電気回路学 Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5
セメ山田 博仁
回路網関数
微積分方程式とラプラス変換
静止の状態にある
(
全ての初期条件を0
とした)
回路に励振を加えたとき、応答のラプラス変換と励振のラプラス変換との比を回路網関数という。
(
応答のラプラス変換) = (
回路網関数)×(
励振のラプラス変換)
全ての初期条件を
0 (i(0) = 0, q(0) = 0)
と置いてしまえば、励振e(t)
および 応答i(t)
は、それぞれのラプラス変換E(s)
およびI(s)
に(
ほぼ)1
対1
対 応する。従って、e(t)
およびi(t)
で考える代わりにE(s)
およびI(s)
で考 えて、これらラプラス変換したものも励振および応答と呼んでいる。また、全ての初期条件を
0
としたとき、Z(s) = E(s)/I(s)
をインピーダンス関数、
Y(s) = I(s)/E(s)
をアドミタンス関数と呼んでいたが、より一般的には次のように定義する。
回路網関数
(network function)
の代わりにシステム関数(system function)
、伝 達関数(transfer function)
などと呼ぶこともある。回路網関数は、対象としている回路網の構造を与えれば一意に定まる。
回路網関数
回路網関数には、
(
電圧)/(
電流)
を表すインピーダンス関数(impedance function)
、(
電流)/(
電圧)
を表すアドミタンス関数(admittance function)
、 さらにまた励振と応答が同じ節点対(
端子対)
で測られるとき駆動点関数(driving-point function)
、異なる節点対(
端子対)
で測られるとき伝達関数と 呼ばれる。V 1 (s)
回路網V 2 (s)
I 1 (s) I 2 (s)
例えば以下の回路網において、V 1 (s)/I 1 (s), V 2 (s)/I 2 (s)
は、駆動点インピーダンス関数I 1 (s)/V 1 (s), I 2 (s)/V 2 (s)
は、駆動点アドミタンス関数V 1 (s)/I 2 (s), V 2 (s)/I 1 (s)
は、伝達インピーダンス関数I 1 (s)/V 2 (s), I 2 (s)/V 1 (s)
は、伝達アドミタンス関数 である。複素記号演算との関 係
回路網関数を
H(s)
とすると、s
をjω
で置き換えたH(jω)
は、複素記号 演算で得られるインピーダンスやアドミタンスと一致する。即ち、ラプラス 変換による演算で定義される回路網関数H(s)
は、複素記号演算で定義され る回路網関数H(jω)
を拡張したもので、s ↔ jω
で相互に置き換わる。
dt j s
s j
dt d
e A e
A t
A j t st
1 1
ˆ ) ˆ
cos(
(
ラプラス変換)
(
初期条件の導入) E(s ) ( (Y(s)E(s))
代数演算) I(s) (
ラプラス逆変換)
(
微分方程式の標準的解法)
e(t ) i(t )
周波数域解析 時間域解析
微分方程式またはラプラス変換による時間域解析のプロセスを下図に示す。
線形電気回路の時間域解析
時間域解析と周波数域解 析
線形電気回路の解析にラプラス変換を用いれば、初期条件も導入しながら、
多くの関数のラプラス変換がラプラス変換表を用いて機械的に行える。その 後、
s
関数の代数演算によって応答のラプラス変換を求め、ラプラス変換表 を用いてラプラス逆変換を行えば、時間応答が求められる。時間域解析と周波数域解析
時間
t
の関数としての励振e(t)
に対する回路網の応答i(t)
を求めること を、時間域解析(time domain analysis)
と呼んでいる。これに対し、e(t), i(t)
のラプラス変換E(s)
とI(s)
の関係を求めることを周波数域解析(frequency domain analysis)
と言う。周波数域解析では、一般的には初期条件を考慮しない。全ての初期条件を
0
として扱う。ラプラス変換による演算法は、ヘビサイド
(Oliver Heaviside)
によって導入 されたヘビサイドの演算子法を数学的に明確にする過程で変形されたもの。周波数域解析における重ねの
周波数域解析における重ね合わせの理と初期条件理
周波数域解析で初期条件を扱う必要のある場合には、初期条件に関連した 項を強制振動項と同格に扱い、強制振動の一成分であると考える。
RLC
直列回路を例に見てみると、回路方程式のラプラス変換は、 ( ) ( 0 ) 1 ( ) ( 0 )
) ( )
( I s q
i sC s
sI L s RI s
E
で表されるから、
) 0 ( )
( 1 )
(
) 0 ) (
( 1 )
(
) ( )
( 1 ) (
3 2
1
Li s
sC I R
sL
sC s q
sC I R
sL
s E s
sC I R
sL
が成り立つ。
) ( ) ( )
( )
( 2 3
1 s I s I s I s
I
即ち、
( 0 ) , ( 0 ) ),
( Li
sC s q
E
を各々独立した励振と見なした場合の応答)
( ), ( ),
( 2 3
1 s I s I s
I
に対して、重ね合わせの理が成り立つ。RC
微分回RC
微分回路 路図
(a)
に示すRC
直列回路を電圧源e(t)
で励 振し、応答として抵抗R
の両端の電圧v R
を とるものとする。また励振e(t)
は図(b)
に示 すような方形パルスであり、時刻t = 0
に生起 し、t = a
で消滅する大きさE 0
の電圧である ものとする。0 a t
E 0
0 t E 0
0 a t
– E 0
(a)
(b) C
R v R e(t)
この方形パルスを分解して、
t = 0
に生起する 大きさE 0
のステップ関数とt = a
に生起する 大きさ −E 0
のステップ関数を重ねたものとす れば、e ( t ) E 0 u 1 ( t ) E 0 u 1 ( t a )
と表される。RC t
q e R t E
i
t
( 0 ) , 0 , )
( 0
1
)
1 (
0 u t
E
を印加したときR
に流れる電流i 1 (t)
は、である。 −∞ < t < 0 の範囲で印加電圧
e(t) = 0
であれば、C
に蓄えられている電荷は0
、即 ちq(0) = 0
であるとしてよい。RC
微分回RC
微分回路 路0 ,
)
( 0
2
t R e
t E i
a t
一方、 を印加したときの電流
i 2 (t)
は、時間をt → t − a
に置き換えて、かつE 0
に負号を付けて、よって、
R
の両端の電圧v R (t) = Ri(t)
は、)
1 (
0 u t a
E
と表される。
t a e
e E
t i t i R
a t e
E t
t Ri
v a t
t
R
1 )
( )
(
0 , )
) ( (
0 2
1
0
1
で与えられる。これを図示すると以下のようになる。
RC
微分回 路図において、正の部分の面積と負の部分の面積が等しく、
a a
t
a t a
e E
dt e e E
dt e
E 0 1 0 1
0 0
従って、
v R (t)
の平均値すなわち直流分は0
である。つまり、C
は直流分を遮断する。電圧
v R (t)
の波形は、時定数τ = RC
と印加パルスの時間幅a
との関係により、異なるものとなる。つまり、
τ >> a
ならば、入力形波にほぼ等しい波形と なるが、逆にτ << a
ならば、入力波形を微分したような波形となる。従って、後者の場合を
RC
微分回路と呼んでいる。RC
直列回路の式1 ( ) ( ) )
( i t dt e t
t C
Ri
の両辺をt
について微分し、両辺にC
を乗じて、
RC = τ
が非常に小さいとすれば、dt t C de t
i ( )
)
(
と近似できるから、dt t RC de t
Ri t
v R ( )
) ( )
(
即ち、入力電圧波形
e(t)
の微分にほぼ比例した出力電圧波形v R (t)
が得られる。微分回路は一般に、方形波から鋭いパルスを作るのにつかわれるので、ピーキ ング回路
(peaking circuit)
とも呼ばれる。RC
積分回RC
積分回路 路C R
v C e(t)
RC
直列回路において、方形波の入力電圧e(t)
に対して、出力としてC
の両端の電圧v C (t)
をとることにする。このとき、0 < t < a
に対 しては、q e RC
R t E
i
t
0 ) , ) (
( 0
1
で
q(0) = 0
としたものより、
t
C i t dt
v C
0 1 ( ) 1
1
t a e
e E
a t e
E t
v a t
t
C
1
0 , 1
) (
0 0
と求められる。
として、
また一方
a < t
に対しては、
a t
R e t E
i
0
2 ( )
より得られるC a t i t dt v C 1 ( )
2
2
を
v C
1 に重ねることにより、
RC
積分回 路v C (t)
を図示すると以下のようになる。 vC (t)
が直流成分を含むことは明らかである。RC
積分回路v C (t)
は、τ << a
のときは図(c)
のように入力波形e(t)
と殆ど同じ波形とな り、逆にτ >> a
のときは図(a)
のような波形となる。後者のような場合をRC
積分回路と呼ぶ。(a) (b) (c)
RC
直列回路の式1 ( ) ( ) )
( i t dt e t
t C
Ri
の両辺を各々R
で割ってから積分し、RC
が非常に大きいとすれば、 i ( t ) dt R 1 e ( t ) dt v C ( t ) q C ( t ) C 1 i ( t ) dt CR 1 e ( t ) dt
即ち、入力電圧波形
e(t)
の積分にほぼ比例した出力電圧波形v C (t)
が得られる。積分回路は検波や整流などに使われる。
伝達関数の周波数特性
伝達関数の周波数特性
RC
微分および積分回路の励振e(t)
と応答v R (t)
あるいはv C (t)
の間の 関係は、それらのラプラス変換E(s), V R (s)
あるいはV C (s)
の間の関係で 表現すれば、初期条件q(0) = 0
として、R sC sC s
E s s V
H R sC
R s
E s s V
H R R C C
1 1 )
( ) ) (
( 1 ,
) (
) ) (
(
これら伝達関数において、
s → jω
として振幅特性を調べてみると、1 2
1 1 1 1
1 1 1
1 ) 1
(
j CR
j C
R j j R
H R
2
1 1 1
1 1
1 1
1 )
(
j CR j
C R j
C j j
H C
となる。高域通過回路と低域通過回 路
これらの特性を
ω
に対して描くと、下図のようになる。図
(a)
では、ω = 0
で|H R | = 0
、ω = 1/τ
で|H R | = 1/√2
、ω = ∞
で|H R | = 1
と なっている。従って、
0 < ω < 1/τ
の周波数領域は減衰域(stop band)
、1/τ < ω < ∞
の周波 数領域は通過域(pass band)
と呼ぶ。このように、低い周波数域が減衰域、高 い周波数域が通過域となる回路を、高域通過形回路と呼ぶ。一方図(b)
では逆 に、ω = 0
で|H C | = 1
、ω = ∞
で|H C | = 0
となっているから、低域通過形回 路である。高域通過回路と低域通過回 路
このような周波数特性をもつ回路に、広いスペクトル成分をもつ電気信号、
例えば方形波パルスのような信号波形を入力すれば、出力信号のスペクトル は入力信号とは異なったものとなる。例えば高域通過形回路では、ゆっくり 変化する振動成分は除去され、出力波形は鋭い形となり、また逆に低域通過 形回路では、速い変化をする振動成分が除去されて、出力波形は鈍い形とな る。
R sC R s
E s s V
H R R
) 1 (
) ) (
(
において、時定数τ = RC
が非常に小さければ、) ( )
( s s E s
V R
となり、入力E(s)
にs
を乗じた形となる。dt t de dt
t RC de t
v R ( ) ( )
)
(
と比較するし分かるように、時間領域では(
初期条 件を無視しての)
時間微分に他ならない。積分回路については、
