液状化地盤上の地盤 構造物系の地震被害推定に関する数値解析法の研究 目次 第 章序論. はじめに.2 既往の研究 3.3 研究の目的 9.4 本論文の構成 第 2 章繰返し載荷時の砂の力学モデル 3 2. 概要 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル 軸差応力下での繰返しせん断

液状化地盤上の地盤・構造物系の

地震被害推定に関する数値解析法の研究

２００３年１２月

液状化地盤上の地盤・構造物系の

地震被害推定に関する数値解析法の研究

目次

第 1 章 序論 1 1.1 はじめに 1 1.2 既往の研究 3 1.3 研究の目的 9 1.4 本論文の構成 11 第 2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデル 13 2.1 概要 13 2.2 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル 15 2.3 軸差応力下での繰返しせん断挙動に対する適用性 31 2.4 結論 59 第 3 章 地盤・構造物系の数値解析法 61 3.1 概要 61 3.2 運動方程式 62 3.3 応力ひずみ関係の数値積分における非線形反復計算法 79 3.4 改良型非線形反復計算法の適用性 93 3.5 地盤の非線形動的解析における減衰の役割 113 3.6 地盤・構造物接触面における滑り挙動に対する減衰の影響 125 3.7 結論 129 第 4 章 地盤・構造物系の３次元的挙動を支配する主要因とそのモデル化 131 4.1 概要 131 4.2 杭－地盤系の地震被害推定に関する研究の現状 132 4.3 杭－地盤系の３次元的挙動の分析 136 4.4 杭－地盤相互作用ばねによる３次元的挙動のモデル化 148 4.5 地表面の影響および群杭効果について 166 4.6 結論 172

第 5 章 砂の力学モデルと数値解析法の各種地盤・構造物系に対する適用性 175 5.1 概要 175 5.2 解析結果に影響する諸要因 176 5.3 矢板式岸壁 182 5.4 ケーソン式岸壁 204 5.5 盛土 225 5.6 桟橋式岸壁 235 5.7 結論 254 第 6 章 結論 257 参考文献 261 謝辞 267

第

1 章

序論

1.1 はじめに

1995 年 1 月 17 日に発生した兵庫県南部地震は多くの犠牲者を出すとともに、各種ライ フラインや橋梁、高架道路、岸壁、護岸などの社会的基盤施設にも壊滅的な被害をもたら した。その中で、埋立地の岸壁や護岸あるいは河川堤防などの地盤・構造物系は、基礎地 盤の液状化により大きな残留変位が生じて、多数の施設がその機能を失った。また、その 復旧には長時間を要し、復旧費用は膨大なものになった。この事態を受け、以下に示す経 緯により、大地震による地盤・構造物系の被害推定を精度よく行うことに対する社会的な 要請が高まった。 兵庫県南部地震の地震動は極めて強く、例えば神戸気象台では地表面で0.8g を超える水 平加速度が記録されている。このような強地震動に対する設計要件として、構造物の被害 を許容しない場合には、多額の建設費用がかかるような設計断面となるか、あるいは設計 すること自体が不可能になる。土木学会は、このような事態に対して、現行の耐震基準の 問題点や耐震基準の見直しの方向を示すために、第一次から第三次までの土木構造物の耐 震基準等に関する提言を行った（土木学会, 1995; 1996; 2002）。これらの提言では、これか らの耐震基準のあり方が次のように示されている。 ① 構造物の建設地点において、発生確率の異なるL1、L2 と言う二段階の地震動を設定 すること。 ② これら地震動と構造物の重要度に応じて必要な耐震性能を規定し、その性能を当該 構造物が保有していることを照査すること。 ここに、L1 地震動は構造物の供用期間内に 1～2 度発生する確率を有する地震動であり、 L2 地震動は、その発生確率は極めて低いが、建設地点で考えられる最大級の地震動を表す。 また、構造物の重要度に応じて、その耐震性能は、例えば、L1 地震では機能が維持される 必要があるが、L2 地震では機能は一時的に失われるとしても復旧が容易であること、ある いは、復旧は困難でも崩壊しないことと言うように規定される。めったに生じないような 大地震に対しては、構造物の損傷の過程に踏み込んで照査し、ある程度の被害を許容する ことにより、安全面・機能面からの要請と経済面からの要請を両立させようと言う趣旨で

第 1 章 序論 ある。このような耐震基準に関する考え方は国の防災基本計画（内閣府, 1995）の中にも 盛り込まれ、また、改訂された鉄道構造物等設計標準・同解説（鉄道総合技術研究所, 1999） などの土木構造物の耐震基準においても採用された。 岸壁、護岸、盛土、杭基礎などの地盤・構造物系を対象として所定の耐震性能を保有し ていることを照査するためには、当該構造物の地震による残留変位や矢板・杭などの部材 の損傷程度を評価する必要がある。特に、L2 のような大地震を対象とする場合は、地盤の 液状化や部材の塑性化を考慮した上での評価が必要になる。このような評価に際して、以 下に示す特徴を持つ大地震時の地盤・構造物系の挙動を適切にモデル化する必要がある。 ① 地盤と構造物の間に動的相互作用がある。 ② 地盤剛性が液状化などにより短時間に大きく変動する。 ③ 地盤の液状化と地形の影響により側方流動が生じて構造物に作用する。 ④ 矢板などの抗土圧部材や杭などの支持部材は、液状化による土圧の増加、支持する 上部構造物に生じる大きな慣性力、および地盤の変形などにより塑性化する。 上記諸現象は複雑であり、そのメカニズムは必ずしも完全に解明されてはいない。しか し、耐震性能照査を実施するために、大地震時の液状化地盤上に構築される地盤・構造物 系の残留変位などを推定する手法の開発は急務である。 このような手法のうち、上記諸現象の解明に適した解析的手法の多くは動的相互作用や 液状化現象の取扱いに優れている有限要素法に基づく動的有効応力解析法（以下、有効応 力解析法）に分類されるものである。しかし、この種の手法は、各種ブラインド解析など の結果（例えば、（財）国土技術研究センター, 2002）を見ても分かる通り、いずれも推定 精度に問題を抱えており、研究開発途上にある。土木学会の提言も、この事情を反映して か、動的解析によって構造物の応答値を算定して耐震性を照査することが望ましいとする 一方で、解決を要する課題の一つとして地盤・構造物系の地震後の残留変形量を正しく推 定する方法の確立を挙げている。このように、地盤・構造物系を対象とする場合、その残 留変位などの推定精度向上は緊急かつ重要なテーマであると言える。 地盤・構造物系に対する地震被害の推定精度向上を図るためには、先に述べた①～④に 示す現象のメカニズムを有効応力解析法に基づいて解明することが求められる。その際、 有効応力解析における数値解析精度の向上が、被害推定精度の向上にとって、必要不可欠 である。有効応力解析における数値解析精度に関する課題には、後述するように、土の力 学モデルの課題、地盤・構造物系の運動方程式の数値解析の課題など、種々のものがある。 したがって、地盤・構造物系の被害推定精度の向上のためには、これら種々の課題の解決 法を明らかにし、これらの結果に基づいた総合的なアプローチが必要である。

1.2 既往の研究

1.2 既往の研究

有効応力解析法には種々のものがあるが、液状化地盤上の地盤・構造物系の被害程度の 予測精度を念頭において実施された一斉解析結果などを参照することにより、いずれの方 法が対象とする条件での地盤・構造物系の被害程度解析に適しているかについて、ある程 度の見通しを得ることができる。本節では、繰り返し載荷時の砂の挙動、液状化地盤、盛 土など、地盤・構造物系として最も基本的な条件を対象として実施された一斉解析結果（石 原，1989）を参照して、各種提案されている有効応力解析法の中から土の挙動の再現性に 優れている方法として、多重せん断機構に基づく砂の力学モデル（Iai ら, 1990a）（以下、 「多重せん断機構モデル」と言う）を用いた有効応力解析法（井合, 1989）を取り上げる。 1.2.1 有効応力解析法による一斉解析 有効応力解析法には、繰り返し載荷時の砂の挙動を表す力学モデルの違いに応じて様々 なものが提案されている。採用されている力学モデルの多くは、弾塑性構成則に基づくモ デルであり、負荷曲面、硬化関数、流れ則などを与えるものであるが、土の力学モデルは これらに限定されるものではない。これらのモデルとは異なる視点から土の複雑な挙動を 表現すべく構築されたモデルも少なくない。有効応力解析法に採用されている砂の力学モ デルの違いにより、同じ実験や被災事例を対象とした再現解析を行っても、それぞれの方 法には個性があって、解析値の傾向はかならずしも同じにはならない（例えば、井合, 1992）。 1989 年には、土質工学会に設置された地盤と土構造物の地震時の挙動に関する研究委員 会が種々提案されている有効応力解析法による一斉解析を実施した（石原, 1989）。これら の解析では合計7 種類の砂の力学モデルが用いられ、このうち 4 種類が前述の通常の弾塑 性構成則と同じ形式のモデルを用いたものでが、３種類は新たな視点から土の挙動を表現 することを狙って構築されたモデルであった。一斉解析では、初期圧密（等方圧密と異方 圧密）の違いの繰り返しせん断挙動への影響を見るための土要素の解析（以下、要素テス トという）、1964 新潟地震の際に液状化による被害を受けた水平成層地盤の１次元地震応 答解析、および、盛土の動的遠心模型実験の解析が課題とされた。 この三種の解析の中で、解析法により応答の傾向に顕著な差が生じたのは要素テストで あった。要素テストは、相対密度40～50%の砂を対象に、①まず K0=0.5 で初期圧密した後 に、非排水、側方拘束の条件下で、せん断応力比（τ/σv0’）が 0.20 の場合に 5 回で、0.14 の場合に20 回で液状化するように各モデルのパラメータを設定し、②次にそのパラメータ を用いて、K0=0.5 と K0=1.0 で初期圧密した後に、非排水、側方拘束の条件下で、せん断応 力比（τ/σm0’）を例えば 0.30 として繰り返し載荷を行い、有効応力経路およびせん断応 力－せん断ひずみ関係を描くと言うものであった。実験では、K0が異なっていても、せん 断応力比を初期平均有効応力σm0’で正規化したものにすると液状化抵抗曲線は一致する ことが知られている（石原, 1976）。これから K0に拘わらず過剰間隙水圧の応答はほぼ同じ になるとされ、従って、解析結果の有効応力経路なども、K0に拘わらず同等になると期待 された。 要素テスト結果によれば、K0が0.5 と 1.0 の場合の解析結果が一致したのは、井合（1989）

第 1 章 序論 による多重せん断機構モデルに基づく有効応力解析法であった。この方法によるK0が0.5 と1.0 の場合の液状化抵抗曲線の比較を図 1.2-1に、有効応力経路とせん断応力－せん断ひ ずみ関係の比較を図 1.2-2に示す。また、弾塑性構成則に基づく砂の力学モデルによる解 析結果の例として、Pastor と Zienkiewicz（1986）のモデルによる K0=0.5 と 1.0 の場合の有 効応力経路の比較（塩見, 1989）を図 1.2-3に示す。同図によれば、両者で水圧の上昇の様 子が明らかに異なる。 多重せん断機構モデルは砂のせん断応力－せん断ひずみ関係を多重せん断ばねモデル （Towhata ら, 1985a）を用いて表す。この解析法により K0=0.5 と 1.0 の結果が一致したの は、K0圧密から単純せん断応力を載荷するフェーズに切り替わる際に主応力軸の回転を伴 うが、多重せん断ばねモデルが主応力軸の回転による影響を自然に考慮できるためであっ た。これは、土のシミュレーションを行う上で力学モデルが備えるべき重要な性質である。 さらに、多重せん断機構モデルは、多重せん断ばねモデルと過剰間隙水圧モデルを巧みに 協調させていることから、本研究で対象とする液状化地盤上の種々の地盤・構造物系の被 害程度推定を目的とした解析に適した力学モデルであると考える。 よって、本研究では、同モデルに基づく有効応力解析法（以下、本解析法）を対象に解 析精度に関する検討を行うこととした。 1.2.2 多重せん断機構モデルに関する既往の研究 多重せん断機構モデルは、前述の通り、せん断応力－せん断ひずみ関係を多重せん断ば ねモデルで表現し、過剰間隙水圧モデルとしては、Iai ら（1990a）のモデルを用いている。 本項では、多重せん断機構モデルに関する既往の研究について述べる。 (1) 排水条件下にある砂の挙動のモデル 砂質土の繰り返し載荷時の挙動をモデル化するため、Towhata ら（1985a）は、平面ひず み状態における排水条件下の砂のせん断応力－せん断ひずみ関係について検討を加え、多 重せん断ばねモデルを提案した。図 1.2-4に示すように、このモデルは、せん断応力／せ ん断ひずみ空間上に定義された固定の円とその円内にある可動点とから構成される。可動 点は、無数の非線形ばねにより、固定された円と結ばれている。これらのばねは、種々の 方向を向く仮想の単純せん断機構に対応している。各ばねの力－変位関係は、双曲線タイ プの荷重－変位関係に従う。可動点の円の中心からの変位はせん断ひずみを表し、可動点 に作用するばね力の合計はせん断応力を表す。このモデルは、主応力軸の回転により引き 起こされる土の異方性を自動的に考慮に入れることができる。 地震の際には、土は繰り返し載荷され、土のせん断応力－せん断ひずみ関係は、履歴ル ープを描く。ループが囲む面積は、履歴減衰の大きさに関係する。土の挙動を模擬するた めには、除荷および載荷の過程に対応するせん断応力－せん断ひずみ関係を確立する必要 がある。排水状態にある土のこのような挙動を表すために、しばしば、Masing 則（Masing, 1926）が適用される。双曲線モデルに対して Masing 則が適用された場合、その除荷・載荷 曲線が描く履歴ループによる減衰定数は、大きなひずみレベルにおいては、実験により測 定される減衰定数より大きくなることが知られている。Ishihara ら（1985）は、広く用いら れている１次元の単純せん断モデルに対して、Masing 則を修正することにより減衰定数を

1.2 既往の研究 調節する方法を提案した。Iai ら（1990b）は、この方法に基づき、多重せん断ばねモデル に対して、任意の最大減衰定数の双曲線型せん断ひずみ－減衰定数関係を導入した。 Ozutsumi ら（2001）は、さらに任意形状のせん断ひずみ－減衰定数関係を多重せん断ばね モデルに導入する方法を提案した。 (2) 液状化特性のモデル Towhata ら（1985b）は、豊浦砂を用いて、等方圧密後の主応力軸の回転を含む各種応力 経路による非排水繰り返しせん断挙動について、室内試験を通じた検討を行った。その結 果、土に作用しているせん断応力の状態に応じて、その時の過剰間隙水圧は単位体積の土 になされたせん断仕事の累積値と密接な関係にあり、この関係は載荷経路に依存しないこ と、および、平均有効応力と最大せん断応力で規定される応力空間においては、累積せん 断仕事の等高線を描くことができると言うことが明らかにされた（図 1.2-5参照）。 Iai ら（1990a）は、この実験結果に基づき、非排水条件下の砂に対して、単位体積の土 になされた塑性せん断仕事に応じて応力経路を与えるモデルを提案した。このモデルの概 念図を図 1.2-6に示す。図の縦軸 r は最大せん断応力τを初期平均有効応力σ_m0’で正規化 したものであり、図の横軸は状態変数S で、これは準静的、非排水かつ全拘束圧力一定と 言う実験の条件下においては、σm’/σm0’に一致する（σm’は平均有効応力）。そして、単 位体積の土になされた塑性せん断仕事の累積値に基づき、図 1.2-6に示す液状化フロント パラメータS0の位置が決定される。この状態において可能な応力経路は、図中に液状化フ ロントとして示されている。なお、図中のφf'はせん断破壊角を、φp'は変相角を表す。こ のモデルでは、液状化フロントの位置が決まれば、せん断応力比ｒに応じて状態変数S が 定まり、このS に応じて、砂のせん断剛性とせん断強度を調節している。また、平均有効 応力の算定に必要な塑性体積ひずみもS に応じて評価するとしている。調節された砂のせ ん断剛性とせん断強度は、多重せん断ばねモデルに反映されて、非排水条件下で繰り返し せん断される砂の挙動を表現する。 変相線より下の応力空間でなされた塑性せん断仕事と、変相線を超えて破壊線に至るま での領域においてなされた塑性せん断仕事は、それらが同じ量であっても、負のダイレタ ンシーへの寄与程度、すなわち、液状化フロントS0の進行に対する寄与程度は異なると予 想される。従って、両者の寄与程度の差異を知る必要がある。しかしながら、上述のTowhata ら（1985b）の実験では、その応力経路は概ね変相線以下の領域を辿っているので、この実 験結果からこの問題に対する指針を得ることは困難であった。そこで、塑性せん断仕事の 負のダイレタンシーへの寄与程度を、応力状態に応じて次のように仮定した。すなわち、 変相線の2/3 以下の領域での寄与係数を 1 とし、変相線の 2/3 から破壊線に至るまでの領 域では、寄与係数を線形に低減させ、破壊線でちょうど0 となるように設定した。塑性せ ん断仕事は、その時の応力状態に応じて、この寄与係数を乗じて累積される。

第 1 章 序論 図 1.2-1 種々の応力条件下での液状化抵抗（井合, 1989） Case-1（K0=1.0）と Case-2（K0=0.5）の比較 Case-1, K0=1.0,τd /σm0’=0.27 Case-2, K0=0.5, 側方拘束, τd /σm0’=0.27 図 1.2-2 要素試験の有効応力経路とせん断応力－せん断ひずみ関係（井合, 1989） Case-1（K0=1.0）と Case-2（K0=0.5）の比較

1.2 既往の研究 Case-1, K0=1.0,τd /σm0’=0.30 Case-2, K0=0.5, 側方拘束, τd /σm0’=0.30

図 1.2-3 弾塑性モデルによる解析結果の例：要素試験の有効応力経路（塩見, 1989） Case-1（K0=1.0）と Case-2（K0=0.5）の比較

第 1 章 序論

図 1.2-4 多重せん断ばねモデル（Towhata ら, 1985a）

図 1.2-5 応力空間上の累積せん断仕事の等高線（Towhata ら, 1985b）

1.3 研究の目的

1.3 研究の目的

液状化地盤上の地盤・構造物系の地震被害推定に適した有効応力解析に基づく数値解析 の精度向上のためには、以下の①～⑤に示すモデルや数値解析法の精度を向上し、それら の結果を総合的に用いる必要がある。 ① 砂の力学モデル ② 二相系の運動方程式とその数値解析法 ③ 境界条件・接触条件・杭－地盤系相互作用の各モデル ④ 初期状態の設定法 ⑤ 砂以外の土や材料あるいは各種部材に関する力学モデル 解析精度に影響する要因は、上記①の範疇のみならず②～⑤の範疇にもあって、全体を 見渡さないと解析精度の向上は望めない。以下にそのような要因を例示する。 前述のように液状化現象は複雑であり、①の砂の力学モデルは、必ずしもあらゆる条件 下で砂の挙動を完璧に模擬出来るとは限らない。また、地盤剛性が液状化などにより短時 間に大きく変動することから、②の範疇に入る応力－ひずみ関係を対象とする非線形反復 計算においては、その変動に追随できるような数値解析法を用いないと誤差を生む可能性 がある。また、一般に地盤の減衰機構に関しては未解明である部分が多いが、特に液状化 した地盤の減衰機構について未解明な点が多い。しかし、②の範疇の数値解析の安定性の 確保の観点から導入される減衰の与え方により、応答値が大きく影響されるのも事実であ る。③の杭－地盤系の相互作用の機構についても未解明の点が多いが、液状化などにより 水平移動している地盤と杭の相互作用についてはなおさらであり、そのモデル化が解析精 度の鍵を握っている可能性がある。矢板式護岸の解析では、④の範疇に入る初期応力状態 の設定法の違いにより応答値が影響を受けることが知られている（井合ら, 2001）。部材の 破壊形態も未解明な点が多く、⑤の範疇の例えば杭の力学モデルとして、曲げモーメント －曲率関係にバイリニアモデルなどを適用する場合が多いが、その精度については明らか でない。 以上見たように、地盤・構造物系の地震被害推定を行うには、複雑な現象を取り扱う必 要があるため、様々な条件下での要素シミュレーションや種々の形式の地盤・構造物系の 被災事例解析などを通じて、その応答の傾向から精度向上が必要とされる部分を見出して、 その部分に対してより合理的なモデルを提案すると言う方法が適している。地盤・構造物 系の地震被害推定の精度向上に著しい影響を与える要因として、本研究で対象とする有効 応力解析法を構成するモデルあるいは解析手法のそれぞれについて、以下のものを挙げる ことができる。

第 1 章 序論 ① 砂の力学モデル a. 変相線を超えた応力空間におけるせん断仕事の負のダイレタンシーへの寄与評価法 b. 間隙水移動の効果の考慮 ② 二相系の運動方程式とその数値解析法 c. 応力－ひずみ関係の非線形反復計算法 d. Shear Locking 現象の回避 e. 減衰の与え方 f. ジョイント要素の滑り挙動の減衰支配の解消 g. 大変形効果の考慮 ③ 境界条件・接触条件・杭－地盤系相互作用の各モデル h. 杭－地盤系の相互作用における３次元効果の考慮 ④ 初期状態の設定法 i. 初期応力状態の評価法 ⑤ 砂以外の土や材料あるいは各種部材に関する力学モデル j. 粘性土の力学モデルなど⑤に分類される諸項目 本研究は、液状化地盤上の地盤・構造物系の地震被害推定の精度向上を図るため、多重 せん断機構モデルに基づく有効応力解析法の解析精度の向上を図ることを目的とする。こ の目的を達成するため、上に示す解析精度に影響する諸要因のうち、アンダーラインを引 いたものについて着目し、これらが解析精度に与える影響を検討し、精度改善のための新 たな修正モデルを提案する。

1.4 本論文の構成

1.4 本論文の構成

本論文では、第2 章～第 4 章で、多重せん断機構モデルに基づく有効応力解析法を示し、 解析精度を向上させるために必要な修正モデルを提案し、その精度向上効果について検討 する。具体的には、上述の解析精度に影響する要因a.～j.のうち、第 2 章では「①砂の力学 モデル」の要因a.、第 3 章では「②二相系の運動方程式とその数値解析法」の要因 c.、e.、 f.、第 4 章では「③境界条件・接触条件・杭－地盤系相互作用の各モデル」の要因 h.につ いてそれぞれ検討する。また、第5 章では、第 2 章～第 4 章で提案したすべての修正モデ ルを同時に各種形式の構造物の被災事例解析などに適用して、修正モデルを同時に適用し た場合の有効性を検証する。以下に、各章ごとにこの検討内容を示す。 第2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデルでは、まず、Iai ら（1990a; 1990b）の多重せん 断機構モデルについて詳述する。次に、同モデルに基づく有効応力解析法を基礎地盤が軸 差応力の作用下で繰り返しせん断を受けるような矢板式護岸や盛土などの構造物に適用す ると過大な応答になる場合があることから、多重せん断機構モデルを構成する過剰間隙水 圧モデルの変相線を超えた応力空間においてなされる塑性せん断仕事の負のダイレタンシ ーへの寄与程度の評価法を検討し、その修正モデルを提案する。また、修正モデルを複数 の事例解析に適用して、その効果を確認する。 第3 章 地盤・構造物系の数値解析法では、前章で示した砂の力学モデルを組み込むた めに、Zienkiewicz ら（1982）が示した間隙水で満たされた多孔質体の骨格の運動方程式と 間隙水の収支バランス式（u-p formulation）に基づく有限要素法による定式化を示す。また、 得られた離散化された運動方程式を解く際に必要となる非線形反復計算法や減衰の与え方 が解析精度に与える影響について検討する。 上述の定式化に対して第2 章で示した砂の力学モデルを組み込んで液状化地盤上の各種 構造物の地震応答解析を行うと、応答加速度時刻歴に不自然なスパイク状のピークが多発 する場合があることから、本章では非線形反復計算法に関する定式化の検討を行い、第 2 章で示した砂の力学モデルに対応した新しい非線形反復計算法を構築する。また、非線形 反復計算法の違いが応答値に与える影響について検討を行う。 有効応力解析法に基づく地震応答解析では、計算の安定化のために剛性比例型のレーレ ー減衰行列を与える場合が多い。第2 章で示した砂の力学モデルに基づいて地震応答解析 を行う場合も、レーレー減衰行列を与えないと解析が不安定になり、あるいは応答が過大 になる傾向が見られる。しかし、レーレー減衰行列を与える物理的な意味が必ずしも明確 にはなっていないので、砂の非排水繰返し載荷解析においてレーレー減衰を与える物理的 な背景について検討し、これに基づいた新たなレーレー減衰設定法を検討する。 レーレー減衰は、構造物と土の間の滑り挙動を模擬する目的で導入したジョイント要素 の滑り挙動に著しい影響を与える。すなわち、ジョイント要素の初期剛性を剛性比例型の レーレー減衰行列組立の際に参照すると、ジョイント要素の滑り挙動が抑制されて全体の 応答を小さめに評価する傾向にある。そこで、本章ではジョイント要素に対してレーレー 減衰が作用する場合のジョイント要素の挙動に関する検討を行い、また、ジョイント要素 に対するレーレー減衰指定の是非を検討する。 第4 章 地盤・構造物系の３次元的挙動を支配する主要因とそのモデル化では、杭－地

第 1 章 序論 盤系に見られる杭間を土がすり抜けるなどの３次元的な相互作用を分析し、その特性を２ 次元解析において杭間地盤の挙動を表す地盤モデルと杭モデルを結ぶ杭－地盤相互作用ば ねで表現する方法を提案する。すなわち、杭1 本分の円形の水平断面と加振直交方向に隣 接する杭との中間地点までの地盤からなる単位厚さの水平断面モデル（杭－地盤系を直上 から眺めたモデル）を用いて、杭に水平外力を与えた際に発生する杭の相対変位（地盤モ デルの変位を表すと想定した杭間位置での地盤変位に対する杭の変位）を解析して得られ る荷重－相対変位関係を上述の相互作用ばねに必要な特性とする。また、この特性を、杭 周辺の土の構成則により与えられるせん断応力－せん断ひずみ関係を用いて表現する方法 を提案する。 第5 章 砂の力学モデルと数値解析法の各種地盤・構造物系に対する適用性では、前章 までに液状化地盤上の地盤・構造物系の地震被害推定の精度向上のために提案した各モデ ル、すなわち、砂の力学モデルや二相系の運動方程式とその数値解析法に係わる修正モデ ル、および、杭－地盤系の相互作用における３次元効果を表現するためのモデルをすべて 同時に適用した場合に、被災事例における被害程度を説明する精度よい解析結果が得られ るか否かについて検討する。 なお、本章では、上述の解析精度に影響する要因a.～j.のうち、第 2 章～第 4 章で取り上 げなかった、すなわちアンダーラインの無い項目については、本章で行う被災事例解析に おいて、どのような取扱い方針を採用したかについて説明する。このような項目のうち、 d.、g.および i.については、既に解析精度に及ぼす影響検討がなされ、また本解析法に則し て解析精度向上を図るための方法が提案されていて、これらは必要に応じて本章で行う被 災事例解析に取り入れる。また、要因b.と j.は、解析精度に何らかの影響はあるが、影響 の程度を定量的に把握していないもので、これらについては、本章で行う被災事例解析に おいては、既往の検討に基づいて妥当と思われるモデルを用いている。 第 6 章 結論では、本研究で得られた知見をまとめる。

第

2 章

繰返し載荷時の砂の力学モデル

2.1 概要

液状化する可能性のある地盤上に構築される構造物は地震によって著しい被害を受ける ことが多い。この被害を推定するためには、砂の繰返し載荷時の挙動を適切にモデル化す ることが必要である。この目的のために、Iai ら（1990a）は多重せん断機構モデルを提案 した。本章では、この力学モデルの精度向上を図ることを目的として行った研究の成果を 示す。 多重せん断機構モデルは平面ひずみ状態にある砂の繰り返し載荷時の挙動を表現するた めのものである。このモデルは、平均成分に関する構成則と偏差成分に関する構成則から 成る。平均成分に関する構成則では、平均有効応力－体積弾性ひずみ関係が規定される。 偏差成分に関する構成則では、Towhata ら（1985a）が提案した多重せん断ばねモデルによ りせん断応力－せん断ひずみ関係が規定される。なお、多重せん断ばねモデルは、任意の 最大減衰定数の双曲線型せん断ひずみ－減衰定数関係を再現することができるよう拡張さ れている（Iai ら, 1990b）。 砂の液状化現象については、多重せん断機構モデルを構成する過剰間隙水圧モデルによ り表現される。この過剰間隙水圧モデルでは、単位体積の砂になされた塑性せん断仕事の 累積値に応じて液状化の進行程度が評価される。また、液状化の進行程度に応じた体積塑 性ひずみ、平均有効応力、初期せん断剛性およびせん断強度が評価される。さらに初期せ ん断剛性およびせん断強度と過剰間隙水圧との関係などに基づいて多重せん断ばねモデル の各ばねの挙動が液状化の進行に応じて調節される。 本章では、この多重せん断機構モデルを詳述した後に、同モデルの軸差応力下での繰返 しせん断挙動に対する適用性を検討する。多重せん断機構モデルを構成する過剰間隙水圧 モデルは、前述の通り、単位体積の砂になされた塑性せん断仕事の累積値に応じて液状化 の進行程度を評価する。変相線より下の応力空間でなされた塑性せん断仕事と、変相線を 超えて破壊線に至るまでの応力空間においてなされた塑性せん断仕事は、それらが同じ量 であっても、負のダイレタンシーへの寄与程度は異なると予想される。しかし、寄与程度 の違いについては不明な点が多い。既往の提案による過剰間隙水圧モデルでは、変相線を 超えて破壊線に至るまでの応力空間においてなされる塑性せん断仕事の負のダイレタンシ ーへの寄与率は、せん断応力の増加に応じて線形に低減させ、破壊線上では0 としている。

第 2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデル この寄与率設定法によれば、破壊線にいくら近づいても非零の寄与係数が与えられること になる。同モデルを組み込んだ有限要素法に基づく２次元動的有効応力解析コードによる 矢板式岸壁などの地震応答解析においては、しばしば応答が過大になる。これは、矢板の 受働側地盤など常に軸差応力の作用下にあって繰り返しせん断される砂の過剰間隙水圧が 他の部分に比べて著しく上昇するためである。このような部分で過剰間隙水圧が大きく上 昇するのは、破壊線の近くで繰り返しせん断される場合になされる大きな塑性せん断仕事 と前述の寄与係数設定法が調和しないためであると考えて、本章では新たな寄与率設定法 を検討する。

2.2 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル

2.2 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル

本節では、多重せん断機構モデル（Iai ら, 1990a; 1990b）について詳述する。 2.2.1 平均成分に対する構成則 (1) 準備 次式に示すように、ひずみおよび有効応力を偏差成分と平均成分に分ける。平均ひずみ 成分は、さらに弾性成分と塑性成分に分離する。ひずみは初期状態からの増分である。ひ ずみ成分と応力成分の符号は、伸張・引張を正に、収縮・圧縮を負にとる。但し、間隙水 圧は圧縮を正とする。

{ } { } { }

ε

=

ε

_ｄ + m

ε

_m =

{ } { }

ε

_ｄ + m

ε

_me +

{ }

m

ε

_mp (2.2-1)

{ }

σ

' =

{ } { }

σ

_d + m

σ

'_m (2.2-2) 但し、

{ }

ε

T =(

ε

_x

ε

, _y

ε

, _z

γ

, _xy

γ

, _yz

γ

, _zx) （ひずみ）

{ }

σ

'T =(

σ

_x',

σ

_y',

σ

_z',

τ

_xy,

τ

_yz

τ

, _zx) （有効応力）

{ }

_m T =(1,1,1,0,0,0)

ε

_m =(

ε

_x +

ε

_y +

ε

_z )/3 （平均ひずみ） ' ( _x ' ' _z' )/3 m

σ

σ

σ

σ

= + _ｙ+ （平均有効応力） また、

{ }

ε

_ｄ は偏差ひずみ、

{ }

σ

_d は偏差応力、

ε

_meは平均弾性ひずみ、

ε

_mpは平均塑性ひずみ である。平均塑性ひずみ

ε

_mpとしては負のダイレタンシーによるものを取り扱う。さらに、 平均ひずみ、平均弾性ひずみおよび平均塑性ひずみの間には次の関係がある。

ε

_m =

ε

_me+

ε

_mp (2.2-3) ここで、平均成分と偏差成分に対し、それぞれ、次のような形の構成則を仮定する。 ' ( ) me m f

ε

σ

= (2.2-4)

{ }

σ

_d =

{

g(

{ }

ε

_d )

}

(2.2-5) 関数f の形は本項の後半で、また、関数{ｇ}の形は2.2.3項で示す。

第 2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデル (2) 平均有効応力の評価方針 本構成則では、以下の①～③に示す手順に従い、動的解析などの任意の時点における平 均有効応力σm'を評価する。 ① まず、平均ひずみεmを評価する。有限要素法では節点変位から直ちに求められる。 ② (2.2-3)式に示す関係を用いて、平均ひずみε_mと平均塑性ひずみε_mpから平均弾性ひ ずみεmeを求める。 ③ σm' = f (εme)の関係（(2.2-4)式）から、平均有効応力σm'を算定する。 上記②において平均塑性ひずみεmpの値が必要であるが、これは、その時点の累積塑性 せん断仕事およびせん断応力に基づき、準静的非排水かつ全拘束圧一定と言う実験条件下 において評価した塑性体積ひずみ 3εmpの 1/3 として算定されたものを準用する。すなわ ち、以下に示す手順による。 ① 1.2.2 項で述べたように、その時点の累積塑性せん断仕事に基づき、液状化フロント パラメータS0および液状化フロントを決定する（図 1.2-6 参照）。 ② 液状化フロントとその時点のせん断応力に基づき、実験条件下ではσm'/σm0'に一致 する状態変数S を求める（図 1.2-6 参照）。なお、σm0'は初期平均有効応力を表す。 ③ 平均有効応力σm'（実験条件下）を次式により評価する。 σm'= Sσm0' (2.2-6) ④ 過剰間隙水圧Pex1（実験条件下）を有効応力の減少分として評価する。 Pex1 = (σm'－σm0') (2.2-7) ⑤ 全体積ひずみの変化3εm（実験条件下）は、間隙水の体積変化に等しいとおく。 3ε_m = －(n/Kf )Pex1 (2.2-8) なお、n は間隙率、Kfは間隙水の体積弾性係数を表す。 ⑥ 平均有効応力σm'と平均弾性ひずみεmeの関係（(2.2-4)式）から平均弾性ひずみεme （実験条件下）を評価する。 σm' = f (εme) (2.2-9) ⑦ 全体積ひずみ3εmと弾性体積ひずみ3εmeから塑性体積ひずみ3εmp（実験条件下） を評価する。 3εmp = 3εm－3εme (2.2-10) 従って、実験条件下での過剰間隙水圧 Pex1は、(2.2-7)式、(2.2-9)式、(2.2-10)式、(2.2-8) 式を用いると、次のように表すことができる。 P_ex1= f(−

ε

_mp−nP_ex1/3K_f)− f(0) (2.2-11) ただし、初期平均有効応力σm0'を f (0)とした。上式は、実験条件下における過剰間隙水圧 Pex1と平均塑性ひずみεmpとの関係を表す。Pex1は、(2.2-6)式、(2.2-7)式より、状態変数 S の関数であり、S は累積塑性せん断仕事とせん断応力の関数として求まる。実験条件が成 り立たない場合でも、累積塑性せん断仕事とせん断応力から同じようにS および Pex1を求

2.2 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル め、これによりεmpを評価する。 (2.2-3)式の関係を用いると、構成則(2.2-4)式は次のように書ける。 ' ( ( )) ex1 mp m m f

ε

ε

P

σ

= − (2.2-12) 上式のεmpは、(2.2-11)式をεmpについて解いて求めたものを用いる。偏差成分もまとめて 書くと次式を得る。

{

σ

'(

{ }

ε

,P_ex1)

}

₌

{ }

m f (

ε

_m−

ε

_mp(P_ex1))₊

{

g(

{ }

ε

_d )

}

_(2.2-13) (3) 平均有効応力と平均弾性ひずみの関係 ここで、X とＹを以下のようにおく。 Y =-

σ

'_m (2.2-14) X -3( ) -3( 0 - _mp) me m 0 me me

ε

ε

ε

ε

ε

+ = + = (2.2-15) 但し、

ε

_me0 は初期平均有効応力σ_m0'に対応する初期平均弾性ひずみである。また、初期状 態では平均塑性ひずみは0 とした。Y は、平均有効応力σm'の符号を反転して圧縮を正とし たものである。X は、体積弾性ひずみの符号を反転したものであり、初期圧密前の状態 （σm'=0）を基準とした体積ひずみである。 ここで定義したX と Y との間に次の関係を仮定する。

Δ

Y =K

Δ

X (2.2-16) 但し、K は増分型の体積弾性係数であり、次式により与えられるものとする。 K m ma ma _Y Y K K _      = (m_K ≠1) (2.2-17) なお、Kma は平均有効応力がσma'（基準平均有効拘束圧）である時の増分型の体積弾性係 数である。mKはK の拘束圧依存性を表すパラメータである。また、Ymaは次式で与えられ る。 Y_ma =-

σ

'_ma (2.2-18) (2.2-16)式を積分し、得られた式を Y について解くと次式を得る。但し、X=0 の時、Y=0 と した。 1-mK 1 BX Y = (2.2-19) 但し、 K K m -1 1 m ma ma K ) (Y K ) m -(1 B         = (2.2-20) 上式から、次のように、f（εme）の形が定まる。

第 2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデル f( ) ' Y m me =

σ

=−

ε

1-mK 1 0 me me-3 ) (-3 -B =

ε

ε

(2.2-21) (4) 液状化を考慮する場合の平均有効応力評価法 液状化を考慮する場合は、実験条件下のPex1は、(2.2-11)式、(2.2-21)式より、次のように 表される。                   + + = K K m -1 1 st f ex1 mp m -1 1 st ex1 _K X nP 3 -X B P

・

ε

(2.2-22) 但し、X_st =-3

ε

0_meとした。上式をεmpについて解くと、次式を得る。 _st f ex1 m -1 ex1 m -1 1 st mp _K -X nP -B P -X 3 K K         =

ε

(2.2-23) さらに、(2.2-6)式、(2.2-7)式により、Pex1を次のように、状態変数S で表す。 P_ex1=(1-S)Y_st (2.2-24) なお、Yst = -σm0'とした。すると、(2.2-23)式は、次のようになる。 3

ε

_mp =(Y_stS/B)1-mK -nY_st(1-S)/K_f -X_{st (2.2-25)} 結局、 ① S に応じてεmp（実験条件下）が定まる。 (2.2-25)式 ② εm（任意の条件下）とεmp（実験条件下）に応じてX が定まる。 (2.2-15)式 ③ X に応じて Y が定まる。 (2.2-19)式 ④ Y に応じてσm'が定まる。 (2.2-14)式 2.2.2 過剰間隙水圧モデル (1) 液状化フロントパラメータ S0と状態変数S 液状化の進行程度を表す液状化フロントパラメータS0は（図1.2-6 参照）、正規化したせ ん断仕事w の関数として、次式により与えられる。     + = = ) w w (if S /w) (w ) S -4 (0. S ) w w (if ) (w/w 6 0. -1 S 1 1 p 1 1 0 1 p 1 0 2 1

＞

＜

(2.2-26) ここに、w は次式で与えられる。

2.2 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル w＝Ws/Wn (2.2-27) 上式でWsは累積塑性せん断仕事であり、その評価法は後述する。Wnは初期せん断強度 τm0と初期基準ひずみγm0を用いて、次式により与えられる。 Wn=τm0γm0 /2 (2.2-28) 初期せん断強度τm0と初期基準ひずみγm0は次式で与えられる。               = = Y Y G / sin Y G m ma st ma m0 m0 ' f st m0

τ

γ

φ

τ

(2.2-29) ここに、Gmaは基準初期せん断剛性であり、平均有効拘束圧がσma'（基準平均有効拘束圧） の場合の初期せん断剛性である。また、Yst = -σm0'，Yma=-σma'である。mGは初期せん断剛 性の有効拘束圧依存性を表すパラメータであり通常0.5 とする。 (2.2-26)式により液状化フロントパラメータ S0を評価するためには、w1の他に p1、p2、 S1を与えることが必要である（以下、これらのパラメータを後述のパラメータc1と合わせ て液状化パラメータと称する）。w1は全体的な液状化強度を規定し、p1、p2は、それぞれ、 液状化過程の前半と後半の過剰間隙水圧の上昇特性を規定する。また、S1はS0の下限値を 与える。 準静的非排水かつ全拘束圧力一定の条件下においてσm'/σm0'に一致する状態変数 S は、 せん断応力比r（=τ/σ_m0'）と液状化フロントパラメータ S0から次式により定める（図 1.2-6 参照）。但し、

τ

=

τ

_xy2 +

(

(

σ

'_y-

σ

'_x

)

/2

) )

2 である。

(

)

[

]

    > + + = < = ) r r (if /m r -r ) S -(S S S ) r r (if S S 3 2 1 3 2 2 0 2 3 0 (2.2-30)     = = = = = = 2 3 P P 2 f 1 1 3 2 0 2 0 3 3 0 2 2 0.67m m ), ' ( ' sin m , ' sin m )/m r -(r -S S , S m r , S m r 　 は変相角 φ φ φ 　ただし、 　ここに、 (2.2-31) (2) 累積塑性せん断仕事の評価法 まず、累積塑性せん断仕事Wsの初期値を設定する。初期のせん断応力比をrstとすると、 rst≦m3の場合、初期のS0およびWsは次式の通りとする。 S₀ =1, W_s =0 (2.2-32) rst＞m3の場合、初期の状態変数 S を 1 とおいて、(2.2-30)式を用いて S0を逆算する。すな わち、S=1, r=rstを(2.2-30)式に代入して整理すると、次の S0に関する二次方程式を得る。 (1-m₄S₀ )2 =(S₀-m₄S₀)2 +

[

(r_st -m₃S₀)/m₁

]

2 (2.2-33) これを解いて初期の S0を求める。但し、m4=1-(m2-m3)/m1である。初期の S0が求められた ら、塑性せん断仕事Wsの初期値を求める。これは、(2.2-26)式（S0とw との関係式）の逆

第 2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデル 算による。 塑性せん断仕事Wsは、次式に示すように、塑性せん断仕事増分ΔWsに寄与係数R を乗 じたものを累積して求める。なお、寄与係数R については後述する。 W_s =∑R

Δ

W_s (2.2-34) ここに、塑性せん断仕事増分ΔWｓは、全せん断仕事増分ΔWstから弾性せん断仕事増分 ΔWseにパラメータ c1（液状化パラメータの一つ）を乗じたものを差し引いて求める（次 式）。c1は、理論上は1.0 だが、これを調節することにより、液状化を引き起こすせん断応 力比の下限値を制御することができる。

Δ

W_s =

Δ

W_st-c₁

Δ

W_se （負であれば、ΔWs=0 とする） (2.2-35) なお、平面ひずみ状態を対象とする場合は、ΔWstとΔWseは次式で与えられる。              +         =       = +         = 2 xy 2 ' x ' y 0 se xy xy x y ' x ' y st 2 G W ) -( 2 -W

τ

σ

σ

τ

　　　　

τ

τΔ

Δ

Δγ

τ

ε

ε

Δ

σ

σ

Δ

(2.2-36) ここに、G0は初期せん断剛性を表す。 寄与係数R は塑性せん断仕事のうち負のダイレタンシーへ寄与する割合を与える補正係 数であり、以下のように定める。まず、Swを以下のように設定する。 Sw=0.4 (初期 S0≧0.4 の場合) Sw=0.4+(初期 S0-0.4) S0 / 初期 S0 (初期 S0＜0.4 の場合) Sw（=0.4 など）は、寄与係数の設定法を切り替える状態変数 S の境界値である。この Sw に基づき、寄与係数R を以下のように定める（図 2.3-1 参照）。 S≧Swの場合 R=1 （r≦Sm3の場合） R=(m1- r /S)／(m1- m3) （r＞Sm3の場合） S＜Swの場合 (2.2-37) R=1 （r≦Sw m3の場合） R=( m1- r /Sw)／(m1- m3) （r＞Sw m3の場合） (3) 初期せん断剛性とせん断強度 過剰間隙水圧モデルの状態変数S および液状化フロントパラメータ S0の値に応じて、せ ん断強度τfおよびせん断剛性G0を定める。 まず、Sbを以下のように設定する。

2.2 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル S_b =min(初期S₀ ,0.4) (2.2-38) Sbはせん断強度などの算定法を切り替える液状化フロントパラメータ S0の境界値である。 このSbに基づき、せん断強度と初期せん断剛性を以下のように算定する。 m0 f 0 m0 f b 0 G , S S S

γ

τ

τ

　　τ

の時、

≧

= = (2.2-39) m f 0 f m0 f b 0 G , S S S

γ

τ

Δτ

τ

　　τ

の時、

＜

= + = (2.2-40) ここに、

Δτ

_f =

Δ

r_m

σ

'_m0 (2.2-41) b 0 b 2 1 m S 0.4 ) S -(S ) m -(m r =

Δ

(2.2-42)

γ

_m =

γ

_m0 ( S₀ S_b ) (2.2-43) 2.2.3 応力－ひずみ関係と接線勾配 (2.2-13)式に示した構成則および後述する接線剛性行列の組立に必要となる∂σ'/∂εの 具体的な形を以下に示す。なお、∂σ'/∂εを表す式については3.3 節で修正する。 平均成分に対する構成則の具体的な形は、既に2.2.1項で得られている。ここでは平面ひ ずみ状態を対象とするので、当該構成則におけるσm'として(σx'+σy')/2 を、また体積ひず み3εmとしてεx+εyを用いる。 次に偏差成分であるが、ここでは(σy'-σx')/2 およびτxyを応力成分として選び、これら と、ひずみ成分(εy-εx)およびγxy との間の関係を多重せん断ばねモデル（Towhata ら, 1985a）として与える。なお、面外方向の応力σz'は次式で評価する。 ( ' ) y ' x ' z

ν

σ

σ

σ

= + (2.2-44) ここにνはポアソン比である。 (1) _{応力－ひずみ関係} 前述の通り、せん断応力－せん断ひずみ関係は、平面ひずみを対象とする多重せん断ば ねモデルで表現する（図 1.2-4 参照）。同モデルは無数のばねから構成されるが、プログラ ムへの実装を考慮して離散化する。すなわち、1/4 円当たり n 本のばねで近似する。また、 互いに180 度の位置にある 2 本のばねに対しては、１本のばねを考えて、そのばね力を 2 倍することにより、2 本分のばねの効果を考慮する。 結局、応力－ひずみ関係は、以下に示す、平均成分一つ、偏差成分二つの、計三式で与 えられる。

第 2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデル ) 0 (X ) 0 (X -BX -Y 2 K m -1 1 ' y ' x

≦

　　　　

＞

σ

σ

0 = = = + (2.2-45) ) 0 (X 0 ) 0 (X cos ) ) ( F( 2 2 -i st 2n 1 i ' x ' y i i ≦ 　 ＞ Δθ θ γ γ σ σ θ θ = + ∑ = = (2.2-46) ≦ 　　 ＞ Δθ θ γ γ τ _{θ θ} ) 0 (X 0 ) 0 (X sin ) ) ( F( 2 st i 2n 1 i xy i i = + ∑ = = (2.2-47) 但し、 X =-(

ε

_x+

ε

_y)-(

ε

_x+

ε

_y)_st+

ε

_p (2.2-48) 1-m _{st f x y st} st p (Y S B) K -nY (1-S) K (

ε

ε

)

ε

= + + (2.2-49) K K m -1 1 m ma ma K ) (Y K ) m -(1 B         = (2.2-50) であり、X≦0 は引張り破壊を表す。その他の諸記号の意味は以下の通りである。 (εx+εy)st：初期状態における体積ひずみ F (γ)：ばね変位γに応じた1 ラジアン当たりのばね力で、双曲線タイプの関数 Δθ=π/2n：ばねの配置間隔（ラジアン） cos _i( _y- _x) sin _{i xy} i

θ

ε

ε

θ

γ

γ

_θ = + ：ｉ番目のばねのばね変位 (2.2-51) θi=(i-1)Δθ：ｉ番目のばねの角度 初期応力は、Xst (= - (εx+εy)st )＞0 であれば、次式で与えられる。 1-mK 1 st st ' y ' x _-BX 2 _ =     

σ

+

σ

(2.2-52)

σ

σ

2 F((

γ

_θ ) )cos

θ

Δθ

2 -i st 2n 1 i st ' x ' y i = ∑ =         (2.2-53) (

τ

) 22nF((

γ

_θ )_st ) sin

θ

_i

Δθ

1 i st xy = ∑₌ i (2.2-54) 但し、初期状態においてはεp=0 とした。また、(

γ

θi )stは初期状態におけるばね変位を表 す。 個々のスプリングの変位－力関係を表す関数F (γ)の具体的な形は次項で示す。

2.2 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル (2) 接線勾配

∂σ

'/

∂ε

(2.2-45)式～(2.2-47)式から、ひずみ増分とそれに対する応力増分の関係を以下のように 表すことができる。 ( - ) Y Y K 2 x y p m ma ma ' y ' x K

Δε

Δε

Δε

σ

σ

Δ

_ +      =         + (2.2-55)

γ

γ

Δγ

θ

Δθ

γ

σ

σ

Δ

( _θ ( _θ ) ) _θ cos d dF 2 2 -i st 2n 1 i ' x ' y i i i + ∑ =         = (2.2-56) ( ( ) ) sin d dF 22n _{st i} 1 i xy

_γ

γ

i

γ

i

Δγ

i

θ

Δθ

Δτ

= ∑ _θ + _{θ θ} = (2.2-57) ただし、平均有効応力相当のY の変化と、拘束圧の変化によるばね力 F の上限値などの変 化は無視した。なお、

Δγ

_θi =cos

θ

_i

Δ

(

ε

_y-

ε

_x )+ sin

θ

_i

Δγ

_xy (2.2-58) 上式より、次式を得る。

[ ]

_p m ma ma xy y x t xy y x Y Y K 0 1 1 D K

Δε

Δγ

Δε

Δε

Δτ

Δσ

Δσ

’ ’                           =             (2.2-59) なお、

[ ]

          +           +           +                 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 G 0 1 1 - 1 0 0 1 -0 0 G 0 0 0 0 1 1 -0 1 1 G 0 0 0 0 1 1 0 1 1 Y Y K D t3 t2 t1 m ma ma t K

　　　　　

(2.2-60) ここに、Gt1、Gt2、Gt3は次式で与えられる。

γ

γ

θ

Δθ

γ

( θ ( θ ) )cos d dF 2 G 2 _i st 2n 1 i t1 = ∑₌ i + i (2.2-61)

γ

γ

θ

θ

Δθ

γ

( θ ( θ ) )cos sin d dF 2 G 2n _{st i i} 1 i t2 = ∑₌ i + i (2.2-62)

γ

γ

θ

Δθ

γ

( θ ( θ ) ) sin d dF 2 G 2 _i st 2n 1 i t3 = ∑₌ i + i (2.2-63) このようにして得られた

[ ]

D_t を ∂

{ }

σ

' ∂

{ }

ε

として用いる。なお、dF/dγの具体的な形 は、次項で示す。

第 2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデル 2.2.4 多重せん断ばねによるモデル化 (1) せん断強度と初期せん断剛性 多重せん断ばねのばね変位γからばね力を算定する関数F(γ)を、次式により定義する。 x=

γ

/

γ

_m (2.2-64) y=F(

γ

)/ F_m (2.2-65) 但し、 _{m f} 4 1 F =

τ

(2.2-66)

γ

π

G F 0 m m = (2.2-67) ｘとy は正規化されたばね変位とばね力である。両者の関係は双曲線型であり、その具体 的な形は後述する。 τfはせん断強度であり、また G0は初期せん断剛性であって、過剰間隙水圧モデルを適 用する場合には、過剰間隙水圧モデルにより決まる値を用いる（(2.2-39)式, (2.2-40)式参照）。 過剰間隙水圧モデルを適用しない場合は、それぞれ以下に示すように与える。

τ

_f =Y sin

φ

'_f (2.2-68) G m ma ma 0 _Y Y G G _      = (2.2-69) なお、 Y =-

σ

'_m (2.2-70) Y_ma =-

σ

'_ma (2.2-71) ここに、σ_ma'は基準平均有効応力、Gmaはこの有効応力に対応する初期せん断剛性である。 mGはG０の拘束圧依存性を表すパラメータである。 (2)正規化されたばね力とばね変位の関係 (2.2-64)～(2.2-65)式における正規化されたばね変位 x とばね力 y の関係（図 2.2-1参照） を以下に示す。

2.2 多重せん断機構に基づく砂の力学モデル ① Back Bone 上（骨格曲線上） x 1 x y + = (2.2-72) ② Back Bone 上の（x1, y1）で反転後 骨格曲線に相以であり、かつその原点を最後に反転した点（xr, yr）（図 2.2-1の 1、2 ま たは3 の点）におき、さらに、骨格曲線からの反転を第１回目とすると、奇数回目の反転 で（-x1, -y1）、偶数回目の反転で（x1, y1）を目指す曲線を用いて、xとyの間の関係を表す。 すなわち、 2 x -x 1 2 x -x 2 y -y ' r ' ' r ' ' r '

δ

δ

δ

+ = (2.2-73) 但し、減衰を調節するため、次のような変換を行ったので、上式は、x-y平面においては 骨格曲線と相以にはならない。     = = ) (x y y ) (x x x 1 ' 1 '

η

ξ

(2.2-74)     = = ) (x y y ) (x x x 1 r ' r 1 r ' r

η

ξ

(2.2-75) ξ(ｘ1)の定め方は次項に示す。また、δは、(2.2-73)式が表す曲線が（-x1', -y1'）または （x1', y1'）を通るという条件から、次のように定まる。 ) y -y ( -) x -x ( y -y x -x 2 1 ' r ' 1 ' r ' 1 ' r ' 1 ' r ' 1 ± ± ± ± =

・

・

δ

(2.2-76) 式中の複号は、奇数回目の反転をしたら－、偶数回目の反転をしたら＋とする。 第１回目の反転では、Masing 則（Masing, 1926）に従い、δ＝1 としたい。この条件か ら、η(ｘ1) が次のように定まる。 1 1 1 1 x 1 x ) (x ) (x + + =

ξ

η

(2.2-77) ③ Back Bone にもどった場合 xとyとの関係は、再び(2.2-72)式による。

第 2 章 繰返し載荷時の砂の力学モデル 図 2.2-1 正規化されたばね変位－ばね力空間での除荷／載荷曲線の模式図（Iai ら, 1990b） ｘ ｙ (ｘ1, ｙ1) (-ｘ1, -ｙ1) (ｘr, ｙr)