大規模系に対する反復予測の逐次分散形 オブザーバー
（昭和55年9月18日 原稿受付）
情報工学教室高田
等情報工学教室田上真人 電気工学教室高田茂夫
ADecentralized Sequential Observer with Iterative Prediction for Large−Scale Systems
by Hitoshi TAKATA
Masato TAGAMI Shigeo TAKATA
Ab8tract
This paper presents a decentralized sequential observer with iterative prediction for large−scale sys−
tems． The large−scale system is d㏄omposed into a number of interconnected subsystems． Each sub−
system has a local observer by which the states of the subsystem is time−sequ飽tially estimated by using local measurements． The local observer is controlled by a supervisor at which all the states are predicted in iterative by dividing a measurement period into small parts．
This observer is applled to the estimation problem of the transient state of a 3−machine electric power system．
て状態推定を逐行する。つぎに，各サプシステムが合理
1・序論 的雄定を行うため帽報を与えるスーパーバイザー存こ
近年，工業の急速な発達によって，多くのシステムが おいては，観測周期間の細分割を行う。この各細分割区 複雑多岐の様相を呈してきた。状態推定問題においては， 間ごとに力学非線形項に対し時間区間幅についてのテー 従来の，全システムの情報を一箇所に集め演算を行うと ラー展開を行い離散化する。これにより，連続力学系非 いう方法では，システムの巨大化，複雑化によって情報 線形性の効果を減じた大規模系のためのナプザーパーが 交換，計算機規模，応答時間などにより実行不可能な場 合成された。最後に本オブザーバーを多機系（3機）の 合がある。そこで大規模システムに対し分割と統合の概 電力システムに適用し，過渡状態推定を行い，その有効 念を導入した分散形推定機構の逐次分散形オブザーバー 性を確かめた。
が提案されたu。
2．問題の設定 本稿では，この分散形ナブザーパーの予測機構を改良
した次のオプザーパーを合成した。まず，力学系が連続 大規模なシステムΣが，1V個のサブシステム＆￠＝1，
非線形確定系の大規模システムに対し，これをN個のサ 2，……2V）により記述される次のシステムを考える。
ブシステムに分割し，逐次分散形オプザーパーを適用し 2−1 サブシステム＆
㌶竪lll；二（xω）H、＋1，∠・x、＋1（ゴ） ：1：； 誓一畜xω＝暢一蒜・f
x（2）：幼次元状態ベクトル に留意して，
y（の：勿 次元観測ベクトル F（（〃十（ゴ十1）4）T）
芸運灘醗㌶散形線形系である゜＝F（細）τ）＋4T・撃＿
力学系；X一τ（X） （2−3） ＋（4；）2・42膓1『）＿。＋……
翻系；石一π・＋1ば・・1 （2−4） −F（（醐）T）＋4T．f（X、．ぱ）
：：lll：；lll；；：：：：：：；1㍑ ＋（∠1τ）2 ∂τ（X2！ ∂XT）・f（x）＿銅＋・・−
f（】【）＝〔∫】T（X）プ『ゾ（工）・・・… が（X）〕T （3−2）
丑一 豊撫嘘鷲
（3−3）
3．問題の解法
（離散化2次近似）
3−1連続力学系システムの離散化 式（3−2）を4Tの第2次項まで考慮すると，
接鞠慧篇髪㌶讃；麓㌘｝。㌘筆 囎＿一』＋4M漏）＋（4T）2∂τ（X2！ ∂XT）・．
非線形項に対し時間区間幅について1次および2次ま
でのテーラー展開を行い轍化㌔。 f（X）、。剛≦G・瓜・・） （3−4）
各観測区間［ち， 相］（観測周期丁＝r々＋1−r々）をム
等分割し，その分割区間を47 （＝7γLのとおく。時刻 以上のように式（3−1）は4Tごとに離散化近似される。
＝（〃＋垣）T（0≦ ≦L仁1）における状態値を 3−2 非線形方程式の線形化
3−1節で得た離散化近似式G1（工）， G2（X）は非線形方
X力＋ 4全〔嬬＋∠4）（1）Jrl2＋測（2）・・…・κ12＋ゼ4）（N）〕τ
程式であるので，これを線形化する。
と定義する。Xκ＋ 4が既知のときの， r＝（〃＋（ ＋1）4）τ 時刻（〃＋ゴ4）τにおける式（3−3），式（3−4）の右辺 における状態値尤．（ ＋1μは， G1（X々．の， G2（尤． Dを観測データー｛r1，γ・，…臨 ：れ＝〔y∬（1）y∬（2）…y∬（N）〕T｝のもとでのX純4
』滅一＋貰鞘丁 （卸 に対する状態予測臥一でテーラー蹴て・1次
f（x）＝〔∬（x）ゐT（x）＿．．．声（x）〕τ まで考慮すれぽ，次の線形化を得る。
Xニ〔xτ（1）xT（2）……xτ（N）〕T （離散化1次近似の場合）
で与えられる． G瓜・）−G1。．誌器Lし（x力＋ぎ』−x此＋ゴ4ほ）
いま，∫f（X）4 の原始関数をF（r）とすると・式（3−1） ＝蹴X・．・・＋蹴・ （3−5）
は 礁・＝豊L鮎
疏単＝編4＋F（（々＋（i＋1）4）τ）−F（（綱）T） @ B晶＝αL鮎一暴L．ぷ・編
となる。そこで，F（（〃＋（ゴ十1）∠）τ）を ＝（ゐ十 ∠）Tの
まわりでテーラー展開すると 式（3−3），式（3−5）から
X膓≒1（《＋D4：＝、FllP 4工々＋掴十β￡〜泌。 （3−6）
なお，離散化2次近似の場合も同様に （2）スーパーバイザー（予測器）
スーパーバイザーでは各サブシステム5fを全体的立
】【娼1（ ＋1）4：＝F膓…〜μ】【尭＋ゴ4十、θ鶏〜M （3−7）
場から監視し，サブシステム間の相互作用を考慮しつつ，
である。 おのおのが精度の良い推定値を得るように状態予測値 3−3反復予測の逐次分散形オブザーバーの構成 輌担（の，オブザーバーゲイン情報Q姑を各S に情報と システムは次の条件を満たすものと仮定する。 して提供する。
［条件1］ ここで，本稿では観測周期をL白回細分割した微小時 各サブシステム＆間は直接の情報交換は行われない 間区間毎の離散化を行っているので，各サプシステム＆
ものとし，スーパーバイザー（予測器）を通して情報を に与える冗々旧（の，Q姑は次のようにして得る。
得る。 時刻∫＝オA＋、において，状態値尤の最適推定値叉輪 ［条件2］ が既知であるとする。式（3−6），（3−7）において，X々＋ゴ4 各サプシステムSゴは各観測段の自己の観測値y克（のと に
正ムゴ，およびスーパーバイザーからの情報として得られ 工＋。4＝X白＋・醐＝X崩
る自己システムの状態予測値翻村（の，オブザーパーゲ を代入する。孔のもとでの状態値工＋Mの状態予測値 イン情報Q賄のみを知る。 X ＋1誠は
次に本ナブザーパーのブロック図を示す。 叉々＋141々；れ＋。4孟＋。4／力＋疏＋04
＝F々＋04蒐盈／盈十B力＋04 （3−9）
SUPERVISOR （PREDICTOR） L
6TE迎LL 1／2 』1＿ ＿ ．一．一
箕1（メk＝［文㌘k三（5−一：一∴一：〕［㌃》k；N）■ゴを 一 ． ・ ・
Pk＝（P・・j） @P・ii＝M・・Ω・・i T剛 Pk、」＝㌔QkiコM kコ
Rk＋（m＋1）△／k2Fk＋鳳△・文k＋m△／k＋Bk＋m△
く ニの の
又蛤、／、と又、．＿／k 鑑LE＿
Qk＋12FkPkFI I・‡DエvエDED NU睡．
（Fk庄Fk＋ L＿1）△ °°°°°．Fk＋o△）
で与えられる。
同様に，X兎＋ 4に瓜＋ 眺を代入すれば，観測値酷の もとでの状態値工糾 鋤4の状態予測値X糾（ ＋D誠は
X々＋（ ＋1）幽＝F為栩・工々＋ 4／ん十み盈＋超
（3−10）
（0≦ゴ≦」L為一1）
で与えられる。サプシステム5ゴに送られる状態予測値 轟．耽はL向回修正されたものであり，すなわち，
（Xk／k．1（1）Qkii） （ξ（・ω） 孟＋1・・全X・…一蹴
Kki・Qk誠（Hi儀iiH嵐・Ci）㊤
ま （エ｝＝又 ｛エ｝＋K．（Y （主）−Hま （iD
タ の ロ ロ ロ や も
㌔＝ほ一KkiHi｝
である。
次に各サブシステムS のオプザーバーゲイン
頁々ぎピ＝1，2，……，2V）を決定するための情報としての
S・ SUBSYSTEH S・ SI・ Q賄｛よ
Fig 3−1反復予測の逐次分散形オブザーバーの Pゐ＝（∫−K々盈丘）Q々（∫−K兎H々）7十頁為αK∫ （3−11）
ブロック図
Q丘＋1＝F々P々1夢 （3−12）
（1）サブシステム＆ の繰り返し式で得られる。ただし，ここの凡は ［条件2］の各データをもとに，次の状態予測推定式 凡＝F酬L．1）4F々＋（L．2）」……F々＋・4 （3−13）
により，状態x盈（のの状態予測値虎為ぱのを得る。 である。
繭力（の＝翻担（の＋私ゴ（y克（の一疏ゴ￡嫌．1ω）（3−8） 4．例題
臨＝Q・品・慨Q・品5＋C・）−1 電力系統モデルとしてFig 4．1のような3機系統拷 臨＝∫一κ・鑑 え，この緬の繊状態擬を行う。
C：微小要素の正定値対称行列 4−1 等価変換
Q疏：各サブシステムS間の相互作 Fig 4−1の様なシステムを，発電機の負荷角δとアド 用を考慮してスーパーパイザー ミタンス行列で記述される電力方程式で取り扱えるFig により与えられる予測情報。 4−2のシステムに等価変換を行う。
ここで
∬ ：慣性の時定数（＝5（sec））
ω。 ：同期角速度（＝2㎡＝120π（∫＝60［仇］））
以 ：制動定数（＝0．01）
P，ゴ：電気出力の有効分 Pm：機械的入力
γ ：電機子端子電圧（＝1）
Fig4．、3機系統⇔レ δ・・縮（＝a「g的）
Qu ：arg（y毒）
とする。カッコ内の値は本例題で取り扱った値である。
W ㌔ 〜らまた爵発燃蒜一秘一眺一陥一聡
＝1
†、1 Y・2 Y・ †，
とした。
2 4−3 状態空間表示 式（4−1）において
Y22 δ1＝。1，δ1＝4δ1／4rニ。、，δ、＝。、，δ、＝4δ、／4孟二・、，
G、〜
δ、＝X5，δ3＝4δ3／4 ＝κ，
Fig 4−2 Fig 4−1の等価システム とおくと，
X1＝x2 （4−2）
：隠㌫鷲をFig テム定数｝こ変一F諺…（：一⌒）一噺←3）
lyfll、。、θ｛1＝。．8673×1・−1θ｛、＝θ11＝・．1218×1・1 c・・（・1一θ13）＋コr（P頒一払1c°sθ1・）
1】r≦21cosθ…2＝0．7224×10−1 θ 3＝θ62ニ0．1233×101 元3＝ズ4 （4−4）
｛瓢＝1ポθ託＝θ∴＝° 12°7×1ぴ一骸一諺悟一亀）一量（←5）
剛一欄＝。ユ842 …（・・†θ23）＋コr（P・・竜・c°sθ22）
lyf31：＝ly 11＝0．1879 ×5＝κ6 （4−6）
とこのおのの意味につしく噸2を参照のこ一壱一噺・s（：一＆）一券（＋7）
4−2動揺方程式 cos（κ5一κ3一θ32）＋万（P鵬一ち3 cosθ33）
Fig 6−2におけるシステムにおいて，駆動点及び伝達 すなわち，状態空間表示
アドミタンス｝ア｛1，y 2，｝7 3， y｛2， y≦3， y｛3は X＝ （エ） ． （4−8）
哲、＝f11＋｝㌔＋立、 】ン｛、＝一立2 で記述された。これに本オブザーバーを適用する。
瑠、＝島2＋｝㌔＋島3 瑠、＝一ち3 発電機の一機を一つのサブシステムとすると
y 3＝ yg 3十yl 3十y23 yf3＝一一yl 3 X＝、F（】【） （4−9）
となり，これによりFig 4−2のシステムの運動方程式は， ただし x（1）＝〔κ1 x2瓦蝋2）＝〔x3κ4〕T， x（3）＝〔κ5κ6〕T yの肩の を省略して （1）＝ぴ、ゐ〕元 （2）＝〔九五〕㌘f（3）＝〔九允〕τ
4−4 過渡状態推定 Fig 4−6， Fig 4−7は離散化二次近似の場合のκ・，晶お Fig 4−3の様な事故発生回復後の系統の過渡状態推定 よびκ2，元、のグラフであるが，二次近似することで非線 を本オブザーバーにより行う。 形性が軽減されており，あえて区間分割を行う必要はな いと思われる。
L⑰od Ang｝e 8
CASE 2 rtep Out
■
■
■Co・q㌧■
ノ゜へ・・ ・
1 CASε1
椥賦lng
Tlr堕t Steody Stote τ「㎝P濃1 Tr㎝31ent Stote 2
自6
望字
エセ ゆヒは べ
』 思㎜ロ』 s g Fig 4−3 事故発生前後のマシンの負荷角δの動きの 6 概念図
＿L・5−一一一k声3
−L＝1
L3The n㎜beピof divユ5ion
むへ ロコロロ エほの ユコの ム ヱバむ ヱび すエごゆ くぶロの
定常運転中崎状蹴は一厄次の値であるとす Fi幽繍化→迦によ嚇擬鍵1泊却
る。
δ1：＝0，25 δ1＝：0
δ2＝＝0．35 ［rad］ δ2二〇 ［rad／sec］ ；
o
δ3＝0．17 δ3＝0
雲 このときの機械的入力P加は 6
島1＝0．2191， 1D加2＝0．2539， 」P加3：＝0．1527 ㌣ ；
む ゆ
ロ パ
この値に対して，事故回復直後のあδにより，次の2つ ハき の状態となる。 §6 （1）振動状態 謝苫
コ む
δ1ニ0．38 δ1＝：0．1
δ2＝0．25 ［rad］ δ2：＝−0．1 ［rad／s㏄］
むホぼむ む ぱロ エ ヱ エの ハ ヱ むむ ユロ き ヨ きむ δ3＝0．10 δ3＝−0．1 ？1闘 （SEC｝
（2）脱調状態 Fig 4−5 離散化一次近似による状態擢定誤差1泊一￡・12 δ1＝0．80 δ1＝1．0
δ2：＝−0．20 ［rad］ δ2＝−1．0 ［rad／sec］ 。
o
δも＝−0．30 δ3＝−1．0 吋
む コ ロ ロ
観測系としては，δ1，δ2，δ3を選ぶ ：
γ…＝
ロ 式（4−9），（4−10）のシステムに対し，本オブザーバーを 田 ロロ
適用した。 Ω
Fig 4−4〜Fig 4−7にシステムが振動領域にある場合の
一Lエ5一一一 k呑3
−L■1
乙3Ψhe nu窟lber of dlvision
推定値と真値の誤差 1ズ《一ゑ12（i＝1，2）を描いた。 ° 4° ° 6° 16i；・（；≡】9 2 °° 2 ° 2 8°
Fig 4−4・Fig 4−5は離散化一次近似の場合のκ1，晶お Fig 4−6離散化二次逝似による状態推定誤差1エ、一￡、1・
よびκ2，あのグラフであるが分割回数Lを多くするこ とにより非線形性の効果を減少していることがわかる。
9 。 次にTable 4−1〜Table 4−4を不す。これらの表は，横 胃 …毛：［ 軸方向が観測周期を1／60［sec］を基準としたその〃
輻゜ @ L °f 倍1・とる，す抽ち脚［・ec］ごとの酬間隔を持つ
㌻ オブザーバーであり，縦軸方向は観測間隔をL個の微小
lg 部分に細分割する堀分割数を持つオブザー・・一であ
芭6 り，この評価として，誤差のノルムの3．0［sec］までの
膓 積分値1
ノー￡忙瀬＝∫3皇（綱一轟ω間
0・40 0・80 1・20 1．60 2．00 2．40 2・80 エエオ くヨロ ハ
Fi。4−・酬⌒・・よ。雌綻鍵1エ、一元，1・ を表1こしたものである・
Table 4−1， Table 4−3はそれぞれ振動系，脱調系の離
Table 4≒1 振動系1次近似の観測間隔・区間分割数による評価 K ×10−1
1 2 3 4 5 6 7
1 0．22425 0．38525 0．51248 0．62092 0．68949 0．65300 0．66183
2 0．14152 0．18900 0．23641 0．28504 0．33148 0．34114 0．37897
3 0．12963 0．15811 0．19051 0．22263 0．25428 0．27015 0．29801
4 0．12649 0．14906 0．17702 0．20395 0．23076 0．24938 0．27321
5 0．12549 0．14561 0．17188 0．19680 0．22178 0．24207 0．26450
L 6 0．12517 0．14412 0．16965 0．19368 0．21792 0．23931 0．26131
7 ゜0．12512 0．14344 0．16864 0．19224 0．21617 0．23836 0．26028
8 0．12518 0．14315 0．16819 0．19159 0．21541 0．23819 0．26018
9 0．12528 0．14304 0．16803 0．19133 0．21513 0．23836 0．26047
10 0．12540 0．14303 0．16800 0．19127 0．21510 0．23869 0．26094
L：The number of division K：Ineasurement period T＝K／60
Table 4つ2 振動系2次近似の観測間隔・区間分割数による評価 K x10−1
1 2 3 4 5 6 7
1 0．13118 0．16016 0．20247 0．25078 0．30507 0．36020 0．40973
2 0．12865 0．14922 0．17727 0．20593 0．23686 0．26835 0．29664
3 0．12819 0．14731 0．17298 0．19842 0．22547 0．25274 0．27663
4 0．12803 0．14664 0．17150 0．19584 0．22158 0．24740 026974
5 0．12795 0．14634 0．17082 0．19466 0．21979 0．24494 026657
L 6 0．12791 0．14617 0．17046 0．19402 0．21882 0．24361 0．26485
7 0．12789 0．14607 0．17023 0．19364 0．21824 0．24281 0．26381
8 0．12788 0．14601 0．17009 0．19339 0．21786 0．24229 0．26314
9 0．12786 0．14597 0．16999 0．19322 0．21760 0．24193 0．26268
10 0．12786 0．14593 0．16992 0．19309 0．21741 0．24168 0．26235
L：The number of division K：measurement period T＝K／60
Table 4−3 脱鯛系1次近似の観測間隔・区間分割数による評価 K
1 2 3 4 5 6 7
1 0．36781 0．42988 0．49534 0．56044 0．61656 0．64559 0．68742
2 0．33420 0．35263 0．37779 0．40626 0．43453 0．45296 0．48138
3 0．32504 0．33207 0．34588 0．36217 0．37849 0．39026 0．40867 4 0．32083 0．32283 0．33168 0．34257 0．35337 0．36167 0．37476
5 0．31842 0．31762 0．32374 0．33169 0．33946 0．34574 0．35579
L 6 0．31686 0．31429 0．31870 0．32481 0．33071 0．33571 、O．34384
7 0．31578 0．31198 0．31522 0．32009 0．32472 0．32885 0．33567
8 0．31497 0．31028 0．31268 0．31665 0．32038 0．32387 0．32977
9 0．31436 0．30899 0．31074 0．31404 0．31708 0．32010 0．32530
10 0．31387 0．30796 0．30921 0．31199 0．31451 0．31715 0．32182
L：The number of division K：measurement period T＝K／60
Table 4−4 脱調系2次近似の観測間隔・区間分割数による評価 K
1 2 3 4 5 6 7
1 0．31038 0．30046 0．29934 0．30202 0．30781 0．31741 0．33183
2 0．30983 0．29804 0．29346 0．29062 0．28848 0．28752 0．28844
3 0．30974 0．29765 0．29257 0．28898 0．28582 0．28356 0．28285
4 0．30971 0．29751 0．29228 0．28846 0．28499 0．28234 0．28114
5 0．30969 0．29745 0．29215 0．28822 0．28462 0．28180 0．28041
L 6 0．30968 0．29742 0．29208 0．28810 0．28443 0．28153 0．28002
7 0．30968 0．29740 0．29204 0．28803 0．28432 0．28136 0．27980
8 0．30967 0．29739 0．29201 0．28798 0．28425 0．28126 0．27966
9 0．30967 0．29738 0．29199 028795 0．28420 0．28119 0．27956
10 0．30967 0．29738 0．29198 0．28793 0．28416 0．28114 0．27950
L：The number of division K：measurement period T＝K／60
散化一次近似のものであるが，両者の表は，特に観測周 比し区間分割すれば推定精度を向上させることが確認さ 期が大きくなった時に区間分割数Lを大きくすること れた。
で誤差を小さくする効果があることを示している。 本システムでは観測系は線形としたが実際の観測とし ては系が非線形のことが多い。この場合の逐次分散形オ
5・結言 ブザー．・一の離向上に関しては今後の研究にまちた
以上，我々は大規模系に対する反復予測の逐次分散形 い。
オブザーバーを合成した。その際，離散化においW観測 区間分割のない1次近似では，推定精度が悪い。これに
参考文献 5）田上：電力系統の過渡状態推定問題九工大2部電気卒業論文 1） 高田（等）：大規模系のための逐次分散形オブザーバー，九州 1979年．
工業大学研究報告（工学）No．381979年10月． 6）副島：電力系統の過渡状態推定問題，九工大2部電気卒業論文 2）高田（等）・上田・藤田・吉永・高田（茂）：連続力学と離散 1978年．
形観測の非線形確定系に対する反復推定計算形ナブザーパー，九 7）高田：逐次分散形オブザーバーによる多機系統の過渡状態推 州工業大学研究報告（工学）No．321976年10月， 定，昭和54年度電気学会全国大会856 1979年4月．
3）Olle．1， Elgerd：Electric Energy Systems Theory． 8）高田（等）・上田・藤田・中川・吉永・高田（茂）：連続形力 4）藤田：非線形確定系に対する非線形Observerの合成およびそ 学で離散形観測の逐次反復推定計算形オブザーバー，昭和51年 の適用に関する研究，九工大情報修士論文 1977年． 度電気4学会九州支部連大2571976年．
