九州工業天学研究報告（工学）Noほ7ユ973年6月 65
状態制限付線形離散値系の最適制御
（昭和48年．5月7ロ原稿受理）
電気工学教室伊藤輝生
電気工学教室大学薩 広 渡 勝 一・
Optimum Control of Discrete Linear Syst已m8 with States Constエain巳d
By Teruo Itoh
Ma5akazu HIROWATARI
In this paper， the method is introduced， which鈍lve呂士he optimal control pfoU豊・
ms of discrete linear syst色lns with states con＄tra垣ed by usmg th色dlna面亡pro8‡a・
mmhlg method and the gradi印t proje巳tlon method by Ro呂曲，工且，
1．まえがき って述ヰら批嚇性醜識「醐制働；行な
われているとすればその途中のどの慮から最蕎点 最適制御問題とは一般に言って，ある制限…条件 までの区間をとっても，そこで］磁商とな弓ていな のもとで与えられた評価を最小，あるし・は最大に ければならない」に根拠をおいτい島図］のよ する問題となる。この問題の解法としては多くの うな多段遜程を考える。
方法が開発されているが，大別すると線形計画法
欝繁撚㌶簾㌶璽麸籔 哩蕊・‡iL典鯉蕊鷲魏藩即
る・非締緬においては現在・多方面からの研 繊1蜘融罐P．、，囎、
究が行なわれている。一方，制限の付かない極値悶
題の解法としては共役ペクトルを使用したFI就一 さらに
cher−POWd1法やFletcher−Reeve5法寄，種々 酷］兎態変数，駆螺作変数 の方法が提出されており各分野において良好な数 」「。（嬉均：π段のみの評価 値解の例を与えている母また，制限条件のある極 五（＃男H段以後の全評価
値闘題の場合には罰関数法（Fiacεo−McC口rmi・ τ（エ 晦：雛態雇グトルの斑移爾数
￡k，Zangwi11）やRo艶且の傾斜射拓法やその と定義することにして今初期段としてζ丹一脚 他の方法が使用きれている。本論文においては状 1）段を考え・（酊一的段以後食てが最籔仁操哲婆 態制限付最適制御閻題の解瀧して、螂薯繊法 れているものとすれば・髄牲の麗よ払
に髄Lこ砿法と口醜酬肌た一綱 ル．。．璃一頑雇蹴彗謬
を紹分する。 百
十」㌦聞鋸、1萄｝ 壁ラ 名 DP法について が虚立する白こ虹猛簾才十1麗の最遜携作蓬が
ダイナミ鍵プ・グラ紅グと臨｛幽可能な 舟一・1丁縮副±姦覗f動幻の鰍鍵・撞
過程の髄な緬をたてるとき酬いられ書基獲 する屯のである仁とを麟青碍霧髄繊麗
的な数学上の一手法である。これ珪弓ルマロに孟 を解く場鳥各霧穆互の毯働魂られてL鳴皐の
66 白
で，すぐには解くことはできない。したがって， となり，エ（のが最適状態値であるとすれば，操 これを克服するため，イソベディングテクニック 作量H（旬は次のような関係により表わされる。
が使用される。すなわち、各段で考えられる可能 まず（6）式を操作伍r （問で偏微分し零とおく な操作量とそれに対応する状態と評価との関係を ことにより次のようになる。
示す表を作り，しかる後，初期条件により最適な 1 ㌣の＝一［dl「［P口V 百f）＋口ld＋司一1 ものを選ぶ。こ5した手続を一般にダイナミック ｛d！T［jp（1V一屏丁）＋口】φ｝部㈹
プログラミソグという。 ＿｛ば「［P（N一た＋1）十口］d十劫一！6FRT （1v一口）＝丑＊（N一占）エ（晶）
5仮 定 一 ＋ロ・（ハr一拒） ⑦
系として次なる線形離散値系を考える。 ＿方，（2）式と（3）式より境界上に状態を与え エぴ＋1）＝伽（め＋dl」ω 舟＝0，ユ，…， る操作量元（のは次のようになる。
…1㌃1；一元状態ベクトルとぷ已長識瓢二；ご（8，
驚こ麟㌶㌶竺各状態ベクトしたがつて（6）式の輌蹴する瓢・
α・エω＋b≧。1占」、，2；…N （3） （占）はK血工u・k・・の条f牛より次のよう時 ， えられる。すなわち研P⑭＋1）⇒0ならば・
評価閤数は二次評価とし次式とする。
N ぽP（海十1）＝αア（ψ十δB＊（1V一力））エ（海）
J＝君〔工丁（左）ロエ（距）＋酋瞬上一1・｝ （4） ＋αrばθ＊（．酊＿A）＋占 （α）
ここで，φ．di，α，（2はそれぞれ刀xη・㎡×コ，刀 とすれば
時の評価を決定することである。なお・初期条件 （10）
として許容領域内の点が与えられているものとすである。
〔証明〕 る。
4DP法による最適性の必要条件 次なるLagrange関数を定義する。
今残り（N一百）段の最適化が行誌れて L＝｛珂P（N一岨）＋G］d＋み｝剛）
お曙り（ハL占十1 ）段の鏑評価が ユ ＋2・㈹（ゴqP（N一力＋1）＋ロ］伽（の
」（N一力十1）＿エ・（晶＋1）P（1V＿前）エ（糾1） ＋竺至丁（N一占＋1）｝＋工丁（ゐ）φア［P（N
＋2R（ハ1一ゐ十1）埠＋・）＋命一商） 一力＋1）＋ロ］φエ（竺2R（N一痢）
（5） 卿）＋G（N一力＋1）＋λ（一α丁（伽（瓦）
となると仮定する．したがって溺り（N⇒段 ＋d〃陶）嘩 七 （11）
の評価は（4）式および（5）式より， 皿（勾が最適操作量だとすればKuhn｛ruckerの
」（1v＿距）＝［ば・［P（N＿扁）＋ロ］ば＋輌・㈹ 条件より
，．＋2・・（A）｛d「［P（ハr一占十1）＋oユ吻㈹ ∂L＿o ＋ばrRr（N−一た十1）｝＋萬・（占）ψT ∂「「（の
＋；：慧㍊認㍗品一珂 暑≦・・」告λ一αλ≧・
（6） が成立する。ゆえに
67
∂語）−2｛ばT［P（N一虎十1）＋ロ］ば＋乃｝1⑭ ＋BT（N一の［dT（P（N一痢）＋c）
十司口（1V一虎）｝工（海）
＋2〔ば「［P（N一占＋1）ρ1卿） ． ＋2〔θ・（N一の［d・（P（N一扁）＋9）ば ＋dTRT（1V一左十ユ）｝一λαTd＝0 ＋力］五（N一白）＋θア（1V一占）ば7（P（N＿口）
∴λ＝2｛（α「ば）−1P〔ば彗P（N一工1）＋ロ」d 埠φ＋R（N一元＋・）ば丑（N＿晶）
＋乃｝ 1（αTの（H（旬一且＊（1V一瓦）エ（止） ＋R（1V一万＝1）のエ（ゐ）
一θ＊（∧L占））≧0 （13） ＋0ア（1V−A）［dr（P（N＿商）＋口）d
また ＋珂θ（ハ「一占）十2R（ハr一左十1）ばθ（N−A）
暑一一⑭・（占）一⑭一占≦・ 蝋㌫）エ（た）＋2R（N一占）碑）
（14） 十G（N−一距） （18）
普λ一一㈹（・（の一亘倶）エ（の 講㌶L藍蕊潟：㍍；㌶㌶纂
＿θ（1V＿の）λ＝0 （15） る。したがって最適解は少くとも（10）式を満足
（13）式を（15）式に代入し整理すると しなければならない。前の証明においては・最適 （μα）一。・㈲（1、（の一元（占））一。（、6） 操作皿‡ ＊（た）で動作され燃態がち・うど制限 上にのる場合は阻P（克十ユ）−0に相当し，この場
となる。・一方，（a）式より
合については，なんら説明しなかった。また，P 脚（瓦十1）＝α゜（φ＋ばB＊（1V一力））エ㈹ （N＿万：「玉）， R（N＿扁）， G（」V＿百）は＿般 ＋αw（ハ「一ゐ）十占＝ατφエ（占）＋b には。（占）の関数と栽られるカ・（6）式を融 ＋αTd（刑元一蝋々）＋θ（元一の） 分レ⑦式を導きだすさい， P（N一距＋・）， R ＝（αTd）［−B（N一島）工陶一θ（N一占）］ （N一商）はあたかも一定のごとく考えてある。
＋（α「d）［町N一峡の＋θ＊（N一の］ この二っの点に関して次にのぺる．結論からさき ＝（μ＊（の一μ（占）） （17） に述べるとぽP（占＋1）＝0の場合，すなわち，操 したがって・（16）式において 作量（7）式によって得られた状態が制限上にの μ（旬r」＊（のの時λ＝0となり（14）式より る場合は，（10）式のどちらの操作量を使用して 一（αTd）（翼（の一己の）〈0 も不都合は生じない。丑R， Gは1z（のに閲して一 ．・．一（αTd）（μ＊（旬一紋旬く0 般rこ図2（a）に示すような階段的になると考えら ∴彫P（ゐ十1）＞0 れるが・ちょうど図2（a）の不連続点以外の点に
。㈲一⑭の時（13）式より 『 おし てはP R・Gは魂と考えられる・したがっ
（α7dr）（μ（め＿が（の）＞0 ． て問題となるのは、この不連統点における微係数
∴（σ・dx。・陶一。陶）＜・ である・計算してみると左右の両微係数購し ∴脚僻1）〈・ なることが証明竺る・（証明竺±に述べる・≡
あきらかに逆端に成立する・ i証明終り）蕊霊竺蕊ぽ㌶：
したがって，，，脚を（・・）式のよう｝こ選び残りない・
N一蝦の嚥評価は（・・）式を（6）式に代入 （証明）
すれば ヒ 今，踊操作随1蹄＋1）として計旺た場
†」（ハr一占）・＝工丁（彪）｛のτ（P（ハ「一占十1）＋のφ 合の鋤（N嘩段の評価を」＊（N一の…（占＋
＋丑・（1V＿力）♂（P（ハL万肩）＋のφ 1）として計算した場合をP（N一占）とする・J＊
＋φ・（P（ハLた＋1）＋の「㎡B（N一ゐ） （N一力）・西N一占）のおのおのにつL・て・」㈹に
68
PoτRoτG
（0），μ゜（1），…，μウ（旬に固定し（必ずしも最適で
P。τR°τG @ 麟い．），唾＋1）を醐条件と仮定した場合
μ（た十1），…，μ（1V一ユ）が最適な条件を満足してい ると仮定し，その段までの評価が（2）式の形で 与えられているものとする。したがって，同様に 部（のを初期値と考えた場合に最適操作正ロ（旬 u は（10）式を満足しなけれぽならない。したがっ て，印P（距十1）の正・負に応じたr （のを最適操 作量とみなせばよいことになる。しかしながら，
J すぐにこの可のを最適操作抵とみたすことはで 1
きない。なぜなら，この1ξ（のなる操作量をとる ことにより，後段の各状態も変化するので．各 段、それぞれのKuhn−Tuckerの条件（（10）式）
1 が犯される恐れ赫るからである・そこで洛段
のKuhn−Tuckerの条件を監視しながら徐々に u このμ（のに近づけてゆくことを考える。すなわ
（b）， ち・ ㈹を次式のように定義し
F」9．2（a）r印resents that P， R a皿d G are μ （占）＝（1一α）μ鵬（虎）＋ατξ（の stepfu皿ctio皿s of＃・ ＝＝zz⑲（児）十α（r （克）−1」0（占））
（b）認；㍗㌢㍑霊雲㌫蓋：：；ニ ーI」・（の裡・ゴμ （20）
瓢，霊忠lthe°ptim輌゜ n αを・姉1まで変化させ，躍のK血伽
ckerの条件を監視する。もし，αが1まで到達 関して偏微分すると次のようになる・ しても各段のKuhn・Tuckerの条件（（10）式）
∂J G謬）−2（ばア［P＊（1V−」旨十1）＋・］ば 鷲漂纏；謡蕊亨挙鷺
＋司μ（占）十2｛ば丁［P＊（jv一ゐ十1）＋口］φエ（の かしながらαが0から1までのある値のとき・
＋がR・・（ハ「一占十1）｝ 軒1〜N段のある一一つの操作量がKuh・・Tucker
a鵠の一2（グ［P（r＋9］ば：璽蕊㌫蕊（㍑聯：讃
＋乃｝。（の十2［d「［P （N一丘十1）＋αφエ（占） めてμ゜㈹とおき，K血1 「u・kerの条件を犯
＋叔輌一商）｝ した段において（1°）式を満足するように髄
次にこの微係数の差を計算し整理すると 讐作量をきめて（今まで，ゴがとられていたなら 況に，μがとられていたならμ＊にする），残り
∂J fゐL∂碧嵩占） 倶＋・）段の評価を醐＋軋また今と嚇
＿ な操作をくり返す。したがって，実際計算を行う ＝−2｛丁［P（N二竺2）＋G］理＿ 場合にはαを蹴的に変化させるのではなく欲
卵＊（ハ「・一力十1）一五 （」V一力十1）｝ のようにする．すなわち（2。）式のよう耀義さ ｛雌＋1）一μ （舟十1）｝冨゜ （19） 批・ （占）において、闇段以後の各状酬 （醐終り）エ伽一聞一鵡まαの酬となる．すな楠，
5．数値計算法 工（Oは
凝糾1）に対してロ（0），μ（1），…，μ（克）をμo
69
エω＝（φ＋d丑＊（N−∫−1））・（の＋d五（N一肩））・………・…一…（φ＋d丑（N一工1））エ（占＋1）
＋（の十d且＊（ハ「一∫−1）・（φ＋ばB（N一肩））一・・……・…・一…（砂＋ば且（N一云1）dθ（1V一丘）
＋（φ十d丑＊（1v− −1）迂φ品刀（N一再））…・一・…一・一・（φ＋ばβ（N一硯））dθ（」V＿痢）
十・… ‥‥・‥一‥‥・… ‥… …．．．‥．．．．．．．．．．．．．．．∴．．．
＋（φ十ばB＊（ハ「−」−1））d「θ（1V一肩）
十己fO＊（∩↑−f−1）
＝の1・畠3（ゐ十1）＋θ1
一伽・ば・」I」・α＋φ1・エ゜（克十1）＋φ1 （21）
となるから，各状態に対し，彫P（り＝0となる
α、（κ江hn−Tucherの条件の変化する点）を求め とし各状態値をαの関数で表おし研P（∫）＝0 ると となるα の値を求める・
α 一（…φ1・紬）−1α・．砂・．岬＋、） （4）求まったα・の内゜＜α・＜1となる最小の 一（α7二φ1・ば・∠伽）−1（α・．θ1＋1） α・・を求める・ ±
ローカ＋ユ，＿酌 ＿＿ （5）この願でμ （の＝・°㈹＋α幽の値に対応
する操作鉦μ （のを改めて1ξ゜（旬一況 （めとお となる。
く。
し㌫㌶隠r隠な蕊；繊（6w±の式の竺・）式に従遷化して
おいて時。→、とするとき、最鵬脚（，。）が P（N一占＋1）・R（N一左＋1）・G（N＋1）縛
蕊蕊蕊㌔驚1ζ曇惣青にもとる．轡を・辛∫＜・と
で（9）式にしたがい、（r。一、）の式が一、（在一 なるα・の働言なくなるまで行り・
Dから卿）に・あるいは1芦（ら一・）から（8 l㌶る㌣一勾 R（勘G（祠
μ（ o−1）に変化する。 この時点でμ （の＝μう（の
（9）再び（1）にもどりこの操作をP（N），R（N），
＋α・・㈱一1よ1（の）の値｝こ対応す睡瓢「 （の G（酌が求まるまで行う。
を改めて1叶 ）＝∫ （のとおりπ（∫o−1）のみ変化
してP（ハr一占十1）と」R（jv一虎十1）とG（jv＝丘＋1） E 例 題
を再び計算する。この操作を0〈α ＜1なるα の 次のような条件の数値解を試みた。
値がなくなるまで行う。すなわち，この場合は，
二㌶罐慧㌶遜移一埠田一〔：：ト）
㌘嚥霧蕪1璽 ＋〔i〕咽
全段の最適解が計算できる。以下計算手順を箇条 ⑰一〇，1，…9）
書きする・ 状態値の制限・【α1厭た）＋2≧o
（ALGORITHM） （瓦＝1，2，…10）
2i（麗議i議欝鷲今評価・」一曇鮮㈹〔llト㈹一）
（3）、〆ω一（・一の・・ω＋⇒ 初』酬』T（°）＝［1α゜1
−。・ω＋螂 結果臓1牡び図3の通りである・図3（a）は
70
N．1 α口1．00
Nロ2 ロロ1．00
一2．0
5 10 x
工
苫（10）
（a）
5 工O x
ウ1
（b）
N畠3 αロLOO
Nコ4 αロ0．50
1ロ10
xα0） x（9） x（8）
・ （c）
x（10） x（9） x（8）
（d）
Fig也3， （a）一ピ（d）
丁曲le 1．
x1
x1
止
0 1
3 4 5
｜
工1（距） 1 エコ（論）
i
2i 7・00⑪000
10．0
， 9．000000 1
1 5．000001ユ
3．000000 1．376746
0．0 −2．OGOOOO −2．OOOGOO −2．000000
1＿2．000000
1−・・別65・7
μ（の
一2．000000
0．0 0．O O．0 0．753493 0．683674
吉
6
7 8 9 ユo
x1（め @ i κ・（の
O．472076 0．G95801
−0．018047
：1：1蒜墓i
一一
Z．562834
−0．ユ89717
−0．037979
−0．005241
−0．009395
白（の
0，373117
0．151738
0．043220
0．004154
71
N■4 α巳1』0
一 1
（e）
N目5 αロ1．00
1
f王）
Nロ6 α口o．52
工識9
x（8） x（7） x（6）
（匡）
1
N■6
0■1．00 5 10 詫
（』）
Fig．3，（e）〜（h）
エ（9）が（10，0）のときの残り1段過程の最適解 になっても変化しないことを意味している。とこ に相当し，図3（b）はエ（8）が（10、0）のときの 1うが・図3（d）は前述した解法手続により・αを0 残り2i残過程の最移・においてα＝1・00と記して から1まで変化させた場合α＝・0・50（図3（d）の いるのは．エ（9）の状態値が（10，0）から図3（b） 左上に示す）の点でエ（10）（図中の∫−10は・
の点まで移動するとき，最適点工（10）が制限上 Kuhn・Tucheの条件が変化する段をあらわして にあるためのKuh廿Tuckerの条件がα＝1・00 いる）に対するKuhn・Tuckerの条件が変化す
としても変化しないことを意味している。図3（c） るので・その点で一時止めた場合の軌道を示す。
は（b）と同様工（10），エ（9）の点が制限上にあるた すなわち・エ（10）に閏するKuhn−Tuckerの条
めのKuhn．Tu・kerの条イ・1・が両方ともα一1・00 件は制限上の点から内点へ変化し，したがって・
72
N・7 αロ0．12 工■8
口o） x（4）エ
（1）
N■7 胆1．00
苫【10
苫1
（ゴ）
