情報工学教室高田等 　　　　〃　　　　生　　田　　　　　顕

形式的線形化による多項式形フィードバック制御について

       （昭和58年4月11日 原稿受付）

情報工学教室高田等

    〃    生  田     顕

北九州工業試験場田上真人

On a Polynomial Feedback Control via Formal Linearization

   Akira IKUTA

   Masato TAGAMI

       Ab8traet

  In thls paper， it is proven that a polynomlal feedback control law is derived by applyi㎎the

formal lineaτization method and the maximum principle to a given nonlinear system， with quadratic performance index． An example whose nonlinear system includes a product term of

       一つの変数とみなし，その拡大次元リカッティ方程式を        形式的に解くものである。従ってその計算は，（1）のよう

 線形二次形式の最適制御問題は，線形状態フィードバッ   に簡単で，しかも高次多項式項まで配慮した場合と同程

ク制御則により容易に求まる。その際制御則ゲインはリ   度の高評価が期待される。本手法を用いた具体例の数値 カッティ方程式の解である。これに反し，非線形最適制   実験は既に報告されている6｝・7）が，その根拠となる理論 御問題の制御則の計算は一般に容易でない。これは通常，   的導出はなされていない。そこで本稿ではこの制御則が，

二点境界値問題を解くことになり解法が極めて難しいy   最大原理を用いて近似的に導出されることを示した。さ このため次の各種の近似解法などが提案された。      らに具体例として，システム方程式に操作量と状態量の  （1）一次テーラー展開による線形二次形式問題への変   積の項がある場合の非線形二次形式問題を，数値実験に

 ② ハミルトンーヤコビ式や随伴方程式のテーラー展開   非線形制御問題の妥当性が更に立証された。

   近似法3） 引

       2．聞題の股定

 （3）形式的線形問題への変換法5） 6）

などである。（1）は制御則合成が簡単であり広く利用され    次の非線形の二次形式制御問題を考える。非線形シス

ムや，十分に原点近傍でない場合に対しては，満足な制

      元（の＝∫（ズω）＋（Cω＋9（κ（の））μ（r）    （1）

御ができない。（2）は（1）よりも制御評価がよいが制御則合

成が複雑である。（3）は口）の簡単さと②の評価良さを兼備   で記述されるとしよう。ここでκはη次元状態ベクトル，

した制御則を求めようとしたものである。         μは祝次元制御ベクトル，Cはη×吻行列，∫（・）はη次  さて㈲のうち特に，形式的線形化法を基にした状態   元ベクトル値解析関数で∫（0）＝0，およびg（・）はη×

フィードバック制御法6は，状態変数の各多項式を新しい   祝行列値解析関数でg（0）＝0とする。

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 最小にすべき制御評価は二次形式の       タのみを有している。なお（5）（6）より，∂φ （κ）／∂κTがκの

r一蝶諜蒜1）㎡（2）驚式でまが原鰍 油こ｝

      従って（4）（5）から，2V次まで考慮した形式的線形システ

としよう・Qと力は…非負定値対称行列・Rは…ムがL一計す1）次元ベクトル空間において

正定値対称行列，7 は転置記号， oは初期制御時刻，お

       2＝＝ ノ12−｛一（フz4       （7）

よびむは最終時刻を表す。以下簡単のため，明瞭な箇所

での時刻rの表記を略す。       として構成される。ここで9はこの空間内の・L次元状        態ベクトル，および

3．形式的線形化を用いたフィードバック制御

により表現できるとしよう。ただしφ向（κ）はxの〃次多   である。Aはμに依存したパラメータBを含むけれど

項式の全体・すなわ腰素が雷（Ση＝〃 ＝1）カ〉らなる を用いて表せば（2）は

←＋ hベクト職例えば 牢（オプ）ノ1z（ 了）＋†∬一一（9）

  φ2（κ）＝〔吋，κ1κ2，…，X1κη，堵，κ2κ3，…，π幻丁    ただし

       カ

であ黙㍑三議㌫しよう．五＝［矧Q＝｛劉 0①

（1）に（3）を代入して       と記述される。（7×9）は線形二次形式制御問題なので次の

   コ       

   φ1（κ）＝（∫（κ）＿g（克）R−lcrΣ昔φ為（κ））＋Cμ     リカッティ方程式        エ       カエユ

とおく．♂ぷ）＋仇 （4）｛㌫デP冊仰＋Q＝°ω

       ・。       ただし

  A1ゴ＝∂（∫（κ）−9（κ）1〜『1CτΣ、P海φ力（x））／∂φ∫（κ）lx−o

       たエ 

ll暮㌶㌘㌶蕊：蒜 P］6鷲ヨ ω

 φゴ（κ）＝∂φゴ（κ）／∂κ「え      を逆時間で解くことにより，最適制御則がZ＝〔勾，2》「，

    ＝∂φ （κ）／∂κτ（∫（κ）      ・・…・，話〕τに対し

       ぼ

     一（C＋9（κ））R− Cτ蒼1P・φ・（κ））      μ＝＿R−1びPz

     エ       パ

    ＝Σノ1 ゴφゴ（κ）      （5）         ＝−1〜−1CτΣPl向．z為

     ゴ＝1      海＝1

とおく。ただし       として定まる。ここでP々＝丑々およびφ向（κ）＝為とお   、傷〆＝∂｛∂φ （π）／∂xτ（ノ（κ）      くことにより（1）（2）の準最適多項式形制御則

      リ      ガ

    ー（C十9（κ））R−1巴ΣP允φ々（κ））｝／∂φ∫（x）1π＝o（6）        ・μ・＝rR−IC「ΣP々φ克（κ）      （13）

      々＝1      力＝1

なるP1〜P伺＋1をパラメータにもつ行列である。すなわ   が⑬すなわち（3）の形で定まった。

ち、4パ1≦ ≦ノ）は鳥を含まず乃〜巳．1までのパラメー    特にg（κ）＝0でτプ＝。。の場合には，参考文献6）の

制御則そのものである。

次｝、OD⑬↓、よる制御則は，最大原理を用いても導出さ λ1（zノ）一∂（†φr（珈φ1㈲）／∂φ1㈲

れることを示そう。       ＝．4φ1（『プ）＋量0・φゴ        〆＝2

4．最大原理との関係      より

 （4）（5）の非線形システム，（2）の制御評価，および（3）の       丑（ プ）＝ノ1 君（τノ）＝0 （ ≧2）    0》

フィードバック制御則を，      である。0ηをα8）に代入すれば

    関数 φゴ：κ→φ （κ） ピ≧1）       量（孔φ々＋」几φの＋Qφ1＋ノ猛自」医φ、

       カェ       ゐエ 

の張る関数空間上で関数表現すれば次の通りである。        ・。 ．   …         。

      エ      んニ      ゴヌゐ      んエ 

    φ1＝Σノ11、φ、＋Cμ        ⑭      

   ｛ ゴ＝1   

 り

ﾓゴ＝Σノ1∠」φ5 （ ≧2 」＝ ）   一（惣元驚＿丑＋ρ）由

1−†φr（む）五φ1（存）＋十∬（φrQφ1＋・・醐    ＋急｛真＋熱本＋（品一BC甘1cτ）蹴

        ロ

 況＝−1〜−1Cτ（ΣP力φD。      ⑯   となり        丘＝1

       P向（む）＝0   閻

 1if〔φ（の， P（の，λ（τ）， r〕

       （々≧2）

一』φ1＋†（ロΣP々φ々A＝1）「CR−1σ（躯φ・） である．よってB、 r（ ≧1）とおき，（8卿を用       ロ

   ＋λ『（Σ（Alr C』〜−1Cτ巳）φ」）       いれば09）伽‖2Dは，」V次まで考慮した場合（IDのリカッティ      ゴコエ

    。。  。。       方程式にまとめられる。それ故第3節の形式的線形化に

   ＋具λ聰んφ・）      よる解は，本節の関数麹したシステムに対する最大原

である。、4 5がPK〃≧1）に独立と仮定すれば1V＝1，   理による解と一致することが確かめられた。

2，3，…について       さてここで伽⑳に注目しよう。Bは伽のη次元リカッ

幕＋（脚（ゑ醐φ姦一crφ』 蕊璽㌫籔2；㍍：還ぷ

故に

一CR−℃・（量P、φ、一λ1）φ寿    をこついては（6）の説明よりA・（1≦ゴ≦鳶）がB〜P・−1ま      向＝1       でのパラメータである。仮定より丑〜．昨二1が求められ     。。      ているのでノ蟻（1≦ ≦〃）の値は定まり，⑳がP々につ

λ1具蹴    0の き，つぎの線形微分耀式

となる・さらに

@     糾Alr側C・B）・昂脇噌醐一・

器一＋ρφ1＋職1C・（勲φ・）       卿一゜）㈱

       である。従ってすべての凡（〃≧1）はP1より順次に計

    十（ノ11rα〜−1Cτ丑）τλ1

   −Qφ1＋命、      算される・   ．

      なお ア＝ooのときは（20￠DでP向＝0（〃≧1）とおけば

故に      よ、、．しかも特に，仁0，A11とCが定数行列，Rと

   ズ1＋Qφ1＋A5λ1＝0       ⑬   Qが正定値対称定数行列，および行列〔C，、4、、C…，

となる。終端条件は       ノlf「℃〕の階数がηのときには， Bのみならずすべての

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孔（鳶≧1）の解も存在し唯一である（証明略）。         10

 以下具体例により本手法の有効性を検討しよう。       ノ       8

5．例題  次のスカラーシステムを考えよう。      6

   元＝κ2十（1＋βκ）μ       ㈱ ｛、一＋∬＿． ￠4・ βはパラメータであり，β＝0のとき参考文献6）の例題       2

と一致する。T＝5秒とした。 ODすなわち⑳㈱を用いて 制御則は次のように定まる。       0

   炉一￡P、。・     ㈲  一1 ・−L・一・・…  51・βL・        たエ      ．      Fig．2 菰o）＝0．8固定時の」一β ｛隠忽撫：＿。）メー1駆

次数Nをパラメータにし・胴一5次まで変化したと   嵩 ・ α6に固定したときのκ（0）の変化に対する評価1のカー      ＼

      2

むある領域内で，評価値が次数Nの増加とともにかなり 改善されることがわかる。次にこの領域について考えよ ＞       0

つ゜ @       −1・・−1・・一・・5 0・・51％1・・        Fig．3 濫o）＝1．2固定時のJ一β 10      10

1      1

8      8

6       6

     ， 」V＝1       2V＝2

4       4

      2V＝3       ／V＝4 2        〜V＝5      2

0         ．      0

−1・5−1・°−°・5 @°°・51・°β1・5   −2 ｝1 °  1X、，2

   路g．1 澱o）＝｛L4薗定時のJ一β      Fig．4 β＝一 園定時の」−X｛⑳

 閻のシステムに対しリアプノフ第2の方法による漸近    島（κ）＝嬬

      コ       パ

安定領域8）を求める。⑭で7 ＝。。，従って㈱で昨＝0       ＝一（1＋βπ）Σ九〆＋1＋κ3       A定1  1げ

（左≧1）とおき，定数制御則ゲインを求める。こうして       ＝一κ2−（（1＋βκ）Σ几π鳶＋1＋（β一1）κ3）

       カをカ

得たB＝1，凡俵≧2）値を用いて㈱より伽（N≧1）を      ㎝

定める。これを㈱に代入すればN次まで考慮したときの   となり吻》（x）＜0の範囲が漸近安定領域である。苫とβ オが構成される。このときのリアプノフのγ（κ）関数を   の2次元空間（κ，β）εR×1〜において，⑳の第一項は 脇（κ）＝1／2κ2とおけば      一x2，第2項はが以上の項なので，κ＝0の十分小さい

」V＝1 ハr＝2

」V＝4

N＝5

一2       −1        0         1         2       −2       −1        0         1        2

       Xlo，

       Xlo）

   Fig・5β＝0 函定時の」−Xo｝      Fi苦6 β＝｛L6薗定時の」一』『《o）

一時栖｛一軸輪㌻、

二⇒＿ザ）

1．0

0．8

0．6

0，4

0．2

罰g．7 次数2Vに対する漸近安定領域（原点を含む開領域）

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近傍では砺（κ）＜0であり原点は漸近安定である。よっ      参 考 文 献

て原点を包含し砺（κ）〈0の連結開集合UN（（0，0）εUN   1）AP． Sage＆C． C． White： Optimum Systems Control ，

⊂R×R）が漸近安定領域である。Fig．7は次数Nをパラ   P「entice−Hall， Inc・1977

メータ｝・しN−1−5次まで変化したときの醐一・2 Gi；蕊蕊：罐1，：！12㍑蒜鷺㌶1

のカーブを示す。すなわち原点を含む曲線に囲まれた領   Paper 70TP531−PWR

域で，境界を取り去った範囲が漸近安定領域UNである。   3）W・LGa「md： Additional Results on Sub−oPtimal Fee4 特にβ＝0近傍でκ＞0のときには，2Vとともに安定領

back Control of Non−linear Systems ， Int，∫． Control， VoL 10，

No．6， pp．657−663，1969

域が拡大していく様子が明瞭である。      4）Y．Nishikawa， N． Sannomiya＆H． ltakura：・A Method for

Suboptimal Design of Nonlinear Feedback Systems ， Auto・

6．結言       matica， Vol．1， PP．703−712，1971

5）A．Wernli＆G． Cook： Suboptimal Control for the Nonlinear  以上，形式的線形化による多項式形フィードバック制   Quadratic Regulat・r Prob亘em・， Aut・matica， Vol．11， PP．75−84，

御について考察した。これは多項式関数を状態変数とみ   1975

なしたシステムに，最大原理を適用しても導出されるこ6

ﾕ1監遮麗惣；㍑漂意蕊㍑

とが示された。さらに具体例により制御評価の様子が検   trol， Vo1． AC−24， N・．5，1979

討された。      7）高田（等）・内野・高田（茂）： 多項式形拡大線形化による準最

椎葉克文氏と野元一秀氏に感謝します。       Ha11， Inc．1978