8/9 - 1 2019.08.09 1-4 数学 B 第７章 場合の数と数列 §1 場合の数 1.1 場合の数 【授業目標】さまざまな事象に対し、場合の数を正しく数えることができる。 場合の数に対する和の法則、積の法則を正しく適用することができる。 【本日の宿題】 教科書 1～5、問題集 432～435、451～452 （提出日は、次回授業 10/3） ○ 「場合の数」とは → さいころの目の出方など、ある事柄の起こりうる場合の総数。（デジタル大辞泉） → 数学で、ある情況の下に起こりうる場合の総数。たとえば、さいころを振ったときの目の出方の総数 （すなわち６）、四個のものを任意に並べたときにできる列の総数（すなわち２４）など。（精選版 日本国語大辞典） → いくつかの事柄について「全部で何通りの場合があるか」数え上げるような問題を「場合の数」を求め る問題とよんでいる。この種の問題において基礎となるのは次の二つの法則である。和の法則、積の法 則（解説内容は割愛）。 ○ とりあえず例題をいくつか。 Q 1 つのさいころ※を振ったときに出る目の数は、何通りあり得るか。 → 答え 1, 2, 3, 4, 5, 6 の 6 通り。すなわち、場合の数は 6。 ※ 一般に数学で「さいころ」といった場合は、立方体で、1～6 の出目の確率が厳密に等しいものを指す。 Q 1 組のトランプ 53 枚から任意の 1 枚を選んだときに、数札（1～10）が出る場合は何通りあるか。 → 答え 4 種類ある各スイートの 1～10 があるので、40 枚が数札である。40 通り。ただし、スイートを区 別せずに出る数にのみ着目するならば、10 通り。 Q 1 組のトランプ 53 枚から任意の 1 枚を選んだときに、絵札（J, Q, K）が出る場合は何通りあるか。 → 答え 4 種類ある各スイートの J, Q, K があるので、12 枚が絵札である。12 通り。ただし、スイートを 区別せずに出る数にのみ着目するならば、3 通り。 Q 1 組のトランプ 53 枚から任意の 1 枚を選んだときに、ハートの札が出る場合は何通りあるか。 → 答え 13 枚がハートの札である。13 通り。 Q （和の法則）1 組のトランプ 53 枚から任意の 1 枚を選んだときに、数札がでるか、または、絵札がでる 場合は何通りあるか。 → 答え 数札がでる場合の数は 40、絵札がでる場合の数は 12 である。数札であり同時に絵札であるような カードは存在せず、この両者が同時に起きることはない。従って、40 + 12 = 52 より、52 通り。 Q （和の法則）1 組のトランプ 53 枚から任意の 1 枚を選んだときに、数札がでるか、または、ハートの札 がでる場合は何通りあるか。 → 答え 数札がでる場合の数は 40、ハートの札がでる場合の数は 13 である。数札であり同時にハート札で ある札は 10 枚あるため、この両者が同時に起きる場合は 10 通りある。従って、40 + 13 - 10 = 43 よ り、43 通りである（単に和をとると、重複している事象を二度数えるので、その分を差し引く）。 → 別解 重複して生じる事象（この問では、数札でかつハートの札）が無いように、場合を切り分けて考 える。「数札がでるか、または、ハートの札がでる場合」について、引いた札が ① 数札でかつハート 札ではないものであった場合、② ハート札であった場合 の和として考えると、①の場合は、30 通りである。②の 場合は、13 通りである。従って、30 + 13 = 43 より、43 通りである。 → 特に 2 つ以上の事象が重複し得る場合、ベン図で考える と分かりやすい、かも。 → 和の法則は、「ひとつの試行」に対する結果の場合の数 を考える際に用いることのできる法則である。
8/9 - 2 Q（積の法則）A 君と B 君が別々にさいころをふった時、2 つの出目がともに奇数である場合は何通りか。 Q（積の法則）A 君がさいころを 2 回連続でふった時、2 回とも出目が奇数である場合は何通りか。 Q（積の法則）A 君が 2 つのさいころを同時にふった時、2 つの出目がともに奇数である場合は何通りか。 → 2 つのさいころを a, b としよう。a のさいころが奇数の出目を与える場合は、1, 3, 5 の 3 通り、ま た、b のさいころが奇数の出目を与える場合は、やはり 1, 3, 5 の 3 通りである。従って 3 × 3 = 9 より、9 通りである（全事象は、6 × 6 = 36 通りである）。 → ここでは、同じように見える 2 つのさいころを同時にふった場合でも、a と b の出目を区別して数え ている。すなわち、a が 1 で b が 3 だった場合と a が 3 で b が 1 だった場合は、それぞれ別の事象とし て数えた。いわば「順列」の考え方である。これらを区別しない（a = 1, b = 3 と a = 3, b = 1 を 同じものとして扱う）場合は「組合せ」（§1.3）の扱いになる。 → 積の法則は、「互いに独立した※二つ以上の試行」を同時に成り立つものとして連続的に捉える、また は「同じ事象が繰り返し現れる」ときの場合の数を考える際に用いることのできる法則である（それぞ れの事象や繰り返しが、同時、または時系列である必要はない）。 ※ 互いに独立した事象とは、それぞれの試行結果がもう一方の試行結果に影響を与えないものをいう。 ○ 樹形図と和の法則、積の法則 樹形図（中学数学で既出？）の描き方（用語については教科書の範囲外） → 試行回数を確認する。 試行とは、複数の結果のどれかが割り当てられる（選ぶ）ような操作で、樹形図におけるノード（節 点）になる。ノードからの分岐を表す線は、エッジ（枝）、リンクなどと呼ばれる。 → 一番左（または上）に、根ノードを取る。根ノードとは、親ノードを持たない最上位のノードである。 → 根ノードを起点として、一段右（または一段下）の方向に、選ぶことのできる（または得られる）最初 の分岐の全てを枝線で示し、その先に子ノードを置く。 → 新たに書き加えられた子ノードの全てに対し、それぞれを親ノードとみなし、同様に選ぶことのできる 分岐の全てを枝線で示し、その先に子ノードを置く。 → ひとつのノードに対して、子ノードは複数あってもよいが、親ノードは 1 つしかない（根ノード、最上 位のノードは親ノードをもたない）ようにする。つまり、親の世代から子の世代に分岐する際に、ひと つのノードに合流することはない。また枝線は途中で分岐せず 2 つのノード間を結ぶのみである。 → ひとつのノードに対して、子ノードがない（枝線がでていない）場合もある。そのようなノードを葉ノ ードという。異なる葉ノードでは、その葉ノードに至る経路が、すべて異なる。そのため、葉ノードの 数を数え上げることで、葉ノードの状態に至るための経路の数（場合の数）が得られる。 → 根ノードから葉ノード方向に数えていくときの段数のことを深さと呼ぶ。根ノードの深さは 0 である。 教科書 p194 「同一地点を 2 度通らずに」地点 P から地点 S までいく「道の選び方」を樹形図にする。 → 根ノードとして、出発点の P にいる状態を選ぶ。 → 次に行くことのできる選択肢は、Q と R であるので、2 本の枝を伸ばし、子ノード（Q, R）を置く。 → すべての子ノード（Q, R）ひとつづつについて、それぞれ検討する。（以下繰り返しとなる） → Q からは R にしか行けない（P はすでに通ったところなので、進めない）が、2 本の道を選べるの で、2 本の枝線を伸ばし、2 つの子ノードにはともに R を置く。それぞれ R からは、Q も P もすでに通っ たところなので進めないので、S に進む。4 本の道を選べるので、4 本の枝線を伸ばし、4 つの子ノード にはともに S を置く。目的地に到達したのでこの先は無く、葉ノードとなる。 → R からは、S にしか行けない。上と同様、4 本の枝と子ノード S を置く。R から見て、Q はまだ通過し ていない地点であるため、R から 2 本の枝線を伸ばし、子ノードとして Q を置いても良いが、Q からは P にも R にも行けない（すでに通っている）ので、その先に行ける地点がない（更に深い方向に子ノード を伸ばすことができない。そのため、S に到達するための樹形図にはなっていないので、教科書では作 図されていない）。 樹形図に基づく和の法則と積の法則の例 すべての場合の数（樹形図において、S であるような葉ノードの数）は、「Q を通る場合」「Q を通らない 場合」の和である … 和の法則 R 地点 S 地点への分岐は 4 通りあるので、R 地点を通る道筋は、「R への経路の数」×「R から S への経路 の数」の積で表される → R への経路の数は、Q を通らない 1 通り、Q を通る 2 通りの和で、3 通り。
8/9 - 3 P195 例題１ 360（= 23・32・5）の約数（1 および 360 を含む）はいくつあるか。 → 360 の約数は、2p・3q・5r で表される。ただし、p = 0, 1, 2, 3、q = 0, 1, 2、r = 0, 1 → p, q, r について同時に決める必要があり、p, q, r の選択は互いに独立である。 → 積の法則が適用でき、4 通り×3 通り×2 通り = 全 24 通りとなる。 → 樹形図で描くと、次の通り。 1 × 20 × 30 × 50 = 1 = 1 1 × 20 × 30 × 51 = 1･5 = 5 1 × 20 × 31 × 50 = 1･3 = 3 1 × 20 × 31 × 51 = 1･3･5 = 15 1 × 20 × 32 × 50 = 1･3･3 = 9 1 × 20 × 32 × 51 = 1･3･3･5 = 45 1 × 21 × 30 × 50 = 1･2 = 2 1 × 20 × 30 × 51 = 1･2･5 = 10 1 × 20 × 31 × 50 = 1･2･3 = 6 1 × 20 × 31 × 51 = 1･2･3･5 = 30 1 × 20 × 32 × 50 = 1･2･3･3 = 18 1 × 20 × 32 × 51 = 1･2･3･3･5 = 90 1 × 22 × 30 × 50 = 1･2･2 = 4 1 × 20 × 30 × 51 = 1･2･2･5 = 20 1 × 20 × 31 × 50 = 1･2･2･3 = 12 1 × 20 × 31 × 51 = 1･2･2･3･5 = 60 1 × 20 × 32 × 50 = 1･2･2･3･3 = 36 1 × 20 × 32 × 51 = 1･2･2･3･3･5 = 180 1 × 23 × 30 × 50 = 1･2･2･2 = 8 1 × 20 × 30 × 51 = 1･2･2･2･5 = 40 1 × 20 × 31 × 50 = 1･2･2･2･3 = 24 1 × 20 × 31 × 51 = 1･2･2･2･3･5 = 120 1 × 20 × 32 × 50 = 1･2･2･2･3･3 = 72 1 × 20 × 32 × 51 = 1･2･2･2･3･3･5 = 360 問１ 300 = 22･31･52 である。 問２ 数字のときと同様、1 およびそれ自身を含めて数えて良い。 (2) は因数分解すると、x2(x2 - 1) = x2(x + 1)(x - 1) である。 例題２ 5x + y ≦ 20 を満たす正の整数の組（右図の点の位置） まず、5x + y - 20 = 0 を作図する※。境界を含みこれより下が領域。 x 切片が 4 であるので、x について、1, 2, 3 の場合を考えればよい。 x = 1 の場合、 5 + y ≦ 20 → y ≦ 15 → 1 から 15 x = 2 の場合、 10 + y ≦ 20 → y ≦ 10 → 1 から 10 x = 3 の場合、 15 + y ≦ 20 → y ≦ 5 → 1 から 5 以上の合計で、30 個である。
※ x/a + y/b = 1 の形に式変形できれば、(a, 0), (0, b) を通る直線として作図しやすい。 （もし ～を満たす 0 以上の整数の組なら、0, 4 の場合も考える。） x = 0 の場合、 0 + y ≦ 20 → y ≦ 20 → 0 から 20 の 21 点 x = 1 の場合、 5 + y ≦ 20 → y ≦ 15 → 0 から 15 の 16 点 x = 2 の場合、 10 + y ≦ 20 → y ≦ 10 → 0 から 10 の 11 点 x = 3 の場合、 15 + y ≦ 20 → y ≦ 5 → 0 から 5 の 6 点 x = 4 の場合、 20 + y ≦ 20 → y ≦ 0 → 0 から 0 の 1 点 以上の合計で、55 個である。 別解。x = 0 のとき、21 点。直線の傾きが -5 なので、5 個ずつ減っていき負にはならない範囲まで足すの で、21 + 16 + 11 + 6 + 1 = 55 より 55 個。 → 傾きがちょうど -5 なので、このように「5 個ずつ 減る」と扱えたが、傾きが整数ではない場合、規則性をやや慎重に見極める必要がある。 ! 十進BASIC プログラム例 FOR P = 0 TO 3 FOR Q = 0 TO 2 FOR R = 0 TO 1 PRINT "1" ; PRINT REPEAT$("×2",P) ; PRINT REPEAT$("×3",Q) ; PRINT REPEAT$("×5",R) ; PRINT " = " ; PRINT 2^P * 3^Q * 5^R NEXT R NEXT Q NEXT P END ! ※ PRINT 文は 1 行に書けるが、 ! スペースの都合上、複数の命令文に ! 分割して、改行して示した。 実行結果例（部分） 1 = 1 1×5 = 5 1×3 = 3 1×3×5 = 15 1×3×3 = 9 1×3×3×5 = 45 1×2 = 2 1×2×5 = 10 1×2×3 = 6 1×2×3×5 = 30
8/9 - 4 問３、問４ 同様に x が 1 の場合、2 の場合… と場合分けして数える。 問５ サイコロ大の目により場合わけして数える。 問題集 432, 451 例題 1 や問 1 と同様に、それぞれ素因数分解して、約数を合成する。 433 x + 4y ≦ 20 ←→ x/20 + y/5 ≦ 1 より、(20, 0), (0, 5) を通る直線（y = -(1/4)･x + 5）の下の領 域です。この境界上の点を含み、x > 0, y > 0 であるような整数の点を探す。 例題 2 と同様、x について、1 から 4 までの範囲で場合分けして数え上げる。 452 2x + 4y ≦ 32 ←→ x/16 + y/8 ≦ 1 より、(16, 0), (0, 8) を通る直線の下の領域です。 同様に、x について 1 から 7 までの範囲で場合分けして数え上げる。 434 (1) 問題の指示がやや意味不明ですね。指示文の書き方が不適切だと思います。 x が 1 から 5 のとき、y が 1 から 5 のとき、z が 1 から 5 のとき、のそれぞれの 3 つの場合についてわけ て問題を解くわけではありません。そのような指示であるならば、x のみについて縛りがあっても、y, z が負の数などを取るなら無限の組み合わせが生じてしまい、問として意味をなしません。 → x, y, z のそれぞれがすべて 1 から 5 までの整数であるような x, y, z の組は何通りあるか。です。 → x, y, z は区別されるものと扱います。つまり、2 + 2 + 4 = 8 と 2 + 4 + 2 = 8、4 + 2 + 2 = 8 は、それぞれ別の組です。 もし、これらを区別しない場合には設問が「1 から 5 までの整数を 3 つ（重 複してもよい）の和が 8 であるとき、このような整数の組合せは何通りあるか」になると思われます。 → そのため、x = 1 のとき、x = 2 のとき、… x = 5 のとき、と 6 通りに場合分けをして、それぞれ について場合の数を数え上げるとよいでしょう。 (2) 今度は、1 から 5 ではなく、0 から 8 になりました（9 以上があると、負の数が必要になりますので、 問題文の指示の範囲で計算式 x+y+z = 8 を満たすことができなくなります）。 435 さいころに色がついているのは、3 つのサイコロの出目をそれぞれ区別するためです。 白の目が 1 から 6 の場合に場合分けするのが、求めやすいのではないかと思われます。
