11/28 - 1 2019.11.28 1-4 数学 B 第７章 場合の数と数列 §2 数列 2.3 等比数列 ※ 年間授業計画の関係で、中間試験前に授業が行われますが、期末試験の範囲となる予定です。 【授業目標】 等比数列の第 n 項までの和を求める公式を組み立て、利用することができる。 【本日の宿題】 教科書７～10、問題集 480～483 （提出日は、テスト明け 12/12 です。） ○ テスト直前 質問など ○ 等差数列 初項 k、公差 d として、（前回復習） k, k+d, k+2d, k+3d, … , k+(n-1)d, … Sn = n×(a1 + an)/2 = n×(k + k+(n-1)d)/2 = {dn2 + (2k-d)n}/2 … 台形の求積公式 ○ 等比数列 初項 k、公比 r （r≠1)※ として、 k, kr, kr2, kr3, … , kr(n-1), … Sn = k + kr + kr2 + kr3 + … + kr(n-1) -) Sn×r = kr + kr2 + kr3 + … + kr(n-1) + krn … 一つずらしの差 Sn(1-r) = k - krn = k(1-rn) ∴ Sn = k(1-rn)/(1-r) … ① = k(rn-1)/(r-1) … r > 1 のとき = k(pn-1)/pn ÷ (p-1)/p … r = 1/p のとき、①に代入して、このように式変形できる。 = k(pn-1)/(pn-1･(p-1)) … 別にこの形で覚える必要はないが、代入前に式変形する。 ※ Sn(1-r) = k(1-rn) の両辺を (1-r) で割るためには、r≠1 の条件が必要。 → r = 1 のとき、Sn = k(1-rn)/(1-r) の分母、分子ともにゼロになるため、不定。 公比 r=1 では、an = a1 = k なので、Sn = k×n 公式 Sn = k(1-rn)/(1-r) （①式）について → |r| < 1 のとき、n → ∞ の極限で、rn → 0、S n → k/(1-r) となり、値は収束する。 例 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … → 2 に収束する。 k=1, r=1/2 なので、Sn → k/(1-r) = 1/(1-1/2) = 2 → 1-rn は、(1-r) で因数分解できて、一般に、1-rn = (1-r)(1 + r + r2 + r3 + … + rn-1) となる。 （証明） Sn(1-r) = k(1-rn) の関係式の左辺に、 Sn の定義の式より、Sn/k = (1 + r + r2 + r3 + … + rn-1) を代入すると、 (1 + r + r2 + r3 + … + rn-1)(1-r) = (1-rn) となる。 なお 1-rn が (1-r) を因数にもつことは、f(r) = 1 - rn とおき、f(1) = 0 であることからも示せる。
11/28 - 2 例題 2 等比数列なので、k, kr, kr2, kr3, … , kr(n-1), … a2 = kr = 6, a4 = kr3 = 54 である。 a4/a2 = r2 なので、r2 = 9 より、公比 r = ±3 kr = 6 なので、k = 6/r = ±2（複合同順） この初項、公比によりできる等比数列は、次の 2 通り。 2, 6, 18, 54, 162 … -2, 6, -18, 54, -162 … 問 7 (1) a1 = k = 5, a4 = kr3 = -40 である。 a4/a1 = r3 なので、r3 = -8 より、公比 r = -2※ この初項、公比によりできる等比数列は 5, -10, 20, -40, 80, -160，… ※ -1 の 3 乗根は、複素数まで含めると、-1 または (1±i√3)/2 であるが、 （複素平面内で±60 度の回転に相当する複素数であるため） 特に断りのない限り、実数の範囲で解いて良いものとする。 1 の立方根のうち虚数解 , 2 =（-1±i√3)/2 を用いると、-1 の立方根虚数解は -, -2 虚数を許して等差数列を考えると、その場合は、公比は、-2 以外に、-2, -22 でもよく、 5, -10, 20, -40, 80, -160, … 5, -10, 202, -40, 80, -1602，… 5, -102, 20, -40, 802, -160， … の 3 通りの等比数列となる。なお、3 = 1, 4 = 3･ = である。 (2) a2 = kr = 162, a4 = kr3 = 18 なので、r2 = 1/9, よって公比 r = ±1/3、初項 k = ±486（複合同順） この初項、公比によりできる数列は、次の 2 通り。 486, 162, 54, 18, 6, 2, 2/3 … -486, 162, -54, 18, -6, 2, -2/3 … 問 8 a1 = k = -8, a4 = kr3 = -1 より、 a4/a1 = r3 = 1/8 なので、r = 1/2（虚数解まで含めると、他に、/2, 2/2） 一般項は、an = kr(n-1) = -8×(1/2)(n-1) なので、 a10 = -8/29 = -1/26 = -1/64 （虚数解を含めた場合でも、a1, a4, a7, a10, a13 … は実数のみとなる） ↑ a1, a4 が実数であるような等比数列なので。 例題 3 方法１）実際に等比数列を書いて、和を求めてみる。特に解き方の指定がなければ、こちらで OK。 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, … 公比が 3 と（1 と比較して）かなり大きいので、書きだした数列を実際に足してみなくても、 a6 + a7 = 243 + 729 < 1093, および a8 > 1093 くらいの数値の大小関係がすぐに見てとれるはず。従って、すぐにアタリがついて、n = 7 のとき、 S7 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1093 方法２）一般的な方法でも解けるようにしておこう。 Sn = k(1-rn)/(1-r) に、公比 r = 3, 初項 k = 1 を代入する。 Sn = (1 - 3n)/(1 - 3) = (3n - 1)/2 Sn = 1093 とおくと、(3n - 1)/2 = 1093 より、3n = 2186 + 1 = 37
→ 計算機等があれば、log3(2187) = log10(2187)/log10(3) = 7 の計算で答えが簡単に求まるが、
手計算で行う場合、3n について、3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561 …と計算するのなら、
方法 1 で、等比数列を書きだすのと同等の労力が必要になる。
→ 32 = 9 ≒ 10 より、34 = 81 ≒ 100, 36 = 729 ≒ 1000 と考えると（誤差は大きいが）、
2187 についても、36 < 1000 < 2187 より、37 程度というアタリを付けることもできる。
11/28 - 3 問 9 初項や公比が整数ではないような数列の和は、一般的な方法（公式を用いる）で求める方が楽。 (1) 初項 k=1, 公比 2 の等比数列である。一般項は、an = 2(n-1) Sn = k(1-rn)/(1-r) なので、初項 k、公比 r に値を代入し、式を整理すると、Sn = 2n-1 となる。 27 (2(8-1)) は、第 8 項なので、S 8 = 28-1 = 255 （別解）S7 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 を計算する（公式に頼らなくても計算できる）。 (2) 初項 k=1, 公比 -1/2 の等比数列である。一般項は、an = (-1/2)n-1 Sn = k(1-rn)/(1-r) なので、初項 k、公比 r に値を代入し、式を整理すると、 Sn = {1-(-1/2)n}×2/3 となる。 -1/29 は、第 10 項なので、S 10 = {1-(-1/2)10}×2/3 = (210-1)/210 ×2/3 = 1023×2/(1024×3) = 341/512 （別解）S10 = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + 1/64 - 1/128 + 1/256 - 1/512 を計算する。 通分して、S10 = {512 - 256 + 128 - 64 + 32 - 16 + 8 - 4 + 2 - 1}/512 とすると計算しやすい。 （注意）通分後の式からも分かるように、計算結果の分母は少なくとも 2n-1（=512) までは約分できる。 (3) 初項 k=√3, 公比 -1/√3 の等比数列である。一般項は、an = √3×(-1/√3)n-1 Sn = k(1-rn)/(1-r) = k(pn-1)/(pn-1･(p-1)) （ただし、p = 1/r) なので、 初項 k=√3, 公比 -1/√3, p = -√3 の値を代入し、n=10 について 式を整理すると、 S10 = √3((-√3)10 - 1)/{(-√3)9･(-√3-1)} = √3(( √3)10 - 1)/{ (√3)9･(√3+1) } = ((√3)10 - 1)/{ (√3)8･(√3+1) } = (√3-1)((√3)10 - 1)/{ (√3)8･(√3+1)･(√3-1) } = (√3-1)(35 - 1)/{34･2} = (√3-1)×121/81 （別解）S10 = √3 - 1 + 1/√3 - 1/(√3)2 + 1/(√3)3 - 1/(√3)4 + … + 1/(√3)7 - 1/(√3)8 = -{(-√3)9 + (-√3)8 + (-√3)7 + (-√3)6 + (-√3)5 + … + (-√3)1 + (-√3)0 }/(√3)8 の計算を試みてもよい。分子は、初項 1, 公比 -√3 の等比数列の和 S'nの符号を変えたもの。 -S'10 = -((-√3)10-1)/(-√3 - 1) = (35 -1)/(√3 + 1) = (35 -1)(√3-1)/2 よって、-S'10/34 = (√3-1)×121/81 が答えとなる。 (4) 初項 2, 公比 3 の等比数列である。一般項は、an = 2×3n-1 486 = an = 2×3n-1 とおくと、3n-1 = 243 = 35 より、n = 6 Sn = k(rn-1)/(r-1) に、初項 k=2, 公比 r=3, および n=6 を代入し、整理する。 S6 = 2(36-1)/(3-1) = 36 - 1 = 728 （別解） S6 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 を計算してもよい。 問 10 初項を k, 公比を r と置く。一般項は、an = krn-1 さて、Sn = k(rn-1)/(r-1) なので、k = Sn×(r-1)/(rn-1) S3 = k(r3-1)/(r-1) = 6, → k = 6×(r-1)/(r3-1) S6 = k(r6-1)/(r-1) = -42 → k =-42×(r-1)/(r6-1) を連立方程式として解く。 左辺 k は共通で等しいので、 6×(r-1)/(r3-1) = -42×(r-1)/(r6-1) 6/(r3-1) = -42/(r6-1) (r6-1)/(r3-1) = -42/6 （r6 = (r3)2 なので、(r6-1) = (r3+1)(r3-1) と因数分解でき、） (r3+1)(r3-1)/(r3-1) = -42/6 (r3+1) = -7 r3 = -8 よって、r = -2 k = 6×(r-1)/(r3-1) に代入して、k = 2
11/28 - 4 問題集 480 (1) 第 4 項と第 5 項が与えられているので、公比 r がすぐに分かる。 r = a5/a4 = -2 よって、数列は 2, -4, 8, -16, 32, … (2) a1 = k = -1, a5 = kr4 = -1/16 である。 a5/a1 = r4 = 1/16、よって、r = ±1/2, ±i/2 の 4 通りがあり得る。 数列は、 -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, … -1, 1/2, -1/4, 1/8, -1/16, … -1, -i/2, 1/4, i/8, -1/16, … -1, i/2, 1/4, -i/8, -1/16, … が考えられる。実数のみの範囲で考える場合は、上の 2 つのみ。 (3) a2 = kr = 3, a4 = kr3 = 9 より、r2 = 3 よって、r = ±√3 考えられる数列は、 -√3, 3, -3√3, 9, -9√3, … √3, 3, 3√3, 9, 9√3, … 481 (1) a1 = k = 1, a2 = kr = 2 より、r = 2 一般項は、an = 2n-1, 第 10 項 a10 = 29 = 512 (2) a1 = k = 1/12, a4 = kr3 = 9/4 より、r3 = 27, よって、r = 3（および、3, 32） 一般項は、an = 3n-1/12 = 3n-2/4, 第 10 項 a10 = 38/4 = 6561/4 (= 1640+1/4) (3) a2 = kr = 1/√2, a4 = kr3 = √2 より、r2 = 2、よって r = ±√2、初項は k = ±1/2（複合同順） 一般項は、±1/2×(±√2)n-1 (複合同順）、第 10 項 a 10 = (√2)9/2 = 8√2 具体的な数列は、 -1/2, √2/2, -1, √2, -2, 2√2, -4, 4√2, -8, 8√2, -16, … 1/2, √2/2, 1, √2, 2, 2√2, 4, 4√2, 8, 8√2, 16, … 482 (1) a1 = k = 1/12, a2 = kr = 1/4 より、r = 3 S10 = k(rn-1)/(r-1) = 1/12×(310-1)/(3-1) = 7381/3 (= 2460+1/3) (2) a1 = k = 1/2, a2 = kr = 1/√2 より、r = √2, 一般項は、(√2)n-1/2 16 = (√2)n-1/2 と置くと、n-1 = 10 なので、n = 11 （具体的な数列は、1/2, √2/2, 1, √2, 2, 2√2, 4, 4√2, 8, 8√2, 16, …） よって、S11 = k(rn-1)/(r-1) = 1/2×((√2)11 - 1)/(√2 - 1) = 1/2×((√2)11 - 1)(√2 + 1) /{(√2 - 1)･(√2 + 1)} = (32√2 - 1)(√2 + 1)/2 = (64 + 31√2 - 1)/2 = (63 + 31√2)/2 483 初項を k, 公比を r とおく。 S2 = k(r2-1)/(r-1) = 9、 S4 = k(r4-1)/(r-1) = 45 より (r4-1)/(r2-1) = 5 (r4-1) = (r2+1)(r2-1) なので、(r2+1) = 5 となり、これより、r = ±2 である。 これを、S2 = k(r2-1)/(r-1) = 9 に代入して求める。 k = 9(r-1)/(r2-1) なので、r = +2 のとき、k = 3、r = -2 のとき、k = -9 具体的な数列は、次のいずれか。 3, 6, 12, 24, 48, … -9, 18, -36, 72, -144, …
