電気回路学

電気回路学 Ⅱ

コミュニケーションネットワークコース

5

セメ

山田 博仁

ラプラス変換における初期条件の扱

1.

キャパシタの初期電荷

い

2.

コイルの初期電流

C

i(t)

q(0)

i(t) L i(0)

 _{ }   _ 

 ^{    }



 

t t

t

q i t dt

dt C t i dt

t C i

dt t C i

t

v

0 0

0

1 ( 0 ) ( )

) ( )

1 ( )

1 ( ) ( +

の意味

 ^{q i t dt}  _sC ^{q I} _sC ^s

t C

v

^t

( 0 ) ( )

) ( )

0 1 (

)

( 

^￡

 

0

  

￡

これをラプラス変換すると、

v(t)

v(t)

流れる電流と両端の電圧との関係は、

初期電荷

q(0)

により発生する 電圧が

v(t)

と同一方向なら

+

、逆なら ‒

dt t L di t

v ( )

) ( 

) 0 ( )

( )

( t sLI s Li

v  

￡

これをラプラス変換すると、

流れる電流と両端の電圧との関係は、

初期電流

i(0)

が

i(t)

と同一方向なら ‒、逆なら +

過渡関数波

過渡関数波とは

?

単位ステップや単位インパルスを、時間微分或いは積分した関数で表され る一連の波形を過渡関数波と呼ぶ。

単位ステップと単位インパルス

0 t 1

a

0 a t a

1

¹

^{( )} 

₁

^{( )} 

₁

^{( 0 ) 1 0 1}  ^u

₀

^{( t )} 

s s u

t u dt s

t

du

￡ ￡

￡

      

 

 



 

図

(a)

の波形を時間

t

で微分すると図

(b)

の波形を得る。

(a)

(b)

a → 0

の極限を考えると、図

(a)

の波形は単位ス

テップ

u

_–1

(t)

となり、図

(b)

の波形は単位インパル ス

u

₀

(t)

となる。

) ) (

(

0

1

u t

dt

t

du

^



即ち、

過渡関数波

単位ダブレット

0 2a t a

1

a

(a) (b)

a → 0

(d) 0 t a 1

2a a a

 1

a

 2

)

~ (

1

t u t

図

(a)

の三角波を時間微分すると、図

(b)

のような正および負の方形波が続 いて現れる波形となる。これを　　　　で表せば、　　　　の時間積分は

0

となるが、　　　の

1

次モーメント　　　　を考えると、図

(d)

のように その時間積分は − 1 となることが分かる。そこで、

a → 0

の極限を考えて

、 を考えると、図

(c)

のように高さは無限に高く、幅が 無限に小さい正と負のインパルスが、

t = 0

の時刻に同時に存在する波形と なる。これを単位ダブレットと呼び、その

1

次モーメントは − 1

となる。

(c) 0 t

2

1 a

2a a

)

~ (

1

t u

2

1

 a

)

~ (

1

t

u ~ ( )

1

t

u ~ ( )

1

t u )

~ (

1

t u t

) ( )

~ (

1

1

t u t

u 

0 t

)

1

( t +∞ u

–∞

単位ダブレット

1

)

1

(  



^

^{tu t dt}

  ^s

dt t t du

u 

 

 

 ( )

)

(

⁰

1 ￡

￡

また、単位ダブレットは単位インパルスを時間微分した ものであるから、そのラプラス変換は、　　　　　　　となる。

過渡関数波

高次の特異波形

単位インパルス

u

₀

(t)

を

k

回微分した特異な関数を

u

_k

(t)

で表す。それ は、正負のインパルスが時刻

t = 0

に同時に

k + 1

個 発生する波形であ る。

 







 



^^

k n k k dt n

t u

t

ⁿ _{k k}

! ) 1 ( ) 0

(

 ^u

_k

^{( t )}  ^{ s}

^k

また、ラプラス変換は、　　　　　　　　　となる。￡ その

k

次モーメントは、

であり、有限確定値をとる。

過渡関数波

単位ランプ

0 t 1

u

_–1

(t)

単位インパルス

u

₀

(t)

を

k

回積分して得られる関数を

u

_–k

(t)

で表す。

1

回積分したものは、図

(a)

の単位ステップ

u

_–1

(t)

で、

2

回積分したものは 図

(b)

に示すように、時刻

t = 0

から直線的に増加する波形であり、

3

回 積分したものは図

(c)

に示すように、時刻

t = 0

から放物線的に増加する 波形となる 。これら一群の関数を単位ランプと呼ぶ。

(a)

単位ステップ

u

_-1

(t) (b)

単位半無限ランプ

u

_–2

(t) 0 t

1

u

_–2

(t)

1

(c)

単位放物線ランプ

u

_–3

(t) 0 t

1

u

_–3

(t)

1 , 

2 , 1 ),

)! ( 1 ) (

(

₁

1



 

^ _



u t k

k t t

u

k k

過渡関数波

単位ランプのラプラス変換は、

 ^u

_k

( ^t )  ^

￡

_ ^ 

0^t

^u

_k1

( ^t ) ^dt _ ^{ }

￡

_ ^  

0^t



0^t

^u

0

( ^t )( ^dt )

^k

_ ^{  s}

^k

￡ となる。

例

5.3.1

例

5.3.2

f(t)

が

t = a

で連続なら、

) ( )

( )

0

( t a f t dt f a

u  



^

の関係が成り立つ。

u

_-1

(t)sinωt u

_-1

(t) sinωt

時刻

t = 0

に突然現れる正弦波

過渡関数波

繰り返す波形のラプラス変換

−∞

から時刻

t = 0

まで

f(t) = 0

で、

t > 0

では周期

T

をもって同じ波形 が繰り返されるようなとき、その波形

f(t)

を、

0 < t < T

の

1

周期の間で のみ

f(t)

に等しく、それ以外の全ての時刻

t

では

0

になる波形

f

₀

(t)

を もって表せば、

f ( t )  f

₀

( t )  f

₀

( t  T )  f

₀

( t  2 T )  

となる。従って、ラプラス変換

F(s)

は、

sT

sT sT

sT sT

st st

st st

e s F

s F e

e e

s F e

s F s

F

dt e T t

f dt

e T t f dt

e t f dt

e t f s

F











 

 

 

 

 





























    

1

) (

) ( ) 1

( )

( )

( )

(

) 2 ( )

( )

( )

( )

(

0

0 2

2 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0







ただし、

^F

0

( ^s ) ^ 

0^

^f

0

( ^t ) ^e

^st

^{dt } 

0^T

^f ( ^t ) ^e

^st

^dt

F

₀

(s)

を、ウェイデリッチによる定常ラプラス変換と呼ぶ。

あるいは、

   

である。

e

sT

t t f

f

_

  1

) ) (

(

￡ ⁰

￡

過渡関数波

例

5.4.1

図に示すように、

t < 0

で

0 、 t >

0

では方形波が繰り返すような波形 のラプラス変換は、

 

 









 

T t t

t T t

f

, 2 0 0

0 2 1

)

0

(

として、

0 t 1

2

T _T T

2

3 2T T

2 5

 

 



 

 



 





 



 

^{ }



^{  2  2}

0 2

0

0 0

0

1 1

) ( )

(

sT T

T st st

st

e

s s

dt e e dt

e t f s

F

従って、

 

 

 



 

 

 

 



2 2

1 1 1

) 1

(

_T

sT s sT

e e s

s

s e

F

過渡関数波

展開定理

F(s)

のラプラス逆変換を求めるにあたり、 F(s) を部分分数に展開し、展開

式の各項についてラプラス逆変換するのが便利。例えば、



^at



at

e

e a a a a

s a

s a

a s s a a

s s













     

 

 

 

 

 



 



 



 





 

 



 





 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

) (

1

_{1 1 1}

1 ￡ ￡ ￡

￡

(1) F(s)

が

1

位の極のみからなるとき

n n

s s

C s

s C s

s C s

s s C

F   

 

 

   

3 3 2

2 1

)

1

(

と書ける。

ここで、

s

_j

(j = 1, 2, ‥‥ , n)

は

F(s)

の

1

位の極であり、

C

_j

(j = 1, 2, ‥‥ , n)

は 極

s

_j の留数である。

 

 

sj

j s

j

s s F s

C   ( )

_

従って、

  _   _    

 





  



ⁿ

j s s

st j

n

j

st

j

e s s F s e

j

C s

F t

f

1 1

1

( ) ( )

)

(

￡

t s j

e

j

s

s 

 





 







₁

1

￡ より、 F(s) のラプラス逆変換は、

となる。

過渡関数波

展開定理

(2) F(s)

が

2

位以上の極をもつとき

      ^{( )}

)

(

₁

1 1 2

1 13 1

1 12 1

11 1

1 1

1

F s

s s

C s

s C s

s C s

s s C

F

_{k k k} ^k



 

 

 

 



_{ }

 

と書ける。

ここで、

F

₁

(s)

はもはや、

s

₁ に極を持たない有理関数であり、

C

_1j

(j = 1, 2,

‥‥ , k

₁

)

は定数である。従って、

    ^{   }  

   ^{( )} 

!

)

! ( 1

! 2

! 2

! ) 1

(

1 1

1 1

1

1 1 1

1 1 2

2 1 1

2 12

1 1 11

1 1 1

1 1 1

1 1

1

s j F

k e C t

s F e

t C t C

k C C t k

C t t

f

k

j

t s j k j

t s k k

k k

k

















 _ ^



 

 

 

    

 

 

￡



￡

となる。

F(s)

を部分分数に展開

(s = s

₁ でローラン展開

)

して、

s

₁ 以外の極

s

₂

, s

₃

, ‥‥ , s

_n についても、

F

₁

(s)

について行う。

演習問題

教科書第

6

章の章末問題

6.11

スイッチを開く前の定常状態での電流

(

初期電流

) i(0)

は、

R i ( 0 )  E

スイッチを開いた後では、

dt t L di t

dt Ri t L di

E ( )

) ) (

(

2

1

 



コイル

L

₁ の初期電流が　　　　　　、コイル

L

₂ の初期電流が

0

であるこ とに注意してこれをラプラス変換するすると、

の閉路方程式が成り立つ。

R i ( 0 )  E

) ( )

( )

(

₂

1

RI s sL I s

R s E sI s L

E   



 



 



となり、

I(s)

について解くと、

     

 

2 1 2

1 1

2 1 2

1

2 1 1

2 1 2

1

1

1 1

1 ) 1

(

L L s R L L R

E L L

L s R L s

L E

R L

L s R

E L R L

L s s E R L

L s

R E L s E s

I

 

 

 

 





 

 



 



 





 

演習問題

従って

i(t)

は、

  ^{ } _



 





 

 

 







 



 



^{    L L t}

t R L L t R

L L

R

L e L

L R

e E L L R

E e L

R t E

i

^{1 2 1 2 1 2}

2 1

2 2

1

1

1

1 )

(

と求まる。

これを図示すると、

t i(t)

0 R

E

 ^L

₁ ¹

^L

₂



R EL



スイッチを入れる前後での鎖交磁束

ϕ

_before

, ϕ

_after を比較してみると、

となり、鎖交磁束不変の理が成り立っていることが分かる。

 ^{L L}   ^{R L EL L}  ^{EL R}

R

L E

_after

before 1

2 1

1 2

1

1

, 

 



 

