情報工学教室生田顕 広島大学工学部太田光雄

確率的モデルによる道路騒音システムの予測手法

      定常と非定常モデル

      （昭和57年5月31日 原稿受付）

情報工学教室生田顕

広島大学工学部太田光雄

APrediction Method of Road Traffic Noise System based on the

Stochastic Model  Stati皿ary and Non−Stationary Model

by Akira IKUTA

   Mitsuo OHTA

Ab8tra￠t

  Up to now， many approaches for estimating the statistics of road traffic noise have been carried out by the introduction of several idealized models． However， an actual road traffic flow shows too c◎mplex pattern， and，can n◎t be exactly explained by the above simplified models． In this卿er諏stly， we have f・cused・琉he predict輌・n pmblem・f了。ad traff輌c n。ise in the near sound field where is most important from the viewpoint of noise environmental pollution pro・

blem Next， a new statistical evaluation method of road traffic noise universally applicable to

・・bit・a・y t・affi・fl・w with・・n−st・ti・na・y fl・・t・ati・n p・tt・m i・th・・retically deriv・d． Fi・。11y，

the legitimaCy・紬e ab・Ve the・r・tiCal me坊・d iS ex卿mentally C・nfirmed by apPl蜘g川。 the

actually observed traffic noise data．

      は，道路上における各車輌の空間幾何学的な配置状態に

 1．諸 言

      関する統計的性質（たとえば車頭間隔分布など）が基本  今日まで，道路交通騒音の統計的性質を評価するため   情報となっているため，これらの予測モデルでは車輌の に・多くの接近法が幾つかの交通流モデルを用いて行な   定常走行が前提条件となっている。しかし，交通流状態 われてきた。すなわち，古くは等間隔・等パワーモデル   を時間経過の姿で眺めるとき，現実には通過車輔台数や に基づく決定論的研究1＞から始まり，後に，車頭間隔の揺   車種混合率など交通流形態を構成している内部要因の時 らぎなど確率的側面をも加味した，いわゆる指数分布1川   間的変化に基づいて，短期または長期の様々な非定常的 アーラン分布モデル4〕などによる統計的考察が多くの   変動パターンを示すのが通常である。したがって，この 人々によってなされてきた。      ような複雑多岐にわたる現実の道路交通騒音をモデル的  しかし，これらのモデルはいずれも車頭間隔がある特   に捉えるためには，対照的な2つの予測モデル，すなわ 定の分布に従うといった，限定的意味での理想状態を仮   ち定常モデルと非定常モデルを効果的に使いわけたり併 定しているのに対し，現実の道路交通騒音はその変動形   用したりすることが必要となろう。たとえば騒音変動形 態に寄与する内部機構が余りにも複雑である。したがっ   態の大筋を定常モデルで予測し，定常モデルでは捉える て，これらのような単純化されたモデルのみでくみ尽く   ことができない多様な変動形態は非定常モデルによる予 すことは到底できない。さらに・従来の交通流モデルで   測方法によって修正し直すのも一方法である。

 このような観点から，本報告では上記の2つの立場か   となる。ここにκ1≧24／πであり，Q は路上の車から放 ら，道路交通騒音のシステム論的予測手法に関して確率  射される単位長さ当りの出力音響パワー，4は観測点と 的モデリングによる考察を行っている。具体的には，ま  道路との距離である。他の片側に対しても上と同様の近 ず2節で，道路交通騒音による環境問題として最も重要   似モデルを用いて・音の強さムが求まることから・結局・

な道路端近傍における定常騒音分布の予測に考察の焦点   観測点Oにおける音の強さ∫（＝1、＋∫2）は次式のように を置き，近距離音場をきめ細かく取り扱うための一般化   なる。

㌻霞：蕊嘉曇蔦㌻議喜；，㌃   ∫与・玲誌（  2κ1（2一κ1）） （2）

てもかなり有効で，しかも車頭間隔が任意の分布形状に   ただしZ（全κ1十κ2）は車間距離であり，κはQ のバラ 従う場合の現実的な交通流に対して適用できる、定常騒   ツキやその変動効果，さらに時には近似計算に伴う誤差 音レベルの厳密な予測分布表現を導出した。ついで3節   などをもあわせ修正するため，後で外見的に（時に積率 では，交通騒音の変動形態に非定常性をもたらす主要因   法を用いるなら，幾つかのモーメント情報から）推定す は車禰到着台数の時間的変化にあるとの観点から，車輌   る未知定数として一応とらえ，以下の理論においては，

到着台数に関する統計的性質を基本とし，Stratono一  確率分布表現の大きな枠組をまず決めるべく，音の強さ

を設立した。そして，交通流における一次および高次相   布特性が与えられるなら

 最後に，広島市内で観測した交通騒音の実データへ，      z一κ…／（κ一κ）

この2つの交通流モデルを適用して，その有効性を多側   からP（κ）が求まり，（2）式を用いた保測変換によってP（1）

面にわたり確認している。       が具体化されることになる。

       xを固定したとき，（2）式でκ1とκ2は図一2のように対  2．定常モデルによる道路騒音の予測

      称な関係位置にあり，その領域はκ1，κ2ε（κ，oo）となる。

 2．1．音の強さと車配置との関連       ここで，κ〈κ1〈。。の範囲を考える場合，ある音の強さ  図．1のような近接音場において，道路上の中心Hから   ∫（すなわち固定されたκ）に対して・κ＜κ1≦αなる範

片側のみを考え，0点に最も近い車漸の位置κ1より以遠   囲を近距離音場に・またα＜x1なる範囲を遠距離音場と に続く車群を線音源モデルでとらえるとすると，この部

分から0点に及ぼす音の強さ11は       1

璽竃繊醸㌶竺麓㌶：㌶三  P（・）イP（緬）蜘

いて考察した・       一∬〔P（・）P（・11・）馴伽 （3）

∫1一

￨∬∂・：ξ・∂ξ一霧：t・r1芸＝器（1）  1

                     2エ ー一一一寸一一一一

」・1−1←・，−l      l l

l    l    l      l  I

一T−一一一      1

       1 d      l    l               l     l

       よ⊥一         l l

⑧図一1近接音場での交通流モデル     図一2エを固定したときの勘とエ2の関係

みなせるような境界点αをモデル的に想定することが   分布モデルを内包）。

蕊㌶讐㌶欝㌶㌘誓慧嚇）−B（   22ρレ＋1／2，1／2）。｛κデ2κ芸｝〔

こと繊・る・また図一2糊嚇よう1・一は上  ・｛1＋碧1⇒κ1謬2）｝

記の領域（x，2κ）を同時に占めることは許されず，モデ

ルぽ㌘：㌔考㌶る（図穆照） 『編欝（〃）〈α（泊譜2）＞

C、、e（B）。〈。，〈2。かつ。1≧2。     B（カ，4）：べ一タ関数

この2つの排反事⑳醐麟は対継から同f直1／2を C膓（ξ）：ゲーゲンバウエ・レ頻式 ｛6）

      。、こ。1。／（。1．。） L・ （ξ）・フゲ｝・囎頻式  （7）

結局，③式は，       16）⑦式を（5）式に代入し，変数変換：㎡（κ1一κ）＝Zを行な

とる・したがってP（鋼は・上の2つの事馴B）が出 P（・）−F（2）、。・謝1｛鳴蹴1・（そ）｝，

弩㌫，驚舗鷲慧蕊れん全鵠）〈酬そ）〉づ・全㌃

   輌）一吉〔蹴鴻・・1・）1割〕（4）鷲ガ〈了関凱

昨∬｛Pω鷲）渕㌫、1（1ご1う；なる1』8

−†｛働園し憲㊨  ㌶；ll∴㌶ll；li㍑；晦

ず螂、㌻』｝ ピ轡r1＋÷蹴一1）漉（8）

イ殉割醐・）血1（5）さらに，上式中噸分項撒表示し，その蜘つ

      ゲκf／（泊一κ）      いて積分を実行すると，P（κ）表示が具体的に求まる（計

＿＿＿

ｨ一』＿■ の強さ∫に関する麟密度関数即）鱒出すれば次式の

       1      修正した）。

       ハ

      2 °エ2エ  ・菟。▲1急吋吾）膓1墓。聡1βム

     図一3交通流⇔のパターン  ・鱒1（ゲ1／2 71）（−1）・讐（〃・三2力）（−1）一酬

となる・ただし上鵡後卿轍は・鑑（鋼と吋漉蹄｛竃1（2㍗1順γ轡一（欝 霊還蕊㌶議を考慮している゜ ＋評僻｝＋（2勿十／1郷Ψ11）ヨ曙y〕

位：㌘鑛あ欝纂遮㌫元翼 蜘）主麺騨一1戸（7｝剖 ご還㌶：㌶當麟：：＝ °卿 1鷺w）急δ酬景y

表恥採用しよう（初項は噺布モデ・レとアーラン・沽1°勧βち揺甥τ搬の，

璃。鵠牒ラ2）（Cは任意定数）のご濃㌶ニタへの適用

δ鳩緋δr鵠， 5＝‡㌶㌶惣鐘㌶盆罐

γ全・−1／2＋γ1情    （9）を行なったのが図．4である．同図には，比較のため次の

 2．3．分布関数の実用的表現式       三っの理論的分布曲線をも併せ示している：（a）（9）式にお  本節では，かなり厳密な確率分布に対する（9）式を足場   いてη、＝0，η2＝0，レ＝1／2とし，確率の規格化条件

にして，次に実用的確率分布を見出すべく，今少し簡易   を満足するように修正した分布表示（昔（L）），（b）指数分 化した予測分布の表現形をモデル的ケースとして導出し   布モデル（〃2ニ1）でd→0の場合に文献（2）で得られた

てみよう。（9）式の分布表現において，二つのパラメータ：  結果から導かれる分布表示（島（L）），（c）指数分布モデル

して，アーラン分布を一般化したガンマ分布吻1＝0）   果の関数表現形態を利用した分布表示（円8（L））。

モデルをとり，車輌の位置分布として通例多くみられる   図一5は，⑫式と04）式を用いて予測した理論的分布曲 一様分布モデル（η、＝0，レ＝1／2）の場合に特に着目す   線と実験的標本値との比較を示したものである。同図は る。このとき，次のような騒音変動に関する分布表現が   さらに，比較のわめ，次の三つの理論的分布曲線をも併 得られる。      せ示している：（a）図一4における古（L），（b）指数分布モ

［分布表現1］j＝0の項のみを採用する時，第1近似   デル（祝＝1）でd→0の場合に文献（3）で得られた結果 表現として次式を得る。       から導かれる分布表示（鳥（L）），（c）指数分布モデル

B（∫）−2織㌃）声叱P（一岩一ゲ・）（1①㌶；捲燃ぎた結果の関数表現形態を利

    （κπ（γ）；第2種変形ベッセル関数）

このとき，1に関するP次モーメントは      0．20

   〈∫・〉一（。；戸隠跳） （ll） ・．15

となる・ @        ￡・．1・

〔分布表現H〕∫＝0と1の2項まで採用する時，第2近似

表現として次式を得る。       0．05

几（∫）一⊥〔励）…戸1・2−（αb）    ・…

 ． 実験値

三iiil｝一

溺／

 ／ソノ／  澱ご＼ニー一

41ζ1，2＿η2（26／α）  

κ3／2＿η（2●／α）       50  

90

      ・⇒・exp（一。1∫−b・∫） （12）図一4騒音レベル分布＝理＿の比較1

このとき，1に関するP次モーメントは

〈P＞−2歳慧瓢）＋巖激）〕（13） °・2°

となる。ここで，（10）（12）式中のパラメータα，ろは積率法     0・15 により，実験値〈1＞，〈（1一く1＞）2＞からも推定される。     ε0．10

（10）式のB（1）または（12）式の乃（∫）を用いるなら，ただちに，

       0．00

● 実験値 一P2（L）

＝離；理論値

一一一一一

      ／＼

       °〔

     声  ＼・

    ノー 一一一一二亘＼、

  ／ ／° ／    ら、＼＼、

／

Dノ ／     ・ ♪・

｝

君（L）一≒；°五1・一巳（0⊥姐仰（i−1・2）  5°6°L［・；A）］8°9°

     L−101。91。（∫／∫。）   （14） 図一5騒音レベル分布に関する理靴実験の上ヒ較II

 図一4，δから明らかなように，本論文で新たに提示し       力（τ1），力伝，諭，ゐ缶，花，諭，…     ⑯

対し，従来の交通流モデルに基づく分布関数を用いたの   分布関数五（τ1， 力， ・ ・， τs）（s＝1，2，……）は，

では予測誤差はきわめて大きく，指数分布モデルによる   互いに重複のない時間区間：τ、≦絃τ、＋ふ，τ、≦Z≦τ、

予測式の限界を明確に露呈している。      ＋△、……，τ2≦≠≦τ，＋△、（△1≦△，△、＜△，…，△、＜△）

3，非定常モデル1、よ磁路蛤予測   内｝こ少なくとも1釧上の走行輔の到着力湖確率：

      4P＝〔ム（τ、，範，…，な）＋0（4）〕4、42…∠、  （17）

 3．1．問題の設定      を与える。

 図一6のように，任意伝搬環境において，観測点0への    この非定常・非ボアソン型交通流モデルの具体的表現 影響を及ぼす考察対象区間内の車輌はランダム到着であ   を与えるため，ランダム到着時刻τ、における時間区間：

るとし，それを二般計数過程として取扱う。すなわち，   τゴ≦8≦・」＋△、において〜Vゴ台の到着があったとして，

ランダムな時刻τゴに道路上のABラインへ到着した走   この到着台数の多変量結合確率分布ρ（2V1，」V2，．．．2V、）

行車輔が，時刻tで観測点に及ぼす騒音の影響波形を   を，離散変量に関する次の多次元展開型統一表現8」で，ま

ψα，τ」）とするぎそして，その時の車の出力音響パワー   ず表しておく：

をQ∫とすれば，観測点での合成騒音（音の強さ）は加算   p（1w，花，…，〜w）＝量   Σ  、4脳，噌、

性に基づきサ b翻蕊； （15）亘ぱ三㌫㌫（砂酬）

      詞         んwべ〈菖（一晒ぽ元チ）㈲｝品，陥…ぷ＞1興⑱

       A        ただし，X、（ノ＝1，2，……， s）は分布展開の各基本分

      一一一や警  稿、㈲特える麟変数であり堰開係数

       B        、4。、η，…。，は，基幹分布だけでは捉えることができない       交通流のさまざまな統計的複雑さを階層的に反映してい       ◎      る。また，▽は各々の変数に対する後部階差，ぴ㈲はη    図一6 道路上における車輔到着         次階乗関数で，それぞれ次式で定義される。

      ▽ゴF（x1，…， xブ，…，基）全（1／4ゴ）｛F（x1，…，

ここにノVmはボアソン，及び，その他特定のモデルに      Xン，…， Xs）−F（X1，…｝X⊂九，…， X8）｝ ⑲

限定しない任意の，到着車輌台数に対する計数過程であ     U（〃）会σ（σ一海）…（σ一（η一1）カ）＠≧1），U（°）全1（2①

立して等しい揺らぎ分布を持つものとする。さらに，題   乃、（→0）のとき連続な場合の微分演算をも統一的に定義

意に沿うような現実的モデルとして・1）2台以上の車   するための任意定数である。各時刻における到着台数 漸の同時鋸を許す・2）到韻点の異なる到着輔台 凡（元一1，2，…，・）が0 ≦慨（〃、→・・）なる

とともに変化していくとしてモデル化する。       体的に計算すると次のようになる（計算過程の詳細は省  3．2．非定常・非ボアソン型一般交通流モデルの時   略する）。

      ゆ       の

       ハド ヒ  ス きニオ  ルぶニ 

St，at。n。vi，h・・に基づき，ランダム到酬刻τ。，，……  二濯1恩1 恩1汚1（珊＆（花） ＆（凡）

       ゆ

の統計的性質を，分布関数：       ＋←−1）sΣ   Σ  ・4η、η，…η、

      簿＝］ 鶏1÷力2十…÷ηs＝丹

L／2 L／2

@ v（t一τ」）

否      一 一 ⑳      品

A ■B

w（t，η）

＊灘鷺讐三灘鷲請㌘整慧蕊  遺（艦㊥烏（・）  （2D

 η）同のごとく具体的に陽表現される。

ここで，基幹分布Z㌃、（1Vゴ）に非定常増分をもつボアソン分   特にボアソン型交通流モデルに限定すれば，ノ』（τi，力，

       ヨ

布： Q輌（ ㌦     A膓・！）ぱ（22三顯焔）となり公知の結⌒した次の表

を採用し，さらに4を微小時間間隔｝、とり，近似式， ・1（τ1）（一五（τ1））一λ（τ1），・・（栖 ，喬）＝・（・≧2）

      （30）

   ε一身＋4λ（τ）凌≒ε一λ（カ）∠・≒1一λ（め4    （23）   次に，（15）式で表わされる騒音観測値∫（r）に対する多次 を用いて（21）式を変形すると次式が得られる。        相関関数を導出するため，その特性汎関数：〃∫〔θ（r）〕

〃一

j叫1＋（一1噛Σん1＿恥 （全E｛・x吋θ（r）X（・4r〕｝）｝・着目するなら・（26  η；1η1＋〃・＋ ＋〃・⇒        義される母汎関数と次の関係にあることがわかる）三で定

    亘｛1艦｝〕  （24）M〔θ（r）〕−E｛ 〔卿恥（ち乙）∋｝

鑑麟㌶1ヒ較することにより 次のような分  一E｛箕・xp吻r）QM醐｝

右（τ1， τ2，  ， τS）         ＝L・〔・（『）〕    （31）

      ただし，

一亘λ（τ」）〔1＋（−1凛。1＋黒恥．ρ1−  ，（。）一，xp〔輌・胴㎡〕−1

さらに・非ボアソン性を勤す賄係数A−・の外  ．瞬1，洲r、，。）…陥，窃）4r…4τ〜  （32）

見的推定アルゴリズムも導出している（付録 参照）。

      である。したがって，上式を（28）式に代入した後，多次  3．3 騒音変動波形の多次相関関数表示      相関関数の定義式：

に着目するとき・これは分布蹴（τ1， τ2，  ， τS）と と比較することにより縞果的な多次相関関数に対する

L・〔醐一1＋顯∬μ（・1，・，…，喬）〃（τ1） 陽表示が次のごとく得られる．

      ・・（範）…〃（・、）砺∂カ…ゴ・s    （27）  瓦〔∫（rl）1（r，）…∫（r、）〕一±を‥Σ1＿笥1       Z＝U1＝／−1 2＝仁2 Zz．1；1

のごとく関係づけられることが既に矢口られている5）さら ㌃（、−11）！．．．iと．弘1）！乙1！E〔㏄・1〕…E〔Qr に 次噸母汎関数の展開表現も可能である・ @ ・E㊥∬・・x動（τ1，砲，…τル（rl，τ1）…

品〔・（r）〕一曇1オ∬・元禽（・・ら…，徳）〃（・）   肱、。，1）W（し、1＋1，砲）…聴四）．．．

         ●乏ノ（τ2）…  zノ（τs）07τ101τ2．⑨ ゴτ8      （28）      1レレノ（〜！s， τセ）61τ1， 0rτ2…  ∂τ〜       （34）

ここで定義された関数9，（τ1， τi〜，  ， τS）は分布関数ノξ（τ1，   すなわち，分布形状を支配する，より高次の相関情報を

左（τ1，τ2， ，τ8）一＿L馴！るi．．な！  嶽1∴實ぎ鷲蕊：翼；羅

・（1！）・（2！も…（、！）・・｛・1（τ1）・1（力）…・1（ぴ）  音変動として実際に現われるさまざまな締分布や各種

  ・92（τ，1＋1，τ，1＋2）…92（τ，1＋2，，．1，τ，1＋2，，）

  ．…．…，。（…，徳）｝、，（｛｝、、対称顯操作） （29）考察を基盤として・礁交硫モデルでの道罐音に対        するさまざまな考察を行なうことが可能となる。

      10．⑪ においては通常よく見られる現象である（今の場合は前

者であることを周期時間値の一致性から確認した）。し     7．5 たがって，このヱ周期を繰返しの単位Tとみなすことに   ニミ

よ順一8職く時臓塒刻ごと｛・区地さら曇…

に同図において点線で囲んだn個の微小時区間内（△、由   ⊃ 2．5

△泌＿，△朗）での車輔到着台数測定値の総和を求め，   3

求めた平均到着台数λ（τ、）および各展開係数・4。1。2、．η、

を用いて，㈱式により分布関数∫、（τ1，τ、，．．．，τ、）は具体

       一5．0

 3．4．実測騒音データへの適用      以上の背景のもとに，騒音評価量．L。gの非定常的変化  我々は，広島市内のバイパスで道路騒音レベルと車繭   について，予測キデル〈本曲で設立した非ボアソン・

の走行状態を同時観測した。       モデルおよび通常のボアソン・モデル）による理論値と，

 図一7は得られた実測データから車輌到着台数につい   実験値との比較を示したのが図一9である。同図から明 ての自己相関係数を求めた結果であるが，56サンプル時   白に確認できるように，非ボアソン・モデルの方が通常 刻ごとに周期性が現われていることがわかる。このよう   のボアソン・モデルより，十分良く実験値の変化パター な周期性は遠くで影響を受けた信号機の周期的性格，あ   ンを捉えており，理論の有効性が認められる。

るいは人間の生活リズムの周期性に起因し現実の交通流

塁÷1羅i∵ピ

的に瓢することができる。         （41薯ぷ了デル）

図一9 ボアソンモデルと非ボアソンモデルの比較

Lo

0．5

さ

⑪．0

一〇．5

一Lo

4．結 言

・  i  i  i  1  〃2   通による騒日の予測モァルに関して，交通流の定常性と

グ         ヘ         ビ         そ         オ

l  l  i     i        本報告では，騒音の中でも特に被害人口の多い道路交 1  ・  l  i  i        一  立    一

 l  i  ；  l  l

T−562T−1123T−1684T＝2245Tコ280      非定常性といった，2つの対照的場合に対してモデル的        考察を行った。さらに，交通騒音の実データへこの予測  ρ加＝〈N∫．珊権〉／〈鰺〉         手法を適用した結果は，いずれも従来の予測モデルに比        べて明らかな改善がみられ，その有効性が確認された。

     図一7 車輔到着台数の自己相関係数

      参考文献

      1）庄司，山本，中村：街頭騒音とくに交通騒音に関する研究，日本音

  。〃1・・ムI  lム11  ム1T 2）KT・k・g㌔KHi・・⊇TY・m・m…＆KH・・h輌・

   τ1・ Ω・1力・1  ρ ii乙＋ い〔1   1nv・・tig・ti・n・nR・adT・・ffi・N・i記b・艶d・nanE・p。。，nti、lly

   τ12厄2徽2  む2一ぴ1乏…τ払2  V晒酬1襯｛197・）  

  ．       i  i      ．     3）U，K． Kurze：Statistics of Road Traffic Noise， J卯rnal of       ゴ       き

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      じ      き

   ．       i  i         ・     4） 高木：自動車による騒音・振動の特性と環境問題《騒音の部），

倒）倍禽一・r嶽≡≠妊遼罐㌶鱗ll＝＝：L

      6）太田，山口，中村：飽和型任意非線形要素の不規則応答に関する

      図一8 平均到着台数の計算法        一理論とそのDigital Simulation 第3回統計学的制御理論シンポジ

       ウム講演論文集，PP．81〜84（1971）

7）M・Ohta＆T・Koizumi：General Statistical Treatment of    〈X｛π1一丘1）Xlπ2一丘2）…Xlηs−々s）＞x、，x，，．、、， xs Response of Nonlinear Rectifying Device to Stationary Random

：＝㌫欝・nI・f㏄m・・i・nTh・ V・一 鴫｛エΣX5η 一 ・）ん（Xン幻＝0）｝

・。＝㌫灘＝、罐｝霊・罐一亘｛認動（x−（誌））！

V・…bl・・w・・h ・・…ed L・v・1・f・・aS・・ch・・…Env…㎜・n・   ・ゲ・・・…（λ（む）4）弓

Sound and Vibration， Vo1．66（1）， pp．75−89（1980）      ＝II（λ（む）∠1」）ηノー々ノ       （A．2）

      3＝1

       （A．2）式を（A．1）式に代入し，整理すると次式となる。

：式で璽わされる多次元展開型表一・て，昨一」−1）；1㌣蜘酬・−

1，2，…，s）の多変量結合積率は次式によって与えられる§）       」司

〈」w1）呼・…呼・〉      簗隠…簗1（−1）舵・々・叶M嫡…輪

一崖。婁。…竃！−1）・一・輪彪鳴（ η5！ηゴーん」）！  亘（蕊）！（λ（・）4声

  ．〈x｛η1一力1）x菱〃・一ん・）…Mη・一々s）〉＿，為 （A．1） 一顯（−1）・1＋＋一恥

ここで鋤一1，2，…，鯛F定常増分をもっボアソン ・ん一・1！…（  ηゴ！η」一ん）！・・…！㈲4） ・｝〕

分布（（22）式）に従う場合，（A．1）式右辺の〈・＞x1，泊，＿x．の      （A・3）

部分は・その定義式と近似式（（23）式）を用いて，次のごと  上式より，各展開係数、4η、η、…η、を逐次的に推定すること