2019.10.10 1-4 数学 B 第７章 場合の数と数列 §1 場合の数 1.3 組合せ （Combination, コンビネーション） 【授業目標】組合せの公式を順列の公式の派生として理解し、組合せの問題に正しく適用することができる。 【本日の宿題】 教科書 13～17、問題集 442～445、453、458～459 ○ 組合せの定義と公式 n 個の異なるものから r 個を選び、「順序などによる区別をせず」1 組としたもの を、n 個から r 個を選ぶ組み合わせといい、その総数を nCr で表す。 → たとえば 1 から 3 の数字から、重複なく 3 枚を選ぶ、 順列では互いに区別された 123、132、213、231、312、321 の 6 組 ※ は、 「同じ組合せ」（構成要素の順を無視すると同じであるもの）として扱う。 ※ 「同じ組み合わせ」で「異なる順列」の数は、3 つから 3 つを選ぶ順列なので、 3P3 = 3! で計算される。 → たとえば 1 から 4 の数字から、重複なく 3 枚を選ぶ。 選んだ順番を区別すると 4P3 = 4×3×2 = 24 通りの順列ができたが、この中には、同じ組み合わせとなる （構成要素の順を無視すると同じになる）セットがある。 3 枚の数字で、同じ組み合わせなのに構成要素の順の異なるものは、3P3 = 3×2×1 = 6 通りである。 従って、4P3/3P3 = 4 通りの「組み合わせ」があると言える。 計算式は 4×3×2 … 分子は、4P3 重複なく選ぶ順列の数 3×2×1 … 分母は、3P3 = 3! 同じ組み合わせになる異なる順列の数。 具体的には 123、124、134、234 の 4 通り。 → 4C3 = 4 （それぞれ順列は 6 通りある） → 用いない数字 4, 3, 2, 1 の 4 通りと数えても良い。 → 4C1 = 4 = 4C3 → 計算式で比較する。 4C3 = 4×3×2 4C1 = 4 3×2×1 1 → たとえば 1 から 5 の数字から、重複なく 3 枚を選ぶ。 選んだ順番を区別すると 5P3 = 5×4×3 = 60 通りの順列ができたが、この中には同じ組み合わせとなる （構成要素の順を無視すると同じになる）セットがある。 3 枚の数字で、同じ組み合わせなのに構成要素の順の異なるものは、3P3 = 3×2×1 = 6 通りである。 従って、5P3/3P3 = 10 通りの「組み合わせ」があると言える。 計算式は 5×4×3 … 分子は、4P3 重複なく選ぶ順列の数 3×2×1 … 分母は、3P3 = 3! 同じ組み合わせになる異なる順列の数。 これは、具体的には 123、124、125、134、135、145、234、235、245、345 の 10 通り。 （すべてを数え上げようとしても、見落としをしがち）→ 公式をきちんと適用し、計算で求める。 → 5C3 = 10 → 用いない 2 つの数字の組合わせとして数えても良い（まだ見落としが少なくなりそう）。 具体的には、12、13、14、15、 23、24、25、 34、35、 45 → 計算式で比較する。 5C3 = 5×4×3 5C2 = 5×4 3×2×1 2×1 → 公式 ┌ n から r 個の積 ┐ nCr = nPr/r! = 𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×…×(𝑛−𝑟+1) 𝑟×(𝑟−1)×(𝑟−2)×…×2×1 = {𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×…×(𝑛−𝑟+1)} × {(𝐧−𝐫)×…×𝟐×𝟏} {𝑟×(𝑟−1)×(𝑟−2)×…×2×1} × {(𝐧−𝐫)×…×𝟐×𝟏} = 𝑛! 𝑟! × (𝑛−𝑟)! └ 1 から r 個の積 ┘ ↑ ↑ 一番よく使う形 一般化した形 公式を覚えて使えるようにするのは当然だが、 丸暗記するだだけではなく、意味が分かって 自分で式を書き下せるということ。
○ nC0 （r=0 のケース）について → 公式との整合性 𝑛! (𝑛−𝑟)! × 𝑟! に、r = 0 を代入する。0! は、前出のように、定義として 1 なので、 𝑛! (𝑛−0)! × 0!
=
𝑛! 𝑛!=
1 となる。 → 意味から考える。 nCr は n 個の異なるものから r 個を選んだときの組み合わせの総数を表す。 つまり、一般的に n 個の中から、0 個を選ぶ方法が何通りあるのか … → 1 から 4 の中から 3 つを「選ぶ数字」の組み合わせを考えるとき、「選ばない数字」が何であるか を考えて数えてもよかった。 1 を選ばないなら 2,3,4 を選ぶことになり、2 を選ばないなら 1,3,4 を選ぶことになる、など。 → 1 から 4 の数字を、「選ぶもの」「選ばないもの」に依り分けるという操作をしているだけ。 → つまり、なにかを「選ぶ」という操作は、「選ばないものを選ぶ」という操作と同じ。 → 「n 個から r 個を選ぶ」 = 「(n-r)個を選ばない」なので、これを公式に反映させると 常に nCr = nC(n-r) が成り立つ。 （問 14 参照） この関係より、r と n-r のうち小さいものを選ぶと、簡単になる。（例：問 13(3)） → 0 個を選ぶということは、n 個全てを選ばないものとして決めるのと等しい。 つまり、n 個の中から n 個全てを選ぶ方法が何通りあるのか、という問題と同じ答えになる。 n 個の中から 0 個を選ぶ方法とは、n 個の中から n 個すべてを選ぶ方法と同じで、ただ 1 通りである。 問 13 公式の形を理解し、適切に適用する。 (1) 6C3 = 6×5×4/(3×2×1) = 20 (2) 10C2 = 10×9/(2×1) = 45 (3) 7C5 = 7C2 = 7×6/(2×1) = 21 7C5 = 7×6×5×4×3/(5×4×3×2×1) = 7×6/(2×1) として計算しても可。 (4) nC1 = n … 意味：n 個から 1 個を選ぶ組み合わせは n 通りある。 → 類似の問題に、nC(n-1) = nC1 = n などもある。 (5) nCn = n!/n! = 1 … 意味：n 個から n 個全てを選ぶ組み合わせは 1 通りある。 → 類似の問題に、nC0 = nCn = 1 などもある。 問 14 「証明せよ」なので、等式が成り立つことを説明する記述を行えばよい。 ① n 個から r 個を選ぶ場合の組み合わせの数が nCr である（組み合わせの式の定義より）。 n 個から r 個を選んだときには、必ず n-r 個が選ばれずに残っている。 r 個を選ぶという操作は、n 個を、r 個と n-r 個に分割する操作であり、 「r 個を選び指定する」という操作は「n-r 個の選ばないものを指定する」という操作に等しい（※）。 そのため、r 個を選んでも、残る n-r 個を選んでも、得られる組み合わせの数は変わらない筈である。 従って、nCr = nC(n-r) である。 ② n 個の要素を袋 A の中に入れておき、その中から選んだ r 個を袋 B に移すという操作を考える。 元の n 個の要素の構成が一定であるとき、 袋 A の内容が同じなら、袋 B の内容は必ず同じである。 そして、袋 A の内容が異なれば、袋 B の内容は必ず異なる。 そのため、袋 A の内容構成の数は、袋 B の内容構成の数と一致する（※）。 袋 A の中には、n 個のうち n-r 個が残っているので、その組合せの数は nCn-r であり、 袋 B の中には、n 個のうち r 個が入っているので、その組合せの数は nCr である。 従って、nCr = nC(n-r) である。 … 本質的に、① と同じ内容を、具体的な内容に変えて説明しなおしただけ。 … nCr と nC(n-r) で着目している組み合わせの一つずつが 1 対 1 で対応するので、その総数が等しいという ことを言うためには、（※）が必要な記述となる。③ （もっとも一般的な証明法） 両辺に公式を適用し、恒等式「左辺 = 右辺」が成り立つことを示す。 ※ 以下のように、一度 k など別の文字を用いて公式を書きなおし、代入すると分かりやすいのでは？ 公式より、nCk = n!/((n-k)!×k!) である。 これに k = r を代入すると、nCr = n!/((n-r)!×r!) …（1) k = n-r を代入すると、 nC(n-r) = n!/((n-(n-r))!×(n-r)!) = n!/(r!×(n-r)!) … (2) 積は交換法則が成り立つので、(1) と (2) は等しい。よって、nCr = nC(n-r) である。 例題 4 (1) 10 個から 3 個を選ぶので、10C3 で計算する。 10C3 = 10×9×8/(3×2×1) = 120 120 通りの組み合わせがある。 【非推奨】面倒だが、もちろん全部を数えることもできる。 3 つの数字の組合せは、具体的には、以下となる（表記上、10 を 0 で表すものとする）。 [ 最小の数字が 1 のもの … 以下の 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 通り ] 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 120, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 130, 145, 146, 147, 148, 149, 140, 156, 157, 158, 159, 150, 167, 168, 169, 160, 178, 179, 170, 189, 180, 190 [ 最小の数字が 2 のもの … 以下の 7+6+5+4+3+2+1 = 28 通り ] 234, 235, 236, 237, 238, 239, 230 245, 246, 247, 248, 249, 240, 256, 257, 258, 259, 250, 267, 268, 269, 260, 278, 279, 270, 289, 280, 290 以下同様に [ 最小の数字が 3 のもの … 同様に 6+5+4+3+2+1 = 21 通り ] [ 最小の数字が 4 のもの … 同様に 5+4+3+2+1 = 15 通り ] [ 最小の数字が 5 のもの … 同様に 4+3+2+1 = 10 通り ] [ 最小の数字が 6 のもの … 同様に 3+2+1 = 6 通り ] [ 最小の数字が 7 のもの … 同様に 2+1 = 3 通り ] [ 最小の数字が 8 のもの … 同様に 1 = 1 通り ] 依って、36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 120 通りである。 ※ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 … は、「三角数」と呼ばれ、一般項は n+1C2 で表される。 → 例題 5 の公式を使って式変形すると、10C3 = 9C2 + 8C2 + 7C2 + 6C2 + 5C2 + 4C2 + 3C2 + 2C2 → 実際問題として、公式を覚えておいて適用する方が正確で、ずっと速い。 10 個から 4 個を選ぶ場合など、数字が少しでも大きくなると、数え方は更に複雑になる。 全ての場合を数え上げるときは、上に示したように、規則性を見出すようにしないとならない。 (2) 積が 3 で割り切れるためには、3 つの数字のうち少なくとも 1 つ以上が 3 の倍数である必要がある。 1 枚が 3 の倍数である場合、2 枚が 3 の倍数である場合、3 枚とも 3 の倍数である場合のそれぞれについて 計算し、和をとってもよいが、全体の場合の数 120 通りから、1 枚も 3 の倍数ではない場合を引いた方が 計算が簡単である。 10C3 = 9C2 + 9C3 9C3 = 8C2 + 8C3 8C3 = 7C2 + 7C3 ： 4C3 = 3C2 + 3C3 3C3 = 2C2
① 3 枚とも 3 の倍数以外（1,2,4,5,7,8,0 の 7 枚のうちいずれか）である組み合わせは、 7C3 = 7×6×5/(3×2×1) = 35 通り。よって、1 枚以上が 3 の倍数であるのは、120 - 35 = 85 通り。 ② (a) 1 枚が 3 の倍数（3,6,9 の 3 枚のうちいずれか）で、かつ (b) 2 枚が 3 の倍数以外であるのは、 （a) と (b) が独立事象で、同時に生じる必要があるので、積の法則により、 3C1 × 7C2 = 3 × 7×6/(2×1) = 63 通り ※ 順列の問題ではないので、(a) でカウントする 1 枚がどこにあるのかを考えなくて良い。 参照 問題集 455 番（順列の問題、前回配布資料） ③ (c) 2 枚が 3 の倍数で、かつ (d) 1 枚が 3 の倍数以外であるのは、 （c) と (d) が独立事象で、同時に生じる必要があるので、積の法則により、 3C2 × 7C1 = 3 × 7 = 21 通り ④ 3 枚とも 3 の倍数であるのは、 3C3 = 1 通り。 ②，③, ④ の和を求めると、63+21+1 = 85 通り。 問 15 (a) 男子 3 人を 12 人から選ぶ組み合わせは、12C3 = 12×11×10/(3×2×1) = 220 通り (b) 女子 2 人を 8 人から選ぶ組み合わせは、8C2 = 8×7/(2×1) = 28 通り。 この 2 つが独立事象で、同時に生じる必要があるので、積の法則により、 12C3 × 8C2 = 6160 通り もちろん非推奨だが、男子、女子別にならば数え上げることもできる。 男子については、123, 124, 125, 126, 127, 128 … と数えていくので、 1 が最小のものは、10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 55 通り 以下、例題 4 と同様にして数えるので、55+45+36+28+21+15+10+6+3+1 = 220 通りとなる。 女子についても、{12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}, {23, 24, 25, 26, 27, 28}, {34, 35, … と数える。 1 が最小のものは 7 通り、2 が最小のものは 6 通り、…、なので、合計して 7+6+5+4+3+2+1 = 28 通り。 ※ 3 人を選ぶ場合の和を求める数列と、2 人を選ぶ場合の数列は異なるので注意。 問 16 頂点を結んでできる線分：線分の両端が、A から F のいずれか 2 つであるから、6C2 = 15 通り。 頂点を結んでできる三角形：頂点が A から F のいずれか 3 つであるから、6C3 = 20 通り。 例題 5 nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr この式を覚えるより、（10C5 = 9C4+ 9C5 のように）具体的な数字で書けるように慣れるか、 教科書の証明で書かれている文の意味を理解して、その都度書き下す方が良いです。 ポイントは「n 個のうちの一つ好きなものを自分で一つ指名する」「指名したものを含めずに r 個を選ぶ場 合の数」と「指名したものを含めて r 個、つまり、指名したもの以外から r-1 個を選ぶ場合の数」にわ けて考え、それぞれの場合の組み合わせ数の和をとるということです。 （別解）公式を適用し、右辺 = 左辺となることを示すこともできる。 → 右辺の分母を通分し、左辺の分母と一致させる際、k×(k-1)! = k! の関係を用いている。 左辺 = nCr = 𝑛! (𝑛−𝑟)!𝑟! 右辺 = n-1Cr + n-1Cr-1 = (𝑛−1)! (𝑛−1−𝑟)!𝑟! + (𝑛−1)! (𝑛−1−(𝑟−1))!(𝑟−1)! = (𝑛−𝑟)×(𝑛−1)! (𝑛−𝑟)!𝑟! + 𝑟×(𝑛−1)! (𝑛−𝑟)!𝑟! = (𝑛−𝑟+𝑟)×(𝑛−1)! (𝑛−𝑟)!𝑟! = 𝑛×(𝑛−1)! (𝑛−𝑟)!𝑟! = 𝑛! (𝑛−𝑟)!𝑟! … 左辺と一致する。
△ 例題 5 の公式をパスカルの三角形および二項定理の関係から理解することができる。 二項定理、二項係数について → §1.5 → (x+y)n を展開したとき、x(n-r)yr の係数は、 nCr である … 二項定理 → 具体的な式での確認。 (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 左より、各項の係数は 2C0 = 1, 2C1 = 2, 2C2 = 1 (x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y2 左より、各項の係数は 3C0 = 1, 3C1 = 3, 3C2 = 3, 3C3 = 1 (x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 左より、各項の係数は 4C0 = 1, 4C1 = 4, 4C2 = 6, 4C3 = 4, 4C4 = 1 (x+y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 左より、各項の係数は 5C0 = 1, 5C1 = 5, 5C2 = 10, 5C3 = 10, 5C4 = 5, 5C5 = 1 → (x+y)×(x+y)×(x+y)×…×(x+y) というような式を計算するときに、 n 個並んでいる項（x+y）のそれぞれから、y を選ぶ項の位置を考える。 1 つも y を選ばないのは、n 個の場所から 0 個を選ぶので、nC0 → xn の係数となる。 1 つだけ y を選ぶのは、n 個の場所から 1 個を選ぶので、nC1 → xn-1y の係数となる。 2 つだけ y を選ぶのは、n 個の場所から 2 個を選ぶので、nC2 → xn-2y2 の係数となる。 3 つだけ y を選ぶのは、n 個の場所から 3 個を選ぶので、nC3 → xn-3y3 の係数となる。 ： r 個だけ y を選ぶのは、n 個の場所から r 個を選ぶので、nCr → xn-ryr の係数となる。 パスカルの三角形 → 二項係数を並べてできる数字の並びをパスカルの三角形という。 → パスカルの三角形では、2 つ並んだ数字の和を、その下の段、2 つの数字の間に書く。 → 逆に言えば、あるの数字は、その上の段で接する 2 つの数字（空欄は 0）の和になっている。 （パスカルの三角形） 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 （二項定理に基づき、nCr で書き直したもの） 0C0 1C0 1C1 2C0 2C1 2C2 3C0 3C1 3C2 3C3 4C0 4C1 4C2 4C3 4C4 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5 6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6 7C0 7C1 7C2 7C3 7C4 7C5 7C6 7C7 8C0 8C1 8C2 8C3 8C4 8C5 8C6 8C7 8C8 9C0 9C1 9C2 9C3 9C4 9C5 9C6 9C7 9C8 9C9 10C0 10C1 10C2 10C3 10C4 10C5 10C6 10C7 10C8 10C9 10C10 → このnCr で書き直したパスカルの三角形を見ると、たとえば8C6 = 7C5 + 7C6 であることがわかる。 このような関係を一般化して表すと、nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr であり、例題 5 の公式と一致する。 → 問 17 の関係も、同様にこの図から読み取ることができる。
問 17 下記のように式変形し、同じ項をまとめる。 (1) 10C4 = 9C3 + 9C4 = 8C2 + 8C3 + 8C3 + 8C4 (2) = 7C1 + 7C2 + 7C2 + 7C3 + 7C2 + 7C3 + 7C3 + 7C4 問題集 442 公式を覚えて適用する。 (1) 5C2 = 5×4/(2×1) = 10 (2) 10C4 = 10×9×8×7/(4×3×2×1) = 210 (3) 11C9 = 11C2 = 11×10/(2×1) = 55 (4) nC2 = n×(n-1)/(2×1) = n(n-1)/2 (n ≧ 2), n < 2 では解なし (5) nCn-1 = nC1 = n 443 問題文の指示が不十分。 → 順列を答えるべきか、組み合わせを答えるべきか、問題文からだけでは判断できない。 → 「3 枚を取り出す組み合わせは」となっているか、あるいは、 「3 枚を同時に取り出す」や、「3 枚を取り出したあと昇順になるように並び替える」となっていれば 組合せを問う問題であることがはっきりする。 「3 枚を順に取り出す」であれば、順列の問題であると判断できる。 (1) 3 枚取り出した順序も問題にするなら、順列で、9P3 = 9×8×7 = 504 通り 組合せは、9C3 = 9×8×7/(3×2×1) = 84 通り。 (2) 偶数は、2, 4, 6, 8 である。この中から 3 枚を取り出したもののみを数えれば良いので、 順列の場合は 4P3 = 4×3×2 = 24 通り、組み合わせの場合は 4C3 = 4C1 = 4 通りである。 (3) 3 つの数字の和が偶数であるためには、奇数の数字の個数が偶数（0 または 2）である必要がある。 → 3 枚とも偶数の場合については(2)で計算した。 → 奇数が 2 枚、偶数が 1 枚の場合は、 順列の場合、偶数の位置が 1 枚目、2 枚目、3 枚目の 3 パターンあり、 奇数 2 枚は 5 枚中から選ぶので 5P2、偶数は4P1 なので、 3×5P2×4P1 = 3×5×4×4 = 240 通り 組合せの場合は、奇数と偶数の位置関係については考慮しなくてよいので、 奇数 2 枚は 5 枚中から選ぶので 5C2、偶数は 4 枚から選ぶので 4C1 なので、 5C2×4C1 = 5×4/(2×1) × 4 = 40 通り。 → 上で求めた二つの場合を足す。 順列の場合、 4P3 + 3×5P2×4P1 = 264 通り 組合せの場合、4C3 + 5C2×4C1 = 44 通り 444 この問題も、問題文の指示が不十分。まあ、大方、組合せの問題だと判断することが多いと思うが、 → 選ぶ順序を区別したり、赤（リーダー）、青、黄（カレー好き担当）、緑、桃のように互いに位置（や役 割）を区別するなど、選ばれたメンバー内で入れ換えることができないならば、順列の問題になるはず。 → 組合せの問題であるなら、5 人のメンバーの選び方「の組み合わせ」は何通りあるか、と問うべき。 (1) 1 班には 6 人が、2 班には 7 人が属している。班を区別せずに選ぶので、13 人中から選ぶだけである。 順列の問題であるならば、 13P5 = 13×12×11×10×9 = 154440 通り。 組合せの問題であるならば、13C5 = 13×12×11×10×9/(5×4×3×2×1) = 1287 通り (2) 1 班 6 人からは 2 人、2 班 7 人からは 3 人選ぶ。 順列の問題であるなら、1 班からの 2 人、2 班からの 3 人の相互の並び順も考慮する必要がある。 これは、1 番から 5 番の 5 つの位置に 1 班からの 2 人をどのように配置するのか、と言い換えてよい。 これによるパターンは5C2 = 10 通りである。1 班 2 人の順列は 6P2、2 班 3 人の順列は 7P3 なので、 5C2 × 6P2 × 7P3 = 63000 通り 組合せの問題であるなら、1 班 2 人の組合せは 6C2、2 班 3 人の組合せは 7C3 なので、 6C2 × 7C3 = 6×5/(2×1) × 7×6×5/(3×2×1) = 525 通り (3) 全事象から、選ばれた 5 人が全員 1 班、または全員 2 班のものを差し引く。 順列の問題であるなら、 13P5 - 6P5 - 7P5 = 151200 通り 組合せの問題であるなら、13C5 - 6C5 - 7C5 = 1260 通り
445 例題 5 の公式 nCr = n-1Cr + n-1Cr-1 を適用し、式変形の結果、左辺が右辺と等しくなることを示す。 右辺を式変形して左辺と等しくなることを示しても良い。 (1) 10C5 = 9C4 + 9C5 = (8C3 + 8C4) + (8C4 + 8C5) = 右辺 (2) 10C5 = 9C4 + 9C5 = (8C3 + 8C4) + (8C4 + 8C5) = (7C2 + 7C3) + (7C3 + 7C4) + (7C3 + 7C4) + (7C4 + 7C5) = 右辺 (2) 10C5 = 9C4 + 9C5 = (8C3 + 8C4) + (8C4 + 8C5) = (7C2 + 7C3) + 2(7C3 + 7C4) + (7C4 + 7C5) = (6C1 + 6C2) + 3(6C2 + 6C3) + 3(6C3 + 6C4) + (6C4 + 6C5) = 右辺 → この式の係数のセット（1,1）→ (1,2,1) → (1,3,3,1) → (1,4,6,4,1) → … は二項定理により パスカルの三角形でいつでも求めることができるから、この問の式関係を公式として覚える必要はない。 453 公式の復習など (1) 8!/(8×7) = 6! = 720 (2) 9C4 = 9×8×7×6/(4×3×2×1) = 126 (3) 8P3 = 8×7×6 = 336 458 この問題は、問題文の指示が不十分。 → 「3 枚を同時に取り出す」または「取り出したあと並べ直す」なら、組合せの問題であることが確定 → 「順に取り出し、取り出した順に並べる」なら、順列の問題であることが確定 1 から 7 までの間の奇数は、1, 3, 5, 7 の 4 つ。 順列の問題の場合は、 4P3 = 24 通り 組合せの問題の場合は、4C3 = 4 通り 459 444 と同様。 2 班から 3 人以上を選ぶという条件である。 → 2 班からのメンバーが 3 人のとき、4 人のとき、5 人のときと場合分けして、全てを足す。 → 全体から、2 班のメンバーが 2 人以下のときを全て差し引く のいずれかで求める必要がある（※）。 まず、人数構成の違うパターンのそれぞれについて、計算しておく。 → 2 班からの人数が 0 の場合 全員を 1 班 6 人から選ぶ。 順列の問題の場合は、 6P5 = 6×5×4×3×2 = 720 通り 組合せの問題の場合は、6C5 = 6 通り → 2 班からの人数が 1 の場合 4 人を 1 班 6 人から、1 人を 2 班 7 人から選ぶ。 順列の問題の場合は、 5C1 × 6P4 × 7P1 = 5 × 6×5×4×3 × 7 = 12600 通り 組合せの問題の場合は、6C4 × 7C1 = 6×5/(2×1) × 7 = 105 通り → 2 班からの人数が 2 の場合 3 人を 1 班 6 人から、2 人を 2 班 7 人から選ぶ。 順列の問題の場合は、 5C2 × 6P3 × 7P2 = 5×4/(2×1)× 6×5×4 × 7×6 = 50400 通り 組合せの問題の場合は、6C3 × 7C2 = 6×5×4/(3×2×1) × 7×6/(2×1) = 420 通り → 2 班からの人数が 3 の場合 444(2)参照（444(2) では、1 班の 2 人の配置として 5C2 としたが、 ここでは、2 班 3 人の配置として5C3 と書いている。ただし、5C2 = 5C3 である。） 2 人を 1 班 6 人から、3 人を 2 班 7 人から選ぶ。 順列の問題の場合は、 5C3 × 6P2 × 7P3 = 5×4/(2×1)× 6×5 × 7×6×5 = 63000 通り
組合せの問題の場合は、6C2 × 7C3 = 6×5/(2×1) × 7×6×5/(3×2×1) = 525 通り → 2 班からの人数が 4 の場合 1 人を 1 班 6 人から、4 人を 2 班 7 人から選ぶ。 順列の問題の場合は、 5C4 × 6P1 × 7P4 = 5 × 6 × 7×6×5×4 = 25200 通り 組合せの問題の場合は、6C1 × 7C4 = 6 × 7×6×5/(3×2×1) = 210 通り → 2 班からの人数が 5 の場合 0 人を 1 班 6 人から、5 人を 2 班 7 人から選ぶ。 順列の問題の場合は、 5C5 × 6P0 × 7P5 = 7P5 = 1 × 1 × 7×6×5×4×3 = 2520 通り 組合せの問題の場合は、6C0 × 7C5 = 7C5 = 1 × 7×6/(2×1) = 21 通り → 班構成関係なく 13 人から選ぶ場合 444(1) 参照 順列の問題の場合は、 13P5 = 13×12×11×10×9 = 154440 通り。 組合せの問題の場合は、13C5 = 13×12×11×10×9/(5×4×3×2×1) = 1287 通り 比較のため、上で求めたそれぞれのケースについての和を取っておく。 順列 720 + 12600 + 50400 + 63000 + 25200 + 2520 = 154440 組合せ 6 + 105 + 420 + 525 + 210 + 21 = 1287 で、一致する。 → 従って、2 班から 3 人以上という条件では、 順列 63000 + 25200 + 2520 = 90720 通り 組合せ 525 + 210 + 21 = 756 通り ※ 実務レベルで 2 班からのメンバーが 3 人以上になるようにしなければならないなら、「ランダムに選んで からその条件を満たさない場合に始めからやり直す」よりも、「まず 2 班から 3 人を選んで確定させ、 残り 2 人を 1 班の 6 人および 2 班で残った 4 人から選ぶ」という方法を取る方が、失敗がない。 では、この方法で計算してもよいだろうか（結論から言うと、ダメである）。 まず 2 班から 3 人を選んで確定させ、残り 2 人を 1 班の 6 人および 2 班で残った 4 人から選ぶ方法を、組合 せについてのみ計算してみる → 5 人のうち 3 人は、2 班 7 人から確定させる。組合せは、7C3 = 7×6×5/(3×2×1) = 35 通り → 続いて残り 2 人を、1 班 6 人、2 班 4 人から選ぶ。組合せは、10C2 = 10×9/(2×1) = 45 通り → この 2 つが独立事象と考えて、積の法則を適用すると 35×45 = 1575 通り となり、上で求めた答え 756 通りよりずっと大きくなってしまう。 → これは、同じ組合せを複数回にわたって数えてしまっているためである。 たとえば、結果として選ばれた 5 人の中の 2 班出身者が 4 人で、A 君が含まれていたとしよう。ポイン トは、この A 君が始めの固定 3 人の中に含まれていても、含まれていなかったとしてもどちらでも、同 じ 2 班のメンバとしてカウントされてしまうということである。すなわち、A 君が始めの固定 3 人の中 に含まれていて、かつ、2 班出身の 4 人が A 君、B 君、C 君、D 君という組合せであるものと、A 君が固 定の 3 人以外の 4 人目として選ばれた結果、2 班出身の 4 人が A 君、B 君、C 君、D 君という組合せであ るものとを、それぞれ別に数えてしまっているのである。これは明らかに誤りである。 スペースがあまったので、ネットで拾ってしまった画像です。出所不明。 やはり、問題文の指示があいまいだったのがまずいのでしょうか。
