電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5 セメ
山田 博仁
ラプラス変換による過渡現象の解
3. RLC 直列回路の過渡現象 析
図に示す RLC 直列回路において、任意の電圧 e(t) で励振した時の電流を i(t) とすると、閉路 方程式は、
C
R L
E(s) e(t) i(t)
I(s) i(0) q(0)
i t dt
C dt
t L di t
Ri t
e ( ) 1 ( )
) ( )
( で与えられる。
この式をラプラス変換すると、
( ) (0) 1 ( ) (0)
) ( )
( I s q
i sC s
sI L s RI s
E
ただし、 とした。I(s) ￡i(t), E(s) ￡e(t) となる。
従って、 I(s) について解くと、
sL sC R
sC Li q
s E s
I 1
) 0 ) (
0 ( )
( )
(
となる。
全ての初期条件を 0 とすると、
) (
) ( 1
) ) (
( Z s
s E sL sC
R
s s E
I
となり、
Z(s) は回路のインピーダンスを表わす。
ラプラス変換による過渡現象の解
例 6.3.1 析
i(t) I(s) i(0) q(0)
C R
E0
S t = 0 L 左図の回路で、 t = 0 でスイッチを閉じ
て直流電圧 E0 を印加する。
かつ )
( )
(t E0u 1 t
e i(0) 0としてよいから、
s t E
e( ) 0
￡ より、
sL sC R
sC q s
E s
I 1
) 0 ( )
(
0
となる。
s LC L s R L
C E q
sL sC R
sC q s
E s
I 1
1 )
0 ( 1
) 0 ( )
(
2 0 0
この式をラプラス逆変換するには、
と変形し、
ラプラス変換表 ( 教科書の表 5.2) の (32) の関係sK2 2 ￡K et sint
を用いて、
L C E q
K
) 0 (
0
L
R
2
2 22
4 1
L R LC
とみなすと、 K e t t
i t
sin )
(
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解 析
(a) 臨界減衰 ( R2 = 4L/C ) の場合には、
4 0 1
2 2
2
L R
LC であるから、
Lt R t
t te
L C E q
t Kte Ke
t
i 0 2
0
) 0 ( lim sin
)
(
となる。
(b) 過減衰 ( R2 > 4L/C ) の場合には、
4 0 1
2 2
2
L R
LC であるから、
t K e
t K e
t
i t t
sin sinh
)
(
a j
ja sinh
sin の関係を用いると、
となる。
(c) 振動減衰 ( R2 < 4L/C ) の場合には、
4 0 1
2 2
2
L R
LC であるから、 K e t
t K e
t
i t t
sin sin
)
( となる。
ロピタルの定理より、
t t t
d d d
t d
t
lim cos
) (sin sin lim
lim0 0 0
ラプラス変換による過渡現象の解
例 6.3.2 析
RLC 直列回路で、時刻 t = 0 にスイッチを閉じて、正弦波電圧 Emsinω1t を 印加する。
2 1 2
) 1
(
s t E
e m
￡ であり、かつ簡単のために q(0) = 0, i(0) = 0 とすれば、
そのとき
電流は、
s LC L s R s
s L
s E
I m
) 1 (
2 2 1 2 1
で与えられる。
この式のラプラス逆変換は、表 5.2(36) の表関数 f(t) を微分した df(t)/dt に、
s2 2s12 2
2 2 1 22 42 2 1sint 1 1 et sint 2
1 2
2 ,
2 , 1
2
L
R LC
L
R を代入し、係数 を乗じたものに等しい。
L Em1 ラプラス変換表 5.2 の(36) の関係式は、
2 2
2 2 2
2 1 2
tan 2 2 ,
tan
ラプラス変換による過渡現象の解 析
従って、
2 2 1 22 42 2 cost 1 et sint 2 et cost 2
この表関数を微分すると
cos 1 sin 2 cos 2
)
(
t e t t
Y E t
i m t
2
1 1
2 2 1 2 2
2 1
1
1 1
4 2
1
L C L R
R LC
Y L
1 2
2 ,
2 , 1
2
L
R LC
L R ただし、
また と置いて、
3 tan
ラプラス変換による過渡現象の解 析
' t
LC e '
t Y
E
t e
t Y
E
t t
e t
Y E t
i
t m
t m
t m
2 1
1
3 2 2
2 1
2 2
1
1 sin sin
2 sin sin
cos 2 sin
sin )
(
3 tan
3 2 2
1
1 ,
2
' '
R L C
' 1
1 1
1
tan
LC ' LC
1 1 tan
2 1
2 1
2
2 1 1 2
1 1 2
2 1 2
1 1 tan 2
LC CR LC
L R
2 1 2 2
1 2
1 2
1 2
2 2 2
2 2
2 1
2 2 tan 2
C L L
CR
LCR LC
L R
L R
ラプラス変換による過渡現象の解 析
e t '
' LC t
Y E t
i m 1 1 1 t sin 2
sin )
(
i(t) の時間変化を以下の図に示す。 ( ただし、 ω12 = 1/LC 、かつ ω1 ≈ β の場合 ) i(t) の式
励振周波数 ω1 で 振動を続ける定常 項
過渡項自由振動周波数は β
ラプラス変換による過渡現象の解 析
教科書第 2 章の章末問題 2.2 の解答に誤りがあります。ラプラス変換を用いて
、正しい答えを導いてみよう。
RC 直列回路の場合
i t dt
t C Ri Ee
t
e T
t
) 1 (
) ( )
(
C R
E(s) e(t) i(t)
I(s)
q(0) 両辺をラプラス変換すると、
( ) (0)
) 1 1 (
)
( I s q
s sC RI s T
s E
E
閉路方程式は、
I(s) について解くと、
となり、
sCRsCTE sT qsCR
sCR q sT CE
R sC
sC q s T
E s
I
1
) 0 ( 1
1 1
) 0 1 (
1 1
) 0 ( 1
) (
ここで、 時定数 CR = τ と置くと、
ラプラス変換による過渡現象の解 析
1
) 0 ( 1
1 1 ) 0 ( 1
) 1 (
s q
s T s
sCE s
q sT
s s sCTE I
従って、表 5.2 のラプラス変換表の式 (18) と式 (4) の関係を用いてラプラ ス逆変換すると、
t T
t t
t T
t t
t T
t t
q e e
T e T
CE
q e T e
e T
CE
q e T e
e T
t CE i
) 0 (
) 0 ( 1
1 1
) 0 ( 1
1 1 1 ) 1
(
と求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解 析
同様に RL 直列回路の場合、閉路方程式は、
dt t L di t
Ri Ee
t
e T
t ( )
) ( )
(
両辺をラプラス変換すると、
( ) (0)
) 1 (
)
( RI s L sI s i
s T s E
E
I(s) について解くと、
となり、
L s R
i s T
L s R
L E sL
R Li s T
sL R
E sL
R
Li s T
E s
I
(0)
1 )
0 ( 1
) 0 1 (
) (
ここで、 時定数 = τ と置くと、
R
E(s) e(t) i(t)
I(s) L i(0)
R L
1 ) 0 ( 1
) 1 (
s i s T
s
L E s
I
ラプラス変換による過渡現象の解 析
従って、表 5.2 のラプラス変換表の式 (17) と式 (4) の関係を用いてラプラ ス逆変換すると、
t T
t t
t T
t t
t T
t t
e i e
T e T R E
e i e
T e T L E
e i e
e T
L t E i
) 0 (
) 0 (
) 0 1 (
1 ) 1
(
と求まる。
1 ) 0 ( 1
) 1 (
s i s T
s
L E s
I
ラプラス変換による過渡現象の解 析
教科書第 6 章の章末問題 6.6
スイッチを閉じた後の閉路方程式は、 1 ( ) ( ) )
1 (
2 1
t Ri dt t C i
dt t
C i
ラプラス変換は、 1 ( ) ( ) )
1 ( 2
2 1
1
s s RI
s V sC I
s s V
sC I
I(s) について解くと、
R C C
C s C
R V V
C C
C sR C
V V C
sR C
V s V
I
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 2
2 1
1 ) 1
(
ラプラス逆変換すると、 CC Rt
C C
R e V t V
i 1 2
2 1
2
) 1
(
であり、
となる。
となる。
Rt C C
C C C
Rt C C
C C C
C e C
V V C C
C
V C V dt C
t C i
C C
V C V t C
v
C e C
V V C C
C
V C V dt C
t C i
C C
V C V t C
v
2 1
2 1
2
2 1
2 1
1
2 1
2 1 1 2
1
2 2 1
1 2
2 1
2 2 1
1
2 1
2 1 2 2
1
2 2 1
1 1
2 1
2 2 1
1
) 1 (
) (
) 1 (
) (
ラプラス変換による過渡現象の解 析
教科書第 6 章の章末問題 6.7
スイッチを閉じた瞬間、キャパシタ C1 からキャパシタ C2 に無限大の電流 が流れて、キャパシタ C2 が瞬間的に充電され、キャパシタ C1 とキャパシ タ C2 の電圧が等しくなる。その時、スイッチを閉じる前後で電荷量は不変で ある。その後は、両キャパシタから R に電流が流れ、蓄えられた電荷は放電 される。スイッチを閉じた直後の両キャパシタの電圧 V0 は、
C C R
t R
C C
t
R e C C
V e C
R t V
i 1 2 1 2
2 1
1 1
) 0
(
である。
2 1
1 1
0 C C
V V C
その後は単に、並列接続されたキャパシタ C1 とキャパシタ C2 と R か らなる CR 直列回路であるから、
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解 析
教科書第 6 章の章末問題 6.8
Rl E0
S
i2(t) t = 0
C R1
i1(t)
(a) の場合の回路は下図のようになる。
表記の簡単化のために、 R1 = Rl = R と置く、
(i) 定常電流
定常状態では、キャパシタ C は完全に 充電或いは放電された状態にあり、電流 は流れないので、無いものと考えてよい。
従って Rl に流れる定常電流 i2 は、
R E R
R i E
l 2
0 1
0
2
(ii) 過渡電流
電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。
1 2 2 1 2
0
, 1 i dt Ri Ri C
i i R
E
このラプラス変換は、 C の初期電荷が 0 であるから、
1 2 2 1 2
0 1
, I RI
RI sC I
I s R
E となる。
ラプラス変換による過渡現象の解 析
s CR CR s
I E
2 1
2 0 2
これを I2 に対して解くと、 このラプラス逆変換は、
CRt eCRt
R e E
CR CR
i E
2 0
2 2
0
2 1
1 2 2
となり、電流 i2 が求まる。右辺の第 ２項が過渡電流である。
(b) の場合の回路は下図のようになる。
Rl S
i2(t) t = 0
C R1
i1(t) C0 q0
表記の簡単化のために、 R1 = Rl = R, C0 = C と置く、
(i) 定常電流
定常状態では、キャパシタ C0 に蓄えら れていた電荷は完全に放電された状態に あるので、電流は流れない。従って定常 電流 i2 は 0 である。
(ii) 過渡電流
電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。
1 2 2
2 1
1
, 1
1 i i dt Ri
Ri C Ri
dt
C i
ラプラス変換による過渡現象の解 析
1 2 2
2 1
0 1
, 1
1 I I RI
RI sC C RI
I q
sC
このラプラス変換は、 C0 の初期電荷が q0 、 C の初期電荷が 0 であるから、
となり、これを I2 に対して解くと、
2 2 2 2
2 0 2
2 2
0
2 3 1 3 1
R C sCR
s
s R
C q CR
s R C s I sq
となる。
表 5.2 の(14) の関係式を変位定理を用いて加工すると、
s bs2 a2 -1 s2 s2bs b2 a2 ebt coshat
1
-
￡
￡ という関係が得られる。
従って上式で、
a CR R
a C CR b
b 2
, 5 , 1
2 3
2 2 2
2
即ち と置くと、
I2 のラプラス逆変換より電流 i2 は、
CRt R e
C
i q CRt
2 cosh 5
2 3 2
2 0 2
と求まる。これが電流 i2 の過渡電流である。
