)  花 一

ー

+ 

n 

q u  

︑

︑

︑

︐

EE EZ EE

‑F /

) 

花 一

( 0

・ ・ ・

I 4

J t q o  

c o  ) 

噌E A

n 

J a‑ ‑

︑ + 

マ ︐

両辺の行子JI式 を と れ ば よ い .(ii)も 同 保 に で き る .(iii)は (i

， )

(ii)からH)Jか で あ る. . 

次の鮪題はこれからの理論展開上特に ~j)!lである.

補 題 2.5.2 n 

> 

0とする. この時

(i) R{η+1)=‑6+(π十1

} V ̲ {

π)

乞じい

+(n

，

k)R{k十1)

， 

(u) t R(π+ 1) = ‑L(π+ 1

}V

+(η) -l::~~~ i‑(π

，

k)t R(k十1)・ 証 明 (i)を 証 明 し よ う .(2.81)の 両 辺 の 転 置 行 列 を と れ ば ，

九 一1

叫

(π)= R(O) 

+ 

L R (π k)ti+(n

， 

k)  (2.82)  同様にして，

工作)

= R{O)

十乞

^tR(π  k)ti̲(

花火)

(2.83) 

を得る.(2.70)で 況 を π+1で 置 き 候 え m二 Oと置けば.

R(n + 1) 

=一乞

i+{π+1

， 

k)R(k) ‑6+(π十I)R(O). (2

叫

10=1  定 理2.4.2から

i+(π+ 1， k) = i+(n， k ‑1)  + 6+(n + lh‑(π，π k).  これを (2.84)に 代 入 す る と

R(n 

+ 

1) 

=一乞

i+(n

，

k ‑1)

則 的 ム

η(+ I)(R{O) 

+ 玄

7

ー(ぃ ‑

k)R(k)) 

10=1  10=1 

n‑1 

=  ‑ L 

ⁱ⁺⁽ⁿ

^， 

^k)R(k 

⁺ 

¹⁾ 

^ム(九十

¹

}V

̲(n)

E 

補 題2.5.2の(u)の両辺の転置行列をとれば，

n‑1 

R(π+1)=‑V+{π)

弘

(π+1)

ー ヱ

R(k+ l)ti̲(n

，

k).  (2.85)  35 

従 っ C

R(

π+ 1)

ニ ム

(π+1)

工作) ‑ 乞

i+(

い )R(k

+ 1) 

h=O 

九 一1

二 一

V + ( n ) t ( L (

π+1) 

‑ ， 2 二 R (

れ

l ) ti̲(

η

， k )  

そ こ で

n‑l  n‑l 

Aπ= 

2 : =  

^i+(π

^{，  k)R(k} 

^+ 1)

^{玄 R(k}

⁺ 

^{1 ) t i ̲ ( n ，  k )}  

h二O h=O 

= 

V+(n)句 ー

(π+1)‑5+(π+1)

工作)

と置く (2.77)

， 

(2.78)から

n‑l  n‑l 

An  = 乞

η

+(k ， n  ‑k)R(k  + 

1) ‑

2 : =   R(k  +  1 ) t

ηー

( k ， n‑k)

h=O  h二O

補 題 2.5.3

(i) 

V午

(π+1) = 

V+(

π) ‑5+{π

+  1 ) V ‑

η) (t 5 + ( n + 1) ‑

An 

t 5 + ( n + 1)

， 

(2.86) 

(

込 V̲(

π十1)= 

V̲{n)

ι(π十

1 )V + (

π

) t

ふ(π十1)+ 

t  Ant 5̲(

π+ 1). 

証明:(i)  (2.82)

， 

(2.85)と定理2.4.2(i)から

V+(n

十1)二

R ( O )

+ 

2 : =   ^R(

^π+ 1 ‑

^{k )} ti+(

π十1

， k )  

h=O 

ニ

R ( O ) +  R(

π十

l ) t i { n + 

1

，

0) 

十

2 : = ^R(

^π十1‑

^{k ) { ' i + ( n} ， k  ‑

1) 

+ t  

i‑(

ぃ k ) t 5 + {

π+1)) 

h=l 

= 

R ( O )   + 乞 R(

πー

( k‑1 ) ) t i + ( n ， k  ‑1 )  

h=l 

十

( R (

π+1) + 

2 : =   R(l

十

n‑k ) t

γ(夙 π

k ) ) t 5 + (

π十1)

h=l 

二 九

(π)

一円

(π)

匂 ー

(η+1)

弘

π(十1)

=  V+(

π) + 

(‑5+(n 

+ 

1 ) V ̲ ( ね )‑An)t5+(n 

+ 1) 

二

V+(

π)‑5+{π

+ 1 ) V ̲ (

π

) t 5 + (

π+ 1) ‑

Ant5+{

π+ 1). 

(ii)も!日l

様.

この H寺，次の}j~，.f;的なト

m

題が成立する‑

hli

! i l l  

2.5.4 

An 

= 

0， n 

= 

1，・ '，N.

このrni題 は ア ル コ リ ズ ム の 核 心 を な し て お り ， そ の 証 明 は 飽 雑 か っ 難 解 で あ る . 以

F .

段階的によ[tl汀を進める.

形 式 的 に

Ao =  V + ( O ) d ̲

(1) ‑

d + ( l

)V

̲ ( O )

と置けば. Mi題2.4.1から

Ao = 

O. 

l

第 段 階

1 A

π= 0，π=0，1，2，3.  証明: 補 題2.4.1から

Al 

= 

d + ( l ) R ( l )  ‑R ( l ) td

ー(1)二

d +

(1

) R ( O ) td̲

(1)

+  d + ( I )R(O)tL(l) 

= O.  (2.86)から

A

₂ 

=  d + ( 2 ) R ( 1 )

Iη‑

+ ( 1 ，  l ) R ( 2 )  ‑R ( 1 ) td ̲ ( 2 )  ‑R ( 2 ) t

ηー

( 1 ， 1 ) .

縞 題2.5.2

，

(2.79)

， 

(2.80)より

( R ( い + ( 2

)V̲(1)‑

d+

(1

) R ( l )  

t 

R ( 2 )  

= ‑L (2)

叫

(1)ι

( l ) tR ( l ) ， 

r(1IM(01)

叩 …

η(1，1)  =η(0，1)十d̲(2)η+(0，1). 

これらを

A

₂に代入して整哩すると

A

2

ニ ム ( 2 ) ( V . ー ( 1 ) 弘 ( 0 ， 1 )‑1 7 ‑( 0 ，  1

)V

+ ( 1 ) )匂 ー ( 2 )

十

d + ( 2 ) ( R ( 1 ) +  V̲

(1

) t

η(0，1)η

( O

，

l)R

(1

) t L ( l ) )  

+  (‑R(l)  +ム ( l ) R ( l ) 弘

(0，1)η

+ ( 0

，

1

)V+(1))

匂

+(2)

+  d + ( l ) R ( l ) 河

(0

，

1)一η

+ ( O ， l ) R ( l ) t L ( l ) . I~l)

= 

V̲

(1)

弘

(0，1)一η

( O

，

l ) V +

(1)，

II~l)

⁼ 

^{R ( l )}

^十

^V̲

⁽¹

^{) t}

^{ηー(0，1)一ηー}

^{( O}

^，

^{l ) R ( l ) td̲}

^(1)，

III~l)

= 

‑R(l)  + ム ( l ) R ( l ) t

η+(0，1)一η

+(0

，

1

)V

+ ( 1 )

，

VPl 

= 

d + ( l ) R ( l ) 句 ー

(0

，

1)‑1]+(0

，  l ) R ( l )弘

(1) 一37‑

と置けば，補，w

2

. 4

.1か ら

IJ1)

二

IIf)

= 

IIl~1) 二り 1)

=  o .  

故 に，A₂^二 O 次 に A3二 OをIJ

，

^す.

A3 =O+(3)R(1) +η

十 ( 1 ，

2)R(2) 

+

η+(2

，

1)R(3) 

‑R(1)tO̲(3) ‑R(2)tη

ー ( 1 ，

2)‑R(3)tη̲(2

，

1).  (2.79

， )

(2.80)か ら

( M I ‑ ‑ 3 ) ηー(1

，

1) η

ー ( 1 ，

2)= O̲ (2) + O̲ (3)η+(1

，

1)

， 

( 恥 (2

，

1)  = η +(l

，

l)+O+州叩川川叫(3

吋

作

伽

川)

外 恥

仰O6ふ‑陣

η(2

， り

1

)

=η(1

，

1) +O

一 ( 作

ω3

幻

)O+(2)

ト . 

従 コ て

(  恥

M 州州山 υ ( 仏仰山

1

， 口 ，

2

R

仰

(

ロ

2

幻

)tη 一(ρ1

，

2

幻 )

= R(2

幻

)to_一(2

勾 )

+ R(

ロ

2

幻

)tη 

+ ( い

1

，

1

吋

)to̲

( 作 例

3

幻 ) .

補 題2.5.2か ら

従 っ て

R(3) = ‑O+(3)V

二

(2)‑O+(2)R(l)一η+(1

，

1)R(2)

= 九

(2)

句

(3)‑R(1)tL(2) ‑R(2)

句

(1

，

1).

η+(2

， 

1)R(3) = ‑O+(3)L(2

)V

+(2)tO̲(3)一η+(1

，

1)V+(2)tL(3) O+(3)L (2)R(1)tL (2)一η+(1

，

1)R(1)tO̲(2)

‑O+(3)O̲ (2)R(2)tη̲

( 1 ，

1)η+

( 1 ，

1)R(2)tη+(1

，

1)

， 

R(3)tηー(2

，

1)ニ ‑O+(3

)V

̲(2)tO+(2)tO̲(3) ‑O+(3

)V

̲(2)tηー(1

，

1)  O+(2)R(1)tO+(2)t(L(3) ‑O+(2)R(1)tηー

( 1 ， 1 )

η+(1

，

1)R(2)tO+(2)tO̲(3)一η+(1

，

1)R(2)tη

ー

(1

，

1).

‑38‑

これらをA3に代入して整閉すれば，

A3 二.5+(3)~1)t ，L(3) 十 6+(3)IIJl) 十 IIIJ 山 6ー (3)+ IVP)  ここで

4 1 )

^ニVー(2)

^句

^{+(2)‑5.̲(2)V+(2)}

^， 

IIa¹) =R(I) +η (1

，

I)R(2)  .

5̲(2)(R(I)t.5̲(2)十R(2)tηー(1，1))十V̲(2)tη(1， 1)，  III;l) = ‑R(I) ‑R(2)t_1J+(1，  1) +η+(I，I)V+(2) 

+ (.5+(2)R(I) +η+(I，I)R(2))t.5+(2)，  IV₃(1) =.5+(2)R(2) ‑R(2)t

ι ( 2 )  

十 .5+(2)R( l)tηー(1，1)η+(I，I)R(1)t.5̲(2).  次の補題2.5.5を証明しておく.

同題2.5.5 ある η。(no

2 :  

0)に対し ，Aπ

。

=0であれば，

(i)  V+(no十1)= (I‑.5+(同 十I)L(何 十1))V+(π0)， (u) V̲(πo十1)ニ (I‑.5̲ (町+1).5+(町+1))V̲(町)， 

(iii)  V̲ (π日十l)t.5+(町 +1) = L(町 十1)V+(町+1). 

証明:(i) A町 =0であるから，補題2ふ3より

V+(π0+ 1) = V+(no) ‑.5+(町十1)V̲(施。)t.5+(no十1)

= 

V+(π。) ム(no+ 1).5̲{冗日+1)V+{no) 

= (I ‑.5+(no + I)L(

町

+1))

民(町).

(ii)も同様.

•

(iii)  (i)

， 

(ii)より

V̲(no + l)t.5+(町 +1)=(I‑.5̲(πo十1).5+(π日+1))V̲(πo)t.5+{町+1) 

= (I ‑L(π0+1)ム ( 町 +1))L(π。+1)川 町 )

= 川 町 十1)(I‑.5+(π日+1)L(町 十1))V+(町)

=L(町 十1)V+(町+1) . 

39 

41)二 IIJ1)二 II

， 4

^{1) = IV;1)二}

o

~ ij~ そう . A₁二 0

， t i l i

題2.5.5か ら

41)ニ O 次 に，II~1) = 0 を 証 附 る

(2.80)か ら.η^ー(1

，

1)= 

，

L(I) 

+ 

L(2)0+

( 1 ) .

従って，

[ 4

，

^1) =R(I) 

+ 

L(2)(0+(I)R(2) ‑R(1)to̲(2) ‑R(2)tηー

( 1 ， 1 ) )

+ 

0̲

( 1

)R(2) 

+ 

V̲(2)t

η(1 ，  1 ) .  

補 題2.5.2から ，R(2) 

= 

t

( f  R

(2)) 

=  ‑

V+(1)均一(2)‑R(1)切 (1).これを， I41)

に 代 入 す る と

I

， 4

¹⁾ =R(1) ‑o̲

( 1

)R(I)

句 ー

(1)

+ 

0̲(2)(0+(1)R(2) ‑R(1)to̲(2) ‑R(2)tη̲

( 1 ， 1 ) )  

L(I)V+

( 1

)tL(2)十V̲(2)tηー

( 1 ， 1 )  

[~1) = 

0か ら

一方，

故 に

I41)二 V̲ prO^←

( 1 )  ‑

0̲

( 1 ) V

+(I)tL(2) 

+ 

V̲(2)

河 一 ( 1 ， 1 )

十L(2

) ( d

+(I)R(2)‑R(I)to̲(2) ‑R(2)tη

( 1 ， 1 ) ) .  

V̲

( 1 ) 句

(1)

+ 

0̲

( 1 ) 叫

(l)t

o

̲(2)

二 V̲

( 1

)tL(1)

+ 

V̲

{ l

)to+(I)toー(2)

= vー

( 1 ) C

oー(1)

ト匂

+(1)tL(2))

二 V̲

( 1

)t

η(1 ，  1 ) .  

I41)ニ

(V

̲(2)‑Vー

( 1 ) ) 河 一 ( 1 ， 1 )  

+ 

0̲(2)(0+(I)R(2) ‑R(2)tL(1)一(R(1)

+ 

R(2)to+(1))tL(2)). 

補 題2.5.2から

R(2)二 0+(2

) V ̲ ( 1 )‑

0+(1)R(1) 

三 tCR(2))ニ ‑V+(1)tL(2)← R(I)td̲

( 1 )  

で あ る か ら ， 両 必 の 表 現 式 を 代 入 し て

ム(

1)R(2)‑R(2)

句 ー ( 1 )

= 

ム(1)九 ( 1 内 ( 2 ) + 

d+(2

) V ̲ ( 1

)t

ム ( 1 ). 

補 題 2.5.5(ii)から

(V ̲ ( 2 )  ‑V

̲ (

l ) ) t

η(1

， 

1)二(‑L(2)d+(2)

) V ← ( l ) ( td̲ ( 1 )

十句

+(1)tL(2))

ー

政 に

IIJ1)二 d̲(2)d+ 

( 2 ) V ‑

(1 )td

+  ( 1 )

t d̲ (2) 

‑d̲(2)(d+

( 1 ) V

+(1) 

+  R(l)

十

R ( 2 ) td+ ( 1 ) )匂 ー

(2). III~l) ^= 0より

d+ (1)V + ( l )   +  R ( l )   +  R ( 2 ) td+ ( 1 )  

= 

d + ( l ) R ( l ) td+ ( 1 )   +  R(2rd+(1) 

= 

(d+(l)R ( l )   +  R(2)rd+(1) 

= 

‑d+(2 ) V ̲ ( I ) td+ ( l )  

以 上 か ら ，II;1) = O.  III;l)の場合も後雑であるが， ，i./

t 

fiI'的にはIIJ1)とf'iJ被 iこ 証 明 で き る の で 省 略 す る 忌i釦こI

り

1)

= 

0を 示 す (2.70)， (2.72)から

R ( 2 )  

= η

+ ( 1 ，  l)R ( I )  ‑ d+(2)R(0) 

= 

‑R(l)t

η̲

( 1 ， 1 )   ‑R(Wd̲(2). 

従 っ て

•

IVP) = 

d + ( 2 ) ( R ( 2 )   +  R ( l ) t

η

( 1 ，

1))一

( R ( 2 ) +

η

+ ( 1 ， l)R ( 1 ) 内 一

(2)

= 

d+(2)( 

‑R(0)td ̲ ( 2 ) )  ‑( ‑ d + ( 2 ) R ( 0 ) ) td̲(2) 

具 体 的 表 現 形 式 か ら わ か る よ う に ，A₂， A3は 共 通 の 展 開 式 と な っ て い る . ま た，1;1) 

= 

_I~l)

= 

III;l)二 O の 証 明 に は ，I;1) 

= 

_I~l)

= 

II/;l) 

= 

0 を 利 用 した. これらの特徴から， 一 般 の 証 明 で は ， 数 学 的 帰 納 法 が 有 効 で あ る こ と が わ かる.

← 41 ‑

さて .An二 0

，

n

三

3の副町

I

に 移 る . ま ず (2.79)かり

η

+ ( 1 ， n 

‑1) = 

d + (

π

ー

1)十

d + (

η)η(π2

，

1)

，

η

+ ( 2 ， n‑2)=

η+(1

，

π 2 )  + 

d + (

π)η(π‑3

，

2)

， 

η+(π‑2

，

2)ニη+(叫 ‑3

，

2) + 

d + (

叫)η‑

1 ， (

π‑2)

， 

η+(π‑1

， 1 )  

=η+(π

2 ， 1)+d+(

π)L(π1 ).  次に. (2.80)から

(2.87)から

η

ー

(1

，

π‑1)=L(πー 1)+ 

d ̲ ( n )

η

+(n ‑2 ，

1)

， 

η

ー

(2

，

π‑2) =η( 1

，

π‑2)十

d ̲ (

π)η+(π‑3

，

2)

， 

η

ー

(π‑2

，

2) =η(n‑3

，

2)+L(π)η+

( 1 ， n‑2) ， 

η‑(π‑1

，

1)  =η(π‑2

，

1)+L(π)

d + (

抱 一 1). 

η+(1

，

π‑1

) R ( 2 )

二

d + (

πー

1 ) R ( 2 )

+ 

d + (

η)η‑(π

2 ， I ) R ( 2 ) ， 

η+(2

，

π

2 ) R ( 3 )

ニ η+(1

，

n ‑2

) R ( 3 )  

+ 

d + ( n )

η(π‑3

，  2 ) R ( 3 ) ， 

(2.87) 

(2.88) 

η

+(n ‑2 ，  2 ) R (

π 1 )二η+(π

3 ， 2)R(n‑1)

十

d + (

π)η

ー ( 1 ，

n ‑2) 

R( 

n ‑1).  納 題2.5.2(iけ か ら

η

+(n ‑1 ，  1 ) R ( n )  =  ‑ 1 ] + ( 丸 一 2 ， 1 ) ( V + ( n

ー 1)!(L(π)+R(1)IL(π 1) 

十

R ( 2 ) 1

η (1

，

π  2) +・・・ +

R(n ‑2

)!η 

( n  ‑3 ，

2) + 

R(

πー 1)1η  (π‑2

，

1)) 

ム

(π)

d ̲(

π‑1)(

れい

1)

汚 ー

(π)十

R ( 1 ) ld̲ (

π 1)十

R ( 2 ) 1

η(1

，

π‑2) 

+・・・十

R(n‑2

)1ηー(π‑3

，

2) + 

R (  n  ‑1

)1η  (π  2

，

1) ). 

￨

百

l

様 に し て

R(2)tη(l

，

n‑l)二 R(2)tL(π1)十R(2)tη+(n‑2

， 

l)t(L(η)

， 

R(3)tη(2

， 叫

2)二 R(3)tη(1

，

π‑2) + R(3)tη十(n‑3

， 

2)t(L(n)

， 

R(

π

1 

)tηーπ(

2 ， 2 )=R(

πー 1)tηー(π‑3

，

2) 

十R(π l)tη+

( 1 ，

n ‑2)tL(π)  補 題2.5.2

(けから

R(π)tη(九 一1

，

1)= ‑(8+(π

) V ‑ (

π  1)十8+(n‑l)R(l) 

+

η+(1

，

π‑2)R(2) 

+・・・+η+(n‑3

， 

2)R(π‑2)十η+(π 2

，

1 )R(π  1) )tη  (η  2

，

1)  一(8+(π

) V ‑ (

πー 1)+ 8+(n.‑

l )

R(l)十η+(1

，

π‑2)R(2)十・ー

+η+(叫 3

，

2)R(π‑2)十可+(π‑2

， 

l)R(πー 1))t8+(n‑l)tL(π) .  以 上 ， 求 め た 式 を Aπ に 代 入 し て 竪 閉 す る と

Aπ = d+(

況 ) J } ，

¹) 弘 (n) 十 8+(π )II~l)+ III~l)tL(π) + Iv2)

， 

(2.89) 

こ こ で

Ii¹) = v̲(πー 1)t8+(πー 1)‑8̲(π‑1)

九

(n‑1)

， 

(2.90) 

n‑2 

II~l) = (R(l) 

+ 乞

η ( π 1‑j

，

j)R

( j  

+ 1)) 

i=l  n‑2 

‑8̲(n‑1)LR

( j

十 1)tη

ー ( j ，

n ‑1 ‑

j )  

J二O

十

v ̲ (

πー 1)ηt^ー( η 2

，

1)

，

(2.91) 

II~l)

⁼ ‑R

( 1 )  ‑L  R ( j   + 

1)

河

+(n‑1‑j

， j )

J二1 π 2  

十(乞恥

(j

，

n‑1 ‑j)R

( j  

+ 1))

弘

(πー 1)

j=O 

η+(π‑2

， 

l)V+(π‑1)

， 

(2.92) 

← 43 ‑

Ir) 二 2 . =

^1)+(川

^1‑

^j)R

( j

十2)

j=O 

十 ( 乞

π‑3 η+(j

，

n ‑1 ‑j)R

( j 十

1))tη(n‑2

，

1) 

L 

^R

^{( j   +} 

^2)tη(

^{川 一}

^1‑

^{j )}  

j=O 

π 3  

η+(π  2，1) 

2 . =   ^R

^(j 

+ 

1)

河 一

(j，π 1 ‑j)  (2.93) 

と 表 現 で き る .

An

を様成したのと同燥に， R(πー 1，)η+(k，nー 1‑k)，η(k，n‑1‑k)， k二

1，・，π 3の展開A=‑C

IV~l)

^Iこ代入して整思すれば ，

IVP)

は

An

と同様の形 式 に 分 解 で き る . 実 際 ，

I141)=

ム

π( 1)4²

均一

^(πー 1) 十 6+(π ー 1)II~2)

+ 

III~2)t6_(n ‑1)十I142)1

凡

2)= ̲ L(η  2)(R(1)

十乞

R(l

+ 

i)t1)+(π‑2 

υ)) 

i二1 η 3  

十 (R(l)

+ 乞

η(π‑2υ)R

( l

十i))t6+(η ‑2) 

;=1 

ηー(1，π 3

)V

+(n‑2) 

+ 

V̲(π̲ 2)tη+(1，n‑3)， 

九‑4

II~2) =R(2) 

+ 玄

η(π‑2‑υ)R(2

+ 

i) 

i=l  n‑4 

6̲(π2) 

2 . =  

^R(2 

⁺ 

^i)t

判 明

2‑i) 

B二O

n‑4 

η(1

， 

n ‑3)( R

{ l )   + 乞

R(1

+ 

i)tη (

い

‑2‑

i ) )

(2.94) 

(2.95 ) 

+ (R(I)

十 乞

tη(π 2 ‑i

， 

i)R(1 

+ 

i))'η(π  3

，

1) 

z二1

+ 

V̲(π̲ 2)'ηー( π 4

，

2)

，

(2.96) 

III~2) ^= ‑(R(2)

十 玄

R(2

+ 

i)'l1+(π  2 ‑i

， 

i)) 

i=l  n‑4 

+(乞

l1+(i

，

n‑2 ‑i)R(2十i))'8+(n‑2) 

十(乞判明

2‑i)R(1

什 ) ) 句

+(I

，

n‑3) 

1=0 

π‑4 

‑11+(π 3

， 

I)(R(I) 

+ 乞

R(1十i)η+(n‑2‑i

，

i))

Z三1

一η+(π‑4

，

2)V+(n^← 2)

，

(2.97) 

I げ)

=8+(π ‑2)R(3)

十 乞

η+(i

，

n‑2‑i)R(3+i)

i=l 

九 一5

R(3)'L{π ‑2) ‑

L 

R{3 

+ 

i)

句ー(叩

2 ‑i) 

今 白 勺 企 明 品 托

η︐

n H _{・ ・}

+ +  

勺

&

1 i

R R  

日 工 コ 乞

唱E

A 0 7 G

9 0 A t  

n π   + +   η η  

Z二日

n‑5 

十

E 二

l1+{i

，

n ‑2 ‑i)R(2 

+ 

i)'η

ー(丸一

3

，

1)

十

L

17+(i

，

π 2  ‑i)R(1 

+ 

i)'ηー( π 4

，

2). (2.98) 

‑45 ‑

( 山叶一

3.1

り)ト三山 …

4^l

^{り 恥 山 ) い 川 十 刊}

⁶

^{叶 + (}

tη(π

一

3

，

1)^二 η(η

一

4

，

1)

+ 

tη十(0

， 冗 一

3)tL(n‑2) 

を ( ロ

2.98的)に{代

t

^人すると IV

叫

;

^{J ? 2 )} は ( ロ

2.94叫)と同係の形式に分両解平できる.

Indudive ，こ展開してゆくと，

[第:段階

1

k二 1

・ ， ・

^{1 πー} 1に対し

I L t j h ) ニ ム

π ‑k)4"( +1)tL(π‑k)十d+(n‑k)II~k+ l)

+ III~"十 1) 弘 (π k)

+ 

IV~ k+ l) (2.99)  と 表 現 で き 6. ここで

A h

^十1)

= 乞

η (j

，

n‑k ‑1 ‑j)(R(k ‑

j )  

)=日

十 L

^R(k ‑j 

^{+ 小 山}

^{L‑k‑l‑i}

^，

ⁱ⁾⁾

^十乞

^(R(k‑j) 

;:=1  J二O

+ 乞

η(π k‑1 ‑i

， 

i)R(k ‑j 

+ 

i))

弘 ( j ，

n ‑k

一

1‑j) 

i=1 

一η̲(k

，

π 2k‑l)V+(n‑k‑l) 

+V̲(n‑k‑l)tη+(k

，

π 2k‑l)

， 

(2.100) 

II~k+ l)

= R(k 

+ 

1) 

+ 乞

^η(n‑kー 1‑υ)R(k

+ 

1 

+ 

i) 

i=1 

-~二 η (j， n-k-1 ー j)( L 

R(k ‑j 

+ 

1 

+ 

i)tη(i

，

n‑kー トi))

j=O  ^E二O

+乞

(R(k+l‑j)+

乞

η(π‑k‑l

υ

)R(k+l‑j+i))

j =1  i二1

X tη(π‑k‑l‑j

，

j)+V̲(π‑k ‑l)tη(π‑2k‑2

，

k+l)

， 

o 噌・i

) 

U 

噌' i

︒ •

︐

a︐ ︐ . ︑

IIr+1)二 (R(k十 1)

+  2 二 時 +

1 

+ 

i) 弘 (n~k~l~i ， i))

M 1

iこ

S二1

十乞(乞 η+(i ， n~k~l 一何(k ~

^j

十

1+

仲

乞

7]+(n~ k ~ 1 ~ j

，

j)(

時 十

1~ j) 

j=1  n‑21<‑2 

十

L

^R(k 

+ 

¹ ~ j + 小山l~k~l~ υ)

) 

i=l 

η+(π 2k ~ 2

，

k 

+ 

1

)V

+(π k ~ 1)

， 

(2.102) 

IV~糾 1 )ニ乞 η+(i ， π ~k~1~i)R(k+2+i)

i=O 

冗‑21<‑3

~

L 

^R(k 

⁺ 

² 

⁺ 

i)句ー(い~k ~ 1 ~ i) 

1

<+1 

‑ 2 二

η+(π

k~l~j， j)( L 

^R(k+2+i‑j)

^{河 一}

⁽ⁱ

^，

^{n‑k‑1‑i))}

J二1 i=O 

h+l^{礼 ‑}21<‑3 

十乞(乞

^7]+(i

， 

n ~ k ~ 1 ~ i)R(k

十

^2+i‑j))tη(n‑k ‑1ー j

，

j)  (2.103) 

An =ð+( 吋 I~I)tðー (π)

+ 

ð+(n)II~I)

+ 

III~I) 句ー (n)

十ム (π~ 1)I~2)tð_(n ~ 1) 

+ 

d+(n _{~ 1)II~2)}

+ 

_{III~卯 L(π-}1) 

+ d+(n ‑k)I~k+1) 句作 -k)+ð+(π - k)II~h +l)

+ 

IIF;，k+¹)tL(π~ k) 

+ IV~h 十 1)  (2.104) 

‑47‑

数学的帰納法で I~k) = II~k) 二 III~k) = IV~k) 二 O ， n 三 4 ， k二 1

， ' " ，

n ‑1を 説 明 す る .

Ifl

i

Jlij 2.5.6  以 Fの こ と が 成 立 す る .

(i)  況 が 偶 数 .!lDちn= 2Nの 時 .1

凡

(N) = O.  (u)  πが計数.l!llちπ=2N 

+ 

1の時，

IV~N) =d+(N十l){‑V+(N)

N ‑ 1  

‑L 

^{V+(N ‑1 ‑i)td̲(N← i)td+(N ‑i)} 

+ 

V̲(N) 

Z二日

N ‑ 1  

+ ど

d̲(N‑

帆

(N‑i

)V

̲(N ‑1 ‑i)}

句 ー

(N

+ 

¹⁾ 

(2.105)  証明:(i) 

(2.103) からわかるように • I d

^Nー1)を(2.99)の よ う に 分 解 す れ ば ， I

に 弘

(N) 二 Oは 明 か で あ る .

(ii)  (2.103)で k+1 = N と置くと

IV~N) 二ム (N

+ 

l)R(N 

+ 

1) ‑R(N 

+ 

l)tL(N 

+ 

1) 

E

N 

二

^η+(N

+ 

1 ‑i

， 

i)R(N 

+ 

1 ‑i)tふ(N

+ 

1) 

;=1 

N 

十Ld+(N

+ 収

(N

+ 

1 ‑i)tη(N十1‑i

， 

i 

N 

二 d+(N十l)(R(N

+ 

1)十

L

^R(N 

+ 

1 ‑i)t

T f

̲(N十1

一同)

i=l  N 

一(R(N+1)+L

T f

+(N+1‑

μ

)R(N 

+ 

1.‑i))

弘

(N

+ 

1) 

補 題2.5.2と(2.80)から N 

R(N 

+ 

1) 

+ 

LR(N 

+ 

1‑i)t

T f

̲(N 

+ 

1 υ )  

‑48‑

(2.106) 

ER  

N 

7 

十F

M 

R  山 工 日

十

N 

FA U 

N  + V 

一 一

+乞

N R(N

+ 

1 ‑i(rl̲(N ‑i

，

i) 

i=l 

+乞

N R(N

+ 

1 ‑i)t1J+(i ‑1

， 

N 

+ 

1 ‑i)td̲(N十1)

(2.107) 

方

N‑1  N 

L 

^R(k 

⁺ 

^l)t'i'̲(N

^， 

^k) 

⁼ 玄

^R(N+1‑i)

河 川

‑υ(2.108)

k=O  i=l 

であるから，

N 

R(N 

+ 

1) 

+  L 

^R(N 

⁺ 

^{1 ‑i)tη(N十1‑υ)}

i=l 

N ‑ l  

=(一九

(N)

+  L 

^{R(N ‑i)t1J+(i}

， 

^{N ‑i))tL(N}十

1 )

(2.109)  同様iこして

N 

R(N 

+ 

1) 

+乞

^η+(N

⁺ 

1 ‑i

， 

i)R(N 

+ 

1 ‑i) 

i=l 

N‑1 

=d+(N 

+  1 ) (  

‑V̲(N) 

+ 乞

^η(i

，

N ‑i)R(N ‑i)) 

(2.110) 

補 題2.5

ム

(2.79)より

N‑l 

2 二

^R(N‑i)t1J+(i

， 

N ‑i) 

i=O  N‑1 

= 

L 

^R(N ‑i)

弘

(i

，

N‑i)+R(N)

句+(N)

N‑1  N‑l 

= 

L 

^R(N ‑i)t1J+(i ‑1

， 

N ‑i) 

+  L 

^R(N ‑i)t1J̲(N

ト 川 悦

(N)

=1  i=l 

‑49 

ハ[~2

V+(N ‑

l)t.L(N)t Ò+(N) 乞 R(1 十 i)t 'Y~(N

‑

1

，  i ) t O + ( N )  

N~2

2 二 ^R(l +  ih~(N ^‑l ， i 

(2.108)と 同 じ よ う に

N~l

5 ^{二 R(N‑} i{'1~(N ^‑

ⁱ

一 川 =

で あ る か ら

N~l

乞 ^R(N

^ー

^{i ) t}

^η

^{+ ( i} ， N‑i)

=乞

N~2

^R(N‑1 

^‑i

^{) t}

17

+ ( i ，  ^N ‑1 

‑i)  ‑

V+(N ‑

l)tò~(N)川 (N)

N~2

二

R ( l ) tO+ ( l ) 乞叫 ^(N

ト

i)tL(N‑i)tO+(N ‑i

) 

N~2

=  ‑R(O)tL(l) 川

(1)‑L  V+(N ‑1 ‑i)

句 ー (N‑i)tO+(N ‑

i) 

) 

旬EA

旬EA

唱EA‑ nL  

( 

N ‑ l  

= 

玄 ^{V+(N‑1‑i)匂} ー (N‑i)tO+(N ‑

i) 

同 じ よ う に し て

N‑l 

L  17~ (i， ^N

^ー

^i)R(N‑

i) 

N~l

= ‑

L L ( N 一市 +(N‑ i )V~(N ^‑

^1 ‑

^{i )}  

^(2.112) 

こ れ ら を (2.106)に 代 入 す れ ば (2.105)が 成 立 す る . . 

(*)π を 以 下 の よ 命 題

この時，

い よ い よ ( 吋 の 証 明 に は い る .n

三

2とする.

う に 定 義 す る .

m ε{2，・・1況}に対し， (i)， (u)の ど ち ら か が 成 立 す る .

‑50 ‑ 命 題(*)π

(i)  m が奇数， J!llちm=2M十Iの時

I ど ) = 

II~)

= 

III~)

=  0 ，  ( 1 三 h壬 M)

IV

よ

M)= 0  (ii)  m が偶数， Rllちm=2Mの時

r;:) 

= 

Ir;:) 

= 

_III~)

= 

O. 

( 1 三

h

三 M)

今 後 ， 命 題 (*)π を単lこいη) と表す.π=

2

，

3

で は ， いπ)が 成 立 す る こ と は 証 明 し て い る . 一 般 に ，n>2の場合 iこ 成 立 す る こ と を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 す る .

π。三 2を固定し， (*)π。が成立するとしよう.noは偶数，

R l

lちπ。

=

2No^とす る.π。 が 奇 数 の 時 は 同 様 に 証 明 で き る . 従 っ て

‑ m 

' o 

' n  

) 

合中

( 

411

^二

I4:LI=II421

^二

0 ，

(1

壬

^h

壬

No) (ホ):。，

NGIldti=0

を 証 明 し た ら よ い . [第三段階

1 421=0 

証 明 (2.90)， 補題2.5.5(i_{益)から明か.・}

[第四段階

1

⁽ⁱ⁾ 

II~ 乙 ^{1 =  0 ，  ( 話 )}

^III~

乙 ¹⁼⁰

証 明 註 ) は(i)と同様に証明できるので， (i)を証明する.(2.91)から

I4L=R(1)+ 乞

^{η(町 ‑i}

^， 

^i}R(i 

^{+  1 )}  

i=l 

‑d

ー ( 九 日 ) L 

^R(i+l)tη

^ー(川‑

ⁱ⁾ 

;=0 

+  v ̲ (

πo)tη(π

。 ‑

¹

^，

^{1).  z a e}

^︑

^︐

^︒

^{L • 噌EA 唱EA}

^{︒ ︒ )} 

η‑(πo‑i，i)=η(π。‑1‑i_，i}+L(no}η+(i‑I， 町 ‑i)を(2.113)，こ代入して

‑51 ‑

II;:L1=R(1)+

乞

ηー(no‑1 ‑i

， 

i)R(i十1)

Z三1

+  v ̲ (

π

。

)tηーπ(日 1

，

1)

十

6

ー(町)(乞

η+(i‑1

，

no ‑i)R(i 

+ 

1) 

2二1 no‑l 

乞

R(i十1)tη(i

，

no ‑

i ) )  

(2.114) 

i=:O 

帰 納 法 の 仮 定 よ り

n t )

= 

o .

さ ら に ， 縞 題 2.5.2から

no‑2 

R(l) 

+ 玄

η

ー(町一

1‑i

，

i)R(i+1)

十 L( 町一

l)R(π0)

i=l 

= ‑V̲(π

。 ‑

¹⁾

^河

^̲(no‑2

^， 

^{1) ‑5̲(π}

。 ‑

¹⁾

^九

^{π(0 ‑}

^{1 )}

^t5̲(

^町).

(2.115 )  故 に

IIi:L1二

v̲(

π0 ‑l)tη

ー ( 町

2

，

1)‑5

ー

(π

。

l

)V

+(no‑1)

句

̲(no)

+に(町内(町一

1

，

1)+ 

< < L  (

π0)(

乞

η+(t‑11

町 ‑i

)R(i + 1) 

iニ1

玄 R(i + 

l)tηー

( i ，

no ‑

i ) )  

(2.116) 

i=口

帰 納 法 の 仮 定 か ら Ano= 

o .

従 っ て 補 題2.5.5(iii)と(2.80)から

‑V̲(π

。 ̲

^l)tη(no‑2

，

1)‑L(π

。 ‑

^l)V+(π

。

^1)t5̲(no) 

= 

‑V̲(

町一

l)tη(

町一

2

，

1)‑V̲(

町一

1)t5+(no‑

1 ) 匂ー(町)

= ‑l

仁川 ‑1) C

η(

町一

2

，

1)

十弘(町一

1)t5̲(

町))

=  ‑ V ̲ (

π0 ‑l)tη̲(no ‑1

，

1). 

( 

^今必 • tEi  ^唱'A 句d

) 

qL

v h

さ ら に 納 題2.5.5(ii)から

L(

町 一1)1ηー(no‑1

，

1)十

v̲(

町)1ηー(no‑1

，

1) 

二

( V ‑ ( 耳 目 )‑ v̲(

π

。

^{1))1ηー(no‑1}

^，

¹⁾ 

二 ‑L(no)d+(

町 ) V ‑ ( 旬 。

1)1η‑(π0‑1

，

1).  (2.118)  以 上 か ら

IIiL=‑6‑(π0)

ム

(π0

)V

‑(π0‑

1 )

1η(町 一1

，

1) 

十L(π0)(

乞

η+(i‑1

，

no ‑i)R(i + 1) 

. = 1  

‑LR(i+1)1η(i

， 

no^← i) )  (2.119)  こ こ で

A =

乞

η+(i‑1

，

no‑i)R(i+1

ト

L R(i + 1)1ηー(丸町 ‑i)) 

i=l  z二O

と 置 く . 再 び (2.80)から

A =

乞

η+(i‑1

，

no‑i)R(i+1)‑L  R(i+1)1η(i‑1

，

no‑i)) 

i:::l 

. = 1  

n u 

π 

PA U 

π  + 

η・

唱EA

+ 

R  子 山 出

+ 

唱EA

R 

=乞

η+(i‑1

，

no‑i)R(i+1)‑L  R(i+1)1η(i  ‑1

， 

no ‑i)) 

i=l  i=l 

+η+(

旬。‑

2

，  l ) R ( 町)‑ R(

π

。

)1η(π0‑2

， 

1) 

ーは

(1)

+玄

R(i+ 1)177+(π0‑1 

υ

^{))IL(π0).  (2.120)} 

53 ‑

JV~!) = 0より

三 二

η+(i‑1

，

π日 i)R(i 

+  1 )   ‑ ' L  

R(i 

+ 

l)tη(i‑1

，

no‑i)) 

i=l  i=l 

no‑3 

ヰ +(π0‑2

， 

1)( 

' L  

R(i + l)t17̲

， i (

no ‑1‑i)) 

Z二日

no‑3 

一(乞

η+(i

，

no

ー

1‑i)R(i + 1))

句ー(町‑

2

， 

1)  ^{qL  唱EA}

⁾ 

'SA 

9 •

u 

( 

Z二日

故 に

A

二引(町一

2

，

1)(

乞

R(i

+ 

l)tη (i

， 

no 

ト

i)十R(π

り)

i=O 

一(乞

η+(

叩

0‑1

仰 い ⁺

^{1) + R(no))}

^{河 川 ‑}

²

^， 

¹⁾ 

i=O 

一(R(l)

+ 乞

R(i+ 1)

句

+(π0‑1 ‑i

， 

i))tL(no).  (2.122) 

摘 題2.5.2から

A 

=  ‑ " 7

+(no ‑2

， 

l)(V+(noー 1)t

ム(町)

+ R(no ‑1)

河一(町

‑2

，

1))

+ 

(o5+(no)~仁川-1) 

+ 川 町 ‑

2

， 

^l)R(

町一

1)

) 河 一

(π

。 ‑

²

， 

1)) 

一

(R(l)

+ 芝 町 +1 ) 弘(町一

1‑i

，

^i))t

5̲ ^o (

π0)

=05+(

町 ) V ‑ (

π

。 ̲

^l)tη(

^町一

²

^，

¹⁾

‑" 7 + ( 町

2

，

1)

川 町 一

1)

切ー(町)

no‑l 

一

(R(l)

+  ' L  

R(i 

+  1 )

t

" 7 + (町 ー ト υ

))t05̲ (

町)

i=l 

( 

q︐   ^唱EA q︐  

︒

d

) 

II4:)=Oから

R(l) + 

' L  

R(i + 1)

句+(町一

1‑υ)+η+(π0‑2

，

1)

川 町

1) 54 ‑

[第五段階

lI d r J = 0  

証明 illi題2.5.5から

No^‑1 

‑V+(No)

乞 則 的 一

1‑i)tfJ̲(No ‑i)tfJ+(No ‑i) 

z二O

N  + 

F A υ

h 

 

F A υ

+ V  的

 

川 乞 出

出

ι '  

V 一 一

ニ ‑

V + ( O )  

二

R ( O ) .

同 様 に し て

No^‑1 

V̲

(N

o)十

L

^fJー(No

一 桝

^(No‑ⁱ

)V

̲(N_o ‑1 ‑i) 

;=0 

= 

R ( O ) .  

(No) 

従 っ て ， 補 題2.5.6から， 1V~:::{ = 

o .   •

[第六段階

l I U i ) = 0 .  

証明:(2.100)で πをπ0+1^{におきかえると，}

4 : : : ) = ‑ E J η ^{，   ( j} n o   ‑ ^{k  ‑ j )}  

J^二日

x(R(k ‑j) 

+  L 

^R(k ‑j 

⁺ 

ⁱ⁾

^{河 + ( π}

^o‑k‑i

^，

ⁱ⁾⁾

;=1 

+乞

^(R(k‑

^{j )}   +乞 η

_ー

π (

_日 k‑i

，

i)R(k ‑j 

+ 

^i))t

^{. ， . ， + ( j ，}   n o   ‑

^k ‑

^{j )}  

j=o  ;=1 

一η(k

，

^η

。

2k)V+(π

。 ‑

^k) 

⁺ 

^{V̲(nO ‑k)tη+(k}

^，

^{no ‑2k).  (2.126)} 

これまでに，

A J I d Y 1

等 の 分 解 を 見 て き た が ，

4 : : : )

も以ドの形式に分断ヨさ れる.

4 : : : ) = ‑ 6 ‑ ( π

^{0 ‑k)1' ‑[lItfJ}+(

π 。

‑k)+

I " ' .

(2.127) 

1'， 

ぺ [

^[111を求めよう.まず， ['を求める.(2.126)の 式 で ‑L(_{町 ‑}

k )

に 右 か

‑56‑

no‑2 

=(乞

η

+ ( i ，

no ‑1 ‑

i ) R { l  

+ i))18+(noー 1). (2.124) 

1=0  さ ら に 補 題2.5.2(i)から

A二8+(no

} V ̲ (

π

。 ̲

1)1η(町 一2

，

1)

( 乞

η+(

山 一

1‑

i ) R ( l

十i)

+  R ( 町)) 川 町 1 )

^IL(

町)

=8+(πo

) v . ー ( 町

1)1ηー(π0‑2

，

1) 

+8+(πo

}V

̲(noー 1)18+(noー l)IL(叫0)' (2.125) 

t η

 

( 耳 目 ー

1

，

1)̲ η1ー(no‑2

， 

1) = 18+(π0‑1)IL(

町)

で あ る か ら

•

I4:L1ニ L(π

ポ

+(π0

) V ‑ (

π0‑1)1ηー

( 町

1

，

1) +L(π0)8+(π

。 ^{) V ‑ (}

^{町 一1)1η (no‑2}

，

l)  + 8̲(町 )8+(π

。 ) V ‑ (

九日一 1)18+(町 一1)18̲(no)

二 ‑ 8̲(no)8+(no

} V ̲ (

πo 

‑1) C

ηー(no‑l

，

1)‑1ηーπ(

。

2

，

1)) +8̲(π0)8+(π

。 } V ‑ (

町 一1)18+(π

。‑1)

¹8̲(no)

=‑L(

町)

8+(

町} V ‑ (

π0‑1)18+(πo← l)IL(

町)

+ 8̲(π

。

^)8+(πo

}V

̲(no‑1)18+(πo ‑1)IL(no) 

=0 . 

‑55 ‑

ら 掛 か る 係 数 の 総 和 を 求 め た ら よ い . そ の 1つは， (2.126)の2行 に お い て j=O と置いた場合で， II12)=Oより

R(k)

十 乞

R(k

+ 

i('7+(πo‑k‑i

，

i) 

i=l 

=乞(乞1]+(い

10‑k ‑i)R(k ‑j 

+ 

i))tη+

( j

川0 ‑k ‑j)  j=o ニO

‑乞 η+( 。 乱

k‑j

，

j)(R(k ‑j) 

+  L 

R(k ‑j十i)t

] 1

+(no‑k ‑i

， 

i)) 

i=l  ^Z二1

ー

η+(

叫0 ‑2k

， 

k

)V

+(no ‑k)  (2.128) 

である.また， (2.80)から

η ， ( j

π

。

^‑k‑j) =

^{η‑(j‑I ，}

^π

。 ‑

^k ‑j) 

+ 

L(no ‑k)η十(no‑k ‑1 ‑j

， 

j)

， 

j二 1

， ' " ， 

k 

←1. 

(2.129)  であるから， (2.126)の2行 自 の 式 か ら 得 ら れ る tL(π0 ‑

k )

の 他 の 係 数 は

q︐

d '  

LN 

R 

・ 噌 ︐

d '

・ 句 ︐ ︐

可' A

η︐ 

+ 

托 ︐ 配

い 玄

j=l 

十

L

^R(k ‑j 

⁺ 

^{i)tη+(πo‑k}

^{υ ) ) .}  

^(2.130) 

(2.126)の4行 目 は

一η(k

，

no ‑2k)V+(no ‑k) 

+ 

V̲(no ‑k)tη+(k

，

π

。

2k)

= η

ー

(k‑1

，町一

2k

) V + (町 ‑

k ‑1) 

+ 

V̲(町 ‑k ‑l)tη+(k ‑1

，

π

。

2k) L(πo ‑k)η+(π

。 ‑

^2k ‑1

^， 

^{k)V+(叫日 k)} 

‑d ̲ (

πo‑k)6+(π0 ‑k

) V ̲ (

π日 k

‑1)

tη+(k ‑l

，

no ‑2k)  +ηー(k‑1川0 ‑2k)

民(町

‑k‑l)td

ー(町一

^k)t6+(π

。 ‑

^k) 

+ 

V̲(π0 ‑k)tηー(no‑2k ‑1

， 

k)td+(π

。 ‑

k)  噌 ' ・

) 

A

内 υ

唱EA9 

( 

となる.(2.126)の 3行 の 式 に は L(町 ‑

k )  

が 番 友 か ら 掛 か るJ(jは な い

‑57 

の で ， 結 局I'は

[ '

  =乞( 2 :   ^{7 ] + ( い}

^{10 ‑k ‑i)R(k ‑j} 

⁺ 

^i))t

^{7 ] + ( j ，}  

^{no ‑k ‑}

^{j )}  

i=O  i=日

乞

(η+(

町 一

k‑j

，

j)

一川町一

k‑jー 1

，

j)) 

i=l 

x((R(k‑j)+

乞

R(k‑j 

+ 

i)t

7 ]

+(πo‑k

ーい)) 

zコ1

一

(η+(π

。 ‑

^2k

， 

k)

一

η+(

町 一

2k‑1

， 

k)

)V

+(π

。 ‑

^k) 

+ 

6+(π0 ‑k

) V ̲ (

π

。 ‑

^{k ‑1)tη+(k ‑1}

^，

^π

。 ‑

^{2k).  (2.132)} 

同様に II~:) ^{= 0から，}

R(k) ‑

~二 ηー (no

‑k 

υ

^)R(k十i)

i=l 

= 

乞

η

( j ，

πロ ー トj)(

2 :  

^R(k ‑j 

⁺ 

^{i)tη(川 ー トi))} 

1 =日 i=O 

+乞

(R(k‑j)+

乞

η^ーπ(o‑k‑

υ

)R(k‑j 

+小川町一

k‑j

，

j) 

i=l  i=l 

+v̲(π日 ̲ k)tηーπ(

。 ‑

^2k

^， 

^k).  (2.133)  (2.79)から

tη+

( j ，

π

。

^{‑h‑j)=tη}

+U‑

1

， 町 ‑k  ‑

j) 

+tη̲(no ‑k ‑1‑j，j)t6+(π

。

k，) j二 1，・・ ， k ‑1  (2.134)  であるから， (2.126)の3行 日 の 式 か ら 得 ら れ る 句+(no‑k)の 他 の 係 数 は

乞

(R(k‑j) 

+乞

η一(no‑k ‑i

，

i)R(k‑j +i))tη( no ‑k ‑1 ‑j

， 

j) . (2

附

‑58‑

故に

[ " ニ 乞

η

， ( j

no ‑k 

‑

j)( 

L  ^R(k ‑

^j十

^{i ) t}

^η

^{ー(仁川 ‑ k  ‑i}

⁾⁾ 

J二O ^Z土O

+乞 (R(k‑j )   +玄

η(π

。 ‑ ^{k  ‑}

i

，  i ) R (  k  ‑

j十i)) 

i=l  ;=1 

xCη^ー(πo‑k‑j

， j )

‑tη^ー(no‑k‑1‑j

， j ) )

+  v ̲ (

π

。 ^{‑k ) C}

^η(π

。 ^{2k ， k )̲} 

^ηtー(π

。 ^{2k‑1 ，  k ) )}  

η^ー

( k‑1 ， 

no ‑2k)V+(no ‑k 

‑1

)t(L(π0 ‑

k ) .   ( 2 . 1 3 6 )  

['" ，ま，分解の過程で['，[" と し て ま と め た 項 以 外 の ね で

[ ' "  =乞1]ー(j，町

k‑1 ‑

j )  

J二O

x 

(R(k ‑

1

ーj)十乞 R(k‑

1 ‑j

十i

)

川 町

h

υ)) 

富 士1

十

L ^{(R( k  ‑}

^1 ‑j) 

+乞

η(叫o‑

k  ‑

i

，  i)R(k

ー トj

+  i ) )  

i=o  ^Zニ1

X 1η

+U ，

π

。 ^{‑k‑l‑ j )}

^一η

^{( k‑1} ，

π0 ‑

2k )V +(no ‑k  ‑1 )  

+  V̲(

町

k̲1)1

η

+(k ‑1 ，

π

。 ‑ ^{2 k ) .}  

さらに，

4 C 1

^二 Oの 仮 定 と ， 摘 題2.4.3から

[ ' ' '   = { 乞

η

ー ( j ，

no ‑k ‑1 ‑

j )  

i=o 

x ( 

L  ^{R(k ‑j  +} 

ⁱ⁾

^{斗 ( 山 ‑ k  ‑1} 

^{‑i)}td+(no ‑k}

⁾  

;=0 

+ 

d̲(πo‑k){

乞(乞1]+(い

lO‑

k  ‑1 

‑i) 

R( k  ‑j  +  i ) )  

i=o  ;=0 

X 1η+

  j ， (

no ‑k ‑1 ‑j)} 

と表される.

‑59 ‑

(2.137) 

さらに .1'は 次 の 形 に 分 解 さ れ る .

l ' 二 . 5 + ( π

日 ‑k)I

パ . 5 + ( π 。 ‑

^k)

^{十 . 5} + ( π 。

^k)II'

十I

II

，

t

. 5 + (

耳目

ん ) 十

IV'. n

) 

mU   O︽υ

'E

‑A  

qL  

( 

1'，II'，III'，IV'を求めよう l'の 表 現 式 (2.132)の 行 日 の 和 は j=Oの 時

( . 5 + ( 町 ‑

k)R(k) + 乞 1/+(i‑1

， 

no ‑k ‑i)R(k 

+ 

i) 

i=l 

+乞.5+

(ηo ‑k)η(π

。

^{k‑iー 1}

^，

^i) R( k 

+ 

i))

弘

(πo‑k) 

i=l 

ニム(町 ‑k

)(R(k) + 

乞

η(πo‑k‑i‑l

，

i)R(k十i))

Z二l

x t

. 5+ (

π0 ‑

k )  

+  (  L 

^1/+(i ‑1

， 

no ‑k ‑i)

仰 什)

)t

5 .

+(no‑k).  (2.139) 

Z二1

同様lこ.(2.132)の 1行日を各項，j= 1，・.，k ‑1 に つ い て 求 め る と

{ム(町

‑k)R(k‑j)+

乞

η+(i‑1

， 

no ‑k ‑i)R(ト j

+ 

i) 

S二1

+  L  ^{. 5 + (}

^{旬。 ‑}

^{k )}

^η

^ー

^(πo‑

^{k  ‑}

^1 ‑i

^， 

ⁱ⁾

剛 一

j

+  i ) }  

z二1

x Cη+

( j  ‑

1

， 

no ‑k ‑j)十ηt

ー ( 花 日

k‑j一1

，

j)t

. 5

+(π

。‑

k)) 

= 

. 5 + ( π

o‑k)(R(k‑

j)+ 乞

η (no‑k ‑1 ‑i

， 

i)R(k ‑j 

+ 

i)) 

i=l 

X ηt

ー ( 町

k‑j ‑1

，

j)t

. 5

+(π

。

^k)

^{+ . 5 十}

^(no‑k) 

x (R(k ‑j) 

+ 乞

η(π

。

^{k‑1 ‑i)R(k ‑j} 

+ 

i))t

1 / + ( j  ‑1

， 町 一k‑

j )  

60 

十E M 

R 

'U九

冗η︐ 

十

パ 乞

i=l 

xη (no ‑k ‑j ‑1

，

j)td

+ (

π

。ん)

no‑2k 

十(乞

η+(i‑1

， 

no ‑k ‑i)R(k ‑j

十

i))

i=l 

X tη+

( j  ‑

1

，

π

。 ‑

^{k ‑j).  (2.140)} 

η+(no^← k ‑j

，

j) η+(π

。

k‑j ‑1

，

j) 

ニ 5+(π口 ‑k)η

( j  ‑

1，π

。 ‑

^{k ‑j)， jニ lγ・.，k ‑1} 

(2.141)  で あ る か ら (2.132)の二行から三行を各項，j= 1，・・.， k ‑1に つ い て 求 め る と

‑d+(π0 ‑k)η

U‑

1

，

no‑k‑j){R(k‑j) 

'H n u    

π 十

η 

十. ︐

J 

'M  

R 

' un  

+  パ 乞

i=l 

+tη( iー 1

，

no ‑k ‑i)td+(no ‑k))} 

ニ ‑5+(πo ‑

k )

η

( j  ‑

1

， 

no ‑k 

‑ j )  

x 

( 乞

R(k‑j 

+ 

i)tη(i

ーい。 ‑

k ‑i))

凶 作

o‑k) 

‑d+(π0 ‑k)

可(j‑

1

，

π

。

k‑j)(R(k ‑j

)  

+  : L  

^R(k ‑j 

⁺ 

^{i)tη+(π0 ‑k ‑i ‑1}

^， 

^{i)).  (2.142)} 

また

一(η+(況日 2k

，

k)← η+(π

。

^2k‑1

^， 

^k))

^{叫(町 ‑k}

⁾ 

= ‑d+(π0 ‑k)ηー(k‑1

，

π

。

^2k

^{) V + (}

^{町 ‑k ‑1)} 

十d+(πo‑k)ηー(k‑1

，

π

。 ‑

^{2k)V+(九日‑k‑1)td̲(町 ‑k)td+(町 ‑k).} 

(2.143) 

‑61 

従 っ て

I '  

=R(k) 

+ 乞

η(no‑k ‑i ‑1

， 

i) R( k十i)

z二l

+η (k ‑1

， 

no ‑2k

)V

+(no ‑k ‑1)t6̲(π

。 ‑

^k) 

+乞

(R(k‑j)+

乞

η(π

。 ‑

^k ‑1 ‑i

， 

i)R( k ‑j十i)) 

J二 二1

X tη(πo ‑k ‑1 ‑j

， 

j) ‑

L  7 ] ‑ ( j ，  

no ‑k ‑1 ‑j) 

J二O

x ( 

L 

R(k ‑j十i)tη(川 ‑k‑i‑1))

，

(2.144) 

II' =一η̲(k‑1

，

^{九 日 一}2k

) V + (

町 k ‑1) 

十V

ー ( 旬 。 ‑

k ‑l)t

] 7

+(k ‑1川0 ‑2k) ‑

乞

η

ー(川口

k‑1 ‑

j )  

j=o 

. ︐

唱EA  

'M n u    

n 

+ 

n7 

•.

︐ .  

+ 

J . ︐

‑ ‑ ‑ A  

︐

R 

た

'﹄m

J Z M  

n 

+ 

︐ ︐

︐  

噌EA

h  R 

︐ ︐

EZ

︑

× 

+乞

(R(kー1‑j) 

+ 玄 7 ] ー

(no‑k ‑1 

υ

)R(kー トj十i))  j=o  ^2二1

x t 7]+ 

( j ，  

no ‑k ‑1 ‑j)

， 

(2.145 ) 

III' = 乞 恥 ( 山 ん 1‑i)R(k十1十i)

i=O 

十乞( 乞

η

→(川

J二 i=O

X tη(π0 ‑k ‑1ー j

，

j)

‑62 

=η+(no ‑2k ‑1

， 

k)(R(町 ‑k)

+ 

LR(乱0 ‑k ‑i)t7]̲(no ‑k ‑1 ‑i

， 

i)) 

Z二1

+  L  7]+(i

，

no‑k‑1‑i)R(k+1十i)

+乞(乞

η+(i

，

no ‑k ‑1 ‑i)R(k ‑j 

+ 

1 

+ 

i)) 

j=l  I=O 

X tη(π0 ‑k ‑1 ‑j

，

j)

， 

(2.146) 

IV' 

= 乞(

L  T}+(i

，

no‑k← 1

け

R(k‑j 

+ 

i)) 

j=O  i=日

X t 7]+ 

( j ，  

no ‑k ‑1 ‑j).  (2.147)  (2.144)のl'の式でη̲(k‑1

，町一

2k)が 左 か ら 儲 か っ て い る 明 を ま と め る と ，

︐ ︒

︐

e

唱EA

' k 

EH   一 一

nU﹄1Mい

m R イ

げ 川

η

' u κ

刊1

9 h M a  

o

‑ n  

π

一

唱E

i n u

↑

h 

h R  

バ 引 い 乞

M

= +  

p  

+民

(πo‑k ‑

1 )匂 ー

(no‑k)} 

十z

k 

R 

'R

n  o   

η︐ 

品 乞 日

十

'M  

R  + 

+乞

(R(k‑j) 

+ 

L  7]ー(no‑k ‑1‑i

，

i)R(k ‑j 

+ 

i)) 

j=l  ^Z二1

X tη‑(

。 況

‑k‑j‑1

， j )

L 

^7]‑

  ^{j ， (}

^no ‑

^{k  ‑1} 

^‑j

⁾  

j=o 

x 

(玄

R(k‑j 

+ 

i)t7]̲ 

( i ， 町

k‑i‑1))

‑63 

E n  

'H   O ι

﹃

仏 門 町

R イ

げパ

η

'M

吋 )

っ

.2

0 h  

川 一

唱E

A n u

一 作 h R  

η ト 乞

二 十

z二1

十V+(no‑k ‑l)tL(no ‑k)} 

+ I I i t 1 + η

(k‑1

，

no‑2k) 

x 

(乞

R

( 1 竹内ー

(i

，

no‑k‑1‑i))

. = 日

‑V̲(π

。 ‑

^{k ‑l)tη(no‑2k‑1}

，

1). 

帰納法の仮定カ主ら，

I411=0

^{従 っ て}

I'ニη̲(k‑1

，

π

。

^{2k){R(πo‑k)} 

+  乞 R( 

1 

+ 

i)

河 ー

(i

，

no ‑

k  ‑

1 ‑i) 

十V+(πo‑k‑1)t

， L(

^η

。

^k)}

V̲(no ‑k ‑l)t_1J̲(no ‑2k ‑1

，

1).  (2.148)  補 題2ふ2(u)から

R(九0 ‑k) 

+ 乞

^{R(l十i)tη(i}

^， 

^{no ‑‑k ‑}1 ‑i) 

i=O 

十V+(町 k‑

1 )

^t5̲(π口 k)

二 O. (2.149) 

故 に

I'=‑V̲(π日 ‑k ‑l)tη(π

。 ‑

2k ‑1

，

1).  (2.150) 

J 7 ' = I i t 1

^二

O

で あ る か ら I'(土結局

I'=‑5+(町 ‑k

) V ̲ ( 。 ‑ 乱

k ‑l)tη(π

。

2k‑1

， 

l)tL(no ‑k) 

十III

，

t5+(π

。

^k)

+ 

IV' 

( 

のL‑^{唱‑A VO  噌' A ︑ . ︐ ︐}

と 't~ 刻される rd]慌に [J' も

II'=‑.L{

πo ‑k)1川，L(π

。 ‑

^k) 

+ [Jllt5̲{no ‑k) 

+  5 ̲ { π 。 ‑

k)I[J"十IVII と 分 解 さ れ る .l'と同械に求めると，

戸ニ

{R(π

。

k)

+ 乞

η+(冗o‑k ‑1 ‑i

， 

i)R{

。 官

k‑i) 

i=1 

+  5 + { π 。 ‑

k

)V

̲{no ‑k ‑l)}tη+(k ‑1

，町一

2k)十R{k)

+ 

L 

^R{k 

⁺ 

^{i)t1]+{九日 ‑k ‑i ‑1}

^， 

ⁱ⁾ 

+乞

^{η+(πo‑k‑l‑j}

，

j)

Z二1 J二1

x{R{k‑j)+

玄

R(k‑j十i)tη+(no‑k ‑1 

‑υ)  ) 

Bニ1

(2.152) 

乞( L 

^1]+ 

^{{ い}

^{lO ‑}k ‑1 ‑i) R{ k ‑j十i)

)弘(j，町

k‑1 ‑j) 

={R(π0 ‑k) 

+  L 

^{1]+ {πo‑k‑l}

υ

)R{π

。 ‑

k ‑i) 

j=1 

+ d+{no ‑k

) V ̲ {

π

。 ‑

k ‑l)}t1]+{k ‑1

，

π

。 ‑

2k) 

‑

I[J~~~l +  (乞

^1]+(i

，

no ‑k ‑1 ‑i)R{1十i))t1]+{k‑1

， 

no ‑2k) 

. = 日

一η+(πo← 2k‑1

， 

k

) V + {

九日 ‑k ‑1) 

ニ {R(no‑k) +

χη

^+ (i

^，

^{町 k‑l‑i)R{1十i)}

S二O

+ d+{π0 ‑k

)V

̲{no ‑k ‑l)}tη+(k ‑1

，

η日 2k)

‑III!o̲l一η+(π

。 ‑

2k ‑1

， 

k)

叫

(no‑k‑l). (2.153) 

補 題 2.5.2(i)か ら (2.153)

で{ }  =  o .

ま た 帰 納 法 の 仮 定 か ら

I I A L = 0 .

65 

故 に

[11二 一η+(町 一2k‑1

， 

k

) V + (

町 ‑k ‑1).  (2.154)  同 線 に し て

[[11二

I 2 1 1 = 0 3

^(2.155) 

[[[11 

= 乞

R(k

+ 

¹ 

+ 

i)tη

ー(川

i=O 

‑ L  ^{1 J + (}

^{πo‑k‑l← j}

^， 

^j)( 

L 

^R(k ‑j 

⁺ 

¹

^{村 山 ( 川}

^{‑kー トi))} 

j二1 z二O

二 一(R(町 一k)

+ 乞

η+(π

。

‑k‑l‑

υ

^{)R(町 一k‑i))} 

i:=l 

唱EA

EM n u    

π .

︐

a e 

骨マ

︑ . ︐ ︐ ︐

+ 

唱EA

+ 

正問

R 

︑ ︐

e

品 工 日

π 

'k  

唱EA

' n  

qL 

n u 

π n v

×   

. ︐

J 

' m  

n 

+ 

η︐ 

い 乞

jニ1

x( 

L 

R(k‑j+1+i)t

1 J ̲ ( i ，

no‑kー トi))

，

(2.1

附

[V"  = 乞

η

ー ( j ，

π0 ‑

k  ‑1 

‑j) 

j二日

x( 

L 

^R(k‑j+i)t

1 J ̲ ( i ，

no‑kー トi))

(2.157)  結 局

1['二L(πo‑k)η+(

。 ‑ 旬

^2k ‑1

， 

k)

九

(π日 k̲1)tι(π

。

^k)

+ [II"tL(πo‑k)+IV".  O

) 

B 

vh u  噌EA 向F r sE

︑

66 

(2.137) 

， (  

2.14 7) 

，

(2.157)から

‑L(π

。 ‑

^{k)IV' ‑IV川.L(π0 ‑k)} 

+ 

1'" 

= 

0  (2.159)  が 成 り 立 つ こ と が わ か る . 放 に (2.127)，(2.151)，(2.152)，{2.154)から

4:::)=6(no‑h){6+(π

。

^{k)V̲{πo‑k‑1)tη(町 一2k‑1}

，

^k)

十η+(町 一2k‑1

，

k)九 ( 町 k‑

l)IL{

町 ‑k) 

+ 

^II l' 

+ 

^II 1

つ

x 16+{九日 ‑

k ) .  

III' 

+ 

III"を求めよう.(2.146)

， 

(2.156)から

III' 

+ 

III" =η+(π

。 ‑

^2k ‑1

， 

k)(R{no ‑k) 

(2.160) 

' ・

a

' m  

n u 

n n v

  ER n u    

π  R 

い 乞 出

+ 

一(R{旬。 ‑k) 

+ 乞

η+(πo‑k‑1

υ

^{)R(no ‑k ‑i))}

河 一

π(0 ‑2k ‑1

， 

k) 

i=l 

•. ︐

.  

唱EA

'M n u    

n n H ︐ 

・ ・

a・

+ 

唱EA

R 

句LU

4 Z

向

︒

n 

'M  

唱EA

' U

品

︒

n u 

n 

+ 

η︐ 

+ 

' a 

'u o 

M v 1  

71 

+ 

ー(乞

η+(

川

k‑1‑i)R{l +i))

河 川 ‑

2k ‑1

， 

k).  (2.161) 

再 び 帰 納 法 の 仮 定 よ り

Idtl=0.IE+jE

，を整理すると III' 

+ 

III" =η+(π

。 ‑

^2k ‑1

，

k){R{町 ‑k) 

十乞

R(π0 ‑k ‑i)t7l̲{no ‑k ‑

1υ

))+V+(no‑k‑1)

匂

(no‑k)} 

i=l 

一{R(π0 ‑k) 

+ 乞

η+(no‑k ‑1 ‑i

，

i)R{町 ‑k ‑i)) 

+ 

6+{町 ‑k

) V ̲ {

π0 ‑k ‑ l Wηーπ(

。

^2k‑1

，

k)

‑71+(町 ‑2k ‑l

，

k)V+{no ‑k ‑1)句ーπ(

。 ‑

^k) 

十6+{π0 ‑k

) V ̲ {

π

。 ‑

^{k ‑1)1η(町 一2k‑1}

， 

k).  (2.162) 

‑67‑

補 題 2.5.2より， (2.162)の2つ の { } = 

o .

従 〉 て

III' 

+ 

III" 

二 η+(π

。 ‑ ^{2 k  ‑}

¹

^{，  k ) 川 町 ‑ k  ‑}

^{1)句ー(no‑}

^{k )}  

+  6+(

町 ‑

k )V ̲ ( n o  ‑k  ‑l ) t η ‑ (

町 一

2 k

ー

1 ， k ) .   ₎ 

向︽uphU 

噌'i‑

n4  

( 

(2.160)に 代 入 し て

I~Ic~~) _π

。

+1

= 

0 

を得る.I 

[第七段階l(i) II21)=01  (U)II42:)ニ 0・

証明:(u)は(i)と同じように証明できるので， (i)を証明する.(2.101)からII2::)

は

IIfoil)=R(h+1)

十 乞

η

ー ( 況 。 ‑ k  ‑

i

，  i ) R ( k  

+ 1 + i) 

i=l 

L(π日 ‑

k ) ( 乞 R ( k + 

1 

+  i ) t

ηー

( i ， no‑k‑i))

;=0 

十

( R { k ) +  2 : :  

^1]

^{‑ { π} 。 ^‑k‑ υ ^{) R { k} +  i ) ) 河 川 ‑k‑l ， l )

‑ 2 : :

^η

^{( j ，}  

^no ‑

^{k  ‑}

^j)(

乞時一 ^{j+l+ 山一(川 ‑ k  ‑i ) )}  

J二1 i::::O 

+乞 (R{k+l‑j)+ 乞

η

ー ( 施 。 h ← 汁

j=2  i=l 

X 

t

ηー(π0 ‑

k  ‑

j

， 

j)十

V ̲ { n o‑k ) t

η(π

。 ‑ ^{2 k  ‑}

¹

，  k 

+ 1)  (2.164) 

と 展 開 さ れ る .

この展開式で.‑5ー(九日

k )

に布から儲かる係数は， Ivr)二 Oから

L 

^R(k十1

⁺ 

^i)tη(i

^， 

^{no ‑k ‑i)} 

. = 日

二

L

^1J+(i

^，

^{no‑k‑i)R(k十1}

⁺ 

ⁱ⁾ 

. = 日

L 

^{1J+(no ‑k ‑j}

^，

^j) 

no‑2k‑1 

x 

(乞

R(k

+ 

1 

+ 

i ̲ j)tη (i

， 

no ‑k ‑i)) 

S二O h π

。

^‑21c‑1

+乞( 乞

η+(i

， 

no ‑k ‑i)R(k 

+ 

1 

+ 

i ‑j)

句 ー

(π

。

^‑k

^{川 ))} 

(2.165 )  これを L₁ と お く . 同 様 に し て ，(2.164)式 で 句 ( 町 ‑k‑1，1)に 左 か ら 掛 か る

(Ic) 

係数を求めると •

I I i . . :

^二 O から

R(k) 

+ 乞

ηーπ(0 ‑k ‑i

， 

i)R(k 

+ 

i) 

;=1 

=乞

ηー(j，旬。 ‑k ‑j)(

乞

R(k‑

j 

+ 小 凶 ， 町 k‑i)) 

;=0  i=O 

玄

(R(k‑j)+

乞

1Jーπ(

。

^k‑i

^， 

ⁱ⁾ 

;=1  ;=1 

x R(k ‑

j  + 

i))t

η ‑ (

町 ‑k ‑j

，

j) 

v ̲ (

π0 ‑k)tη(π

。 ‑

^2k

， 

k)一ηー(k

，

町 一2k)R(π0 ‑k). 

(2.166) 

(1c+1)  この式を

‑L

2と 置 く . 従 っ て ，II.町 +1 は

II~:~~) = 

Lo ‑5̲(no ‑k)L1 ‑L2t_η(πo‑k‑1

，

l)十L3 (2.167) 

と 表 現 さ れ る . こ こ で

︒ 百

戸O

' Eー

の ︐u

+ 

噌EA

+ 

'H  

︐ ︐ ︐ ︑

R 

'記 n u 

π η 1

 

句A

h

︑

41

4

一 う

z

n 十

︑ . ︐ ︐

'EA 

+ 

1R 

R 

n u ↑ 一

 

L 

‑6 9  ‑

L3ニ ‑L17‑

j ， (

no ‑k‑j) 

j=l 

X ( 

L 

^R(k ‑j 

⁺ 

¹ 

⁺ 

^{i)tη(川 k‑i))} 

+乞

(R(k+1‑j)

j=2 

+ 乞

η

ー ( 町 h υ

^{)R(k+1‑j十}i))tη (

町 ‑

k ‑j

，

j) 

i=1 

+ V̲(nO ‑k)tη(no‑2k‑1

，

1).  (2.80)から

no‑2k‑l 

Lo=R(k+1)+

乞

η (no‑k‑i‑1

，

i)R(k十1

+ 

i) 

，

⁼¹ 

π

。

‑210‑1

十6

ー ( 町 ‑

k)

乞

η+(i‑1

， 

no ‑k ‑i)R(k 

+ 

1十i)

L1の 項

22f

^{ト 1η+(i，町 一k‑i)R(k} 

+ 

¹ 

+ 

^{i)は， (2.79)から}

三 ; η

+(i

，

no‑k‑i)R(k+1十i)

i=O 

=  ^{d + (} πo‑k)R(k+l) 

+ 乞

^{η(+(i‑1， 町 k‑i)} 

十

d + ( π 。 ‑

^{k)η̲ (no ‑k ‑i ‑1}

^， 

^i) )R( k 

+ 

¹ 

+ 

ⁱ⁾ 

= d+(no ‑k)(R(k 

+  ^{1 )}  

+ 

L 

^{17‑(π日 k‑i ‑1}

^， 

^i)R(k十1

⁺ 

ⁱ⁾⁾ 

i=1 

(2.169) 

(2.170) 

+ 乞

^η+

^{( i   ‑}

¹

^， 

^{no ‑k ‑i)R( k} 

+ 

¹ 

+ 

^{i).  (2.171} 

‑70 ‑

(2.170)

， 

(2.171)から

Lo 

‑L(

町 ‑k)Ll十L3

=  ( 1  ‑L(

町 ‑k)d+(況日 k) ) 

x (R(k 

+  1 )   + 乞

η(π0 ‑k ‑i ‑1

， 

i) 

x R(k十1十i))‑d̲(耳目 k) 

x { 

乞

η+(^{冗日 ‑}k ‑j

， 

j)( 

乞

R(k 

+ 

1十i̲ j)tη 

(川 ‑

k ‑i)) 

j=l  i=O 

+2:)玄

η+(i

，

no‑k‑i)

j=l 二O

xR(k+1+i‑j))tηー(πo‑k ‑j

， 

j)} 

+ 

L3・ (2.172)  こ こ でL3の ひ と つ の 項 は

乞

^η

^{( j ，}

^no‑k‑j)(

2 . . . :  

^{R(k‑j+1十i)tηー(i}

^，

^no‑k‑i))

j=l  ^Z二日

=  ‑ 2 . . . :

η

ー ( j

‑1

，

^no‑k‑j)(

乞

R(k‑j 

+ 

1 

+約一(川 ‑

k ‑i)) 

j=l 

. = 日

‑ 噌

︐

︐ 句 ・

i

‑q J  'M n u    

n 

+ 

n y 

h z  

︐E屯t

' n  

n u 

n 

FA U 

Jニ1

x 

(乞

R(k‑j 

+ 

1 

+ 

i)

句 ( 川

‑k‑i))} (2.173) 

であるから，

2 . . . :

η+(πo‑k‑jー 1

，

j)(

乞

R(k‑j 

+ 

1 

+ 

i) 

j=l  i=O 

X tηー(i

，

no‑k‑i)) (2.174) 

71 

を(2.172)のL(πo~

k )

の 右 か ら の 係 数 に 繰 り 込 む こ と が で き る .

2)η+ 

(no ~ k ~ ^j

，  j )

恥 (no~ k ~ ^j← 1

， 

j)) 

J二1

x (乞 R(k~j+1+i)tη(山 -k ~ i)) 

= ‑5+(

町一 k){2 ー ン ^{( j}

^{ー 1}

^{，町一 k‑}

^j) 

Jニ1

x( 

L 

R(k~j+1+i)t "l_(i ， no-k-i))} (2.175)  で あ る か ら

I I ; : : : )

^二 Jo

+    1 ( ~

5ー(ηo‑k)5+(

町一

k))J1

~ 5̲(πO‑k)J2‑ J₃t_η

ー(π

。

^‑k‑1

，

1)+J₄

(2.176) 

と表現される • Jo

， 

J₁

， 

J₂

， 

J₃

， 

J₄  は ， 次 の と う り で あ る .

Jo =V̲(

町一

k

) C

η(π

白 一

2k‑l

，

k 

+ 

1)

一切

(no‑2k

， 

k)tηー(no~ k ‑1

， 

1))

， 

(2.177) 

+  +  h  R 

1i  

π  ' 白

刊7

4 Z M  

+ 

噌EA

+ 

IR  

R 

一 一

7︐u 

FM

n   

. ︐

J 

η

・

い 乞

j=o 

x 

(乞

R(k

~

^j 

+ 山一(川

‑k‑i))

，

(2.178) 

J2 

= 乞(乞"l

+(i

，

no‑k 

~

^i)R(k 

+ 

1 ‑j 

+ 

i)) 

j=l  .=0 

X t ηー (η。~k ‑j

，

j)

， 

ゐ=乞

η

j ， (

π

。

^{‑kー j)}

(2.179) 

‑72‑

x 

( 玄

R{k‑j十i)tη(川 ー トi))

Z二日

十乞

(R(k‑j)

十乞

η(托0 ‑k 

υ

)R(k‑j+i)) 

j=1  .=1 

X tη(π

。 ‑

k ‑j

，

j) +η(k

，

π

。 ‑

2k)R{

。 ‑ 乱

k)

， 

(2.180) 

J4 

= 乞

(R{k

+ 

1 ‑j) 

+ 乞

η(no‑k ‑i

， 

i) 

j=2  ;=1 

xR{k+1‑j+i))tηーπ(

。

^‑k‑j

^{， j ) .}

^(2.181) 

一方，

J3^{二 II~:)}‑(R{k)

十 芝 川 町

‑k‑i

，

i)R{k+i))

i=l 

V̲{no ‑k)tη(π

。 ‑

^2k

^， 

^{k).  (2.182)} 

再び (2.80)より

ゐ =‑

b̲{no ‑k)

乞

η+

( i ぃ 。

‑k‑i)R{k+i)

i=l 

一(R(k)

+ 玄

^{η(no‑k ‑}i ‑1

， 

i)R(k 

+ 

i)) 

i=l 

V̲(π0 ‑k)tη(π日 2k

，

k).  (2.183) 

2 2 J 2 h

ー1h(i‑I

，

no‑h‑i)R(h十i)はJ₂に 繰 り 込 む こ と が で き .J

2

^のJ^ニ

1

の 項 と ま と め る と

(乞

^η

^{+ ( 山 ‑}

^k ‑i)R(k 

⁺ 

ⁱ⁾ 

Z三日

‑L 

^7)+{i

ーい。

‑k‑i)R(k+i))

i=l 

X ηt (no ‑k ‑1

，

1) 

= {b+(π0 ‑k)R(k) + 

乞

η(+(i

， 

noー トi)

;=1  一η+(i‑1

，

πo ‑k ‑i) )R( k 

+ 

i)} 

‑73 

xη‑(πo ‑k ‑1

，

1) 

= 5+(

町

‑k)(

仰)+乞1]ー(町

k‑i‑1

，

i)

i=l  x R(k 

+ 

i))t

1 ]

̲(no ‑k ‑1

，

1)  ま た (2.179)より， J_aのj= 2

・ .， ，

kの 項 は

L  1 ]

+(i

， 

no ‑k← i)R(k 

+ 

1 ‑j 

+ 

i) 

i=O 

π0 ‑21.‑1 

(2.184) 

二 5+(π

。 ‑

^k)R(k 

+ 

1 ‑j) 

+ 乞

η+(i ‑1

， 

no ‑k ‑i)R(k 

+ 

1 ‑j 

+ 

i) 

故に

+ 

5+(耳目 k) 

乞

^η (no ‑k ‑i ‑1

， 

i)R(k 

+ 

1 ‑j十i)

S二1

= 5+(π0 ‑k)(R{k 

+ 

1 ‑j) 

十

乞

ηー(叫日 k ‑i ‑1

， 

i)R(k 

+ 

1 ‑j 

+ 

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十 乞

η+(i‑1

，

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附

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，

1) 

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+ 

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尚一

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74

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+ 

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ドキュメント内 経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用 (ページ 42-83)