機械工学教室村 上 敬 宜 大学院学生 （機械工学専攻） 岡 崎 泰 寛

有限要素法による応力拡大係数の簡便決定法

（第2報：3次元軸対称問題における応力拡大係数）

（昭和50年10月28日 原稿受理）

機械工学教室村 上 敬 宜

大学院学生 （機械工学専攻）  岡   崎   泰   寛

ASimple Procedure for the Accurate Detemination of  Stress Intensity Factors by Finite Element Method

    （2nd Report：Stres呂Intensity Factors in

     Three・dimensional Aエisymmetric Problems）

by Yukitaka MURAKAMI

  Yasuhiro OKAZAKI

  The simple procedure for the aoourat巳determination of st祀ss intensity factors de肥10ped in the lst report for two−dimeロsional problems was apPlied to the axisymmetrlcal three−dim臼一 sional problems． The stress intensity factors obtained for the circumferentね11y cracked round har were in good agreement with those by the analytical solution．

  The stress intensity factors for the且otched round bar with a circumferential craok at th￠

notch root in tenslon were also calculated and the effect of the notch shape on the variation of the stress intensity faotors near notoh root was inΨestigated．

  It was 皿ade clear that the notch root radius specially affects the stress distribution near

notch root and then controls the Ψariation of the stress intensity factors with the crack length．

The notch e∬ect in fatigue was discussed from theΨiewpoint of the stress intensity factors of the notched round bars．

      き裂がないと仮定したときの仮想き裂先端要素の応力

1・緒 言        σ．との差（σ、。一σ。）が第・近似として融拡大係数

 著者らの一人は，さきに普通要素を用いた有限要素法   と密接な関係があることに注目し，基準の解を利用して による応力拡大係数の簡便決定法を提案しu，その方法   応力拡大係数を決定するものであるD。以下の計算では によれば種々の2次元問題を精度よく解けることを示し   普通の三角形リング要莱を使用し，要素分割などの形式 た。本研究は，先に提案した方法nを3次元軸対称問題   は第1報Dと同じにしている。

に応用したものである。最初に円周き裂をもつ丸棒の引    基準の解として本計算では，2次元片側き裂を有する 張りにおける応力拡大係数を計算し、その結果を解析的   帯板の解を利用する。まず図ユの問題を軸対称問題とし 方法による結果2｝と比較するζとにより，本方法の3次   て解くために内半径R。が非常に大きい円周き裂をもつ 元軸対称問題への応用の妥当性を調べた。さらに円周切   中空丸棒（図2）を考え，その縦断面が図1になるよう 欠きの底にき裂をもつ丸棒の引張りにおける応力拡大係   にした。中空丸棒の内径を決定するために付図1と第1 数を，切欠き半径，切欠き深さをいろいろ変えて求め，   報の付図3，5を用い，Ro／Wの大きさを変化させ・さ 切欠き形状，特に切欠き半径ρが応力拡大係数に及ぼす   らに中空丸棒の外側からき裂が生じている問題と内側か 影響を調べることにより，切欠き材の疲れにおける切欠   ら生じている問題とを別々に解いた。図3に、き裂長さ き効果（または寸法効果）コ）剛を応力拡大係数の観点か   cと板幅Hノとの比λがα4の場合の結果を示す。外側 ら考察した。      円周き裂をもつ中空丸棒のき裂先端要素の応力をσ1抽       内側円周き裂をもつ中空丸棒のき裂先端要素の応力を

 Z方 法         σ｛IPとすると，軸対称問題を平而問題とみなせるのは  計算法の基本的原理は，き裂先端要素の応力r陣と   σ貼とσ｛ pとの差が最も小さく，しかもRo／ぽの変

亭

C

W

一」

」

1  ↑  ｝       ＼、

σ・       ゴゴ ㌔一・、、

      ，〆         、、」㌔

C

，Ro

W

  、1   「

  1

   オ

 ∫

 「  1                                             1      ，          し、       

」        ㌔ ㌔＼＿＿一一一一一一一」

         図4 き裂周囲の要素分割 （拘＝∫／の

＋  1 ↓ ↓  がうて癒々の．。の値剛して（。，1バ耐と，

σo       （「。       F（わσoとの比を求めておけば，他の任意の問題におけ

図1      図2       るκ1の近似仙を2次元の場合と同様にこの比の値から

      決定することができる。すなわち

8

血

σ。

5

が与えられていないところでは内そうして求めた。した

      τ         A丙f則円闇き翼

      によって計算される。ここでσt巾1とσ副の添字1は       σtl。とσrの成分の中でMode Iの開口方向の垂直応       力を意味する。

  o

   l IO IO2105104105106       図1の問題を・付図ユと第1報の付図3，5（各々

      R蜘       ．L／ぽ＝2・75，3・仇3・0）を使って内半径R。と板幅研        との比・Ro／咋103の軸対称問題として計算した結果か 図3 σtlpノσoと児D／甘の蘭係（レ＝o．3）

       ら求めたσ，と泊の関係を図5と表1に示す。ボアソ       ・・＝旦鰐帯     ・……・・（2）

，ゾ 一一： i竃議1璽i：騰i

       と同様に

    鴇三鷲  雇r嬬 ＿（3）

化に対してσ言1Pとσ｛ ，の値の変化が最も小さい場合   ン比ρは10と0・3の2種類にづいて検討した。参考 と考えられる．以上の理由から図3よりユ03≦R♂W≦   のため2次元のσ・の値も示しているが，P＝0の場合 10 とした。      のσ・はこの2次元の値とほぼ等しい。このことは・

即の醐を図2の鮒称問題（ユ03≦Roノぽ≦104） R・ 昌1°3で2次元状態とほとんど等鰍解なって

として，種々のき裂長さ とき裂先端要素の大きさ∫   いることを意味している・なおロ＝巳3の砺がり＝0

と砒蝋図4）およびき裂鍵，と板輻ぽとの批 の場合と異なるのは・；昨ソン比力 励拡大係数に酬

とについて解き，き裂先端要素の2方向応力σ陥．と，  しているためでなく・特異性をもつ応力分布を有限要素

き裂がな蝿合の識酬となるべき麟の坊向励 法で糟している抽の迎 と翫られコ次元酬で

・。．との差（．、1。、一。．、）を求める。    ンキo醐合には・それぞれ酬のσ・を別々に計算す        る必要がある。なお付図ユでは同じよにつき中空丸棒外  一方，西谷1°」によれば，図ユの場合のκ1は

       側からき裂が生じた場合のき裂先端要素の応力と，内側

   κ・＝Fω・・〆≡   ・一…（・） からき裂が生じ糊合のき裂先糎業の応力との平均を

と表わされ，・F（λ）は詳しく求められている。なお数値   σ掴とした。σ，は2次元の場合と同撤忙，大きい拘

表1  図2のき裂先端要素の応力σ，lp、とσ．の値 λ＝o／W

L／Hノ

3．0

2．ア5

／c

0．5 0．25

0．04545

0，04167 0．03846 0．03571 0．03333 0．03125 0．02941 0．02778 0．02632

0．5   ， 0．25 0．16667 0．125

よ

l O、2  0．4 0．33  0．36  0．39  0．42  0．45  0．4B  O．51  0．54  0．57

・F（わ1°，

  L361  2．071 i l．75

・・1・・／・・「 ・・ 1・・国／・・1 ・・ 1 ・。

・＝Ω @i −・ 1・次元・

2．0516 4．1231

92432 ^1．50B 4．70

。・万2・1・7849｝α・・67

lL8Bi1・：185閂88

2．02   …  1L463  1  5．18 2．18    i  l2．857   i  5．44 2，36

2．57 2、81 3．09 3．41

1｝1：麹1；：；1

 ；1：ま㍑il：；9

 23．6B1   ｜  6，64

      1

は：；い・溜1蠕｛α・233

0．3 0．4

O．07143 1 0．7     1

；：；83・319：1 ；：；lii11：9；；当i：塁1

・   ・     1    ・ 778  l  L453

  L643｛4・342引2・034

 2LO71  ，   6．2529  ｝  2．536

5．55    ・  21．676   1  3．73

    1      1

3．489Gl1202

8．0688  ：  4．03 9．0014  1  4．25 10．055   1  4，48

11・283｝4．71

12 656   1  4．95

14237 1 5．16

16，046      5．36 18．141     5．54 20．449     5．70

］，6472     0．5452

；：嬬川：lll

5．3923  1  a121 7．7863  ：  2．488 11．610     2．803 18．272   1  3，11

    1

0．6224 1．2681

z17品

㌶言

3，2720

に対して小さく，小さいよ。に対して大きい。また重要    10 なζとはλの値にはほとんど無関係であることである。

図5における1πσ、を最小2乗法によって「ηエoの2次

式で近似することによって，σ、とX。の閏係は次式で    σ。

あらわされる。

  μ＝0．3のとき

  σf＝＝0・3667工o（一】・113−o・0897酎ロ言o）       占占… 一・・（4）       1

  γ＝0のとき

  σ ＝＝0．2562Xo −1・2ユ2−o・1054 n xo，       ・・・・・… に5）旺：］

以下の計算結果では，為とσ、の関係で表ユの値が使 える場合はモのまま使用し，他の場合は，式（4）また は式（5）によって計算したσ、を使用した。

       

3・計算結果      α01   0・【 x。  1、o 計酬果鎌討する前に鰍元化励拡焔数を次の   図5牛とエ・の鯨

蝿   鞠

鴫魔

oo 口oo

占

o巳 8

8

星

o v・oユ

△ 辿o

・2謀元

3つの式で表現する。

君一 凵@ ．＿（6） Fr治  …・・一（8）

Ff「．12、5島／＝ ・．．一．（・）お：：rl／；：霊き：黒㌶：；當麗：

      ＿＿＿＿＿    一＿   あるU浪，。またrは切欠き深さ，αはσoを基準にし

注1）こ ﾇ㌶ぽ＿＿  た切欠きの応力集蹴である・

  とはかなり異なるようにみえるが，実際には同じ    3・1 円周き裂をもつ丸棒（図6）

  Xoに対して大きな差はない。ちなみ1εエ。≦α25   円周き裂をもつ丸棒G＝0，0．3）における無次元化

  の㌃芸霊裁蕊：＿   応力拡大係数FI（式（6））を誤即に示す・」七較

  となり，右辺の係数も2次元の場合に近くなる。   のため・解析的手法による解2］（2」L／」D＝＝軸， レ＝＝0）も   したがって夕＝0の喝合には2次元の値を用いて   合わせて示す。FEMによる値は2L／D＝2・75と3．0   も大きな誤りはない。       のものが混じっているが，解析的手法による解によく一

¶

1

」 d

，

1 」

D

σ．      4．0

｛       F，

1

（r。

3、0

2．0

      図6

       1．11 表2 円周き裂をもつ丸棒の」P，         1．O

    F∫＝π∫／（σo〆πc）

2c／Dl・一α3 −・1枇醒2）

0．1 0．2 0．25 0．3 0．333 0．4 0．43 0．46 0．49 0．5 0．52 0．55 0．58 0．6 0．61 0．64 0．667 0．67 0．7

I  FEM     FEM   l

i

1唱］7  ，  1．

1．23   1   1．27

    1

1．37      1．40

1．59        1．62

L67      −

1．76      −−

1．90      − 1，96        1．98 2．05      − 2．23  、   − 2．42      一

之5g i ユ61

z69  ，   −

2％   、   −

3．37  1   −

3．69    ・   3．74

    1

20 1  1

1．77

1、24

］．30       0

      ム！

     ノ／

8ノ／@r声12：D

         o FEM（レ巴0．3）2フ5

         △FEI同｛昨α3）ユ0          ●FEM（ヅ：0）之75

1亘  ・   °52C∫D°コ

 ー      図7 円周き裂をもつ丸棒のF，

 ＿       F，＝κ，／（r。1／石）

1・竺         σ。

＿      ｛

3．元

致している。またボアソン比レの影響は小さいζとが わかる．更にこの計算結果から円周き裂に関する限り，

き裂前縁（Crack front）が曲がっていることが2次元 状態のσ、を基準とすることの障害になってはいないと みなすことができる。これらの」F1の計算のもとになっ たき裂先端要素の応力σt国とσ〆1およびき裂長さ￠

とき裂先端要素の大きさ∬との比工oなどはすべて付録

の表にまとめて示す。（他の計算例についても同様であ      †

る。）      σ。

 3・2 切欠き底から発生したき裂の応力拡大係数       図8      （図8，要素分割は付図2，3，4，5）

 3．乳1 切欠き形状との関係       円周切欠きの底から入ったき裂の応力拡大係数の問題

」

● 圭

dl・lD t

＿」

は，疲れにおける切欠き効果（または寸法効果）あるい       表3切欠きの形状

霊㌶㌶瓢㌶三毒㌶還㌫試験⇒⇒些lw・い／。

徽中のだ円孔から発生したき裂の応力拡大係数を㌶ N4： i  a°11』

1罐㌶芸竃遮㌶姦：：；I k，1α・111…結；．

の齪に利用されてきた．その後，酪，石田・・は無 N3  1。6 1ユパ4・

し，切欠き半径応力分布およびき裂長さの変化に伴う

鷲繋：難襟㍑裟讐‡二㍍   表4劉㍗驚鷲呪

定となることを翻している．     ・ノ・IN1，N21N31N・

図9は・応力拡大係数を式（・）で表現したときの係 8：；已；i菱誤1：lll二

数F価値を横醐・／・をとってプ・・トしたもの 1：； 鑑iユ 6・4251：

に㌶⊇㌶罐竺㌘：麗i 萎5⊇ユ三同：：：

状・と醐欠き半径・と応力拡蠕数の関係を鵬 1：；751□1□已竺ii：｝；

竃雛鷹璽竃ii iii自：：；1：：lll：司1：壽

た計購FIを表4に示す。     ；：175…竺i竺i竺i錯

である．ζこで式（，）巾の応放中係数αは。⊇  ・一之 8［4・151

準にしたもので，2次元片側切欠きの場合の値との相対

値から決めたものである1・・．図引こおいて，Ffの値は．  1・°

c／ρ→0にしたがr｝て自然に1．0に近づいている。図g     F・

のN4を別にすると， N 1， N 2， N 3の各場合のFrは 切欠き底近傍ではほぼ同じ傾向をもち，1本の曲線で近 似できることがわかる。これは，丸棒の引張りの場合に

も切欠き底近傍の応力分布が切欠き半径ρによってほ     0」5 ぽ決まってしまうこと5迦に起因している。ただし，

N4の試験片では，切欠き半径ρが大きく最小断面の 半径ゴ／2と比較しうる程度であるために，Cノρが他の 試験片と同じ場合には，き裂の絶対長さが大きいから周 状に入ったき裂の干渉効果が大きくなり応力分布との対

 一般に停留き裂が問題となる場合には，切欠き半径は        図9 図8の町とCノρの関係 地の寸法に比べて十分小さい場合が多いから，き裂の停

留と応力拡大係数の関係をNt， N2， N3の試験片が   じならば杣切欠き探さ∫が異なっていても，き裂発生 示す傾向をもとにして議論してもよいであろう。     後は同一の伝ぱまたは停留挙動を示すことが予想され  図10，U，12，13は，各形状の試験片1こおいて，き   る。したがって，このζとからき裂が停留するか否かの 裂がない場合の応力分布とき裂が発生した後の応力拡大   限界すなわち，分岐点においては，切欠き半径ρが材質 係数の変化を示したものである。応力拡大係数の変化は   と負荷型式（平均応力を含む）固有の一定値になること 応力分布と完全には一致していないが，傾向はほぼ一致   が理解できる。

している（N4は例外）・すなわち・♪勒猷係数は   注2）賑き半径踊じなら1二言生躍する切

き裂が発生する前の切欠き底の最大応力とその後の応力      欠き庭の最大応力振幅もほぼ等しいことに注意を 分布の変化に追従して変化するから，切欠き半径ρが同      要する5坤，ロ

  1、O

 F；

d｛crP）

q5

0

＼ 蓑i二， ・小㍍ ll驚）

  ＼°＼。

    ム＼〜。、。      05      ＼・、、°一』一。

         、轟、』一△

Ff「。、1：誌后

0

㌔＼＼ここ一＿＿＿．＿＿

    o＼

     心、轟一r」ム

         、o、△一△

Ff−Ll、【監后

  0    05  crρ †0     0    05  c∫ρ 1ρ

図10N1（dl／ρ＝16．0，オ／ρ＝2．0）のFfと      図11 N2（｛f／ρ＝8．Ol訂ρ＝tO）のFIと    無次元化応力分布σ（eノρ）の関係       無次元化応力分布σ（可ρ）の関係

  1，0

 Fご

σ〔C∬P｝

0．5

       1．o

＼  ㌣6   汽＼、  ・σ（・∫・）   σ｛・∫P）

  、

ミ   So

  ＼こ、』一・＿    ・・

     、△

         一「L『、△

 0      0

  °、  α5 ・rP 1°   °   ・5 ，fP 1・・

図τ2N3（d／ρ＝12．0．訂ρ＝4．O）の屑と      図13 N4（d／ρ＝3．0，オ／ρ＝1．0）のF｛と    無次元化応力分布σ伝／ρ）の関係       無次元化応力分布r（O／ρ）の関係

 3・2・2 切欠きがない場合との比較      0．25のとき一般に等価き裂の考え方が許されるものと  式（8）で表現した計算結果を比較の意味で切欠きが  考えられる。

ない問題（2L／D＝2・75，3．0）と合わせて表5と図14

に示す。ζれによると，切欠き底から発生したき裂の無    4 結   言

次元化応力拡大係数、Frは．き裂長さを増すといずれ    第ユ報において提案した有限要素法による応力拡大係 の場合も切欠きがない場合の曲線に漸近してくることが   数の簡便決定法nを3次元軸対称問題に適用し，円周き わかる。また図ユ5は，前述の4種類の切欠きについて，  裂をもつ丸樟および切欠き底に発生した円周き裂をもつ 式（8）による無次元化応力拡大係数Frと切欠きがな   丸棒の応力拡大係数を求めた。碍られた結果を列挙すれ い場合の式（6）による無次元化応力拡大係数Flとの  ば次のとおりである。

比を縦軸に，き裂長さcと切欠き半径ρとの比を描軸   （1）本方法によれば3次元軸対称問題における応力拡 にとって表わした図である。この結果によれば，上述の   大係数を容易にしかも実用的に十分な精度で決定でき 4種類の円周切欠きをもつ丸棒についてc／ρ≧0，25に   る．

なれば等価き裂の考え方がほぼ許される。2次元の場    （2）切欠き底から発生した円周き裂をもつ丸棒の応力 合音｝との類似性から，半円より鋭い切欠きでは，C／ρ≧   拡大係数は，切欠き半径ρが直径ゴと比較しうるほど大

表5  切欠き底から発生したき裂の・Frと切欠きがない場合のき裂のF，との比較

切欠き

N1 N2

切欠き

N3

N4

・−2（∫十c 怐jUば／・−16・／・一・ゴ／・一・一・一≡・）なW，−1・，／、一端。一，，／，−1

F∫ ・／・1搾 ・／・1苛

D

_{F」 ／ρ  」守}

_cノρ

_Fr

0．20 O．22 O．23 O．24 O．25 O．26 O．27 O．2日 潤D29 O．30 O．32 O．34 O．36 O．3B n．40

1．23

@ −

@ 一

@ 一

@ 一

@ 一

@ 一

@ 一 k37

@− @ 一

@一 @一

P．59

   一一｝

@   l    i

純Xi−1『

O．3 O．4 O．5  1．23 O．6  1．24 O．7  1．26

P：；i；：茎；Lo目．30− 一

Fi：−1 一一1 一

1．12    − P．18 1  ＿

P．1B｛0．2         −

@       0．3

@        一

瘁@       o．9        1．0

  一

@ 一

@ 一 P．19

@ − P．26

@ − P．27

@ − P．32

k37 k41

P．44 n．49 P．54

  一 k67

@ 一

@ 一 P．76

@ −

@ − P．90

v．96 Q．05 Q．23 Q．42 Q．69 Q．96 R．37

O．2 O．3 O．4 O．5 f．6 O．7 O．8 O．9 P−0

￨一一一一一

1  1．44

@ 1．55

@ L58

@ 1．66

@ 1．69

@ 1．73

@ 1．77

@ LB2

@ 1．85

@  −

@  一

@  一

@  一

@  一

@  一

  一

@ 一

@ 一

@ 一 Z．15

@ −

@ − n，225

@ − 潤D3

O，375 O．45 O，525 O．6 O，675

  一

@ 一

@ 一

@ 一 P．59

@ −

@ − P．81

@ − P．97 Q．18 Q．36 Q．59 Q．87 R．27

40

F1

 ニ

F1

3．0

2．0

1．O

o

v＝0．3

一切欠きなし

。 N1

▲ N2

・ N3

▽ N4

      10

ノ ま

  ノ

『   °5 1

ア

  7

イ

^o

N2 N4

 〃，：   M  ∴冨   N3  甜

 ヰベ

）

 

ぐ      d 〔1P

卜   M16．02．O l   ：i1；：91：；

      N有3．01．0

！

       0    。・5  C∫P 1、0

  鴻∬    図15肥蒜と図6のF との比と

     1       （等価き裂とみなされる範囲の判定）

1；   おける切欠き効果あるい昭、留き裂の問題と艦闘 ll  係をもつ・轍はこの・とにもとついて分蜘切欠 I l     き鞭ρが酬と鯖形式忙よ・て固轍となる・と

1！  ㍗蕊胎＿25なる範囲で1抽

欠き底から発生した円周き裂をもつ丸棒の応力拡大係数

0   α52C／Dα7 は長さ（・＋・）の酬き裂1こよ・て近似できる・（記号

図14図8のFF（式（8）），図6のF、と  1こついては図8恕照）

2e／Dとの関係       なお・半だ円板状き裂の問題などの3次元一般問題は        次報で報告する予定である。

きい場合を除いて，き裂がない場合の応力分布よりほぼ

推定できる。       本研究を行うに当たり、有益なご指導，ご討論をいた  （3）結論（2）の内容は，そのまま切欠き材の疲れに   だいた，九州大学工学部西谷弘伯教授ならびに九州工業

大学遠藤達雄教授に深く感謝いたします。      4B−1），49．

      9） 西谷，石田：日本機械学会論文集，39−317（昭

         文献  4日一1），7．

      10） 西谷，節50回材料強度学会講蹟論文集（昭50−5）．

1）村上・日酬械学端端文集・N。・75°−1α｛ 11）W．T． K・it…Tm・． ASME， S・・． E．32   50−11） 167（有獺素法による応力拡大徽酬   （1965），237．

  便決定法：弼1報とする）・      12） 西谷：日本槻械学会講誼論文集（九州），No．69＿

2）村上・西谷・日本麟学鵠文集・4ト3ロ（昭  2（昭4＋3）．37．

  50−2）・360・      13）H．M・it・・i・nd K．T・k・・，E・g・g． F・。、．

3）石橋・金属の疲労と破壊の防止（昭42）1養蹴・  M・。h、V・L6N・．2（1974．9），253．

4）11凪ほ棚・材料強度工学 ・ドブ・ク・（昭 14）・」・林沖沢・日本酬学錨文集，35−2カ（昭

  41）潮右書店       44−9），1856．

5）西谷・日本酷学端文集・34−259（昭43−3）・ 15）小愈，大路・撮槙の研究，26−12（昭49−12），

  371．      正4〜）2．

6）酪 村上・日⊇械学錨文集・35−275（昭 16）大路・日糊解鑑，76−658（昭4B−9）．10肛

  44−7）・1389・      17） 小倉，大久保，大路：日本機拭学会鋼演論文集 7）西谷・酷照学会麟錨料（凹西10回）・（昭  N・．740−1（昭49−4），83．

  43口0），1．       18） 村上：未発衷．

 8） 西谷，岡坂：日本機械学会詰文集，39−317（昭

付   録

付表1  切欠きがない場合（図6）のrt回とσ訂の値

・L／D−z75    1  2L／D−a⑪

   1      旦皿   i   i

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ρ＝0．3

1．9516 3．4696 10．336 11．154 12．304 13．567 15．030 16．651

^｜

1．0 1．0 1．0

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1．0 18．757       1．0

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2Loo3

24170

1．0

10

付表2  切欠き材（図8）のrtl。1とσ8」の値  ＝o・3）

」 l NI i N・ i N3 ^N4

τi2（宗瞥…晋2（量の』…血i2（

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o．22 8．6091

a1123｝α241

6．6896 2．3739 0．42 15，256 5．4856 O、46 i 10，033 3．5328

1二留i

^O．23

O．24

9．2949 X．6971

；：li；；ほ劉

_7．3652

V．日716 2．0426

P．8317 o．43 O．44

］6，589 n7，395

4．6日91 S．1313

     1

O．49 O．52

11，706 P3，239

3．1174 Q．Bl51

0．1  1

0．25 10，254

且1・431α3・1

_{8．4684 1．6949 0．45}

18，444 3．7622 0．55 14，919 2．6076

0．083331

O．26 10，591 L997010・32 ^{9．0650 1．5975 0．46 19，072 3．4804}

^0，581

^{16，564 2．4441}

0．Oア1431

6251

O．27 _o．2B 11，087 _1L367

1．7955io．36

L8B1610．34 10，182 ^{9．7012 1．5189} 1．4602 ^0．47 0．4B 20，536 ^{19，991 3．2527} 3．0765

^O，611

0．64 ｛2・。61 ^{1B，746 2．3103} 2．2159

O．05556

O．29

H．755 L722司。・38

^{10，741 1．4111 o．49} 21，292

ユ9208

^{O．67 ，24，375 2．1443}

0．05 o．30 12，023

1・6604i°・4°1

^{1匡，399 1．3670} 0．50 21，B41 2．78B9

一 1       −

P 一

1

／

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付図1 節点数＝175要素数＝295         付図2 節点数＝303要素数＝522

    Lノ耳ア＝2、75       L／W＝＝3．0

    （メ備の場合D／2当の         （丸捧四昌合D／2＝1の

1

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毬鍵 ．ト蔑． 榊 碁↓蹴 ，6け一〆 ^訟

付図3 節点数＝257要素数＝439  付図4 節点数＝293要素数＝504  付図5 節点数＝242要素数＝415     L／1ア・＝3．O       L／1P＝3，0       Lノ彫＝3．0

    （丸棒の場合 Dゾ2＝1の       （丸棒の埠台 D／2＝11つ       （丸棒の場合 D／2＝；F）