2019.11.21 1-4 数学 B 第７章 場合の数と数列 §2 数列 2.1-2 数列, 等差数列 ※ 年間授業計画の関係で、中間試験前に授業が行われますが、期末試験の範囲となる予定です。 【授業目標】 数列の意味を理解し、一般項から特定の位置の項の数字が予測できる。 等差数列の第 n 項までの和を求める公式を組み立て、利用することができる。 【本日の宿題】 教科書１～６、問題集 475～479 ○ 言葉 数列
sequence
一定の規則に従って順に並べられた数の列。有限であったり、無限に続いたりする。 任意の第 n 項が一意に決まるならば、実はどんな規則に従っていても構わない。 項term
並んでいる数のひとつひとつ。多項式における項と同じ言葉。 初項（第 1 項） a1, … , 第 n 項 an, … , 末項 一般項 第 n 項 an を、n を含む数式で表したもの。 → { } は、集合を作る記号。たとえば、{x| x < 3 } は、「x について、3 未満のもの」の集合。 一般項を { } で括ったもの … この教科書では、数列を表すためにも使うと書いてある。 例 {an} a1, a2, a3, … , an, … 例 {2n-1} 1, 3, 5, 7, 9, … 条件を付して記述するもの 例 {an| an は n 番目の素数} → { } を集合として扱う場合、{1, 3, 5} と {1, 5, 3} などは同じものとみなされる。" {a, b, c} = {a, c, b} is the set containing a, b, and c, and nothing else (there is no order among the elements of a set). " → {a, b, c} = {a, c, b} は、a, b, c を含む集合であり、それ以外の要素を含まない（集合の中の要素間に順序関係はない）。 引用先 https://en.wikipedia.org/wiki/Set-builder_notation 漸化式（ぜんかしき） recurrence formula/relation, 再帰的な/回帰的な/循環的な数式/関係式 an+1 を an との関係式で示すなど、いくつかの項の間の関係式で記述する方法。§2.5 ただし、初項などを同時に定めないと、数列はただ一つに決まらない。 ○ 数列における「一定の規則」とは、… 1, 2, 3, 4, 5, 6, … 一般項は、an = n 、 1 を初項とし、公差 d = 1 の等差数列 漸化式は、an+1 = an + 1, a1 = 1 10, 14, 18, 22, 26, … 一般項は、an = 4n + 6 、 10 を初項とし、公差 d = 4 の等差数列 漸化式は、an+1 = an + 4, a1 = 10 1, 4, 9, 16, 25, 36, … 一般項は、an = n2 、 階差数列が 3, 5, 7, 9, 11, … となるもの。 漸化式は、an+1 = an + 2n + 1, a1 = 1 1, 2, 4, 7, 11, 16, … 一般項は、an = (n2-n+2)/2、階差数列が 1, 2, 3, 4, 5, … となるもの。 漸化式は、an+1 = an + n, a1 = 1 2, 4, 8, 16, 32, 64, … 一般項は、an = 2n 、 2 を初項とし、公比 r = 2 の等比数列 漸化式は、an+1 = an × 2, a1 = 2 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … 一般項は、an = 1/n 、逆数を取ると等差数列になるもの（調和数列） 漸化式は、an+1 = an × n/(n+1), a1 = 1 1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5,… 一般項は、an = (-1)n-1/n 漸化式は、an+1 = an × -n/(n+1), a1 = 1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 漸化式は、an+2 = an+1 + an, a2 = a1 = 1, 「フィボナッチ数列」
○ なぞなぞレベル？ の数列（ウェブで見つけたものを含む） … これらも立派な数列です。 2, 10, 5, 25, 20, 100, 95, 475, … n が偶数のとき前項の 5 倍、n が奇数のとき前項から 5 を引く。 10, 11, 12, 8, 12, 7, 6, 13, 2, 4, 14, -3, … n mod 3 = 1 のとき「10, 8, 6, 4, …」、n mod 3 = 2 のとき「11, 12, 13, 14, …」、n mod 3 = 0 のとき「12, 7, 2, -3, …」を並べたもの → ただしここで mod は modulo モジュロ（前置詞的に用いる）の略、剰余、割った余りを指すので、n mod 3 は n を 3 で割った余りの意味。「n mod 3 = 1 のとき」を別の表現をすると「3 を法として n の 剰余が 1 であるとき」または「n ≡ 1 (mod 3)、3 を法として 1 と合同であるとき」などです。） → 等差数列の各項は、公差 d を法として合同（公差 d で割った余りが同じ）になります。 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, … 「Look-and-say sequence」その名の通り、前項を見た通り表現す る。第 2 項は第 1 項について 1 個の 1, 第 3 項は第 2 項について 2 個の 1, …。なお、英語風なので個 数が先に来ています。つまり、one 1, two 1s, one 2 and one 1, …といった具合。
1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, … an は、円周率 を十進数で表した時の小数点以下 n 位の数 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … an は n 番目の素数 1, 4, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, … 原子番号 n の元素の代表的な同位体の原子量 10, 6, 13, 1, 13, 10, 10, 1, 19, 15, 14, 4 … 各月の英語表記の頭文字のアルファベット順 ○ 数列は、身の周りの案外近くにある ・ 今日は 11/10 の日曜だ、明日から学校、憂鬱だなあ、次の日曜はいつだろう。その次は？ → 10, 17, 24 公差 7 の等差数列になってる。でも 31 日は無いんだ、11 月だから … ・ 今月アルバイトで稼いだ 1 万円を、銀行に預けて毎月倍になるような利息で複利計算したら、どれだけ 増えるか妄想してみよう。 → 10000, 20000, 40000, 80000, 160000, 320000, … 公比 2 の等比数列 → 一般項が 2n-1×10000 だから、来年（12 ヵ月後, n=13）には、4000 万円越えか… ・ ラの音は 440 Hz と国際的に決まっているらしい。他の音の周波数も調べてみよう。 → （ラから半音ごとに）440, 466, 494, 523, 554, 587, 622, 659, 699, 740, 784, 831, 880 公比およそ 1.0595 の等比数列で、ラと 1 オクターブ高いラ以外は、端数を丸めたもの。 1.059512 ≒ 2。1 オクターブ（半音×12）で周波数が 2 倍になる関係がある。 → 「ピタゴラス音律では、ドの弦の長さを 1 とすると、ソは 2/3 、1 オクターブ高いドは 1/2 の長さになる。各項の逆数はそれぞれ 1, 3/2, 2 となり、公差が 1/2 の等差数列と なる。」（ウィキペディア、調和数列） ・ 飼っているウサギ可愛いなあ。ウサギの番（つがい）が生後 2 ヵ月以降、毎月一番（ひとつがい）のウ サギを産んだら、どんどん殖えて楽しいだろうなあ。さらにウサギがずっと死なないとしたら、ウサギ の赤ちゃんをお迎えしてから、ウサギの番の数は、毎月どう殖えていくかな。 → 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 月ごとのウサギの番の数、フィボナッチ数列 → 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 月ごとに仔を産めるウサギの番の数、階差数列 この階差数列は、このウサギが生後 1 ヵ月目は仔を産めないので、ひとつき遅れになっている。 ○ 一定の規則が判ったら何ができるのか ・ すでに明らかにされている数列部分より、規則を見出すと、その先を予測することができる。 ・ 一般項が n で表されていたら、任意の n について、第 n 項を知ることができる。 ・ 漸化式が与えられていると、前の項（および、更にひとつ前の項など）から次の項を予測できる。 実は、漸化式から一般項を導くこともできる。 例 公差 d の等差数列 an+1 = an + d, a1 = k → an = (n-1)d + k 例 公比 r の等比数列 an+1 = an×r , a1 = k → an = r(n-1) × k 例 フィボナッチ数列 an+2 = an+1 + an, a1 = a2 = 1 → an = 1 √5
{(
1+√5 2)
𝑛− (
1−√5 2)
𝑛}
↑ ビネの公式※（覚える必要はありません） ※ 証明は、https://mathtrain.jp/fibonacci などを参照。教科書問題 問 1 おおよそ、次の 2 通りの計算方法があり得る。 ・ n に 1 から 5 を代入して計算する。 ・ 一般項の式から、前の項との関係を読み取り、そのルールに基づいて項を計算する。 (1) 公差 3 の等差数列である n が 1 増えたとき、項の値は 3 増える。すなわち、an+1 - an = (3(n+1)-1) - (3n-1) = 3 初項は、2。すなわち、3n-1 に n=1 を代入して、a1 = 2 2, 5, 8, 11, 14 がはじめの 5 項 (2) 公比 -1/2 の等比数列であり（bn+1/bn = -1/2)、初項は -1/2 -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, -1/32 がはじめの 5 項 (3) 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, 1/30 がはじめの 5 項 各項の逆数 dn =（n(n+1)) は、2, 6, 12, 20, 30, 42, … であり、 その階差数列が 4, 6, 8, 10, 12, … と等差数列になっている。dn+1 = dn + 2(n+1) 問 2 an = (-1)n-1 は、+1 と -1 が交互に出現する、公比 = -1 の等比数列になる。 (1) +1, -1, +1, -1, +1, -1 がはじめの 6 項 (2) an + 1 が 2, 0 が交互に出現する数列になるので、bn は、1, 0, 1, 0, 1, 0 がはじめの 6 項。 問 3 等差数列になるようにする。等差数列を漸化式で書くと、an+1 = an + d (1) a3 = a2 + d, a2 = a1 + d なので、a3 = a1 + 2d である。つまり、10-2 = 2d なので公差は 4。 従って、2, 6, 10, 14, 18 となる。 (2) 同様に、a5 = a2 + 3d なので、4-(-5) = 3d よりこの等差数列の公差は 3 従って、-8, -5, -2, 1, 4 となる。 問 4 一般式を書くことが如何に強力なのかを感じ取って下さい。 (1) 初項が与えられているので、n=1 でも成り立つように書く。 → an = -3n + k ただし、n = 1 のとき an = 32 32 = -3×1 + k k = 35 よって、一般項 an = 35 - 3n （または、-3n + 35) (2) 求めた一般項に、n = 10 を足す。 または、初項に、公差×(10-1) を足す。 a10 = 35 - 3×10 = 5 または、an = a1 + (n-1)×d より、a10 = 32 + (10-1)×(-3) = 5 (3) 一般項について、an = -22 とおき、方程式より n を求める。 または、初項との差を公差で割り、初項とどれだけ離れているかを求める。 an = 35 - 3n = -22 より、移項して、35 + 22 = 3n, n = 57/3 = 19 答え 第 19 項 または、-22 - a1 = -22 - 32 = -54 これが n-1 に相当するので、n = 19 (4) an < 0 の不等式を満たす n について、最小のものを求める。 an = 35 - 3n < 0 より、35 < 3n 両辺を 3 で割る。正なので、不等号の向きは変化せず、35/3 < n 小数点以下 1 桁まで丸めて表示すると、11.7 < n である。 ↑ n について整数の範囲で階を求めたいためである。もちろん分数で示してもよい。 よって、初項から第 11 項まではこの不等式は成立せず、第 12 項以降で成立する。 つまり、第 12 項で初めて負の数となる。 ○ 等差数列の初項から第 n 項までの総和 (
Summation)
約束事 初項から第 n 項までの和を Sn で表す。 つまり、Sn = ∑𝑛𝑘=1𝑎𝑘 Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an 𝑎𝑘 𝑛 𝑘=1 ak と書かれている部分の k について、1 から n 迄 の範囲で総和を取る。例題 あなたならどう解く？ →「1 から 100 までの整数をすべて足しなさい」 ・ そのままいわれたように計算をする。 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = … 99 回の足し算を繰り返す。もちろんそれでも OK です。でも、どこかでミスをしてしまいませんか。 ・ プログラミングを行い、実行する。以下は、十進 BASIC でのソースコードの例。 LET s = 0 FOR k = 1 TO 100 step 1 LET s = s + k ! s に、現時点の s の値に k を足したものを代入しなおす。 NEXT k PRINT s END プログラムを見れば、どのような計算をさせているのかも（慣れれば）すぐ分かるし、 計算ミスもありません。 等差数列の和を取りたいときは、step 1 のところを、1 から公差に書き換える。 ・ エクセルによる表計算を行う。 セル A1 に数値として「1」を入力。 セル A1 の枠の右下位置にカーソルを持っていき、A100 までドラッグする。 オートフィルオプションで「連続データ」を選ぶ。A100 が「100」になります。 A101 に「 = SUM(A1:A100) 」と入力する。 等差数列の和を取りたいときは、A1, A2 に初項と第 2 項を入力後、同様の方法で、 2 つのセルを選んでから下方にオートフィルによるコピー（連続データ）を行う。 ※ 一般項が複雑な場合は、A 列に n を数値で、B 列に an の一般項を計算式で入力してもよい。 ・ ガウスはこうした。 引用先 https://ja.wikipedia.org/wiki/カール・フリードリヒ・ガウス 「子供の頃から彼は神童ぶりを発揮し、逸話として、小学校での話が残っている。 ある時、1 から 100 までの数字すべてを足すように課題を出された。それを彼は、 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, …, 50 + 51 = 101 となるので 答えは 101 × 50 = 5050 だ、と即座に解答して教師を驚かせた。」 ・具体的な等差数列での計算例 一般項は an = n, 実際の数列は 1, 2, 3, 4, 5, 6, … S1 = 1 = 1･2/2 S2 = 1 + 2 = 3 = 2･3/2 S3 = 1 + 2 + 3 = 6 = 3･4/2 S4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4･5/2 S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 5･6/2 ： Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n-1 + n = n(n+1)/2 Sn = 1 + 2 + 3 + … + n-1 + n ＋) Sn = n + n-1 + n-2 + … + 2 + 1 2×Sn = (n + 1) + (n-1 + 2) + (n-2 + 3) + … + (2 + n-1) + (1 + n) └──── 第 1 項から第 n 項まで、全 n 項の和 ────┘ 全ての項が、初項と末項の和に等しくなっている。 ← 等差数列のときだけ = n×(a1 + an) = n×(1 + n) 一般的に、等差数列は、an = k + d×(n-1) で表される。ただし、k は初項、d は公差。 上と同様に、 Sn = n×(a1 + an)/2 ← この形を覚えるべき = n×(k + (k + d×(n-1))) = n×(2k + d(n-1)) 台形の求積公式と同じ、と覚えるとよい
教科書問題 例題 1 条件に合うものを列挙すると、102, 105, 108, … 195, 198 までの (198-102)/3 + 1 項。 → 102, 105 の 2 つしかない場合に (105-102)/3 + 1 = 2 になることで項の数の式を確認する。 この数列の和を Sn と置くと、n = (198-102)/3 + 1 = 33 で、 2×Sn = n × (a1 + an) 2×S33 = 33×(102+198) S33 = 33×300/2 = 4950 問 5 公差と、末項が何番目の項であるかを見極める。 (1) 第 1 項と第 2 項の差より、公差 d= +3 である。 初項と末項の差は、d×(n-1) に等しいので、 34 - (-2) = 36 = 3(n-1) より、n = 13 よって、S13 = 13×(-2 + 34)/2 = 208 (2) 第 1 項と第 2 項の差より、公差 d= +2 である。 第 1 項 1 = 2×1 - 1, 第 2 項 3 = 2×2 - 1 となっているので、第 n 項が 2n-1 である。 ここでは、第 1 項より第 n 項までの和を求めるので、 2×Sn = n×(a1 + an) = n×(1 + 2n-1) = 2n2 よって、Sn = n2 （教科書の図についての解説） → ○を並べて正方形を作ることを考える。 一辺 k の正方形の右および下に k 個、右下の隅に 1 個の○を追加すると一回り大きい正方形になる。 つまり、k2 + (2k+1) = (k+1)2 の関係が成り立つ。右辺を展開すると、k2 + 2k + 1 で左辺と等しい。 だから、1 + 3 + 5 + … + 2k+1 は、k がどんな値であっても 正方形の面積 (k+1)2 に等しい。 n = k+1 を代入すると、1 + 3 + 5 + … + 2n-1 は、正方形の面積 n2 に等しいことが分かる。 問 6 解き方 1）数列を書き出し、和を取ってみる。数項までの和ならこの方が速い。 5, 8, 11, 14, 17, 20, … S2 = 13 S3 = 24 S4 = 38 S5 = 55 一般的な解き方）Sn の一般式を用いる。 初項 5, 公差 3 なので、一般項は、an = 5 + 3(n-1) である。 今、第 k 項までの和が 55 だとすると、 一般に、Sk = k×(a1 + ak)/2 であるから、 Sk = 55 = k×(5 + 5 + 3(k-1)) /2 = k×(7 + 3k) /2 = {3k2 + 7k}/2 これを k についての二次方程式 3k2 + 7k - 110 = 0 として解く。 → 解の公式に代入して、 k = {-7 ±√(72 -4･3･(-110))}/(2×3) = (-7 ±√1369)/6 = (-7 ±37)/6 = +5, -7-(1/3) ここで、k < 0 （第 k 項の k がマイナス）は意味がないので捨て去る。よって、k = 5 → 因数定理より、f(k) = 3k2 + 7k - 110 の係数は、 a = 3 = 1×3, c = 110 = 2×5×11 なので、 （解は、c の因数/a の因数の形で表され、110 は 3 では割り切れないから） 整数解の候補は、1, 2, 5, 10, 11, 22, … などである。試しに代入すると、k=5 のとき f(k) = 0 （因数分解の問題ではないので、一つでも整数解が見つかれば、それで終わりで OK） 答え、第 5 項までの和が、 S5 = 55 である。
問題集 475 ・ n に 1 から 5 を代入して計算する。 ・ 一般項の式から、前の項との関係を読み取り、そのルールに基づいて項を計算する。 (1) 初項 3, 公差 -2 の等差数列。3, 1, -1, -3, -5 がはじめの 5 項 (2) 代入で求める。2, 2, 8/3, 4, 32/5 がはじめの 5 項 (3) 代入で求める。-2, 0, -2, 0, -2 がはじめの 5 項 476 ・ an = d×n + k について、初項の場合は n=1 など、特定の項で成り立つように k を決める。 (1) 初項と第 4 項の間には、3d の差がある。よって、d = (14-5)/3 = 3 → an = 3n + 2 (2) 第 3 項と第 10 項の間には、7d の差がある。よって、d = (3-10)/7 = -1 an = -n + k とおき、n=3 のとき an = 10 より、k を求める。 → an = -n + 13 (3) 初項が-1 で、公差が +2 であるので、→ an = 2n - 3 (4) 初項が 2 で、公差が -0.5 であるので、→ an = -n/2 + 5/2 477 (1) an = 4×n + k について、n=1 で an = -68 になるように k を定める。 → an = 4×n - 72 (2) an = 4×n - 72 = -32 を満たすように、n を定めると、n = 10 なので、第 n 項 a10 = -32 である。 (3) an > 0 を解くと、4×n - 72 > 0 なので、4n > 72 より、n > 18 である。第 19 項より正となる。 478 Sn = n×(a1 + an)/2 を用いる。 (1) 一般項は、an = 3n + 2 であるので、 初項から第 10 項までの和は、S10 = 10×(a1 + a10) /2 = 10×(5 + 32)/2 = 185 (2) 初項 -1, 公差 d = 2 であり, 末項 19 は、(19-(-1)) = d×(n-1) より、n = 11、 第 11 項である。 よって、S11 = 11×(-1 + 19)/2 = 99 (3) 100, 105, 110, … , 995 までの和である。これを数列として表すと、初項 100、公差 5 の等差数列で 末項 995 は、(995 - 100) = 5×(n-1) より、n = 180、第 180 項である。 よって、S180 = 180×(100+995)/2 = 98550 479 477 で扱ったものと同じ数列である。an = 4×n - 72 (1) S10 = 10×(a1 + a10)/2 = 10×(-68 + -32)/2 = -500 (2) Sn > 0 について解く。 Sn = n×(a1 + an)/2 = n×(-68 + 4×n - 72)/2 = n×(-140 + 4n)/2 = 2n2 - 70n Sn > 0 より、2n2 - 70n = 2n×(n - 35)> 0 ところで、n は数列における項の番号なので、必ず n > 0 である。 従って、両辺を 2n(>0) で割っても不等号の向きは変わらないので、 2n×(n - 35> 0 より、(n - 35)> 0 として解いて良い。 n - 35 > 0 より、n > 35 よって、Sn は、第 36 項目までの和から、正の値となる。（第 35 項目までの和は、0）
