九州工業大学研究報告（工学）No．43 1981年9月 85
超関数列による非線形システムの
形式的線形化法
（昭和56年5月27日 原稿受付）
情報工学教室高田等
Formal Linearization of Nonlinear Systems by a Sequence of Distributions
・ by Hitoshi TAKATA
Ab8tract
拓this paper， a formaBinearization meth◎d f◎r n◎n面ear systems is considered in a case that linearly independent functions are distributions or generali宴ed functions in the sense of Schwartz． A given nonlinear system with an infinitely differentiable function is transformed into af◎m】al linear SyStem by i寵◎dUCing a Se餌enCe O品iStribUti◎nS． ESpecia自y， the f◇治al撫ear system is illustratively derived from the Rademacher functions which are simple distributions、
Simulation results by computer show that the formal linearization method is useful up to dls・
tr輌but輌ons．
1．序 論 が与えられたとしよう。ここで・＝4／4τ，κεR，1〜は1 非線形システムは，線形独立関数列を導入することに 次元実ユークリッド空間・およびヌ：R→R はパこ関
より形式的線形システムへ変換される。従来，線形独立 するC°°関数とする。
関数列としては，多項式列や三角関数列のように微分可 区間〔α・b〕⊂Rで定義され・重み関数W（κ）≧0に 能な関数列についてのみ考察されてきた；）刷 対し
そこで本稿では・線形独立関捌として纈数 ‖が選 ∬φ鋤醐・・4・ニ・（ キ∫）
ばれた場合のフーリェ展開を基にした形式的線形化法に
ついて糠した。これにより通常の微分力・できない不連 なる猷条件を齪する線形独立な超関数列
続点を含む関数なども，超関数微分としては微分可能で ｛φ゜（κ），φ1（κ），φ2（κ）， … ，φM幻，……｝
あり・形式的線形化ができる。さらに線形独立関数列と を導入する。ただし本稿を通してφ。（紛＝1とする。なお して不連続点を有するRademacher直交関数系の場合 本稿における超関数はSchwa1匂によるものである。・）−6）
について・具体的な形式的線形化を行なった。Walshや すなわち，コンパクトな台をもつC°・級実数値関数の Haar直交関数系についても同様に形式的線形化が可能 全体をのとする。ので定義された実数値線形汎関数τを・
である。最後に数値実験により，超関数にまで拡張され 超関数と呼び，その全体をの で表わす。よってめの共役 た形武的線形化法の有効性を確認した。 空間が超関数の全体め である。また？ ε紗・，φεのに対し 内積を7 ｛φ），例えばg（y）が可積分関数のとき 2．超関数列による形式的線形化
実軸上のある区間秘⊂雌義されたつぎの辮形 τ〈￠）全《1・四｛助（τと9を同一視）
微分方程式 とする。このとき
Xω＝∫（ズω） κωε〃⊂R ｛1） ・・4τ／吻：P−→−T｛〆）
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として定まる汎関数4T／4yが7 の導関数である。つぎに 才における超関数z（のの微分方程式
線形独立な超関数列｛T ：行N｝とは，任意の有限個の 4zぱ）／4，＝、4z（力＋δ zぱ。）＝φ（κ（ o））ε牙 （7）
｛T ｝の線形結合
と考える。以後（7）を（1）に対する 形式的線形システム 翠4 Tゴ（￠）ニ0 と呼ぼう。
を構成したとき，あらゆるφεのに対しすべての係数砺 （7）においてNが有限次Nで打ち切られた場合について が零のときのみ等号が成立することを意味する。 考える。Aが に関しC°°級の行列で，しかもbが に関 さてここでφ・（x（の）（γ＝1，2，3，……）に対する運 し連続なベクトルのときには，方程式（7）は普通の解しか 動方程式を求めよう。ただしφ・（κ（∫））はκに関する超関 もたない（文献〔4〕，PP122参照）。従って、4， bが定数の 数φ・（κ）にκ＝κ（力を代入したかに関する超関数φ・ぽぱ）） ときには普通の線形微分方程式として取り扱うことがで
＝φ。。κぱ）である。（1）よりκぱ）のκ階微分は定数係数 きる。
α（γ1…，γ・）を用いて っぎに超関数列｛φメκ）：γε2V｝としてRademacher直
禦＝認．。α・九一・ 交関数系㎝が選ばれた場合につい壕しよう・
・（♂帯 D）晦（♂幕 ）））η×…・（∫… ・））ぴ ＆M・m・・h・・関数系1・よる形式的線形化
（2） 線形独立な超関数列として，つぎの拡張されたR。d，macher として記述される。∫はκに関しC°°しかもκ（ ）は（1）の微
関数系を考える。
分方程式の解だから に関し連続である。よって（2）の右
｛φ〆κ）｝は区間〔初一ρ／2，〃2＋ρ／2〕⊂R（〃托1〜，ρ＞0）
辺が に関し連続である・これはすべての・について成 上で麟され漣み徽力w，。ド1の直交関数系であ 立するので・・ωは に関しc°°関数である・従って参考 り洛φ㈱の中心肋で高さは1とする．すなわち 文献〔6〕（pp777）より，超関数φ〃＝1，2，3，…）に
対しつぎの合成関数の微分 φ゜（x）ニ1 2一ρ／2＜κ＜幼＋ρ／2
⑳醤・ ・・＝4鵠・撃4砦ii・）ル倒（3） 如・＝｛一㍑；1ζ蕊
遷㌶・／一を｛φ砲）：刷に関しフ卿二｛一㍑：驚：二雛認1
ロ
＿㌫蕊㌶∵）㎞＝ピ：：濃1二蕊： 侶）
4κ （5） （〃＝1・2，3・…，2〃−1）
となる．ベクトル表示で ただし綱＝勿一ρ／2＋（仁1）躍
である。Fig．1はこの概略図を示す。
眺剛4且φ（・・ ・）＋δ（φ（燗））（6） ここで｛φ、。）：，副の鋤方程式を求める．このた
ただし めκに関する微分を計算すれば
φニ〔φ1，φ・，……，φ・，……〕τ 4φ燗悟＝誉1λ、、ωδ、、m（。）＋｛4φ。㈲／剃 ＝1
、4＝ α11 6！12 ．°・．・・ α1／V ・…@ ．．
α21 α22 ◆・・．．． α2ハr ．．．．・．
αノV1 α1V 2 ‥ α〜V〃
ただし
λ、1（，）＝編一ρ／2＝1，λ8、，．，ω＝λ沈＋ρ／2＝1
λ8 （r｝＝2（−1） ｝1 （ゴ＝2，3， ・・・… ，2「）
となる9）ここでδ、、ω（κ）はκ＝s （γ）点以外はδ、、ω（幻＝
b＝〔α10， α20， ，αNO， 〕7 0であり，しかも任意の可積分関数g（・）に対し
である．φ，・、の値域を包含する線形空間才を齢し（6）を ∫1δ・、綱9・鋤＝・（w・）
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を満たすDiracのδ関数である。また｛4φア（x）／4κ｝は， を
φ，（κ）の不連続点以外における普通の意味の導関数であり， 司r）＝〔sgn z1（ ）， sgn z2（ ），……， sgn z，（ ），…〕T
ここでは とする。ξ（の＝φ（ξ）を満たす点ξεRでもってκ（力の ｛4φ，（κ）／4κ｝＝0 解苅力＝ξと定める。なおz（のが有限次ベクトル である。従って（3）より z（の＝〔z1ぱ）， z2（r）， …， ZN（∫）〕T
4禦＝4鵠）蜘・ ㌶叉）諜驚㌶當欝間幅で存
ア ユ
＝Σλ・・ωδ・・《・）（κ（『））ノ〔（ズ（ ）） 鋤＝ξ （12）
となる・ここで右辺をフーリェ展開しベクトル表示すれ で綱の近似解と定める．このときの誤差限界はρ／2・＋1で ある。ば㈲より
4φぽぱ））／直＝・4φ（κ（∫））＋b （9） 次に具体例により数値実験を行なう。
である。ただしAとbの各要素は（5）よりγ＝1，2，3，
…，η＝0，1，2，3，……に対し ，
鋤一閨F2竃1λ嚇綱∫・・綱此／∬ll2φ1ぽ・血 m−，／2 m
＝去竃碗霊2δ・祠・・卿血 偽（功
である。∫（κ）は連続であり，φ。（κ）の絶対値は一定値であ る。故にφ。（κ）の符号が変化する点においては，∫（κ）φ。（幻
にδ関数を乗じた積分値は零である。よって
・m＝†（∫（勿一そ）一ノ（解＋そ）） 残（カ
＋隠（−1）←1∫M））伽（・・m） oo
コ コ
となる．特に，≦㍊蕊（ ）） い
1 肉ω
m−P／2 m 全 m＋P／2
偽ω
φ2ω
鋤一（∫（沈一÷）一∫（吻＋号））／ρ
となり，行列Aの右上三角行列の要素がすべて同じ値と φ《X
なる．
初期値φαげ。Dはx＝xぱ。）の値を代入したときのγ次 要素φ潮ぱ。Dの値が1，または一1なるベクトルである。
なおφ，ぽぱ。））が不連続点ならばφ，（κ（r。D＝0とおく。
こうしてφ（・｝の値域を包含する線形空間才上での形式 F1苦1 Rademacher関数系 的線形システム
蜘〃，一脚）＋b。（ 。）ニφ（鋤）げ OD 4・例題
が⑩より合成された。 システムが
ここで逆に，（1Dの微分方程式の解 X＝κ・ κ（0）ε1〜 03）
z（r）＝〔z1（ ）， z2α），……， gN（ ），…〕τ で記述される場合において，前節のRademacher関数系 からκぱ）を求める方法について考える。各要素が琢 ） を用いて形式的線形化を行なう。
（γ；1，2，3，…）の符号と一致し絶対値が1のベクトル このときOD式∂z（ ）／ゴ ニ、4z（r）＋bの，係数行列
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・4＝〔αrη〕のγ×η要素は
5．結 言 αrカ＝−2勿 （γ≦κ）
＝0 （γ〉κ） 以上我々は超関数の形式的線形化法について考察し で，係数ベクトル6＝〔α70〕のγ要素は た。特に超関数列としてRademache「直交関数系が選ば れた場合の具体的な導出を行ない，さらに数値実験を行
鋤＝カ／2夕 なった．これにより形式的線形化法が，瀦の微分がで である・ きない関数に対しても超関数微分を用、、れば有効である
κ（0）＝0・53・ z＝0・5・ρ＝1・0のときのz（ ・）は ことがわかった。本稿では，与えられたシステムがC・・実 z（ ・）＝〔−1，1，1，1，1，−1，−1，−1，−1，1，…〕丁 数値関数の場合にのみ考察されているので，多次元のよ である。Figs、2〜3は考慮するRademacher関数系｛φ。（κ）〜 り一般的なシステムへの拡張などについては，今後の研
φMκ）｝の次数NをN＝1〜10まで変化したときの，ωと 究にまちたい。
02）式により求めた近似値政∫）の軌跡である。なお比較の 本論文は不連続非線形問題を取り扱う場合の，一指針 ため微分方程式03）の解κ（r）の軌跡も図示する。これらの を与えるであろう。 ・
結果により，本手法の有効性が認められた。
1．1
1．0
0．9
0．8
0．7
0．6
0．5
参考文献
1）H・Takata： Transformation of a Nonlinear System into
真値 an Augmented Linear System ， IEEE Trans． on Auto．
matic Control， VoL AC−24， No．5，1979．
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N−、三旦 形オブザーバ ，計測自酬御学会論文集，15巻，4号，197乳
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＿一〒2」． ・）洲之内・・関撒入門〃，サイエン枇1975
』三旦．1＿＿．＿． 6）日本数学会編集： 岩波数学辞典〃，第2版，岩波書店，196＆
一一一一一一『一一一一」
@ 7）LALyusternik and A． R． Yanpor skii： Mathematical Time（S） Analysis ， Translated by D． E． Brown， Pergamon Press，1965．0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0
Fig．2 N＝1〜5次の近似値噸わと真値κ（ ）
舌．1
−… 茶9 真値
1・0 −一一一N＝8 −一一Nニ9
0．9 ・…一 一N＝10 r＿．．．．＿
川
o．8 川i
0・7 il
・㊤
0．5
0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0
Fi苦3．N＝6〜10次の近似値取z）と真値ぷ ）
