情報工学科内野英治情報工学科大学院堀　　　振一郎

エルミート展開形偏微分方程式による形式的線形化

（昭和60年5月31日 原稿受付）

情報工学科高 田   等

情報工学科内野英治

情報工学科大学院堀   振一郎

AFomal Linearization via Partial Differential Equation         Solved by the Hermite Expansion

by Hltoshi TAKATA

   Eiji UCHINO    Shin−lchiro HORI

       Ab8缶8et

  When a nonlinear equation土＝∫（エ｝is given， a parUal differen廿al equadon（∂φ（エ）／∂エT｝・∫抽＝

、4φ（エ）十Bis solved by the Hermite expansion． Then a fomal linear equation is synthesized asφ＝

Aφ十B、 In pracUcal，φ｛エ）is approximated by con51de加g up to the N．th order of the Herm e polyno．

mia15． The accuracy of the approximation is improved as」V increases． The inver5e calculation is caπied out by the Newton method．

  The numerical examples give us promising results．

       題に帰着される。なお，エはφ（エ｝の逆変換により求め

 1．序鵠      られる。その際逆変換は，非線形方程式の解法である

非線形システムは，現実には何らカ・の意味で線形化さ ニュートン法を用いた．41具馴に対峰種の数囎験

形式的に線形化する方法について考察した。ダイナミッ

      2．解 法

えられたとする。エはn次元である。これに対して，   η変数実数値関数の非線形微分方程式

・次元の閲数φωを用いて・       ㌍，（エ｝エ，〔恥＿工古R・  川    φ（…誓炉警） ω綱｛エ｝＋θ が与えられたとする．ただし岬1よ。次祓＿ク

なる線形微分方程式に変換する。このときφ｛エ）は，エ  リッド空間で、 は可積分の非線形実ベクトル値間数

ルミート多項式系田・（f1， f、，…、r山㌫．．．．．、口．．。の線形  である・

結合で構成され，上式の（∂φω1∂」：り・バ対＝Aφ（エ｝    ここで，η次元エルミート多項式系lH（r1，転…．

＋丑なる偏撒分方程式を解くことにより得られる。こ  r副エ順．．、＿．，．。を導入しよう、重み関数が のφを新しい変数と考えれば，φ＝、4φ＋Rなる線形問

80       高田 等・内野英治・堀振一郎

      ・      と表わされるので，これをフーリエ級数表示すれば，

   ω（工）＝Hω1｛エ ）      ｛2｝

      ト       け

       σ｛エ）ニ   Σ］  βけ、．ア3，…，rn〕H｛r1、ア、，…，ア回Hエ｝ 00）

      r1●r・●…ヰ「n−o_ただし，

  ω1（エ、｝一』〕一｝。。pl−（エrm、〕112P、1 （，）である・ただし・β｛「1・「・一「・｝は        β｛7・117・2，…，rπ）

■ε（一。白，OG）， P・＞0と記述されるとしよう。この

とき         ∫：…∫1輌・・㌦劇H｛…凸耐雇・臨一・血

   u（＿，…．㌔〕｛エ｝−R恥｝  （、） ∫：…∫：ふ・・・…⊇1底…血

       ・1

      （1D

      一方｛7）に（8）を代入すれば

   Ur ｛エ ）＝（一一］）F P wω」（エ1｝      （5｝

      ロ

      r ＋r■．… 卓rn−1

1H｛r、，f，．…，r訊エ）臣．r、＿．。．．は，      ＋抽α｛0．…，0）＋B）       聞

臨ぽ綱一詣・d中 還1；…i昔綱 となる．これは（9）すなわち・⑪と等しいので右辺どうしの

       釧r1， r：，…，f．H二τ）に閲する係数比較すなわち

        一蕊）・禦 

｛，）蜘…，。）＋⊇…．ω一。

      個

       」4α（ア1，…，rη｝一β〔r1，…．rn｝＝OU≦ず、÷…＋r．く白。｝

で得られる。より詳細には個，鮒式を参照されたい自こ

れを用いて，ωの非線形撒分方程式を    によ峠知ベクトル・が定まり・結局｛8）のφωが求

       まった。その際φ ｛エ）｛1≦ ≦π）に対して，1個の任意

   φ＝ 招      ｛7〕変数が生じるので，例えば

なる線形微分方程式に変換しよう。ただし・      α｛0．＿，0）＝［1＿1］T         ｛14    φ＝〔φ1 φ・ … φ」

       とおけばよい廿

      まず，1次元エルミート多項式系1月「鵡〕i㌫。を導入す

   B＝〔bl  b1  ・・，  bn〕丁

       る。重み閲数力q2｝より

であるが，A，丑の値については逆変換が可能なよう

に適当1、齢こと1、する。又φにつ、・ては橘φ、ω  dエH・刷一｛即ト1エ¶）ヲ2pl  ・印

』1・2−・｝がH（・… …Xエ｝によりフ⊃」エ

             Ho｛エ）＝1

      け

 φ｛エ｝＝．画盈，。．。α〔rhrバ パ調〔r‥fパ㌔r・Xエ）  払（エ｝＝エーm

       ⑧ 胴一〔エーm）Lρ である。ただし，この時点では係数ベクトルαの値は   H・｛副＝（エーη卍一3（ヱー7π〕ρ 未知である。さて，φ｛エ｝の時間徹分 コ川を用いて      酬エ〕＝｛エー7π）一6（エーπ11，P＋3が

φω一響細＋…＋∂警砦｝鋼皇，ω⑨ 胴＝（エー肌）∵（こ二竺竺一謝 個

である昏なお個において，パラメータPをP＝⑪とす  を用いると

ると，

Hr（エ）＝（エー7π）「       聞

となり，φ（エ）のフーリエ級数はテーラー級数に等しく

なる。

 エルミート多項式系1∫蝋エ］臣。の次数Nを1次から5 次まで変化したときの本手法による計算値封［）と真価

白1

α1

α】

口4

m°＋P 4碑   6ピ   O  PL 90 …

2而7  2m，十6p  12mj0    24pτ      ｛〕    一一

 1  4m 3m‡十15ρ 昂mp  30Pオ …

 0      2       6η1    4m1＋28ρ   40mp   …

 0   0   3   8π1 5mユ十45P・・

エωを比較する。      田

虚＝ゴ      抽   一 を考える。〔7）において，A＝−1， B＝0とする。

      エ 

   φ（エ］＝Σ〕α．上1．（エ1      ｛19       P■o

      エ ヰコ

ただし．dφ｛エ｝厄エ＝Στα，f∫．．1（エ）のとき       「−t

1 0 0 0 0

＝ m1十P  4mP    6P1     0    ρコー・90  ・  29π十12打12十6P  12打1P    241］・     0   ・   1   47n十1  3m2十15p   ^{24π1p    30ρ「   ・}

  0  2  6m＋14m薯＋28P 肋叩 ・

φ〔エ）一撃ヱー繋｝ゴー一φ国  偉d       聞

       鋤を次数1〜5について解くと，φ（副は一意に求めら

   繋エー艶鞠合・〔エ）  倒れる・また，⑳より

      φ｛エω）＝已r「φ｛エω｝       幽 とすると

       なのでエ｛ωを与えると，φ｛エ｛引｝の値が求まる。この値      且9｛ヱ〕」∫」エ）顧エ）dエ      ＿    β・＝畑．・ωωωdエ      をφ（エ｛￡壮書く・逆変換によるエ川の近似値エωにつ       聞  いては次のように．ニュートン怯iを用いて解く。

       ハ ザコ

     己≧…白・LH・−1（エ）エ あ「・｛エ）ω｛エ）dエ      ロ甥，鵠より         ￡：Hr3（エ）ω｛エ｝dエ       w

       Σα．栂エω｝一φ〔エ川｝＝0         閤 また       「司

       なのでその繰り返し式は各1に対し

より・       酬㌍蜘一琶蠕｛1）剛工削   。。

一缶一島一〔∫1買醐1〔工蹴）＋・刷工｝     恥佐蜘

＋㎡＋・一⇒／∫：艀｛エ）ω肱剖蕊：ラ三蕊）蕊婆慧筆謂

エルミート多項式の3重積分の公式ユ己り        とした。

      真値エωは，（8〕の場合，解析的に

∫：鍋輪｝螺工｝ω（エ）dエ

      ー1

」ローが聞＋止一2s、バ  副）＝1一論     ゜噂

1・   制＋此幽又は で与えられる．

＞5、」＞5，左＞s）⑳

82       高田 等・内野英治・堀振一郎

時刻tまでの評価として，誤差の2乗の積分

」ω

川一『｛エω一≡〔・）アd・       1・−4

     一1°砦「｛エ｛．、）一品｛τ1））・刀1000  岡        ．［

を選んだ・       lr・

 重み関数の対称点mとしては，π1＝0．5を選んだ。

 図弓は，初期値がエ⑪＝0．5のときの真値エωと計

  ，。τ些レ・！

 、st／

／

図 2・蹴P＝°｛：おけるテーラー級数において・  1。−1・

初期値がそれぞれ，エ｛0｝＝0．5，0．4のときのZ−」（‡）

のグラフである。

 図一4，5は，エルミート多項式系で初期値がそれぞれ

エ（0｝＝0．5，0．4のときの，p−」｛0」〕のグラフである。    10−1ざ

 1到一6は、P＝0におけるテーラー級数において， T

＝0・1におけるエ｛°｝−」（T〕のグラフである・     。   。．。，  。．1

      図一2 」ωwhenユ｛0｝＝0．51n Taylor sen8s、

xω

0．54

o．52

2nd−order

，        」ω       1『4

拙5也一輌輌輌 ﾝ／

    4／     1r・

    ／    ／

 ・  1st−order

／

10−16

     1、r・・巴一一

／／婆蝶一

 ／    ゴ．．  5th

 〆    ，φ

〃

！ゾ

O．50      1       1  0        0．1       0，2        0        0．05      0」

 図一1Tru6 valu6加d 6v81uat白d v且1凹e8

       図一ヨ 」ωwh6n凪Ol＝0．41n Taylor 8白蘭8・

     wllgnヱ｛0）＝：0．5in T8y｝or｛｝6dO8，

貞0．1）        」（0．】）

Z    10°

』  圃

      10−4      15t−°「de「   ／

］o−8         1 u

     2nd−ord〔≧r        ＿＿＿＿一＿＿＿     

      、        10 R      3rd−order

1『1コ

  41h−−order    J

■■■・■■一■輪      10−12         、

  5th−order

ユ5t−order

       ノ

＼ −

／バ誼

    1r・ 1r・10−・10−110・♪      鴫0〕

      −4      0      4 図一4』0・1｝・臼・sus♪wh白n即｝＝°・51n   図＿6」。．1）一、詞0｝1， T、yl。， s9，i。，．

    H6mite polynomials，

」0．1｝

10 4

10−8

1『12

2nd−ord｛1r

3了d−order        、

      3．2 2変数の場合

      まず，2次元エルミート多項式系田け ，r：｝（エ牌，、，，．。

       を導入する。｛21，｛引において．π＝2とすると．

     ∠

    4     H（0・0）｛エ｝＝1

    ㌔       」仔（L⑪）〔エ）＝エ1一πIl  ・      H〔0．1）（x）＝工1一π1：

       H｛2．⑪｝〔エ］＝＝（エ、−7π1｝1−Pl l      H（L川エ）＝（エ1一π111（エ・一肥｝

ロ      ぞ 1r      H（0．2）｛エ｝＝（エ1一アn1）1−P2

       H（3，0〕｛：r〕＝〔エt−7π1）］−3（エ1一η11〕P，

       正∫（2．1H」ご｝＝1（エ −fn 1）オーP 1（エま一mま｝

       H｛1．2Xエ｝＝〔エ1一π11）1〔エΣ一？π7〕1−P」

        f｛0．3Xエ）＝（エビーm1〕，−3｛品一m3b，

       Jf〔4，0）（エ）＝＝〔エ −7n，） −6（：τ1一πhPPI十3p12        ∫∫（3．P（エ］＝1（エ、−m1）L3〔エ1−7n、）P 肛エ2−7n・1 1。一・1。一・1。一・1。一・1。1♪ @ H（2，2）ω一1｛エ1−m、戸一・、ll（エ，…・）LPll

       H｛L3｝ω＝（エ，−m1｝1（エ．−m，｝一3（エ・−7η・）P・i

図一5

F1㍑蒜。蒜式゜｝＝α41n H（・、4）（エ｝一』□［−P・1＋3・〜

       H（5、OXエHエ1−mllL10（エ1−mll P・＋15〔エ1−ml）P11

84       高田 等・内野英治・堀振一郎

 H（4，1Hエ｝＝1（品一m1｝一6｛エ1一π1部p」＋3p川｛晶一πLJ   とする。

H（3・2HエH｛エ1−m・）L3〔エrm・〕・・1｛｛エ・¶・］一P・1 ヱ1一工1−H｛仇1）＋m，

 正「（2・3X工戊＝1｛エ1−m1）富一PI ll〔エ・一π1・）±−3〔陥一m・）Pd      土3＝ε｛1＿エ1・｝エゴ＿エ、

 ff（1．㎡4 Hエ戊＝（エ1−7孔1‖1エ3−7π8｝4−6（エ1−7η11）・ρ8十3ρ〜1

      ＝ε11−｛H⑩，1Xエ）十m〜1旧（0．1〕〔エ）十m・l H（0・5Hエ）＝（エ・−m・）L1°【…m・｝エρ・＋15』肌・）ρ・

@  −IH（LO）（エ）＋mll

       随

      ＝E H（2，1〕〔エ）十E2H｛1，1｝〔エ）十E1∫∫〔2．0｝（エ｝

      十E H〔0，1）（エ｝十」E H｛1，0｝（エ）十E．∫f｛0，ω｛エ1（401  2次元エルミート多項式1fr（九rオXエ）i㌫，，．。の次数N

       ただし，

＝ア1＋ア，を1次から5次まで変化したときの本手法に

よる計算値ヱと真値エωを比較する。      E，＝＿ε

   芸一・｛1一ピ馨＋エー・    ㈱  E、一，（1一ρ1¶1・）

       E5＝一（2πい77hε十1）

を考える。β4から

       E．＝ε（1−P1一πhつm，−7π      ㈹

に：：：一輌＿［品＿悟汗国一醐・姻は

が得られるぷにおいて     ・、（エ）一∂響工1＋∂蜜ヱ・

   且七 ：2〕・一〔1］    −1ぶ。A、嚇，郷一L杣1肌1｝已1楓1

       十1 Σ  此7α ｛止 ，此・）H（左1，占2−1｝｝

とすると       R，・竃．一・

      lEIH 〔2，1｝（エ］十E1月「｛1．1）（エ）

   妾［1：：カー己：訂  ㈹ ：：：：：1：：：：：1：：：：：：：1：：：：｝

ただし       ば＝1．2）  囮   φ、国＝￡。、悟。捌。1，。、Hエ）    鱒のβ拓・・）は

     rl† ，一●

       β力

三念：∴綱  一＝∫翌iil蒜芸ご

       （ ＝1，2）   ｛43）

  砲｛エ）一∂砦）島＋∂麗…）品一一由｛エ）

       ㈱   働，㈲，㈹より

  φ培｛エ）一∂竃i三｝島＋∂砦）島一一2φ已（エ｝      ，       押

       一輌Σ吋f，．r，）H（Th r，Hエ｝＝Σβ （r、， r，｝H〔rl山輪）

となる。      「 ◆皐゜          1両 °        自4｝

              これに， エルミート多項式の三重積分の公式口を用いる

幽一誓］島＋繋｝毒へ弘・｛祠臨綱 と，各・、（角，粥係数は

      σ＝1，2）働

一

ヨ      ロ

L｛鵠

ロ，｛0．0〕

σ （LO〕

血 lo，！｝

 …

ロ （14）

α1  α7 …  C｛．田 C；1  α2 …  C；，田 C；t  α± …  C三．11

α。．1 已。．才 …  窃・．訓 αい1 C；け … α肇．訓

r「吋o、ω   ニュートン法を用いて次のように逆変換を行う。舗よ

叫｛⑪」｝ 鮮一小｛⊇

．        劔エhエ1旙 αJI，4〕   ＝

ロま「o，51

ピ

［］

Σα1（r1，r｝〕H（行，告託エhエ1｝一φt｛エ匡．ヱ1＝0

一 −1「芝−屯

  よ￡町コ｛吟、rま｝聞丁1，r調エ晦崎）一φオ1識瞥品

r・呼r1．卓

鱒

｛∫＝1．21   昏口

左辺を移項して       とおく。

C；1  C；苫 …  C；．｝1 軌10」｝

      とするとき

        ロ       ヨ

c㍍ ・c㌔‥ CLヨ・・｛1・4）      三 φ1｛8）一註 口｛麟±】脚｛王性）｝ 61］

ci、．   C；1．言  H・ C』．g1÷夢白 〔（｝、5）

      ∫は．ニュートン法の繰り返L回数で，元P〔引として，

      ぱ＝1渤 細 託一醐酎を与え，註計鱈る｛τ一側。

くi｝α f仏ω＝1とおくと，（ji｝鰺は次のようにな   また，真値エ川としては，ルンゲ・クッタ法よ句求

α・  α± 一・ α一コ，

CL＋』 C㍍  …  ^C；オ】

己1 α1＋輌…  α．☆

 ・       ■       ，  ●      ■       ＋

Ck．苫 ασ．1 …  c；o．罰

σ fL⑪1 血，｛⑪コ1

叫（2．o｝

αよ（0．5｝

Cl，÷匡 α．

α，

C；，．、

時刻1までの評魎として、誤差の2乗の積分

」ωイ1（品1・ト云〔・げ＋｛エ」・｝一三油11d・

＝1°c／「1｛エ，｛τ、｝一エ，｛。、｝聞エ，｛τ、｝一エ．｛τ麟丁∫10⑪o   よ■

      臼

      各重み関数の対称点飛，m、としてπ1、＝0．5．賄

㈲は寵から，第21行を朗除している。どの行を削除して

       ＝o．．05を還んだ。

も・縞市｝闇す縫立騰式を作ることができる・

これらの操酷｝と紬鞠期閲糖与えることを意

卲墲ﾆ盲酬訓のグラフである．誕一8は顛

味する・結馴を解臓向（MIが求まる・ @ エ、ωと雌猶緬のグラフである。

次数麟・      図一9、mは、 P1一陪一〇におけるテーラー鯉で

  ‥・のとき…（・・°｝・ ｛口｝α・（°・11  ある．初囎は，図一油・エ11⑪｝一・．5．エ，｛・〕一・．・5．

  押一肋とき・・鵡伽・｛1・°〕… ・・｛0・2｝  図一1。がエ、1。H．ILエ、（昨認としたときの

  ㌍4のとき．・諭伽・｛L⑪←… ・典4｝   図．Uは，エルミート多項式において初期値抵

  丹一5のとき．・，｛0，0〕・・（LOトー・・（05）  エ1（0｝一⑪．5．エ，｛0｝＝0．05，および図一12ξま初期値が まで考える。       ：吋0｝＝0、7．訂0｝＝・0．砺のときの．｛p，＝p、｝−」て0．1｝

 識より      のグラフである。

酬8L幽｝一酬輪識｛。）｝（H2｝嬢 図一蹴P・＝防＝°に耕るテーラー鰍におい

               て、エ，⑩1＝Tη のときの，却Ol−」｛｛工1｝のゲラフであ エ ⑩｝，エ｝io｝を与えると，φ1｛エ曇α｝．苫μ］｝が求まる。    る凸

86       高田 等・内野英治・堀振一郎

エ1ω

0．5025

o．5⑪05

」ω 10−4

      ／       1・』8

ノ  匝竺

4d、，5th−order， trUe value

10 1コ

1『16 0．4985

   0       0．05       0．1       0       0．05       0．1

図一7 Trug valu8 andθval岨led∨alues      図一9 J竹ノwh部エ1｛0｝＝：0．5and功｛0｝＝0．05       。f町｛0｝wh・・珂〔0｝＝0・5and魂｛0｝＝0・05     1． T、yl。， sθH．、．

      in Taylo「58d8s．

エメの 0．05

0．03

0．01

一〇，01

1st−order

＼

、

1『4

＼

∨＼、      1r12

咋、 ＼

3rd、4th、5th−order，      、、

m肥題』e      、、

、

、

、、       10−16

0       ・

0．05       0 ］      0      0・05      0・11 1

図＿8丁蝋，訓。a，d。，al、、t。d val、e・     図一10」ωwh。・』｛0｝＝LO・・d口｛0｝＝0・15       。fΩωwhe圓｛0）＝0．5前d範｛0〕＝0』5     1n Tayl。・8・・i…

      佃丁8ylo「8e「i68．

］ヨt−order

」（⑪．1）

 1⑪゜

』

」（o」）

  15t−order             ．

  ，。d−。，d，r 1〜    1。一・

一一一 一一一一一一一一 A、  

        、、「

  3rd−order   41h−order

       1『8

      角＝毎

       工．〔o｝

       ＿5        0         5 図＿11』0．1）v白，su8角r wh・・町（0）−0・5and   図一13」0・1｝v6・su・哩（Oll・T・yl。「seTies・

   壇｛Ol＝0．051n Hermlt●polynomla鳳

4．重み関敷mの再構成

』0．1〕

 100

        2〜3節では．最終時刻丁が小さい場合について考

      遠ざかることから誤差が急激に増加する。エがm点か        ら離れた時にmを与え直し，フーリエ展開し直す必要       がある。ここでは．一変数でP−oけ一ラー展開）・

，     およびB＝Oについて再構成法を考える。すなわち

一一一…士9竺一一一一一、、        亡∫〔エ）・       β田

  3rd■−order        、

              に対し，線形化式は

．…』虹＝2∵一一一、、         φ（エ）−Aφ（エ〕        副

5・h−。・d・・         φ〔エω）一・A φ｛エ（o）1      臼

       である。まず， 1＝0，エニm点での級数展間によ

       角＝白

     1r・ lr5 10−3 10−1 101    φ（エ）r＋α・｛エーm）＋副工一m） ＋・・｛エーηのコ

図＿12川｝，．，一一酬h・…｛・｝一・・7・・d   ＋・・｛エーml ＋・・』m〕5＋   6θ

   凪0｝＝0．051n H8rml1白P。lyn。mi日！6・

88       高田 等・内野英治・堀振一郎

とすれば、1＝T（0＜T≦T〕のとき      」ω

φ｛エ｛η｝＝e」「φ〔エ（0）｝      聞

である。このときの計算値田ε）を品と群く占すなわち      10−4

φ｛エ｛T「））＝φ｛元）       ｛58

である。次にこの王点で線形化し直す。鯛に対し線形

化式を      ］0−E

ψ（エ｝＝Aψ（エ）      15曾

と書く。エ＝王点での｛8）に対応する形式的線形化関数

を       10一ロ

ψ1エ）＝1＋β1（エー田＋β、（エー5E〕：＋β，（エー王〕1

    ＋β、（エー王ド＋β、（エー元）5＋…         （6d

1・・づ三」 ！

．z

！ ！ ・ ♂  51h−・・oヒτ

とする。本来線形化閲数φ（エ｝は定義区問上唯一に定め      0       0．5      1，0 たい。そこで少なくとも孟＝丁点で倒から定めた解と    図一14Jrμwh帥ヰ0｝＝0．521n Taylor 8e閨s，

鵠から定めた解を一致させたいφ故に時刻1＝Tの近

      値鼠目が真値訂引へ近づいていくことがわかる。また，

   醐＝φ〔輌エ）     ㈹ 初酬エ（。｝が嘔閲数の対称肋の近傍に選1訊た場

を闘の代わりに用いる。       合において，計算値の精度が良いことが確認できる。な

 図一14は，初期値エ｛Ol＝0．52で最終時間が1秒のと   お， p＝0のテーラー級数の近傍において計算値の精

きの圭一Jωのグラフである。これは，Tが0．1秒増加   度が安定していることもわかる。

することに，重み間数肌を与え直したときの結果であ

る。      書 考 文 猷

      1）末岡清市1叫紐数および直交閲数系 ，コロナ社，1957

5．結言       2〕几M㎜叩湘…A・P・兄lm・冨・・… MATEMATH−

       t1ECKH白AHA∫1H3∴Hay槌」963 ｛宮声敏雄，松野武，

 以上，非線形微分方程式に対しエルミート多項式を用    組斎由太郎訳：現代応用数学ハンドブック】・解析学1）

      3） LS． Gmd5hteyn．1． M． Pyzhik l匂Table o口ntegmls，

いて，1階偏微分方程式に変換する方法について考察し   SeH臼， and Pr［吻ct，㌦ACADEMIC PRESS．1鰯 た。これにより，非線形問題は、線形問題に帰着された。  4）洲之内治掲寺田文行．四条忠雄： FORTRANによる

そ蠣噸と2変数の場合において，さらに具体的 ㍑欝r；嚇蒜㌶、ll；『．綱立端列の

な構成法と例題による数値実験も行った。それによると，   導入による連立線形微分方程式への変換 ，九州工業大学研 考慮するエルミ・一ト多項式の次数の増加とともに，計算   究報告第35号・1977