仰) =F*(B 川

(4.46 )  適 当 な 'Yj，j 

= 

0，・・・ ，pを丹j，、て，

Y(

π)=一

2 :

^'Y

^jX(

^π←

^{j )}  

‑ 2 : ' l ! 弘

ly(πj)

+ 

bc(n

  ， ) b c (

π)= 

主 土

α(η)

+  b (

π) 

σaa  を 求 め て 整 型 す る と ，

( 4.47)  この時，

と 表 現 で き る .

(4.48 )  πヲi=m

E(b(π

) a ( m ) )   = 

0

， 

(4.49 )  π

，

m εz. 

E(b

c (

π

) a ( m ) )  

= 0

， 

であるから，

( 4.50)  適 当 な M を 選 ひ

π 

c 

' o  

+ 

J内HM

九 円 九

X 町

小 リ

υ

没

︑

dM

叫

P E

7 Z

M  

GC 

結局， Y

升 →

Xの検証のために，

Y ( n )  

= 

(4.51 )  の モ デ ル に つ い て

帰 無 仮 説(Ho): 任 意 のjε{1γ・ .

，

p}で 'Yj = 0 

の 検 定 を 行 う . 後 の 手 順 は Grangerの 方 法 と お な じ で あ る .

こ の 方 法 で は 系 列 相 聞 の 問 題 は 生 じ な い が ， Grangerや Simsの 方 法 と 同 じ よ う に ， 回 帰 分 析 の 信 頼 性 ，M を ど の よ う に 選 択 す る か と い う 問 題 が 残 る .

[ Piarce=Haughの 方 法

1

X，Y聞 に 因 果 関 係 が な い の を 検 証 す る 検 定 で あ る .

X

，

Y

が ， そ れ ぞ れ

1

変 量 の

ARMA

モ デ ル に 従 う と 仮 定 し ，

れ て

そ れ ら が 変 形 さ

( 4.52)  (f(B

川 引

G

・ ^(B)Y(

π)=ψ(η)

と 表 現 さ れ た と し よ う . こ こ で ， 也

( n )

，πεz，旬π(

， )

πεzは そ れ ぞ れ ホ ワ イ ト ノ イ ズ と す る . 次 にBox=Je此msの 方 法 に よ り (4.52)を 推 定 し ，

F*( z )

， G^皐

( z )

を そ れ ぞ れ F

・ ( z )

，G

・ ( z )

の 推 定 と す る . そ し て

( 4.53) 

(

と

t f f i

定 さ れ た と し よ う . こ こ で 計

( z )

，

e ・ ( z )

は ， そ れ ぞ れ(4.15)の F‑¹

( z )

， C‑¹

( z )

の 推 定 ，

u (

π)，る(π)は也(π)，ψ(托)の惟定である.

デ タ か ら 企(η)，る(π)，0 ‑::: n壬Nが 求 め ら れ た と し よ う . こ の11.'[， u(π) ，πξ 

z

と

v(m)

，m εZの 僚 本 交 差 相 関 関 数 。

( k )

，

I k l 三N

は

aa z  au z 

n 

aU  

N

玄 一

π 

︽U

N

乞 一

ll 川MMl

/ / /  

托︽刷U

' k 

n 

︽ 包

N ︿ 一

γ

白 押

/¥ 一

' n  

AA r 

と 定 義 さ れ る .Haugh

( 1

972)はX，Y間 に 囚 果 関 係 が な け れ ば ， 際 本 交 差 相 関 関 数 。

( k )

，

I k l 三

Nが 互 い に 独 立 な 平 均 O分 散 詰Tの 正 規 分 布 に 川

l

収 束 す る こ

と を 示 し て い る . こ の こ と か ら ， 適 当 な M をとれば，

M 

S=(N+1) 芝 川

)2

，

k=‑M 

(4.55 ) 

あ る い は

M 

S*=(N+1)22 二 (N

十1

‑ I k l )

一

l t ( k ) 2 ( 4 . 5 6 )  

k=‑M 

は 近 似 的 に 自 由 度 (2M

+  1 )

のχ2分 布 に 従 う . 従 っ て

.S

あ る い は

S*

をχ 検 定 す る こ と に 帰 着 さ せ る . こ の 方 法 に 対 し て は ，

F ・ ( z )

，

C ・ ( z )

の 惟 定 値 の 精 度 の 問 題 ， 統 計 量

S

，

S*

の 信 頼 性 の 問 題 が 指 摘 さ れ て い る (Feige=Pearce(1979)). 

[ Caines=Keng=Sethiの 方 法

1

2変 量 以 上 の 解 析 を 目 的 と し ， 赤 池 の 情 報 量 基 準 を 利 用 す る . 基 本 的 に は ， す べ て の2変量の組合せを考え， ARモ デ ル を 仮 定 し て ， そ の 次 数 及 び 係 数 を 決 定 し ， そ の 後 で 全 体 と し て の モ デ ル を 偶 成 す る 方 法 をとる.

X

1，"'，

X

dを ， そ れ ぞ れ

1

変 量 の 弱 定 常 過 程 と す る . 例 え ば ，

X

1 = 

(X

1(π)j  πεZ)， X₂ 

= 

(Xz(π) j況 εZ)が 2変 量 の AR(k)モ デ ルiこ従うとしよう.即ち，

︑ .•

︐ ︐  

句d

vh d 

a笠

︐ ︐a

︐ ︑

︑ ︑

62 t' /

π n  

aLu f

ft it

‑¥  

︑ ︑ . ︐ 一 一

Ea

︐ ︐ ︐ ︐

(

πη 

(   x y  

d ' '

・z' '

・ ・ ・ ・ ・ ︑ ︑ ︑

︑ ︑ _I

︐l /

B B  

吟 必 句

4

1 2  

而Y而Y

B B  

︐ ︐ ︐ ︑

︐

s・

︑

唱A噌A

咽A令

' u

‑W

&

‑W

晶

/1 1¥   一 一

︑ ︑

EEE

︐

J '' 相 同 冗

X Y  

/t tl t

︑ ︑

︑ ︐ ︐ ︐

B 

品Y

こ こ で ，Wij(Z)， i， j 

= 

1，2は ，k次 の 多 項 式 で

曽(0)= 曽(z)lz=o

= 

1  ( 4.58)  とする.また，

( α _b ( ₍ π _n D ₎    

は，カ'ウス型ホワイトノイズとする.

‑169 ‑

N個 の デ タ が 与 え ら れ た 時 ， 次 数 hの finalprediction error， 

FPE(k)

は，

(1 

+ 

(mk 

+ 

l)jN)rn 

FPE(k)

二 ・det(丸 (4.59)

( 1  ‑

(mk 

+ 

l)jN)rn 

と 定 義 さ れ る . m は 次 元 で ， こ こ で は m =2である. I:"はモデルの残差の共 分 散 行 列 で ， ホ ワ イ ト ノ イ ズ の 共 分 散 の 推 定 値 で あ る . そ し て ， (4.57)の 最 適 な モ デ ル と し て ，

FPE(k)

を 最 小 に す る

k

を選ぶ.

次 に ， 因 果 関 係 に つ い て 以 下 の 帰 無 仮 説

H~l)

^:曽川z)= ¥)i21(Z) = 0  H~2) ^:曽川z)= 0 

H~3) ^:曽川z)= 0  を 対 立 仮 説

H1 :曽12(Z)

ヂ

0

，

^¥)i21(Z) 

# 

0 

に 対 し て 検 定 す る . 最 小 二 乗 法 に よ っ て ， そ れ ぞ れ の 係 数 は 推 定 さ れ る が ， 会 ( j ) ( j ) ー

を，帰無仮説 H~ の 下 で の モ ァ ル の 残 差 の 共 分 散 行 列 と し

λ= (det(会(j))

j 

det(

主

，，))‑N/2，j = 1，2，3  (4.60)  と置くと ‑21ogλ はχ2分 布 に 法 則 収 束 す る . 自 由 度 は j=1の 時2k，j = 2，3  で は hで あ る 従 っ て ‑21ogλ を χ2検 定 し ， 帰 無 仮 説HV)が棄却されれば，

H1>HV)，そうでなければ，

H~)

> H1^{と 表 現 す る 次 の 例 は} Deniau^ニFiori=Mathis(1988)による.

例 4.3.1(1) H1 > 

H~) ，

j=1

ム

3ならば，

X

1

竺 X

₂，

X

₂

竺 X

1・ G C  

(2)HF，H f h  H1>HF)  ならば， X1 

~ X 2 • しかし，逆の関係はわか

らないので， Hil)を帰無仮説，Hi2)を 対 立 仮 説 と し て ひ き つ ず き 同 様 の 検 定 を 行 わ な け れ ば な ら な い .

全 て の 2変 重 の 組 合 せ に つ い て ， 上 記 の 解 析 を お こ な っ た あ と に ， 全 体 と し て の モ デ ル の 構 成 は 以 下 の 手 順 で 進 め ら れ る .

まず， X1^を 1変 量 のARモデルであると仮定し， FPEに よ っ て 次 数Plおよ び係数を決定し，

明品

E 

+ 

n 

x 

a 

hヤ 白 川

一 一

明H

X 

(4.61) 

と置く.次に， X1に 因 果 を 与 え る 変 量 が 複 数 あ れ ば ， そ の 因 果 の 強 さ をFPEに よって比較する.具体的には， X1と ほ か の 変 重 と の2変 量 の 組 合 せ に つ い て ， そ れ ぞ れ の FPEを求め， FPEが 小 さ い ほ ど

X

₁に 与 え る 因 果 が 強 い と す る . 今

‑170‑

X2が 1番 強 い 因 果 を 与 え る と し よ う .

X!(

π) 

=乞

α

! . jX!  (

π j )  

i=l 

十

2 ン

²

^バ

^2(π一

^{j ) +} 

^{fl(n)  ( 4.62)} 

とおき .P2を再ひ FPEに よ っ て 決 定 す る . 以 下 同 じ よ う に 繰 り 返 し て

X

₁

( n )

の 表 現 を 決 定 す る . 同 様 に し て ， 全 体 の 表 現 を 求 め る .

Caines=Keng=Sethi( 1981)は ， こ の 方 法 で カ ナ ダ に お け る マ ケ ソ ト の 市 場 占 有 率 を 他 の 7変 量 と と も に 分 析 し て い る .Deniau=Fiori=Mathisは ， 同 じ 方 法 で フ ラ ン ス の マ ネ サ プ ラ イ ， 実 質 国 民 総 生 産 を 含 む 6変 量 の モ デ ル を 構 成 し 分 析した.

こ の 方 法 は ー210gλ の 収 束 性 ， モ デ ル 構 成 の 妥 当 性 が 問 題 に な る . 他 の 方 法 も 含 め て 言 え る こ と で あ る が ， 最 初 か ら

AR

モ デ ル を 仮 定 し て デ タ を 分 析 し て い る.有限個のデ タに

AR

モ デ ル を 仮 定 す る こ と に 合 理 的 な 根 拠 は な く ， 従 っ て 説 得 的 で は な い よ う に 思 え る . こ の こ と に は モ デ ル を 決 定 し た 後 の ， モ デ ル 診 断 の 検 定 が 弱 い こ と も 影 響 し て い る .

4.4 K M₂0・ ラ ン ゾ ユ パ ン 方 程 式 に よ る 局 所 因 果 性 の 定 義 ， そ の 実 証 方 法

Grangerの 因 果 性 の 定 義 をK M2

0

ー ラ ン ジ ュ バ ン 方 程 式 の 立 場 か ら 見 直 し ， 局 所 因 果 性 と 呼 ぶ . そ の 実 証 方 法 も 展 開 さ れ て ， 多 次 元 の 時 系 列 が 与 え ら れ た 時 ， 変 量 聞 の 局 所 因 果 性 の 分 析 は 弱 定 常 性 の 検 定(S)，こ帰着することが示される.そし て ， そ の 局 所 因 果 性 の 強 さ は 標 本 エ ン ト ロ ピ に よ っ て 計 ら れ る . こ れ ら の こ と は.Nakano(1992)に ま と め ら れ て い る .

X=(X(

π ) ;  I n l三

N

， )

Y=(Y(

π ) ;  I π ￨三

N)を そ れ ぞ れ d1，ゐ 次 元 の 局 所 弱 定 常 過 程 と し よ う . さらに

W=(W(n);1π ￨ 三 N)

， 

¥ l l /  

托 悦

X Y  

/' 'E EE︑ ︑ ︑ ︑ 一 一

旬

W 

( 4.63) 

が

( d

₁十

d

₂₎次 元 の 局 所 弱 定 常 過 程 で あ る こ と を 仮 定 す る .

州

) = ( : ; ) Y ( π ) = ( : ) ( 4.64) 

と置く.πξ{O，・・ .，N}としよう.

S4.1で定義したように， Xt(π)，巧(π)，i=1，・・ .，

d

₁，

j 

= 1，・・ .，

d

₂を 含 む ， 時 点πで観点JI可 能 な 確 率 変 数 の 集 合 を ふ と す る . し か し .Grangerの場合と異なり，

‑171 ‑

予測に関係する集合を制限し •

u ; ;  

= 

{J

rn; 0 三 m 三 n} と置く •

u ; ;  ‑

Xo(π)を

u ; ;

からXi(m)，m 

= 

0，"'，π i  

= 

1， ...  ，d1を の ぞ い た 集 合 と す る .

u ; ; 一九

(π)

も 同 械 に 定 義 さ れ る .54.1 と同様に • 1を あ る 観 測 司 能 な 確 率 変 数 の 集 合 と す る f

l

! t .   X(

π)の

I

に よ る 線 形 最 良 予 測 を

X1(n)

と す る . こ の 時 ， 予 測 誤 差 1その分 散を

f ( X ( n ) I I )  =X(

π) ‑

X1(

π) 

， 

e

²

( X ( n ) l 1 )   = l l f ( X ( π ) ! 1 ) ! ! 2  

と 置 く . こ こ で

X

と

Y

間 に 局 所 因 果 関 係 を 定 義 し よ う . 定 義4

. 4

.1( 局 所 因 果 性 ) 任 意 の πε{O，.・ .，N}に対し，

(4.65)  ( 4.66) 

e(X(

π)W;‑l) 

=  e(X(n)W;‑l 九

(π1)) (4.67) 

の時 • U

t '

の も と でYから XへのGrangerの 意 味 で の 局 所 因 果 関 係 が な い と い GLC(U) 

い， Y

許 →

X と表す.

同 じ こ と だ が 次 の 定 義 も 与 え て お こ う .

定 義4

. 4

.2( 局 所 因 果 性 ) あ る πε{O，・・ .，N}が存在し，

e(X(

π)W;‑l) < 

e(X(

π

)W;‑l 九

(π1)) (4.68) 

の時 ，U

t '

^{の も と でYから Xへの Gra}略 目 の 意 味 で の 局 所 因 果 関 係 が あ る と い C(U) 

い，

Y

一→

X

と表す.

X

から

Y

へ の 局 所 因 果 関 係 も 全 く 同 機iこ定義できる.

定 義4

. 4

.3( 瞬 間 的 局 所 因 果 性 ) 任 意 の πζ{O，'" ，N}に対し，

e(X(

π

)W;‑l ，  ^Y(n)) 

= 

e(X(

π

)W;‑l) 

(4.69 ) 

GILC(U)  の時 ，U

t '

のもとで

Y

から

X

への瞬間的局所因果関係がないといい，

Y 許 → X 

と表す.

と こ ろ で " 因 果 " の 言 葉 に つ い て 再 び 説 明 し よ う . 現 在 " 因 果 " と い え ば Grangerが 定 義 し た " 因 果 " を 意 味 す る . そ し て " 局 所 因 果 " は ， K M₂0ーラ ン ン ュ パ ン 方 程 式 の 立 場 か ら 見 た localなGranger因 果 と い っ て い い だ ろ う . す でに紹介したように， Granger=Newboltは "Causality " の 概 念 に つ い て の 若 干 の 疑 問 を 呈 し て い る .Grangerの " 因 果 " は ， 一 方 の 変 数 の 変 動 が も う 一 方 の 予 測 値 に 影 響 す る と い う こ と で " 因 果 " と い う 言 葉 の 本 来 の 意 味 か ら は ず れ が あ る と 言 わ ざ る を え な い . 強 い て 言 う な ら ば " 緩 や か な 因 果 " を 意 味 す る と 思 わ れ る が ， む し ろ 定 義 式 か ら 判 断 す る 限 り ， こ れ は 変 量 聞 の 影 響 の 有 無 lこ関するもの であり， "Causality"よりむしろ "Influenceability"が ふ さ わ し い か も し れ な い . と も あ れ 既 に 言 葉 自 体 が 定 着 し て い る 関 係 上 ， そ れ を 尊 重 し ， 有 限 個 の デ タ解 析 の 立 場 か ら 定 義 さ れ た " 因 果 " を " 局 所 因 果 " と 呼 ぶ こ と に す る .

‑172 ‑

定 義4.4.1，定義4.4.2で の " 局 所 因 果 性 " は ， 理 論 的 に は " 前 向 き の " の 己 主 主 を つ け る べ き か も し れ な い . と い う の も ， 議 論 の 対 象 に な っ て い る の は す べ て 正 の 時 点 だ か ら で あ る . し か し な が ら ， 弱 定 常 性 の 検 定 で 見 た よ う に ， 実 際 の テ タ 処 理 で は 実 質 的 に 前 向 き の K M₂0‑ラ ン ン ュ パ ン 方 程 式 が 解 析 さ れ る の は 白 明 な こ と で あ り 前 ￨ 白 ] き の " を は ず し た わ け で あ る .

さ て 本 論lこ戻り，デ タ 分 析 の 代 表 的 な ケ スである

u : ;

= M~(W) の場合を 考 え よ う . こ の 時 は. XとYだ け が 観 測 の 対 象 に な っ て い る の で ， 定 義4.4.1. 

GLC  GILC 

定 義4.4.3で " げ の も と で " を 省 略 し

.Yf →

X，あるいはY

← ^x

^と表す.

さて.E(X(π)W;‑l)は .

{X

(l)， 

Y(m)

， 0 ::; 

1

， m

壬π 1

}か ら 得 ら れ る 情 報 をもとに，

X (

π)を 予 測 し た 時 の 予 測 誤 差 で あ り .E(X(π)W;‑l

一九( n

ー 1))は

{X(l)，  0

壬

l

壬叫

1}か ら 得 ら れ る 情 報 を も と に ， X(π)を 予 測 し た11寺の予測誤 差 で あ る . 従 っ て

E(X( 

n )  

W;‑l

九

(πー 1))

=X(

π) ~ PM~-l(X)X(π) ， (4.70)  E(X(π)W;‑l) 

=X(

π) ~ PM~→ (W)X( π) ・ (4.71) K M20ー ラ ン シ ュ パ ン 方 程 式 の 母 論 か ら1

X(

π) 

=PM;‑I(X)X(

π)十

v+x(

π)

，

Z(n)

二

PM;‑I(Z)Z(n) +  v+z(

π)・

(4.72)  ( 4.73) 

ここ

c :

_¥

ll / 

︑ . ︐ ︐

︑ . ︐ ︐

n π   ( (  

X Y   Z Z  

+ +  

U V  

/ ︐

t・ ︐ ︑ ︑

︑ . ︐ ︐

一 一

π ︐ ︐ ︐ ︑

Z 十U  (4.74) 

と置くと

v+z.x(

π) 

=X(n) 

_~

PM;‑l(Z)X(

π)

， 

v+z.y(

π) 

=Y(

π) ~

PM;‑l(Z)Y(

π) 

(4.75 )  (4.76) 

が 成 り 立 つ . さ ら に ， 定 義 か ら

E(X(π)W;‑l

一九

(πー

1 ) ) =v+x(

π)

， 

E(X(n)IU;‑l) 

=v+z.x(n) 

( 4.77)  (4.78) 

が 成 立 す る . さ て

.X

と

Y

の 局 所 因 果 関 係 に つ い て 次 の 定 理 が 成 り 立 つ . GLC 

定 理4.4.1 Y

非 →

Xの 必 要 十 分 条 件 は ， 任 意 のπε{O，・ .. ，N}に つ い て

v+x(n) 

= 

v+z. x (

π)  ( 4.79) 

が 成 り 立 つ こ と で あ る .

‑173 ‑

GLC 

証 明: Y

井 →

X としよう.この時，

1

11I+x 

( n  ) ‑ I I

+z，

X  ( n  

)11²ニ (lI

+x{n)‑

1I+z，

x(

π)， lI

+x(n) ‑

1I+z，

x(

π) ) 

= ( I I

+x

( n )

， 1I+x(π)) 

+  ( I I + Z

，

x(

π)， 1I+z，

x(

π)) 

‑2 ( I I + z

，

x  (

π)， 1I+x(π)) .  (4.77

  ， )

(4.78)から

1

11I+x (π)11² = 

11ν+Z，X(π)11

²

•

また，

I I + X (

π) ‑II+Z， X{π)εM~-l{Z) であるから

従 っ て

( I I + Z

，

x(

π)， 1I+x

{ n )  ‑

1I+z，

x { n ) )   = 

O. 

1111十

x ( n ) ‑ I I

+z，

x(

π)11²= 21111+z，x(π) 11² 

2 ( I I + z

，

x 

(π)， 1I+x (π) ‑1I+z，

x(n)

十1I+z，

x { n ) )

=2Ihz，x{π)11² ‑21111+z，x{π)11² 

放に

I I + X (

π)ニ

v+Z

，

X{

π).逆は明か.

I 

次 に (4.79)の 検 証 方 法 を 考 え よ う.πε{O，'" ，N}に対し，

V+X{

η ) 

=Ev+x(

π)

ル

+x{π)

， 

V+Z

，

X(

π

)=E

ν

+Z

，

X(

π

) t v + Z

，

X(

π

  ， ) V+Z{

π) 

=Ev+z(

π

) t l l

+z(π) 

( 4.80)  (4.81 )  ( 4.82) 

と置く .

V+x(n)

， 

V+z

，

x(

π)， 

V+z{

π)は そ れ ぞ れ ，lI

+x(n)

， 

I I + Z

，

X{

π)， 1I+z{π)の 分 散 行 列 で あ る .

下 半 三 角 行 子JI

W+X(

π)

，  W+Z

，

X(

π)

，  W+Z(

η)を

と な る よ う に と る . GLC 

V+x{n) =W+x{n)tW+x{

π) 

， 

V+Z

，

x{

η) 

=W+z

，

x(

ね

)tW+z

，

x(

η)， 

V+z{

π) 

_=W+z{

π

_)tW+Z(

π) 

( 4.83)  (4.84)  (4.85 ) 

定理4.4.2

Y h X

の 必 要 十 分 条 件 は ， 次 の

( 1 )

，(2)， (3)の ど れ か が 成 立 す る こ と で あ る . 但 し ， 一 般 に

( I )

dは，

d

次 元 の 単 位 行 列 を 表 す .

(1) 

W+Z

，

X(

π

) ‑ l

^l1

+X{

π)，冗

=0

，'" ，Nが ， 平 均 0，共分散行列

( I ) d

，のd

1

^{次 元} ホ ワ イ ト ノ イ ズ で あ る .

( 2 )  W+X{

^π

) ‑ l l l + z

，

x{n)

， 

n 

= 0，'・ '，Nが ， 平 均 0，共分散行列

( I ) d

，のd

1

^{次 元}

‑174‑

ホ ワ イ ト ノ イ ズ で あ る . (3) 

( 1I+x

( n )¥ 

+Z(

π)一1 l v l

¥ 1I+z，

Y (

π)) ， 

が 平 均 0， 共 分 散 行 列

( I

)(dけの)の

( d

1

+

ゐ ) 次 元 ホ ワ イ ト ノ イ ズ で あ る . 証明:(3)が 同 値 で あ る こ と を 証 明 す る .(3)が 成 立 し た と し よ う . こ の 時 ，

故 に

仰刷) 叶 z J 幻 以 ωU 払 ω ) ) 仇 ト ^ル

^t

^{t 叫 l l + +X 川}

^t

^{ル t 叫 l l 山 +Z 山 +}

^Z

^{灯川山 刊 引 川}

^Y

^{刊 仰 川 (}

^π

^作

E ( I I

+X(π

) tl l +X(

π ) ν

+X(

π

) t l l + Z

，

y  (

π)， 

i 

¥ 1I+z，y(π

) t l l

+x(π)ν

+Z

，

y(

π

) t l l + Z

，

y(

π) ) 

( 4.86) 

=E  ( 1 1 +

日 π(

) t l l

+z，

x(n)

ν

+Z

，

X(

π):U+z，y(π?i. (4.87) 

-~

¥  1 1

^十

Z

，y(冗

) t l l

+z，

x(n)

lI

+z

，y(π)t 

I I + Z

，y (π) )  ( 4.87)か ら ， 特 に

. E I I + x ( n ) t l l + x ( n )  

= 

Ev+z

，

x(

π

) t v

+z，

x(

π).  ^( 4.88)  /ν+x，l ( n ) ¥ / ν

+Z

，

X

，

l (

π)¥ 

v+x(

π) = I  1

，  I I + Z ， X(

π) = I  ^(4.89 ) 

¥I I + X

，

d

，(η

)j ν ¥ +Z

，

x

，

d

，

(n)j 

と置くと， (4.88)から

Ev+x

，

; { n ) 2

= 

E I I + z

，

x

，

; ( n ) 2

， i = 1，・・.，d

1

^{・従って，}

定 理4.4.1の証明と同線に， ν

+x

，

; ( n )

= 

v+z

，

x

，

; ( n )

， i = 1，・.，d

1

^{・放lこ，}

I I + X (

π) 

= I I + Z

，

X{

π) . 逆 は 明 か で あ る . . 

定 理

4

.4

. 2

から，

Y

が

X

に 局 所 因 果 を 与 え る か ど う か は ，

( 1 )

， 

( 2 )

， 

( 3 )

の ど れ か を チ ェ yク し た ら よ い . こ こ で は ， (3)に よ っ て チ ェ ッ ク す る 方 針 を と る . 我 々 は.3章 で 弱 定 常 性 の 検 定 基 準 を 提 案 し た が ， こ れ は 例 え ば ，Zの 弱 定 常 性 を 検 定するのに，

W+Z(

π

t 1

1l

+z(n)

， π =  0，・・ '，

N

( 4.90)  が 平 均 0， 共 分 散 行 列

( I

)(dけれ)の

{ d

₁

+

ゐ ) 次 元 ホ ワ イ ト ノ イ ス で あ る か と う か を チ ェ ッ ク す る も の で あ っ た . そ し て(3)をチェyク す る こ と は (4.90)で

I I + Z (

π)

の 成 分

v+Z

，

x{

π)を

I I + X (

π)で 置 き 換 え て ホ ワ イ ト ノ イ ズ の 検 定 を 行 う こ と に 等 し い .

も う 少 し 詳 し く ， ど う い う 場 合 に ，

Y

が

X

に 局 所 因 果 を 与 え な い の か 調 べ よ う . 次 の 分 離 定 理 が 成 立 す る .

‑175 ‑

GLC 

定 理 4

. 4

.3 Y

許 →

Xの必要

f

分 条

f ' j

は ， あ る の Xd₁行 列 の 組 {A(n，k); 0

三

h

壬

π

壬

N}，d2 

X 

d2行ダ

J I

の組 {B(n，k); 0

三

h

三

π

三

N}が 存 在 し て ， 任 意 の π =  0，・・ .，

N

に対し

Y(

π )  

= 

L 

^A(n

^， 

^k)X(k) 

⁺ 乞

B(n

，

k)

〆

(k) (4

川

" = 0  

^k=O 

と 表 現 で き る こ と で あ る . こ こ で .B(n，π)，n = 0，・・ .，N は 正 則 で .

( 〆

(π);0

三

π

三 N)

^は.M~(X) と直交する，平均 0 ，共分散 (I) d， のの次元ホワイ卜ノイ

ズである.

GLC 

証明: Y

十 →

X としよう .W+z(π)を (4.85)で 定 義 さ れ る ， 下 半 三 角 行 予

J I

と する.

〆

(π)=W+z(π)一lV+Z(π)

引 ( n 川 : : 1 7 j ; ; )

= ( 7 m )  

^( 4.92) 

と置く .v.(π

， )

πニ 0，・・ .，N^{は ， 平 均} 0，共分散

( I) d

のd次 元 ホ ワ イ ト ノ イ ズ で あ る . 但 し .d 

= 

d₁ 

+ 

d2とする .K M₂0ーランジュパン方特式から，

X(n) 

= 乞

i+x(π

，

k)X(k)

+

ν+x(π) 

， ω3) 

" = 0  

( ね ) ^=‑ _~ì+Z(n，k) ( ね )

+ ( : : 1 7 j : ; )  

が 成 立 し て い る .(4.94)の 両 辺 に 左 か ら W+Z(π)‑1を掛けると，

民

z(n)一

1 ( ね ) = ‑ g u n ) 1 7 + Z M ( 羽)

+ ( : ; ロ )

/ 切

ll(n) ... 

0 ¥  

W+z(n) = 

I 

¥ 切 れ

(π) ・・・ 加dd(π

) J

( 4.94) 

( 4.95) 

( 4.96) 

と 置 く と ， 初

ii(n)#O

，i=lγ・.，d， 

n 

= 0，・・ '，N.また， そ の 逆 行 列 は

{Wll ・ 0 ¥

W+z(

π)一1= 

I ・￨

¥Wd1  ・・・ 世'dd/ 

( 4.97) 

の 形 で ，Wii 

# 

0， i = 1， • .• ，d， n = 0，・・ '，N.今，

︑ ︑

t 11 /'

n 

o バ

' t u  

c 

︑iF︑_{l '}

'

ππ  

1 2  

c c  

/I11

︑ ︑

一 一

π Z + 

W 

( 4.98)  と 置 く . こ こ で ，Cij，i，

i 

= 1，2は め xdjの 行 列 で あ る (C

1 2

^{=O).同 様 に}

W+z(π) 一17+zhA)=(F11(π，~~ ~12~:'~~)ω9) _{¥  r}

21π(

， k )  

rn(n

， k)J 

と置く.rij(π，

k )

，i，

i 

= 1，2は

d

i^X 

d

jの 行 列 で あ る .(4.95)から

C₂₁π(

)X(

π) 

+  C

n(π

) Y (

π) 

n‑1  n‑1 

=-~二 r川 n ， ^k)X(k) ‑ L  ^r

^n(π

^{，  k)Y(k)}

^十ν;(n) 

k=日 k=日 ( 4.100) 

C₂₂₍π)は正則だから，

Y(π) 

=‑C 刈

π)一1C

叫

π

) X ( n )

2 二 c 川

π)一1r₂₁(n

， k)X(k) ‑ L 

^C

^川

^π)‑lrnπ(

ム ) Y ( k )

k=日 h二O

十

C

₂₂₍π)‑1 

v ;  (

π) .  (4.101 ) 

/ ν

+Z

，

l(

π ) ¥ / 

v

， ' i

l(

π)¥ 

v

+z

( n )  

= 

1  1 ，  v ; ( n )  

= 

1 

¥V+Z，d(

π ) / ¥

V;，d

， ( n )  / 

と 置 く と ， 構 成 の し か た か ら ，

v ; . i ( n )

，i = 1，'"  ，

d

2は ，V+Z(π)の 成 分 の 一 次 結 合 で あ る . 従 っ て ， 任 意 の k= 0，・・.，n‑1に対し

( 4.102) 

EX(k)t

v;(π)ニ O. (4.103) 

ー方 ，

v+z

，

x(

π)の 成 分 は ，

V ; (

π)の 成 分 の 一 次 結 合 で ， 逆 に

V ; (

π)の成分は，

V+z

，

x(

π)の 成 分 の 一 次 結 合 で あ る . 放 に

Ev+z

，

x(

π)t

v; (

π)^ニ O. ( 4.104)  177 

一方， K M₂0ー ラ ン ジ ュ ハ ン 方 程 式 か ら

X(π) = PM~-l(Z)X(π) + V+Z，X(π) 

であり ，E{PM~-l(Z)X( π )}t v; (π)=0であるから， (4.104)より，

EX(η)tv;(n) = 

o .  

(4.105)と同様に，

(4.105 ) 

( 4.106) 

X(η+ 1) = PM~(X)X( π+ 1)十U十x(π+1).  (4.107)  ( 4.106)から ，E{PM~(X)X( π + 1)}tv;(π) = 

o .

仮 定 か ら .v+x(π+ 1) 

=ν+z.x(π+ 1).従 っ て .Ev+x(π

+ 

l)tv;(n) = O.故 に (4.107)より，

EX(π十

1 )

tv; (π)=0  ( 4.108) 

が 成 立 す る . 以 下 ， 逐 次 的 に

EX(k)tv;(

π )  

= 0， k = 0・ .， ，

N

( 4.109) 

を 得 る . そ こ で .(4.101)に 逐 次 的 に Y(k)，k ニ Oγ ・ • ，n‑1を代入すれば， (4.91) 

の 表 現 を 得 る .

逆 を 示 そ う .(4.91)が 成 立 し て い る と 仮 定 し よ う . 。 壬 k<π三N と す る .

(4.94)で

( ill(π

，

k)  ill(n

， 

k)¥ 

z (

π1 

k )  

111):' ~，~( 111;:~' '，~(

¥ i21(π

，

k)  in(n

，

k)J  ( 4.110) 

と置く .iij(π，

k )

， i，j = 1，2はd_iX 

d

jの行子IJである.(4.94)から，

X(π) 

=  ‑ l . : :  

^ill(π

^， 

^k)X(k) 

" = 0  

‑l

n‑1 

. : :  

ⁱ¹²⁽

丸刈

Y(k)

+ ω

，x(π).  (4.111 

(4.91 )から， Y(k)， k二 0，・・1托 1を(4.111)に 代 入 す れ ば

π‑1 

X(π)=

一 l . : : C (

^π

^，

^k)X(k) 

" = 0  

‑l

π‑1 

. : :  

^D(π

， 

k)

〆

(k)

+

ν+Z.X (n)  (4.112) 

‑178 ‑

の 形 に 表 現 で き る ここで ，C(n， k)， D(π， k)は ， そ れ ぞ れd1 X d1， d1 Xの の 行 列である.

(4.113) 

とすると .

B(n

， 

n )

は正則だから，

v;*(k) εM~(Z) ， i = 1，・・・ ， d1・ ( 4.114) 

従って •

k  = 

0，・・ .，n ‑1に対し

Ev+z.x(n)tv*(k) 

= 

O.  ( 4.115)  仮定から，

E X

( l

)t

〆

(k)=O，[=0，・'，N ( 4.116)  で あ る か ら .(4.112)にtt

〆

(k)，k=O，'・1 π Iをかけて期待値をとれば，

D( n， k) 

= 

0， k 

=  0

， ...  ，n ‑

1 .  

(4.117)  故 に

v+z.x(π) =ν+x(n).  ( 4.118) 

•

0，・・ '^例，^4.N^{4.1 Y(}は .X(k)

^{叫 )}

^=αX(π) ，k = 0，・・ '^+切，N^(π)と 独 立 な ホ ワ イ ト ノ イ ズ で^{と置く.ここで， α手O}. E^{とする.切}切(九)2=σ2^π)(

^，

ⁿ で

⁼ 

ある.さらに X の共分散関数を •

{ R (

π)j 1π| 壬 N} とし •

R ( l ) チ

0と す る . 定 理

4.4.3から YはXに局所因果を与えないが， XはYに 局 所 因 果 を 与 え る . 例 え

ば •

^v+z.y(l) 

= 

Y

( 1 )  ‑

a

献

X(O)内

Y (

1)

= 

Y(l)

一端倍

^{.Y(O)であるtJ><?} • 明 ら か に v+z，y(

l ) 手

v

+ y ( 1 ) .

定 理4.4.3か ら ， 瞬 間 的 局 所 因 果 関 係 に つ い て も 詳 し い こ と が わ か る . 補 題4.4.4 Xがy ，こ瞬間的局所因果を与えない必要十分条件は，

C21(

冗 ) = 

0， n 

= 

0， . ..  ，N  である.

( 4.119) 

証明:(4.94)， (4.101)かり XがY に 瞬 間 的 局 所 因 果 を 与 え な い 必 要 十 分 条 件 は ， 任 意 の n=O，'" ，N に対し

Ilv+z，y(π)112 = 

I I C

22(π

) ‑ 1  

v; (π)112  ( 4.120)  179 ‑

ドキュメント内 経済時系列の統計的研究 : 岡部の理論とその応用 (ページ 176-200)