2019.04.19 1-4 数学 B １章 数と式の計算 §1 整式の計算 1.4 整式の除法 【授業目標】 ・整式 P を、等しいか、または、より次数の低い整式 A で除して、P = AQ + R のように表せるようになる。 ただし、Q は商、R は整式 A より次数の低い整式で、余り。 ・整数と同様に、整式についても最大公約数や最小公倍数を求めることができる。 p10 の説明 m 次の整式 P を n 次の整式 A で割ると、商 Q は、(m-n)次になる。 ←→ P = A･Q + R , P の次数と A･Q の次数は同じになる。 余り Q は、A よりも次数が低い。同じ次数の整式なら、まだ割れるということ。 例 3 次の整式 P を 2 次の整式 A で割ると、商 Q は 1 次の整式、余りは 1 次以下の整式になる。 3 次の整式 P を 1 次の整式 B で割ると、商 Q'は 2 次の整式、余りは定数項（0 次の整式）になる。 例題 5 問 15,16 p12 整式 P がある整式 A で割り切れるときには、P = AQ と表すことができる ← 因数分解したことを示す。 整式 A, 整式 Q は整式 P の因数である。教科書 p7 整式 A, 整式 Q は整式 P の約数であるともいう。教科書 p12 … 言葉は違うが、同じことを表している。 整式 P は、整式 A や整式 Q の倍数である。 共通の因数 － 共通の約数 ← 公約数 公約数のうち、次数が最大のものを最大公約数という。 A, B, C, D … がこれ以上因数分解できない（1 次の）整式とする。
P = A･B･C 、S = A･B･D なら、整式 A, B は共通の因数、公約数。整式の積 A･B も共通の因数で公約数。 整式 P と整式 S の最大公約数は A･B 整式 P と整式 S の最小公倍数は A･B･C･D 全体に係る係数がある場合は、係数を素因数分解して、最大公約数や最小公倍数を見つける → 例題 6
【本日の宿題】
教科書 問 15～17
【宿題の予告】
4/26（GW 前の授業）では、次の範囲（＋α）を宿題に課します。提出は、5/7 の授業。
新基礎数学問題集 pp.3～7、番号 1～34
余裕があれば、あらかじめ進めておいてください。
コメント ・ 「z」と数字の「2」を書き間違えたり読み間違えたりしたというコメントがありましたが、 z の真ん中の斜線にクロスするように短い線を追加する書き方があります。 中央にクロスする短い横線は、斜めでも構いません。 ・ 宿題で間違ったところは、どこで間違ったのかを確認し、やり直しをする。 間違えた理由を考え、同じ間違いをしないようにする。ということが大事ですよ。 ・ 前回（4/16）二次方程式の解の公式を用いた因数分解の説明が分かりにくかったという指摘があったので、 解説しなおし。 －－－ ココカラ －－－ ※ 二次方程式の解の公式 Ax2 + Bx + C = 0 に対し、解は x = (-B ± √(B2 - 4AC)/2A なので、 この 2 つの解を , とするとき、Ax2 + Bx + C = A(x-)(x-) と因数分解できる。
（+ = -2B/2A = -B/A、･ = ((-B)2-(B2-4AC))/4A2 = -4AC/4A2 = -C/A（符号ミス、+です）である。
ただし、判定式 B2 - 4AC が負の場合は、, が実数とはならずに虚数になる。） －－－ ココマデ －－－ → f(x) = Ax2 + Bx + C = 0 の解を、x = , とすると、f(x) = A(x-)(x-) と因数分解される。 x = , はこの方程式の解なので、f() = 0、f() = 0 である。 これを満たす二次式が因数分解できるならば、f(x) = k(x-)(x-) でなければならない。 ∵ x = のとき (x-) = 0 で、f(x) = 0、x = のとき (x-) = 0 で、f() = 0 となる。 係数 k は、f() = 0、f() = 0 であるためには何でもよいが、与式と比較して k = A となる。 f(x) = A(x-)(x-) を展開すると、f(x) = Ax2 - A(+)x + A･･ となる。
二次方程式の解の公式 , = (-B ± √(B2 - 4AC)/2A をこの展開した式の係数に代入して確認する。
+ = -2B/2A = -B/A、･ = ((-B)2-(B2-4AC))/4A2 = 4AC/4A2 = C/A なので、
f(x) = Ax2 - A(+)x + A･･ = Ax2 + Bx + C となることが確認できる。 ただし、判定式 B2 - 4AC が負の場合は、, が実数とはならずに虚数になる。 ・ たすき掛けの図式はきちんと使えていますか（再掲） 問 13(1) 5x2 + 13x + 6 ① ac の組み合わせ（5 は素数なので、1×5 の 1 通りのみ）を書く。 2 通り以上あるときは漏れがないように両方書いておく（答えが見つかった時点で終了して OK）。 ② bd の組み合わせを検討する。x の一次の係数が正だから、負×負は検討に入れなくて良い。 すべての組み合わせについて、たすき掛けで積 bc、ad を求めながら、これらを足す作業を同時に行う。 よって、与式 = (x+2)(5x+3)。 検算として、展開により与式と等しくなることを必ず確認すること。
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2019.04.19 1-4 数学 B
・ 式変形に際し、自分の判断で（問題文に定義されていない）文字の置き換えをすることがあります。どのよ うな文字の置き換えをしたのかが明記されていないものは不正解です。
例 (a+b+c)2 = (A+c)2 ← 何を A と置くのかが明示されていないので減点の対象です。
= A2 + 2Ac + c2 このように比較してみれば明らかにわかる場合でも、です。
= (a+b)2 + 2(a+b)c + c2 式変形を始める前に「A = (a+b) と置く」と明示して下さい。
： ・「証明せよ」は、「計算せよ」とは違い、「説明せよ」という意味合いを含んでいます。なので、途中の式 変形だけを書くのでは本来不十分です。かならず説明のための言葉を補って下さい。 例 教科書 p6 問 7 展開公式(V) の第 2 式を証明せよ（ただし、第 1 式を利用してよいものとする）※。 証明するべき式 ： (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 （2） 利用して良い式 ： (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 （1） (2) 式左辺は、-b = B と置くと、(a+B)3 となる。 そのため、(1)の公式を利用して展開すると、以下のようになる。 (2) 式左辺 = (a-b)3 = (a+B)3 = (a+B)3 = a3 + 3a2B + 3aB2 + B3 ここで、B = -b を代入する。 (2) 式左辺 = a3 + 3a2B + 3aB2 + B3 = a3 + 3a2(-b) + 3a(-b)2 + (-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (2) 式右辺 Q.E.D. （「証明終了」のこと） 授業中にもコメントしたように、その展開公式の V-1 を用いずに、展開していってももちろん OK です。 たとえば、(a-b)3 = (a-b)･(a-b)2 のように式変形してやれば、計算しやすくなりますね。 いずれにしても、なにをどうしているのか、何を示したいのか（ここでは、証明の結論として「(2) 式の左辺 が同式右辺に等しいこと」）を、読み手に誤解なく伝わるように書くことが大事です。 ※ （ただし、第 1 式を利用してよいものとする）の条件は、問題文に明示されていませんが、a-b を a+(-b) と式変形する（ことで、第 1 式に帰着させる）という手順を求めているので、前提として認められるものと判 断しています。
前回（4/16）の教科書の問題についてのヒント 問 11 ※ (2) や (4) の問題は、それぞれの文字について何次であるのかを考えると答えに近づきやすい。 (2) a について 1 次、b について 1 次である。従って、与式を因数分解したとき、2 つ（以上）の因数にともに a が含まれたり、ともに b が含まれたりすることはあり得ない（その場合は、展開したときに、a や b について 2 次以上の式となる）。 第 2 項と第 3 項を 3b で括り、項の順を入れ換える。 与式 = 2a - 2 + 3b(a-1) = 2(a-1) + 3b(a-1) 共通因数 (a-1) が見つかったので、括り出す。 a について降順に整理する。 与式 = 2a + 3ab -(3b+2) = a(2+3b) -(3b+2) 共通因数 (3b+2) が見つかったので、括り出す。
なお、a = A+1 を与式に代入すると式が簡単になる（A = a-1 が因数であるため）。 与式 = 2a - 3b + 3ab -2 = 2A + 2 - 3b + 3(A+1)b - 2 = 2A + 3Ab (4) それぞれの文字について 2 次である。+4bc というクロス項があるので、b についての一次式と c について の一次式の積を含みそうである。そこで、b,c についての整式の部分を整理する。 与式 = a2 - (b2 - 4bc + 4c2) カッコの中は公式 II を適用して因数分解できる（C = 2c と置いてもよい）。 (1) まず各項に共通する a で括って次数を下げる。 a2 - 6ab +9b2 を公式 II に適用するために、3b = B と置く。 a2 - 2aB + B2 となるので、公式 II を適用。 ただし、B = 3b で戻すことを忘れない。 (3) まず共通因数の 2 で括る。次いで 9y2 = (3y)2 を用いる。 (5) 8=23 である。 (6) 公式より、(x2-y2) も (x3-y3) も共通の因数を持つことを思い出す。 問 12、13 たすき掛けの図式を用いて解くとよい。 問 14 ヒント（(3)、(4) はやや難易度高めです。） (1) X = x2 と置いてみる。 (2) A = a+b と置いてみる。 (3) まず、はじめの 3 項までをとりあえず因数分解してみると、(x+y) という共通因数が見えてくる。 そこで、X = x+y と置いてみる。 (4) まず、はじめの 3 項までをとりあえず因数分解してみる。 ここで出てくる 2 つの因数を A=(2x+y)、B=(x+2y) と置き、5x + y の部分を A, B の和差で表してみる。 すると、与式 = A･B + (3A-B) - 3 と簡単にできる。これは、(A-1)(B+3) と因数分解できる。
