2019.04.16 1-4 数学 B １章 数と式の計算 §1 整式の計算 1.3 因数分解 ※ そろそろ難しいと感じる人が出てくるところです。心して乗り越えましょう。 【授業目標】 ・共通因数をみつけて括りだすことができるようになる。 → 因数分解の公式 I, II ・2 次式の因数分解の公式を利用して、たすき掛けの関係から lx2 + mx + n の形の式因数分解ができるように なる。 「整式 P を、1 次以上の整式 A、 B、…の積の形で」 → 0 次の整式は定数項ということになります。 → 例題 2(2)のように、異なる文字についての整式の積の形にすることも因数分解と言います。 2 次式の因数分解の公式 ← 右辺を展開することで確認することができる。 ※ 次の 2 つの図は、書き方は異なっているが、全く同じ内容をあらわす図的な表現です。 x2 の係数が ac x の係数が (ad+bc) x0 の係数 が bd たすき掛けの図式における矢印は、項間の積を表す。 具体的な手順 ① x2 の係数 ac から、a と c の組み合わせを考える。 ② x0 の係数 bd から、b と d の組み合わせを考える。 ③ たすき掛けの図式（教科書 例題 3 の解(1) 参照）をノートに書きながら、 ac + bd が x1 の係数と等しくなる組み合わせが見つかれば、因数分解成立。 正しい組み合わせが見つかるまで、試行錯誤する。慣れれば暗算でもできる。 ④ a と b、c と d が共通因数を持っている場合は、更に括り出す。 例 8x2 + 16x + 6 → (4x+2)(2x+3) → 2(2x+1)(2x+3) ただし、因数分解する前の段階でも、共通因数 2 で括りだせる。一般にはその方が速い。 例 8x2 + 16x + 6 → 2(4x2 + 8x + 3) → 2(2x+1)(2x+3) ⑤ 念のため、因数分解した結果である整式の積を、展開して与式と等しいことを確認する。
※ 公式 III は、ad+bc がゼロ（ad = -bc) となる場合と理解してもよい。
※ f(x) = Ax2 + Bx + C = 0 の解を、x = , とすると、f() = 0、f() = 0 である。
これを満たす二次式 f(x) が因数分解できるならば、f(x) = k(x-)(x-) でなければならない。 ∵ x = のとき (x-) = 0 で、f(x) = 0、x = のとき (x-) = 0 で、f() = 0 となる。 係数 k は、f() = 0、f() = 0 であるためには何でもよいが、与式と比較して k = A である。 f(x) = A(x-)(x-) を展開すると、f(x) = Ax2 - A(+)x + A･･ となる。
二次方程式の解の公式 , = (-B ± √(B2 - 4AC)/2A をこの展開した式の係数に代入して確認する。
+ = -2B/2A = -B/A、･ = ((-B)2-(B2-4AC))/4A2 = 4AC/4A2 = C/A なので、
f(x) = Ax2 - A(+)x + A･･ = Ax2 + Bx + C となることが確認できる。
