2019.05.10 1-4 数学 B 第１章 数と式の計算 §２ いろいろな数と式 §2.1 分数式の計算 【授業目標】 ・ 分数式の各種計算に慣れ、正しく計算し、結果を正しく表示できるようになる。 注意 分数式を一行で表すときには、特に分母全体にカッコを付ける必要があることに注意。 多項式は、まず因数分解を行う。繁分数の分母、分子にある「分数間の和や差」は、通分しておく。 ○ A, B は整式、B≠0 とする。 有理式 A/B … 有理数 n/m で表されるもの。ただし、n, m は整数で、m≠0 。 ├ B が定数の場合は、（整式 A の係数の全てを 1/B 倍した）整式 └ B が定数ではないもの（分母が、1 次以上の整式） 分数式 └ 分子と分母に共通因数（公約数）がなく、これ以上約分できないもの 既約分数式 一般に分数式は、既約分数式に直す。「2/6 のままとせず、約分して 1/3 とする」などと同じ。 通分 1/A , 1/B → B/AB , A/AB のように、複数の分数の分母を（一般には最小公倍数にして）共通化
○ 指数法則（p19) → 教科書 p4 の指数法則（一番上）との対応について → ak･aj = a(k+j) 、 k, j, m, n がすべて正の整数とする。k+j = m, j = n とするなら、m > n, k = m-n → am/an = ak･aj /aj = ak = a(m-n) 指数（冪）の定義では、「n 個かけあわせたもの」を「n 乗」で表した（n は自然数）。 p4 （今後）指数を「自然数」から「整数」（さらには「実数」）の範囲に拡張すると、除法の指数法則は m, n の 大小の場合分けを不要とし、1 つの式にまとめられる。 103 = 1000 （= 1×10×10×10） 102 = 100 （= 1×10×10） 101 = 10 （= 1×10） 100 = 1 （= 1） 指数の ±1 の増減により、 ↑10 倍 1/10 倍↓ の関係がある 10-1 = 0.1 （= 1÷10） 10-2 = 0.01 （= 1÷10÷10） 10-3 = 0.001 （= 1÷10÷10÷10）
一般に、a-n = 1/an と書きなおすことができる。ただし、a0 = 1（a≠0）… 定義によるが、00 = 1 である。
→ このとき、任意の m, n について、am/an = a(m-n) (=1/a(n-m)） 現段階では、例題 2 のように、指数には自然数を用い、分数を分子、分母に分けて書く流儀に従うものとして おく。ただし、この拡張に従って、たとえば 4a2/b = 4a2b-1 、1/(x+1) も (x+1)-1 のように表記してもよい。 → 指数の部分は小さい文字になりがち。気をつけないと負号を落としたりしがちなので、現時点では非推奨。 → （今後）さらに、指数法則 ak･aj = a(k+j) を満たすことに留意して、指数の範囲を実数に拡張する。 例 a = (101/2) とする。a2 = a×a = a(1/2 + 1/2) = 101 = 10 ∴ a = √10 ○ 分数式の和や差を計算するときは、予め通分をおこなう。
A(x)/B(x) = A(x)/B(x) × P(x)/P(x) = (A(x)･P(x))/(B(x)･P(x)) のように、
○ 真分数、仮分数（かぶんすう）、帯分数 例 2/3、 3/2、 1+(1/2) … 1+1/2 でも四則演算の優先則から同じこと。 ○ 繁分数式 … 分子÷分母で表され、分子、分母中（片方、両方のいずれか）にも分数式を含むもの … どこまでが分子でどこまでが分母かにより、計算の順序が変わるので注意。 最も長く描かれている「括線」(
vinculum) がどれかに注意する。
(a/b)/(c/d) なのか、((a/b)/c)/d なのか、など。 分子や分母の中の分母を打ち消すように、「分子と分母に同じ数を掛ける」。 例 (a/b)/(c/d) ： 分子中の分母 (b) を消すために、分子分母に b を掛ける。 → (a/b)/(c/d) × b/b = ((a/b)･b)/((c/d)･b) = a/((c/d)･b) = a/(bc/d) 分母中の分母 (d) を消すために、分子分母に d を掛ける。 → (a/b)/(c/d) × d/d = ((a/b)･d)/((c/d)･d) = ((a/b)･d)/c = (ad/b)/c 上の 2 操作を同時に行う。→ (a/b)/(c/d) × bd/bd = ((a/b)･bd)/((c/d)･bd) = ad/bc
m/n = m÷n = m×(1/n) の関係があるから、「分子に分母の逆数を掛ける」ことで式変形してもよい。 例 (a/b)/(c/d) = (a/b)÷(c/d) = (a/b)×(d/c) = ad/bc
例 ((a/b)/c)/d = (a/b)÷c÷d = (a/b)×(1/c)×(1/d) = a/bcd
ただし、分母に分数間の和や差を含む場合には、通分によりひとつの分数にまとめておくことが必要。 【分数式の約分について】 (x2 + x - 2) / (x + 1) = (x + 1)(x - 2) / (x + 1) = (x - 2) のように約分できることについて。 → 分数を割り算と読み替えれば、(x2 + x - 2) ÷ (x + 1) = (x + 1)(x - 2) ÷ (x + 1) = (x - 2) 顕わには記述されていないように見えるが、実は「0 で割る」という演算はできない。 → 真面目に考えると、分数式 (x2 + x - 2) / (x + 1) は、分母がゼロではならないので、(x + 1) ≠ 0、つ まり、x ≠ -1 が前提条件であったはずなのに、約分したとたん、この条件が消えてしまったことに違和感を もつかもしれない（むしろ、おかしいと感じてほしい）。 → 簡略化して、式 P(x) = (x + 1) / (x + 1) の値を考える。x ≠ -1 では、常に P(x) = 1 が成立するのは 特に議論する必要がないだろう。x = -1 を代入すると、P(x) = 0/0 で不定※ である。この場合、x>-1 の範囲 で、x の値を -1 にどんどん近づけていった極限も、x<-1 の範囲で x の値を -1 にどんどん近づけていった極 限も、ともに 1 であり、これらが一致するから、P(-1) = 1 と定義しても差し支えない。そのため、約分を行 う際に、分数式の分母がゼロではないという前提条件、すなわち、x ≠ -1 の条件を消し去ってしまって、単 に P(x) = (x + 1) / (x + 1) = 1 としてしまって良い（ことにする）。 ※ 有限の値を取ることがあるが、その値は一意には決まらないこと。0/0 は不定で、値が一定ではない。上の 例では、0/0 → 1 であったが、もし、もとの分数式が Q(x) = 3(x+1) / (x+1) だとするならば、x = -1 の 時、0/0 で不定だが、x = -1 以外のときの値から類推からもわかるように、Q(-1) は、1 ではなく 3 とすべ きである。このように、0/0 で表される式の値は、条件によって一定ではない。 ちなみに、n をゼロではない実数とするとき、0･n = 0、n/0 は不能（計算できない、対応した有限の値が存在 しない）である（ n > 0 のとき、n/0 = ∞ のように記号を置くこともある）。
【本日の宿題】
教科書 問１～５
問題集 35～38（38 は、教科書の問 5 のように、整式＋分数式の形に直す）、50
GW 中宿題へのコメント 14, 24 など 最小公倍数や、最大公約数を求める問題は、【自然数の最小公倍数や最大公約数を求めるときに、素因数分解 してから相互に比較したのと同様に、】多項式については、かならず因数分解してから比較します。 16 など まじめに割り算をするより、剰余の定理を用いましょう。時間の節約にもなりますし、ミスも減るはずです。 32 から 34 について、あらためて簡単にコメントしておきます。 > 部分は、GW 前の授業で配ったハンドアウトからの再掲です。 > 32 例題を参考に、2 次式で割ったときの余りを 1 次式 ax+b と置き、問題文の条件を式に表してみる。 P(x) = (x2 - 3x - 4)･Q(x) + ax + b = (x + 1)(x - 4)･Q(x) + ax + b となります。問題文の「(x2 - 3x - 4) で割った時の余りを求めよ」の式が、因数分解をすると、 (x + 1)(x - 4) となっているのがミソで、このような関係が成り立っていなければ、問題は解けません。 （つまり、そういう問題しか出題されません）。 あとは、剰余の定理より、P(-1) = 1、P(4) = 11 を用いて、a, b を決定して下さい。 > 33 右側ヒントを参考に、P(x) を Q(x)を用いて表す。 > なお、「x2+1 という 2 次式で割った余り」は、1 次以下の式にならないといけないことに注意する。 関係を右図にしてみました。枠の中の面積の合計が P(x) です。 題意より、P(x) = Q(x)･(x2+1) + x3 で表すことができます。 Q(x)･(x2+1) の部分は、Q(x) で割り切れますが、同時に(x2+1) でも 割り切れるわけです。 だから、Q(x)で割ったときの余りである x3 をもういちど (x2+1)で割 ればよいのですが、x3（ = x3 + x - x ) の部分の面積が (x2+1) と どのような関係になっているのか、右図から確認してみてください。 > 34 問題文に与えられた関係を式で表すと、適当な整式 S(x)、Q(x)を用いて、以下のようになる。 > P(x) = (x-2)･S(x) + 5 > = (x-2)･{(x+3)Q(x) + 3} + 5 = (x-2)(x+3)Q(x) + 3(x-2) + 5 = (x-2)(x+3)Q(x) + 3x - 1 = (x2 + x -6)Q(x) + 3x - 1 となります。32 と同様、(x2 + x -6) = (x-2)(x+3) と因数分解されるのがミソです。 x+3 で割った余りは、33 と同様に、余りの 3x-1 を x+3 で割って求めてもよいのですが、より簡単には、剰 余の定理より、P(-3) を（上式に x = -3 を代入して）求めて下さい。実際に代入して計算する際には、(x2 + x -6)Q(x) の部分が(x+3)で割り切れてゼロになっていることを用いるので、3x-1 を x+3 で割った余りを求め ているのと同じことをしているのですが。 また、(x2 + x -6) で割った余りは、上の式をよく睨んでいただければわかるはずです。
