伺 数 の デ タ を 扱 う 理 論 で ， 有 限 個 の デ タ し か 得 ら れ な い 経 済 時 系 列 に 適 用 す る の は 無 埋 で は な い か .

(3)経 済 学 に お い て は ， 定 常 性 の 仮 定 は 強 す ぎ る . し か も そ の 検 定 は 不 可 能 で ある.

( 1 )

に つ い て は ， 時 系 列 解 析 を 予 測 の 観 点 か ら 判 断 す れ ば ， 正 当 で あ ろ う . しか し ， 時 系 列 解 析 は 予 測 だ け で な く ， 変 数 聞 の 影 響 関 係 の 分 析 ， 因 果 関 係 の 分 析 等

‑99 

の 独 自 の 重 要 な 問 題 を も 含 む . そ れ ら の 研 究 の 進 展 と と も に ， 予 測 も ま た 意 味 を 持ってくると忠、われる.

( 2 )

に つ い て は ， 有 限 個 の デ タ の た め の 理 論 で あ る

KM

₂

0

ーランジユパン方程 式 が 答 え て い る . こ の 理 論 で は ， 外 性 変 数 の 導 入 は な く ， 臼 ら の シ ス テ ム か ら

1 5

ら れ る 揺 動 力 が 決 定 的 な 役 割 を 果 た し て い る .

(3)に つ い て は ， 時 間 パ ラ メ ー タ が 一 ∞ を 含 む 無 限 領 域 で の 定 常 性 が 問 題 に な っ て い る よ う で あ る . た し か に ， 時 閣 の 推 移 と と も に 経 済 構 造 は 変 化 す る と 考 え ら れ る の で ， こ の 批 判 は 説 得 的 で あ る が ， 限 ら れ た 時 間 領 域 内 で は 弱 定 常 性 を 持 つ 場 合 も 十 分 有 り 得 る と い う の が 我 々 の 見 解 で あ る し ， 見 解 を 裏 付 け る た め の 理 論 を 用 意 す る .

こ の 章 の 目 的 は ， 基 本 的 な 命 題 即 ち " 有 限 個 の 時 系 列 デ ー タ が 与 え ら れ た 時 ， ど の よ う に し て こ れ ら が 局 所 弱 定 常 過 程 の 実 現 値 で あ る か ど う か を 検 定 す る か "

に 対 す る 我 々 の 解 答 を 示 す こ と に あ る . そ の 解 答 と し て

KM

₂0ー ラ ン ジ ュ パ ン 方 程 式 の 理 論 を 基 に 導 か れ た 検 定(S)が 提 案 さ れ る . そ し て ， 太 陽 黒 点 等 の デ ー タ 解 析 に 検 定(S)が 応 用 さ れ る .

こ こ で 一 言 断 わ っ て お か ね ば な ら な い が ， 我 々 は .BOJI. ‑J enkins法 やAIC規 準 に よ る 方 法 を 否 定 す る も の で は な く .

KM

₂

0 ‑

ランジュバJ 万 程 式 の 理 論 の 応 用 と し て ， 独 自 の 立 場 か ら ， 有 限 個 の 時 系 列 デ タ の 解 析 を 目 標 と す る も の で あ る . 3.1標 本 共 分 散 関 数

d， Nを 任 意 の 自 然 数 と し ， 以 後 固 定 し て 考 え る .N 

+ 

1個 の dx 1ベ ク ト ル

Z ( n ) ε R

^d 

( 0 壬

π

三 N )

が 与 え ら れ た と し よ う . こ の 時 ， デ ー タ

Z

= 

( Z (

η);0 

s 

n S N)の 標 本 平 均 ベ ク ト ル μZ 標 本 共 分 散 関 数 R^Z= (Rゑ h~j."~d が定義さ れる.

定 義 3.1.1μZ，R^Zを 以 下 の 様 に 定 義 す る

. π ε

{O，・・ .，N}に対し

2i内F 内d n d

z h

μ   

m ' u

m  

z 

z'J 

μ 

m  + 

叫 ん

M

刻 印 一

N

玄

に

Z 一

‑

噌E

A

‑

唱 ・

i

I

一 +

ドキュメント内 経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用 (ページ 103-108)