電気回路学

(1)

電気回路学 Ⅱ

通信工学コース 5 セメ

山田博仁

(2)

1. 教科書および参考書

　　 1) 電気回路　 - 三相、過渡現象、線路 - 　喜安善市、斉藤伸自著、朝　　倉書店2) フーリエ解析　大石著　岩波書店

2. 成績評価

　　・講義点と定期試験の両方を勘案して行う

　　・講義点は、出席状況、演習、レポートなどで評価する　　 3. オフィスアワー

　　　随時、場所 : 2 号館 203 号室　 ( 事前に電話または E-mail により予約のこと )

　　　 E-mail: [email protected] 、電話 ( 内線 ): 7101

4. 連絡および講義資料のダウンロード : http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/

連絡事項

(3)

講義日程と内

　日程 ( 回目 ) 　　　　　　講義内容　　　　　　教

容

科書の章との対応

　　　　　　　　　　　　　 1) 　　　　　　 2)

4/12 ( 第 1 回 ) 　 RL, RC 回路の過渡現象　　　　　　　

2.1, 2.2 　　　　 -

4/19 ( 第 2 回 ) 　 RLC 回路の過渡現象　　　　　　　

2.3, 2.4 　　　　 -

4/26 ( 第 3 回 ) 　ラプラス変換　　　　　　

　　 5.1, 5.2 　　　　 -

5/10 ( 第 4 回 ) 　過渡現象とラプラス変換　　　　　　　

6.1 ～ 6.2 　　　 -

5/17 ( 第 5 回 ) 　過渡現象とラプラス変換の続きと演習　　　　　　　　 6.3

　　　　　　 -

5/24 ( 第 6 回 ) 　過渡関数波、周期波、時間域・周波数域解析　 5.3 ～ 5.5,

7.1 　 -

5/31 ( 第 7 回 ) 　微分、積分回路、二次系の伝達特性　　　　　　　 7.2 ～

7.4 　　　 -

6/7 　 ( 第 8 回 ) 　 RLC 回路、インパルス・ステップ・任意波形応答 7.5, 7.7 ～ 7.9 　 -

6/14 ( 第 9 回 ) 　歪波交流、周期波　　　　　　　　

3.1, 3.2

6/21 ( 第 10 回 ) 　歪波交流回路の計算と演習　　　　　　　

3.4

6/28 ( 第 11 回 ) 　パルス信号のフーリエ変換　　　　　　　

4.1, 4.2

7/5 　　 ( 第 12 回 ) 　特異な信号のフーリエ変換　　　　　　　　 4.3

7/12 ( 第 13 回 ) 　フーリエ変換と演習　　　　　　　

　　 4.5

7/19 ( 第 14 回 ) 　まとめと演習　　　　　　　定期試験　

(4)

過渡現象とは ?

スイッチを入れて、回路が定常状態に移行するまでの現象、あるいは定常状態にあった回路のスイッチを切った後の現象を扱う

i(t) R

E

S t = 0 時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる

t > 0 において回路を流れる電流 i(t) は、

t < 0 において回路を流れる電流 i(t) は、i(t) = 0

 

R t E i  回路素子が、電源と抵抗のみからなる電気回路では、

この場合、過渡現象は現れない ( スイッチを入れた瞬間に定常状態になる ) 時刻 : t アクセルペダルを踏む

スピード 0

定常状態過渡現象

0 t 0

R Ei(t)

定常状態

(5)

過渡現象とは ?

t = 0 において回路を流れる電流 i(t) は ?

i(– 0) = 0

 

R i 0  E

t = 0 における扱いに関しては、 t = 0 でスイッチを閉じる直前および直後の

時刻を t = – 0 , + 0 で表すと、

このように、「スイッチを閉じる」といったようなある事象の直前および直後の時刻において取り得る初期値の値が異なる場合、直前の初期値を第 1 種初期値、直後を第 2 種初期値と呼んで区別することがある。

である。

0 t 0

R Ei(t)

定常状態

(6)

2) コイル L を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、

dt L di v 

i

v L

1) 抵抗 R を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、

Ri v 

i

v R

R v i  1

0 0

1 vdt i

i  L



^t 

回路素子を流れる電流と両端の電圧との関係

3) キャパシタ C を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、

dt C dv i 

0 0

1 idt v

v  C



^t 

i

v C

ただし i₀ は、 t = 0 の時にコイルに流れていた電流

ただし v₀ は、 t = 0 の時のキャパシタの両端の電圧

覚えよう !

(7)

回路素子を流れる電流と両端の電圧との関係

コイルを流れる電流は、瞬時には変化できない !

dt L di v  i

v L

何故なら、瞬時に変化するということは、   を意味し、

dt di

その場合、左式の関係より、コイル L の両端には ±∞

の電圧が生じることになる。

キャパシタの両端の電圧は、瞬時には変化できない !

dt C dv i  i

v C

何故なら、瞬時に変化するということは、   を意味し、

dt dv

その場合、左式の関係より、キャパシタ C には ±∞ の電流が流れることになる。

ブザー

子供の頃、こんな回路のびっく高電圧り箱を作ったことがありませんか?

車は急には止まれない !

(8)

RC 直列回路の過渡現象

時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。





 i t dt

t C Ri

E 1 ( )

)

( を解いて求められる。

積分方程式 C

R

E S

i(t) t = 0

なお積分範囲は、 – ∞ から現在の時刻 t までである。

電荷 q(t) と電流　 i(t) との関係

dt t t dq

i ( )

)

(  を用いて書き直し、

) 1 ( 0

), ( )

(   

 t

C t q dt

t R dq E

まず、 E = 0 とした同次方程式の特解は、

を用いて、

1  0

 C

Rs の根

s   RC1 と得られるから、 A を任意の定数 est

q  (s は定数 ) を代入した特性方程式

RC t

e q  ^

として、 E = 0 の時の一般解は、 ^RC

t

f t Ae

q ( )  ^ によって与えられる。

次に、 ( )  0 dt

t dq

が E ≠ 0 時の特解であることは明らかである。

( 定常状態 ) とした時の式 (1) の解は、q(t)  EC であるから、

EC q_p 

(9)

RC 直列回路の過渡現象

スイッチ S を閉じる時刻 t = 0 以前に、キャパシタ C が電荷 q₀ を蓄えていたとすれば、上式より、

C R

E S

i(t) t = 0

従って、式 (1) の解として、 ^RC

t f

p q EC Ae

q t

q( )     ^ を得る。

上式で、任意定数 A は初期条件によって定められる。つまり、

A EC q

q(0)  ₀  

の関係が成り立つ。従って、A  q₀ ECと定まり、

 

^, ⁰ ⁽²⁾

)

(t  q q  EC  q₀  EC e^ t  

q ^RC

t f

p

従って電流は、となる。

dt t t dq

i ( )

)

(  より、

 

^, ⁰ ⁽³⁾

) 1

( ₀ ⁰   



 

 







 ^ e^ t

RC q R

e E EC RC q

dt t dq

i ^RC

t RC

t

と得られる。もちろん t < 0 では、 i(t) = 0, q(t) = q₀ である。



 









^t i t dt  idt  ^t idt  q  ^t idt

0 0

0 (0)

) (

スイッチ S を閉じる直前および直後の時刻を t = – 0, + 0 で表わすと、

であり、 t = – 0, + 0 の初期値を各々、

第 1 種初期値、第 2 種初期値と呼ぶ。

(10)

RC 直列回路の自由振動

上の回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。

t > 0 において、キャパシタ C に蓄えられていた電荷 q₀ が、抵抗 R を通じ

て放電される場合を考える。式 (3) に E = 0 を代入すると、

t = 0

C S R

i(t) +

-q₀ or

) 4 ( 0

, )

(   ⁰ e^ t  

RC t q

i ^RC

t

によって自由振動電流が与えられる。

また、電荷 q(t) は、

) 5 ( 0

, )

( )

( ₀

0 0 0

0      



 ^













  



ⁱ ^t ^dt ⁱ ^t ^dt ⁱ ^t ^dt ^q ⁱ ^t ^dt ^q ^e ^t

t

q ^RC

t t t

t となる。

ここで、 τ = RC と置くと、 ^ ^

t t

e q t

q RC e

t q

i( )   ⁰ ^ , ( )  ₀ ^と表わされ、 τ を時定数と呼ぶ。

C R

E S i(t)

t = 0

-q₀ r +

(11)

過渡現象の時定数

時定数 (time constant) τ の意味

τ は、初期値の 1/e になる時刻

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1 2 3 4 5

 t

e^

e 1

 t

t = 0 において関数　　　に引い

た接線が横軸と交わる点が t = τ に相当

 t

e^

(12)

消費エネル

抵抗 R で消費されるエネルギー W

ギー

は、先に求めた

 

) 6 2 (

) 0 ( 2

) 0 (

) 0 ( )

0 (

2 2

0 2 2

2 0

2 2

2 0

2

 C 

q R q

q e R

dt q e

R dt RC e

R q dt Ri W

t

t t



 



 





 



 

 



 





となる。

これは、キャパシタ C に初めに蓄えられていた静電エネルギーに等しい。それが全て抵抗 R で消費されて熱となる。

0 ,

)

(   ⁰ e^ t  RC

t q

i ^RC

t

と、 τ = RC の定義を用いて、

確認 ) キャパシタ C に蓄えられる静電エネルギー W は、キャパシタ両端の電圧を V 、キャパシタに蓄えられている電荷を Q とすると、 Q = CV より、

C CV Q

QV W

2 2

2 1 2

1 2

1  



ただし、時刻 t = 0 にキャパシタ C に蓄えられている電荷を q(0) とした。

(13)

RC 直列回路の過渡現

RC 直列回路に直流電圧 E を突如印加した時の電流

象

i(t) は、キャパシタの初期電荷 q₀ が 0 であるとすると式 (3) より、

) 7 ( )

( ^RC 

t

R e t E

i  ^ であり、

) 8 ( 1

)

(  

 



 

 ^^RC

t

e EC

t

q である。

この様に、 RC 直列回路においては、スイッチを入れた直後は E/R の電流が流れるが、キャパシタ C が充電されていくに従って電流が減少して行き

、十分に時間が経てば (t → ∞) 、 q(t) は EC に近づき、電流は 0 に近づく

。十分に時間が経過した後の状態を定常状態 (steady state) と呼び、その状態を表わす項を定常項と呼ぶ。上のケースでは、 i(t) および q(t) の定常項は各々 0 および EC である。また、定常状態になるまでの間を過渡状態 (transient) と呼び、この状態を表わす項を過渡項と呼ぶ。上のケースでは、 i(t) および q(t) の過渡項は各々

RC t

R e

E ^ _RC^t

ECe^

およびである。過渡項は t → ∞ において消滅する。

上のケースで時定数 τ = RC は、充電される速さ、あるいは過渡項消滅の早さの目安と考えられる。

同様に電荷 q(t) については式 (2) より、

(14)

RL 直列回路の過渡現象

L R

E S

i(t) t = 0

時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。

) 9 ) (

) (

( 

dt t L di t

Ri

E  

を解いて求められる。

微分方程式

まず、 E = 0 とした同次方程式の一般解を求めるために、 A を任意の定数として、

st

f Ae

i

i   を代入すると、R Ls 0 の関係より、

L

s   R となる。従って、

R Ae L

i

t

f  ^^ ,  である。この i_f は、過渡項であり、 t → ∞ で 0 に収束する。

次に、 E ≠ 0 の時の特解を求めるが、これは定常項を求めるもので、0

dt

di としてよい。

即ち、 R i E

i  _s  である。従って、求める電流は、 ^

t f

s Ae

R i E

i t

i( )     ^ となる。

ここで、 A は積分定数で、初期条件によって定まる。

(15)

RL 直列回路の過渡現象

L R

E S

i(t) t = 0

スイッチを閉じた瞬間の時刻 t = 0 においても、

) 10 ( 0

, 1

)

(   



 



 





 e^ t

R i E

i t i

t f

s 

が有限である限り、電流は 0 である。

図の回路において、 t < 0 ではスイッチが開いているから電流は流れない。

dt t di( )

従って、初期条件としては、 t = 0 において i = 0 即ち、 i(0) = 0 である。

この初期条件から、

R

A   E であり、電流は、

となる。

第一項が定常解、第二項が過渡解である。また、 τ は時定数である。

(16)

RL 直列回路の自由振動

L R

E i₀

R₀

S t = 0

t > 0 での回路

L R

E i(t)

R₀

S

t < 0 での回路 ( 例 2.2.1)

が流れていた。時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じると、右のような回路となり、

左の回路において、当初はスイッチ S が開いており、コイル L には電流

0

0 R R

i E

  t = 0

) 11 ) (

) ( (

0 

dt t L di t

Ri 

 で与えられる。

回路の動作を表わす微分方程式は、

R Ae L

i t i

t

f  

 ^^ ,  )

この解は、( であり、初期条件としての

0

0 R R

i E

  を用いると、

0

) 0

0

( R R

i E A

i     が得られ、従って、 



 

 

  ^

R e L

R R t E i

t



 , )

(

0

が t > 0 での自由振動電流を与える。

(17)

消費エネル

抵抗 R で消費されるエネルギー W

ギー

は、先に求めた

) 12 2 (

1 2

2 0 0

2 2 0 0

2 0

2

0

2 e dt Ri e dt Ri e Li 

R R R E dt Ri W

t t

t

 



 



 



 



 





 



 

 



 



^ ^ ^ ^

となる。

これは、コイル L に初めに蓄えられていた電磁エネルギーに等しい。それが全て抵抗 R で消費されて熱となる。



 

 

  ^

R e L

R R t E i

t



 , )

(

0

より、

0

0 R R

i E

  と

確認 ) コイル L に蓄えられる電磁エネルギー W は、コイルに流れる電流を I 、コイル内の磁束を ϕ とすると、 ϕ = LI より、

LI L I

W

2 2

2 1 2

1 2

1   



(18)

( 復習 ) 線形常微分方程式の標準的解法

)

1 (

) 1 ( 1 ) (

0y a y a y' a y f t

a ⁿ  ⁿ^  _n_  _n 

定係数の線形常微分方程式の一般形として、

を考える。ただし、

線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。

m m m

dt y y⁽ ⁾  d

) , , 1 , 0 ( ,

0 0 a i n

a  _i  

また、は定数とする。

この方程式が t = t₀ における初期条件、 y(t₀), y’(t₀), ‥‥, y^(n-1)(t₀) を定めれば、ただ一つの解を持つこと ( 解の存在定理 ) は、数学的に証明されている。

(a) 同次方程式の解

この方程式の解法は、まず右辺の f(t) を　 0 と置いた同次 ( 斉次 ) 方程式の解を求める。

1 0

) 1 ( 1 ) (

0y a y ^  a _ y' a y 

a ⁿ ⁿ  _n _n

f(t) = 0 と置いた同次 ( 斉次 ) 方程式

の解は、指数関数以外にない。それを、 y = e^st , (s は定数 ) としてとして代入すると、

1 0

1 1

0sⁿ a sⁿ^  a_n_ sa_n 

a 

特性方程式を得る。

この特性方程式の n 個の根、 s₁, s₂, ‥‥, s_n の間に等根が無ければ、

t s t

s t

s y e y e _n

e

y  ¹ ,  ² , ,  が、互いに一次独立な n 個の特解である。

(19)

( 復習 ) 線形常微分方程式の標準的解

従って一般解は、任意の定数 k_i (i = 1, 2,

法

‥‥, n) による一次結合

t s n t

s t

s k e k e _n

e k t

y( )  1 ¹  2 ²  によって与えられる。

ここで、任意定数 k_i は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重根を有し、 s₁ = s₂ =‥‥= s_m ならば、それらに対する m 個の特解を

t s m t

s t

s te t e

e ¹ , ¹ , , ^¹ ¹ とすればよい。

(b) 非同次の場合

f(t) ≠ 0 の場合、上の微分方程式は非同次 ( 非斉次 ) 形という。この場合は、

補関数 y_c(t) ( 同次方程式の一般解に同じ ) と、特解 y_p(t) を求め、一般解

y(t) yは、(t)  y_c(t) y_p(t)によって与えられる。

多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の f(t) に対しては、簡単に解が求まるが、それ以外の f(t) に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、

未定係数法、定数変化法、演算子法などを用いなければならない。

一般に、受動回路網についての補関数は、 t → ∞ で 0 に収束する。十分に時間が経つと y_c は小さくなり、 y_p のみが残る。このような状態が定常状態であり、 y_c の値が無視できない場合が過渡状態である。また、 y_c は励振がなくても存在するので、自由振動項、 y_p は励振に関わるので、強制振動項と呼ばれる。

電気回路学