電気回路学

電気回路学

Ⅱ

エネルギーインテリジェンスコース

5

セメ

山田 博仁

ラプラス変換による過渡現象の解

1. RC

直列回路の過渡現象 析





 i t dt

t C Ri t

e 1 ( )

) ( )

( C

R

E(s) e(t) i(t)

I(s)

q(0)











^



^{  }

t t

t

i t dt i t dt i t dt q i t dt

0 0

0

( ) ( ) ( 0 ) ( )

) (

) 0 ( )

0

(

q dt t

i 





両辺をラプラス変換すると、

 ^{( ) ( 0 )} 

) 1 ( )

( I s q

s sC RI s

E   

図に示す回路における閉路方程式は、

電流

i(t)

の積分を、

と置く。

ただし、

I(s)

および

E(s)

は、

i(t)

および

e(t)

のラプラス変換である。

q(0)

は、

t = – ∞

から

t = 0

の直前までの間にキャパシタ

C

に流入した電 流を積分したもの、即ち

C

に蓄えられた電荷である。

ただし、

ラプラス変換による過渡現象の解 析

I(s)

について書き直すと、

R sC sC q

R sC s s E

I 1

) 0 ( 1

) ) (

(









初期条件として

q(0) = 0 (

定常状態 ) を考えると、

) (

) ( 1

) ) (

( Z s

s E R sC

s s E

I 





となり、

s

を

jω

で置き換えれば、

R sC s

Z 1

)

(  

) ( )

( s Z j 

Z 

は回路のインピーダンスであるか ら、インピーダンス関数と呼ばれ る。

第

1

項は励振

E(s)

に関する項

第

2

項は初期条件

q(0)

に関する項

I(s)

をラプラス逆変換すれば、電流の瞬時値

i(t)

が求まる。

当然その逆数はアドミタンス関数と呼ばれ、

R sC s

s Z

Y 1

1 )

( ) 1

(







ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

例

6.1.1

C R

E

₀

S

i(t) t = 0

q(0)

時刻

t = 0

でスイッチを閉じる場合、電源電圧の

過渡関数

e(t)

は、単位ステップ関数

u

_-1

(t)

を用いて、









_

i t dt

t C Ri t

u E t

e 1 ( )

) ( )

( )

(

_{0 1}

) ( )

( t E

₀

u

₁

t

e 

_ で与えられる。

従って、

これをラプラス変換すると、

sC q s s I

s RI

E ( ) ( 0 )

) (

0

  

となり、

I(s)

は、

s RC R

C E q

R sC

sC q s

E s

I 1

1 )

0 ( 1

) 0 ( )

(

⁰

0



 



 

となる。

これをラプラス逆変換すると、

RC t

R e C E q

s I t

i

^

 



) 0 ( )

( )

(

￡^{-1 0} となり、微分方程式の直接解法による 解と一致する。

(t > 0)

時刻

t = 0

で電圧

E

₀ を印加する過渡関数波

+

と同じ意味

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

例

6.1.2

C

₁

R S

₁

q

₁

C

₂

q

₂

S

₂

i

₁

i

₂

時刻

t = 0

で

2

つのスイッチを同時に閉じる

場合、抵抗

R

を流れる電流を求める。ただし

、

C

₁

, C

₂ には当初、各々電荷

q

₁

, q

₂ が蓄えら れていたとする。

C

₁

-S

₁

-R

の閉路に対して、以下の閉路方程式が成り立つ。

1 0 )

(

0 1 1

1 2

1

 ⁱ  _C    

^t

^{i dt}  ^q     i

R

C

₂

-S

₂

-R

の閉路に対して、以下の閉路方程式が成り立つ。

1 0 )

(

0 2 2

2 2

1

 

 

 

 



 ⁱ _C 

^t

^{i dt q}

i R

これらの式をラプラス変換すると、

  ⁰

) 1

(

_{1 1}

1 2

1

  I  q 

I sC I

R ^{( ) 1} 

2 2

 ⁰

2 2

1

  I  q 

I sC I

R

ただし、

I

₁

= L i

₁ 、

I

₂

= L i

₂ とした。

両式より、

I

₁

, I

₂ を求めると、

1 ) (

) (

2 1

1 2

1 1 2

1

 



 

C C sR

q q

C q C I sR

1 ) (

) (

2 1

2 1

2 2

1

2

 



 

C C sR

q q

C q

C

I sR

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

従って、抵抗

R

を流れる電流

I

は、

) (

1 1 )

( 1

) (

2 1

2 1

2 1 2

1 2 1 2

1

C C s R

C C R

q q C

C sR

q I q

I I

 



 





 





となる。

これをラプラス逆変換すると、

) (

2 1

2

1 1 2

) ) (

(

^{R C C}

t

C e C R

q t q

i

^{ }



  (t > 0)

となる。

スイッチを閉じた直後

( t = +0 )

での電荷の総量は、スイッチを閉じる直前

( t = −0 )

において、各キャパシタが蓄えていた電荷の合計

(q

₁

+ q

₂

)

に等し

いことが分かる。

(

電荷量不変の理

)

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

例

6.1.3

C R

e(t)=E

_m

sinωt S

i(t) t = 0

q(0)

t = 0

の時刻に、

e(t)=E

_m

sinωt

なる正弦波を印加 する時、回路を流れる電流

i(t)

を求める。ただ し、

C

には当初、電荷

q(0)

が蓄えられていた とする。

^{e ( t )  E}

^m

^{sin  t  Ri ( t ) } _C ¹  ^{i ( t ) dt}

2

sin

2



 

  t s

￡

(

表

5.2(11)

参照

)

であるから、

  ^{CR s CR}

q CR s

s

s R

E R sC

sC q s

s E

I

^{m m}

 

 



 

  

 



 

  

 

 



 

  ( 0 ) 1

1 1

) 0 ) (

(

2 2 2

2









sC s q

sC I sC R

q s s I

s RI

E

_m

( 0 )

) 1 (

) 0 ( ) ) (

2

(

2

 



 

  

 



  



従って、

このラプラス逆変換を求めるにあたり、ラプラス変換表

(

教科書の表

5.2)

を用いる。

(t > 0)

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

) 1 )(

( ) (

2

2



 





s s

s s

 ^{ }  F

 

 



^









 



t e

dt t df

t

1 cos 1

1 1 )

(

2 2 2

2

表

5.2(27)

にある表関数

f(t)

を

b →1/τ, τ → RC , a → ω

と置き換えて、

t

につ いて微分

 ^{ } 

 

 

^

at

b a b a

a t e f

bt

1 sin )

(

2 2 2 2

( )( )

) 1

(

_{2 2}

a s b s s

F   

(27)

 ^{ } 

 

 

















e t t

f

t

1 sin 1

) 1 (

2 2 2

2

 ^{ } 

 

 



^









 



t e

dt t df

t

1 cos 1

1 1 )

(

2 2 2

2

つまり、

  ^{CR s CR}

q CR s

s

s R

s E

I

^m

 

 



 

  

 ( 0 ) 1

) 1 (

2

2



従って、



をラプラス逆変換すると、

b

 a



tan

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

 

   

 

   

 

   

 ^{ } 

 































 

 

 

^







 



 



 



 



































 



 



 



 



 











 















t R C

e E CR q R C

C E

t R CR

e E CR e q

R C

C E

CR e t q

CR R

e E CR CR R

E

CR e t q

e R

t E i

CR m m t

CR m t CR

m t

CR t CR m

t m

CR t t

m

1 cos )

0 ( 1

1 cos )

0 ( 1

) 0 cos (

1 1 1

1

) 0 cos (

1 1 1

1 )

(

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

 CR

  tan

と求まる。

t → ∞

で

0

に収束する過渡項持続する正弦波振動を表わす定常項

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

これを図に示すと、

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

キャパシタ

C

の電荷

q(t)

は

t > 0

に対して、

 

   

 

   

 ^{ } 

















 









 



 



 



 

















 



 



 

 



 



 















t R C

E e

R C E R q

t R C

E R e

C R C q E

q

dt t i q

t q

m CR

m t

m CR

t m

t

1 sin ) 1

0 (

sin 1 sin

1 1 ) 0 ( )

0 (

) ( )

0 ( )

(

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 0

となる。

ラプラス変換による過渡現象の解

1. RL

直列回路の過渡現象 析

dt t L di t

Ri t

e ( )

) ( )

(  

両辺をラプラス変換すると、

 ^{( ) ( 0 )} 

) ( )

( s RI s L sI s i

E   

図に示す回路に流れる電流

i(t)

は、

を解いて求められる。

ただし、

I(s)

および

E(s)

は、

i(t)

および

e(t)

のラプラス変換であり、

i(0)

は初期電流である。

R

E(s) e(t) i(t)

I(s) L

i(0)

sL R

Li s

s E

I 

 ( )  ( 0 ) )

(

i(0)

は、厳密には時刻

t = +0

での電流であるので

i(+0)

とすべきであるが、

コイルに流れる電流は瞬時には変化できないので、時刻

t = −0

での電流

i( −0)

とは等しい。

上式より、

I(s)

をラプラス逆変換すれば、電流の瞬時値

i(t)

が求まる。

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

例

6.2.1

時刻

t = 0

でスイッチを閉じる場合、電源電圧の

過渡関数

e(t)

は、単位ステップ関数

u

_-1

(t)

を用いて、

) ( )

( t E

₀

u

₁

t

e 

_ で与えられる。

スイッチを入れた瞬間

(t = 0)

の電流はゼロであるから、

表

5.2

の

(15)

を参考にしてこれをラプラス逆変換すると、

となる。

L R

E S

i(t) t = 0

i(0)

) ( )

0

RI ( s sLI s

s

E  

従って、

^{I ( s )  s}  ^{R E }

⁰

^sL 

 

 



 

 



 



 



^{ Lt}

t R L R

R e e E

R L L t E

i ( )

⁰

1

⁰

1

  _



 

  

 



L s R L s

E sL

R s s E

I 1

)

(

^{0 0} より、

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

例

6.2.2 t = 0

の時刻に、

e(t)=E

_m

sinωt

なる正弦波を印加

する時、回路を流れる電流

i(t)

を求める。

dt t L di t

Ri t

E t

e

_m

( )

) ( sin

)

(    

2

sin

2



 

  t s

￡

(

表

5.2(11)

参照

)

であるから、

 



^{2 2}

 

^{2 2}



2

2

1

1 ) 1

(

 











 



 

  



 



 

  



 



s L s

E L s

s R L

sL E s R

s E

I

^{m m m}

) ( )

2

(

2

RI s sLI s

s

E

_m

 

 



従って、

このラプラス逆変換を求めるにあたり、ラプラス変換表

(

教科書表

5.2)

の

(27)

を用いると、

R

e(t)=E

_m

sinωt S

i(t) t = 0

L

 R 

L

と置いた。

 

 



 



 



 



















 

 





^

e t L

t E i

t

m

sin

1 1 ) 1

(

2 2 2

2

と求まる。

R

 L

  tan

(t > 0)

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

例

6.2.3

R

₂

E

₀

S

i

₁

t = 0 R

₁

L

₁

i

₂

L

₂

R

₂

i

R

₁

L

₁

L

₂

左図の回路において、スイッチ

S

が閉じた状態で、

R

₁ および

R

₂ に定常電流

i

₁

, i

₂ が流れている。

t = 0

でスイッチを開くと、右図のような回路となり、電 流

i

が流れるとする。

t > 0

に対して閉路方程式は、



₁

^

₂

 ^

₁

^

₂

^{ 0}

dt L di dt L di i R

R

となる。この式をラプラス変換すると、

 ^R

₁

^{ R}

₂

 ^{I ( s )  L}

₁

 ^{sI ( s )  i}

₁

^{(  0 )}  ^{ L}

₂

 ^{sI ( s )  i}

₂

^{(  0 )}  ^{ 0}

となり、ラプラス逆変換すると、

2 1

2 1

2 1

2 2 1

1

( 0 ) ( 0 )

)

(

^{L L}

R tR

L e L

i L i

t L

i

^

 







 

と電流が得られる。

ラプラス変換による過渡現象の解析

(

具体 例

)

コイルに流れる電流は急変することはないので、

2 0 2

2 1

0 1

1

( 0 ) ( 0 ) , ( 0 ) ( 0 )

R i E

R i i E

i         

従って、これを代入すると、

2 1

2 1

0 2 1

2 2 1

1

)

(

^{L L}

R tR

e L E

L R L R

L t

i

^

 







となる。

ところで、前のスライドで求めた

i(t)

において、

t → +0

を考えると、

) 0 ( )

0 ( )

0 ( )

0 ( )

0 ( )

( L

₁

 L

₂

i   L

₁

i

₁

  L

₂

i

₂

  L

₁

i

₁

  L

₂

i

₂



となる。左辺は

S

を開いた直後における全コイルの鎖交磁束であり、右辺は

S

を開く直前における各コイルの鎖交磁束の和である。即ちスイッチを開閉す る直前直後においては、全てのコイルについての鎖交磁束の総和は変化しない

(

鎖交磁束不変の理

)

また、

2 1

2 2 1

1

( 0 ) ( 0 )

) 0

( L L

i L i

i L







 



であり、単純に

i (  0 )  i

₁

(  0 )  i

₂

(  0 )

とはならないので注意が必要。