電気工学教室高田茂夫An　Observer　Gain　of　Kalman　Filter　Type　in　the　Linear

九州工業大学研究報告（工学）No。31 1975年9月      85

離散形線形時変形系の線形オブザーバに対する    カルマンフィルタ形オブザーバゲイン

（昭和50年5月17日 原稿受理）

情報工学教室 高  田    等

第2部電気工学教室上田隆三

電気工学教室高田茂夫

An Observer Gain of Kalman Filter Type in the Linear  Observer for Discrete Linear T㎞e−Varying Systems

by Hitoshi TAKATA   Ryuzo UEDA   Shigeo TAKATA

  In this paper， a new observer gain o∫the linear obserΨer is introduced and the convergenoe of estimation by using it is proved 「or discrete］inear time−varying systems．

  The obserΨer gain is quite similar in structure as the Kalman−mter gain and is evaluated by the same sequential proceduエe． But the matrices in this gain oorエεsponding to both coΨari−

an￠es of a priori and observ〔Ition noise in the I｛alman一丘lter gai皿are only considered as any symmetric−positive−de丘nite matrices， into whioh all degrees of freedom o口he observer gain are concentrated． If every fund証mental matrix of plant is丘nite and the con面tion of completely observable in any iロterval is satis丘ed as many as in加ite nllmber， the estimates of state by using†his observer gain asymptotically converge to the true state values． This gain is free from troubles such as i11−condition of computation， whicll occasiona11y apPears in caloulation of the optimal−observer−gain， and is quite equivalent to the oP亡三ma1−observer−gain wlle口 the matrix corresponding to the observation noise covarianoe is zero．

      対する遷移行列の固有苗を任意に指定した後，オゴザー

1・序 論       パゲインを求めようとするとき1、｛ま，力学系が欲元時

 線形系の状態推定法として．Kalmanは確率系に対す  変系においては辿立が次方程式を解かねばならず，高 るカルマンフィルタDを胡成した。この封［定法において   次の系になるにつれ，計算時閥の多くをゲイン決定のた は・状態推定値は状態予測置とイノベーション（観測予   めに迎さねばならなかった。そこでTse3）らは，確定 測誤差）の線形結合からなり，そのイノベーションにか   系を付加雑音のない確皐系とみなして，これにカルマン かる重み，すなわちフィルタゲインはオフラインで一意   推定法を適用した。こうして得られたオブザーバゲイン 的に決定されるものであった。      は，カルマンフィルタゲインと同様に逐次的に一意的に  一方，Luenb訂ge声は確定系に対し線形オプザーバ  定められるものであり，磁率系とみなした場合の2乗平 を捕成した。本推定法も線形系に対するものであるゆ   均誤差最小の意昧から 最適オプザーバゲィン・，と名付

㌔その状態推定値はカルマンフィルタの場合と同様   けられた。しかし最適オプザーバゲインの計算の際に に・状態予測値とイノベーションの線形結合として構成   は，観測行列が最大階数（Maximum rank）でなけれ された。しかしモのオブザーバゲインは任意に選定でき   ば必要な逆行列計算ができないとか，あるいは推定が進 るものである。従ってオブザーパゲィン決定に際して   んでいって，砿率系の状態予測共分散行列に対応する行 は・自由度が大きいという特長があると同時に，逆に一   列の行列式が極めて小さくなったときには，計算機の悪 意的忙は定まらないという問題があった。すなわち，状   条件（mcondition）に落ち入り易い欠点があった。

n§他と状態推定値の差である状態推定誤差の，遷移式に    そこで本稿において我々は，観測付加雑音が混在する

場合のカルマンフィルタゲインと全く同じ形の繰り返し   なる（L（ 十1）−LG））・ ηXn行列の万L（川，に対し 式ゲインでもって，線形時変形離散形確定系のオプザー   rank17川＋1）＝ 1，が満足される。

バゲインとする新しいゲイン決定法について考察した。   〔仮一2〕

この際 カルマンフィルタの先験共分散行列と観測雑音    各f（r＝ユ，2，3，…）に対し基本行列のノルムが有界で 共分倣行列は，本オブザーパにおいてはともに，単なる   ある。すなわち

オプザーバゲィン瀧の馳舳度韻糸勺したものとし 11φ、。＿1巴1／・＿（φ・＿、輸，。D≦M＜．，

て，正定値対称行列の内から任意に選ばれる。特に，雑

剛散行列嚇する行列が正定働jの内から選ばなる正の定数榔鮒る．  （5）

れることにより・酬行列が駄麟でなくても逆行列 なお禰を通じてカレムはつぎのように麟され

が計算でき・しかも計算機の悪条イ牛が決して生じないよ る・・。

うになり O適オプザーバゲインにおける問題が解決さ （i）ベクトルXlこ対しては脚一〆爾．

の条件を満足し，かつ力学系の遷移基本行列がすべて有     ルゴ11ニ〆㌔・・C4「∫D・         （6）

界であるときには，本カルマンフィルタ形オプザーパゲ   この際特に，」が対称行列であれば，（6）式は・4の最 インが用いられる限り，その推定値は必ず真の状態値に   大固有値の絶対値

漸近収束するものである。       1レ411＝iよm、。（功1       （7）

 2、問題の設定       となる。これらのノルムにおいては

つぎの線形差分方融によって記述される聯∬踏形  ll醐≦1剛剛     （8）

確定系      が満足される。

  力学系  燕＋1＝、むx膏         （1）    また・以下・行列Cに対してC＞0は・Cが正定1『i

  鋼系y．＿識．    （2） 対称行列であることを示す・

      さて，（1），（2）式に対する次元ηのオプザーバ

につ てｱする・ただし・エ・：醜元雌ベクトル・ （Id。n・i・y・b、e．v。。） ま

ハ：用次兀観測ベクトル，苦1ηXπ行列で逆行列Fド1    A    A      ＾

が存在する，・甘止：mXπ行列で一般にその階数は， rank    欺＝ F兀一1工胴十Xκ（yκ一Hκ・Fκ．再．1）  （9）

Hよ≦用≦πとする。な：お基本行列（Fundamental ma一  で定義される。ここではオブザーパゲィンκκとして，

tri荒）1｝と呼ばれる正則行列は      オフラインで逐次計算可能な次の形のカルマンフィルタ   旺占，り会17止．1、鳳．2…Ff      形ゲインを提案する。

と定義され      κκ＝ρκH紅1丘ρ冗H1十Cの一1     （10）

  φσ，D＝1（単位行列），φ（f，ノ）＝φ一1（」，り，      ただし

  φ（f・5） φ（切＝φ（輌 ノ）      （3）    ロ。＝F。．1P。．1F語．1       （1］）

なる関係がある。      pκ＝（T一κ瓦Hκ）口κ         （ユ2）

（1）・（2）式の系｛こは つぎの甑力蹴されると仮  P。、剛κ＿・｛．お、ナる先験値で，正定㈱締

定する・      列の範囲で任意唖べる行列

〔仮一ユコ      c。、酬κ（κ＝・，2，＿）1、おいてほ定欄称

 無限個の区聞 ［1，L（1）］， ［L（1）十1♪L（2）】，・…一

              行列の範囲で任意に選べる変数行列。

［．Lσ）＋1・L（f＋1）L‥°｛こ劇て完全可酬性の条伶 （10）．（12）式と逆行 II公式（lnv。，、i。。1。mm、）より

       乃㌦川＋l

       HLf ）杜φζE（f｝＋2．Lr白＋1）

  王「L【 ・1｝＝H醐．3φ（L［闇．醐．、，

．       、正f聞→1）φ【L［ ＋1LL亡 ，＋1ハ

       P言1＝ρ元1÷∫ゴjFC元1」げκ       （13）

（4）   である・よってPo＞0と（1ユ）式より（〜1＞0・さらに乙      れとq＞0および（13）式よりP1＞0となり以後同様      にして，すべてのX（κ＝1．2，3，…）に対して

87

   Pκ＞0，0κ＞0       （14）

である。

      れ

 以下，本カルマンフィルタ形ゲインを用いれば，推定値叛は其値工κに漸近収束することを証明する。

3，推定誤差の大小関係 時刻κにおける推定誤差として          

   εκ＝二工κ一工κ       （15）

を定義すれば，（1）と（7）式より

   eκ＝（∬一κκ1∫κ）、F」f＿1εκ＿1       （15 ）

なるε天の遷移式が得・られる。さてここで，重みつき誤差ノルム葭昔1転を導入し（15）式を代入すれば

   ε1P正】θκ＝e歪＿1F1＿1（∫一κπ・Hκ）TP元1（1一κ五正∫五）Fκ一1已κ一1 となる。

 右辺に（工2）式を代入し，さらに（10）式を考慮すれば

   θIP三1召x＝ε1−1FI−1（r一κκHπ）丁口量IFκ一1eκ一1

    ＝81＿lF甚一1［ρ云1−H再（Hπ《2κHI十Cπ）−1Hκ］Fκ一18X−1     ＝ε歪＿1F1＿1口孟1Fκ一1eκ一1

     −el＿1F1−1H「1（H正9五∫ノ1十cκ）−1HFFκ一1eκ一1 となる。よって（ユ1）式より

   e1P正1εκ＝β1−1P己1e五一1

     一ε芸一1」FI．1HIα」κ（〜κ1躍十Cκ）一り」κ・F五一1e五．1      （16）

である。つぎに口6）式においてκ＝κ一1とおけぱ

   畷＿1、P正と1eκ＿1＝ε1＿2P元』eκ＿2

     −・輪F歪．ぷ一、（Hκ．10κ．、班．1十cκ．・）−1H・−1F・一…一・         （17）

となる。以下（16）式に対し，κ＝κ一2，κ＝」ζ一3，…，瓦＝S十ユとおき同描な結果を得る・最後の」（＝S十1の

ときは

   可＋1P三↓エε5H＝εyp三ユεA

     一可1璽碍．1（正15．ρs、1H∫．1＋C5．1）−IH訓F5召s      （18）

である。時刻∫十1からκまでの関係式（16）〜（18）をそれぞれ辺々加えれば

   畷P壼1e冗：＝鱈P三1ε5

     −●『F玉正f日＋、（丹s，、口聞．H竃．1＋C5＋1）一りfs刊」FSe∫

     −e『＋1F『＋1正f撫（H■ρエ．｛21」弘十C5＋2）−1亙5＋2」㌔＋1ε5刊

      …

     ＿。1．1」町．1Hπ（∬fκ口κH正十C苦）−W。F。．1・。一・      （19）

となる。ここで

   言、全（F、．1＿F、12F、、1）−1・  （κ一1≧∫≧s＋2）      （20）

   ；5．1会己s．1， 三5全Fsεs       （21）

   δ，皇（Hf口 H『十q）    （κ≧輌≧S十1）      （22）

を定義すれば，（19）式はつぎのように変形される。

   e正P斥1εκ二可」P三1e・

      コ

     ー（Fses）THLlc訂1Hs＋1（Fse5）

 一（e5＋1）〒（Hs＋2馬刊）Tq討2（正「￡口Fs＋1）（εs÷1）

 一（F誌ε玉＋2）τ（疏＋コFS＋21『s÷1）アC詔ユ（Hs＋3」㌔＋2F』刊）（瑠1εs招）

 …

 一（∫㌃』1・F暴ゴ・・」㌃112ε亙＿1）丁（HκFx＿1Fκ＿2…Fs口F5刊）TC元1

 ×（HκFκ一1Fκ一2…F5＋2F5ヰ1）（鼎1摺2…葭12e五一1）      （23）

＝eζP三1召5

 −e1」ゴL］C晶苗＋1松5

 一ε『＋1（醒、2、F5、1）アC誌（1守』2Fs，1）εs、1  −e∫＋2（基＋3」巳＋ユF』＋1）T（㌃七（H5日Fs÷2」㌔＋1）e5＋2  …

 一εヌF＿←1（∫if民」Fπ一1Fκ・＿2… ノ7s＋2F5÷1）TC元il（汀瓦」F五＿1」F」r◆＿2… ノ『』ヰコ」F5斗1）直κ＿1      （24）

＝e∫P三1e5

 −［可，礁1，ε『＋2，…，εL！］

×

一隠輪麺⊆） ・階  悶）

    °        αrπ、F：−1＿F5＋1）〒c正・（〃FF日…1㌔、1）  え＿1」．

従って（κ一5加π次元ベクトル

    e1＿s≦≧ ［β否， e∫＋1，一・，ε工＿1］       （26）

をさらに定義すれば（25）式は

   召歪」Pえ1επ＝ε1』㌃1ε5 一召F．5

Hs＋1

晶「5口F5刊

…

H五Fκ＿1…Fs＋1

偲止    ・

  ＿   O

  c識

    ・ 右

 o   

     C元1

^{H瓦Fκ…」F5刊」}

と表現される。

 さてここでκ＝LG十ユ），5＝L（りとおけば（27）式は

   e￡ζ∫＋uP三｛」＋1］e川＋1）＝ε工出P三1∫）εLf」）

   一｛ヨ王（ ＋1，＿Lr∫〕遅1 ＋1）S口＋D』孔（オ＋ne郎＋1，−L｛1］      （28）

 ただし

     c：｝，閣

       〜     O       c三』＋2

SL r＋1，＝

         ．^■．

     0     −       c三1刷

（29）

となる。（22）式よりC∫＝（・防（〜」・甘『十C∫）であるので，すべてのC」（ノ＝五（り十1，…，L在十1））を正定値対称行列に

をもっているので，HI（」＋1， S甜＋1｝πL ∫＋1）も正定値対称行列となって（28）式から

    el ＋ P昂 ＋1，8L ＋1）〈ε五 ｝Pzl、）εL（，）       （30）

が得られる。従って（4）式の各区間ごとの完全可観測性の条件より

    ε『P『］eo＞召τu）P三h）εL｛1｝〉…〉β五｛∫］P三｛ ｝6Lω＞e］：｛∫刊）P註，＋1）εL｛，＋1）〉…      （31）

である。

89

4．jp三1∫．1｝〉α∬なる正定数αの存在

（1め式の正定値対称行列Pκが，さらに関係式

   P三〜 ｝〉α」   （∫＝二1・2・3・…）       （32）

を満足するような時刻に無関係の正定数αが存在することを証明する。

（13）式に（11）式を代入して

   P三1＝＝口三1十」子RC蒜1月「κ＝＝F亙工I P斥11∫「ξ11十1f正Cj…1∫ゴκ      （33）

である。（33）式でκ＝κ一1とおいた式を（33）式のP亙当に代入して

   P言1＝壕ご1（1㌃三2・P三㌔F詳2十Hξ一1C元11Hκ一1）F正11十∫flC云1∫右

となる。以下同様に（33）式においてκ＝κ一2，κ一3，…とおき，モの都度右辺のP量13，P誌，P赴、1…に代入 し，κ＝5十1まで繰り返せぱ

   P三1＝（F元工】F膏Zコ…F三「）P三】（F三1…F丘1：古11）

     十（J『≡ご1F正τ2・ ・F三τ1 y∫∫＋1C晶Hs。1（尋1…F云12∫ご言L1）

     ÷（」㌃工IF君2…育『1）」F蚤1月「『＋：C記JJ5．言ノ〔ぷ1（F三』1…F斥⊥2F忌1）

     ÷（葭ごIF三ごo…F三τ1）F『＋1…FL己f1−lc元1】∫ゴ冗一1烏一ゴ・・F∫．1（」町」1…F斤⊥2F元L］）

     −F（」丁弄三 1・F『＿ゴ・・F三工）・F「㌫ゴ・・Fl『＿1正∫‡（：i」HκFR＿1… 」F5．．1（、F三享1・・㌔F昆12F云11）      （34）

となる。一方（3）式より

   （癬11冒2…」㍗1±F斎11）ニ（Fπ一1F五一2…F∫ほ再＋1）−1＝卓訣、s川

     ＝φ15＋L酌      （35）

であるので，（34）式は

     ＋φ当㌫、］㌦・ ㌫、φ⌒  ㈹

      」…烏」！n㌔・c遮恥．恥．

と記述される。

 さて，ここでκ＝L（f十ユ），S＝Lσ）とおけば（36）式は

   P三』，1｝：＝（戸〔L｛∫LL｛ 」，1））P三｛ηφfL｛rLLI ⊥1，）

     十φ『：L r］＋1．Lf∫＋1，｝且τ（，＋nJ．L｛r＋1）1rLf，→1）⇔tLf，）＋1．L 」＋D）       （37）

 ただし

一一

となる。C」（ゴ＝エロ）十1，…， Lσ十1））を正定値対称行列に選べば』．訓＋1，も正定値対称行列となる。（4）式より

儘対称行列となる。またκ＝L（f），∫＝＝」L（∫−1）とおけば（36）式は

   P三in＝φ↑1正H−1）．聞）｝P三lf−11φ L（H）．L川）

     十φT L ，．1｝＋1．L［m∬τ｛1｝』山 〕五r抽）φ｛L オー1）＋1．L（m       （39）

となり，以下同様にしてκ＝L臼），5＝0のときの

    Pzi1】＝φ』〔川Pr1φ（・．L白））十疏川）昭｛1，JLu已L（1〕φ。，Lun       （40）

まで導出する。これらの結果（（39）〜（如）式）を逐次（37）式の右辺に代入すれば

    P三｛ ＋D＝φτL｛，｝．E｛州1｝（φτL［H）．L｛ ）｝P記一1］向加一1｝．加｝〕

        十φτLrr−1｝＋LL｛，）戊已τ（∫｝五L｛∫》∬聞｝φ〔L｛，−1柱1．L｛ ）））φr￡〔 ユ．L［∫相）

        ÷⇔『L田＋LL｛，刊 H『【∫÷1］JL｛∫＋D且L 」＋1｝φfLI」HLμ∫弓1）｝

       ＝φ『三∫‥1｝．L｛，→n）P￡｝H｝φ［聞一1）．L｛∫＋11｝

        十φ五［」−1〕H，五｛∫＋Dl亙τ｛f｝JL（∫」百且ω向L（H）＋1．L〔，＋川

       ＝φ瓦．L（，・D｝P計φlo．L（，＋］］）

         べ

        ÷頚］φτL・」・†LLf・＋1｝）∬1』U÷11五L〔」＋1）」rL｛」H）φ｛L【」｝〒1．Lf 弓1］・      （41）

となり・（41）式右辺第2項が正定仙対称行列であるこ  存在し，（32）式の

とから・文献4）（P・U5）によって     Pτし＋。〉α・     （5、）

  λ…（P三｛国）〉λ珈（φじ・一凋φ・・．一・・）  が齪された。

      （42）

である。ただし知。（・）は行列の最小固有倣を示す。    5・推定誤差ノルムの漸近収束

 一方 （3）式の関係       （31）式から，0≦ρ」≦ρ＜1なる正数β （∫＝0．1，2，…）

  φ冨L出iη＝φ「1伯1川、），φ品L，，、川＝φIL（川Lo）    に対し

      ゴより      eτ｛∫÷1）Pτ七＋1｝βL f可1）≦≦刀rρ」εi「、P『1ε0

      ∫口o

  φ輻．印刊），P『1φ《D．加÷川＝［φf川川．o， Po疏【旧）．o｝］−1   となり，また（5］）式から

であ晒（42）式右辺1ま  ㈹ ・1，、曲＿〈露1．。輪・＿）

  細。（縞．L｛，＋u｝Pr1φ o．Lr ＋1｝D＝       となるので，（42），（43）式から

となる．なぶ㌫㌶霧i㌫ごそ 編一磁峨㌦

の固有値が零を含まないこと，および対称行列であるこ   である。すなわち

とより・（44）式に対して付録および（7）式が適用でき    εlf 川e聞．1｝一＞D 口＿．。。）

  λm1・（［φ（L｛用｝・o）Poφ琵｛川）・。｝丁ユ）       となり推定誤差ノルムが零に漸近収束する。換言すれば

   ＝1ノλ…（φf己個」．。〕P。疏｛川）．。｝）    推定値釦ま状麟脂。踊近収束する。

   ＝・ユ／llφ｛加÷1｝．o，Poφ五ば↓n．n〕ll      （46）

となる。さらに（6）〜（8）式の関係より  

  」川φ（L（」．」，．。，P。φτL ＋1］．白Jl≧1／llφr川＋、｝．oハll21｜P。ll     以上我々は線形時変形確定系に対して，カルマンプイ

   ＝ユ川φ L∫国L。〕ll2・λm、（Po）      ルタ形ゲインを提案し，それが推定値を真｛直に漸近収束    ＝口川φ 聞＋1Lo川2ユ・』剛n（」P♂）     （47）    させうることを証明した。これによりゲイン決定のため

  ・曲（P三｛ゴ．1｝）〉〔ユ／llφ一・，潮llり・・訓・㈹   ㌶：二㌫：芸；：㌫麟㌶；：：

   ≧楡・1・㈹    働 パ・㌔2次近似法オプザー、品るいはモの他の形式的に

震㌻は正定値対称行列 が糎定数で瓢㌘鷲；：≧漂鷲

      決定法の特長が十分に発揮されるものと思われる。

  （ユ ） λ・・（Pr1）＝α〉°   （5・）  最後1・本撤に肌，終始御指導および御雛頂・・た なる時刻L口）（∫＝ユ，2，3，…）｛ご依存しない正数αが   本学の上杉利種教授に深甚の謝意を表します。

9］

        参考文献      〈付  

録＞

D 坂和：故週システム制御歯；コロナ社（1972）    行列Aに対し 2） D．GLuenberger：Determining th已State of

・Li・ea・Sy・t・m witl10b…ve・・⑪r L。w Dy一  よ…（のニ1／λ・・（・1−1）

：蒜謬；63；h D』isse「tat °nl Stanf°「dである・ただしすべての固餉一い（・キ・）とす

3）E、T． T・e＆M． A・h。。、、・，，im。I Mi。im。1． る・

 ordeエObserver−Estimators for Discrete Linear   〔証明〕 ベクトルエに対して

霊ご漂鑑．1霊．蕊：；；蹴 一・㈱

4）R．Bellman：Introduction to Matrlx Anal．  である。よって

ysis；McGエaw−Hil1 B。。k C・・1…（196・）   ・一』−1（λ・）＝λ（。卜1．）

5）入江1線形数学W，共立出版（1969）

の 高田，他：非線形離散形系に対する拡張線形オブ   すなわち

 ザーパー；九州工大研究報告（工学）．iπ30号， PP．    」一巴＝（1／λ）よ

7）高田，他：線形化可能な非線形系と2次近似法オ   となる。従ってノト1の固有価は」の固有値の逆数であ  ブザーパー；昭和50年電気学会全国大会講油■文   る。ゆえに」の最大固有値は月一1の最小固有値に等し

集・1469・PP・1954／1955（1975）     い。