電気回路学
Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5 セメ
山田 博仁
RLC
直列回路の過渡現RLC 直列回路で、時刻 象 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において回路を流れる電流 i(t) は、
i t dt
C dt
t L di t
Ri
E ( ) 1 ( )
)
( で与えられる。
なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻 t までである。
キャパシタの電荷 q(t) と電流 i(t) との関係
dt t t dq
i ( )
)
( を用いて書き直し、
) 1 ( 0
) , ( )
( )
(
2 2
t
C t q dt
t R dq dt
t q L d E
まず、 E ≠ 0 のときの非同次方程式の特解 qs(t) は定常解であるから、
1 0
2
Rs C Ls
t → ∞ における回路の状態、或いは ( ) 0 dt
t
dq qs EC
C R
E S
i(t)
t = 0 L
から、 となる。
次に、 E = 0 とした時の同次方程式の一般解 qf(t) は、
特性方程式
est
q を式 (1) に代入して得られる の根 s1 および s2 、即ち
LC L
R L
s R
s 1
2 , 2
2 2
1
から、
RLC
直列回路の過渡現 象で重根となるから、
C R2 4 L
(a) の時には、
L s R
s1 2 2
E = 0 とした式 (1) の一般解は、任意の定数を A1, A2 として、
t s t
s
f t Ae A te
q ( ) 1 1 2 1によって与えられる。
従って、前述の定常解 qs と重ねて、
t s t
s f
s q EC Ae A te
q t
q( ) 1 1 2 1 が式 (1) の解となる。
これから、電流 i(t) が、
t s t
s A st e
e s dt A
t t dq
i ( ) 1 (1 ) 1
)
( 1 1 2 1 と与えられる。
A1 および A2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。
回路から、 t = 0 の初期電流 i(0) は 0 であり、キャパシタの初期電荷を q(0) = q0 とすれば、 q(t) および i(t) の t →0 の値から、
1
) 0
0
( q EC A
q 従って、 A1 q0 EC
2 1
0 1
) 0
( A s A
i 従って、 A2 s1A1 R q0 EC
RLC
直列回路の過渡現 象
0 2 ,
1 ) 2 (
1 ) (
) 2 (
) (
0 2 0
0 0
2 1
1
1 1
1 1
t
e Lt EC R
q EC e
L t EC R
q EC
te EC L q
e R EC q
EC te
A e
A EC t
q
Lt R t
s
t s t
s t
s t
s
以上より、
, 0
2
) 2 1 2
2 ( 2
) 1
2 ( )
1 ( )
(
2 2 0
2 0
0 0
1 0
1 0
1 2
1 1
1 1
1
1 1
1 1
t
L te q R
EC
L te EC R
q e
L t EC R
L q e R
L EC R q
e t s EC
L q e R
s EC q
e t s A
e s A t
i
Lt R
t s t
s t
s
t s t
s t
s t
s
と求まる。
初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。 i(t) は、 t = 2L/R で最大値 im = 2E/Re をとる。
の場合は、臨界的 (critical) あるいは 臨界減衰 (clitical-damping) と呼ばれ る。
C R2 4 L
RLC
直列回路の過渡現 象C R2 4 L
(b) の時には、特性方程式 2 1 0 Rs C
Ls の根は、 2 つの異なる 実根 s1, s2 となる。
1 0
2 2
1
1 2
, 2
L LC
R L
s R s
と置く。
L R
0 2
L LC
R 1
2
2
1
ただし、0 1 0
E = 0 とした式 (1) の一般解は、任意の定数を B1, B2 として、
t s t
s
f t B e B e
q ( ) 1 1 2 2 によって与えられる。
従って、前述の定常解 qs と重ねて、
t s t
s f
s q EC B e B e
q t
q( ) 1 1 2 2 が式 (1) の解となる。
電流 i(t) は、 B sest B s es t dt
t t dq
i ( ) 1 1 1 2 2 2 )
( と与えられる。
B1 および B2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。
1 0 2
1 0
1 , s s
RLC
直列回路の過渡現 象初期条件は同様に、 i(0) = 0 、 q(0) = q0 とすれば、 q(t) および i(t) の t →0 の値から、
2 1
) 0
0
( q EC B B
q i(0) 0 B1s1 B2s2 従って、 0
2 1
2
1 EC q
s s
B s
0
2 1
1
2 EC q
s s
B s
従って、 st EC q es t
s s e s
q s EC
s EC s t
q 1 0 2
2 1
1 0
2 1
) 2
(
1 1
0 1
0 2
1 s ( ) 2
s より、
EC q est s EC q es t EC EC q
s est s es t
EC s t
q 1 2 0 2 1 1 2
1 0
1 1 0
1 2
2 1 2
) 2
(
t t t
s e e
e 1 0 1 es2t e0te1t より、
EC q e t
s e t s e t
EC t
q 0 0 2 1 1 1
2 1
) 1
(
ここで、 eK s
s
1
2 と置くと、 s1 s1 s2eK s2 s1 s2eK
RLC
直列回路の過渡現 象従って、 q t EC EC q0 s1 s2e 0t
eKe 1t e Ke 1t
2 1
) 1
(
ここで、双曲線関数を用いると、ex e x x 2 sinh
であるから、
t K
e e e
eK 1t K 1t 2sinh 1 であり、
従って、 q t EC EC q0 s1 s2e t 1t K
1
1 sinh )
( 0
さらに、 s1, s2 < 0 であるから、
s LC s s
s 1
2 1 2
1
従って、
K t LC e
q EC q
K t LC e
q EC EC
t q
t t
1 1
0 0
1 0
1
1 sinh 1
1 sinh ) 1
(
0 0
t > 0
RLC
直列回路の過渡現 象電流 i(t) についても同様に、
t K t K
LC q e
dt EC t t dq
i
t
0 1 1 1
1
0 sinh cosh
) ) (
( 0
ここでまず、 { } 内について考える。
eK
s s
1
2 より、
s LC s
s s s
s s
e s
eK K 1
2 1
1 2 2
1 1
2 2
s LC s
s s s
s s
e s
eK K 0
2 1
1 2 2
1 1
2 2
LC e eK K
1 2
LC e eK K
0 2
RLC
直列回路の過渡現従って、 { } 内は、 象
tLC e
e e LC
LC e
e e
e e
e e
e LC e
e e
LC e e
e e
LC e e
K LC t
e K e
LC t e K e
t K
t
t t
t t
K t K
K t K K
t K
K t K
K t K
K t K K
t K
K t K
K K
K K
1
1 1
1 1
1 0
1 sinh 2
2 1 4 2
1 4
1
2 2 2 2
2 cosh 2 sinh
cosh sinh
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
従って電流 i(t) は、
e t
LC q t EC
LC LC
q e dt EC
t t dq
i t
t
1 1
0 1
1
0 1 sinh sinh
) ) (
( 0 0
t > 0
RLC
直列回路の過渡現 象初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。
の場合は、臨界的の場合よりも収束 が遅いので、非振動的 (aperiodic) あ るいは過減衰 (over-damping) と呼 ばれる。
C R2 4 L
RLC
直列回路の過渡現 象C R2 4 L
(c) の時には、特性方程式 2 1 0 Rs C
Ls の根は、 2 つの異なる 虚根 s1, s2 となる。
0 0
2 2
1
1 2
, 2 j
LC L
R L
s R
s
と置く。
L R
0 2
L LC
j R 1
2
2
0
ただし、 0 0 かつ ω0 は実数である。
ej
s s
1 2
j e ej j sin 2
t
j j t j j t
t j t t
j t t
s t
s
t s t
s
t s t
s
e e e
e e
s s q j EC
EC
e s e
s q j EC
EC e
s e
s q j EC
EC
e q j EC
e s q j EC
EC s
e q s EC
s e s
q s EC
s EC s t
q
0 0
0
0 0 0
0 2
1
2 1
2 1
2 1 0
1 2
0 0
1 2
0 0
0 0
1 0
0 2
0 2
1 1 0
2 1
2
2 1
2 1 2
1
2 2
) (
ej
s s s2 1 2
e j
s s
s1 1 2
0 0
2 0
0
1 j , s j
s
RLC
直列回路の過渡現 象
t LC e
q EC q
t e
q LC EC
EC
j e e e
q LC EC
EC
j
e e e
e e s s q EC EC
t q
t t
t j t
j t
t j j
t j j
t
0 0
0 0
0 0
0
0 0
2 1 0 0
1 sin 1
1 sin
2 1
1
2 ) 1
(
0 0
0 0
0
0 0
0
t LC e
q EC dt
t t dq
i t 0
0
0 sin
) ) (
( 0
t > 0
t > 0
0tan 0
jj jj e e
j
e e
RLC
直列回路の過渡現 象初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。
の場合は、振動的 (oscillatory) あるい は振動減衰 (under-damping) と呼ば れる。
C R2 4 L
インピーダンスの値が のRLC 直列回路の共振角周波数 ωn は、
C L j
j R
Z 1
n LC
1
であった。これに対して、振動的な過渡解の i(t) は、
2
0 2
1
L
R
LC の角周波数で振動し、 ωn とは多少異なる。
R → 0 の時、 ω は ω に近づき、正弦波振動が永久に持続する。
線形常微分方程式の標準的解法
)
1 (
) 1 ( 1 ) (
0y a y a y' a y f t
a n n n n
定係数の線形常微分方程式の一般形として、
を考える。ただし、
線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。
m m m
dt y y( ) d
) , , 1 , 0 ( ,
0 0 a i n
a i
また、 は定数とする。
この方程式が t = t0 における初期条件、 y(t0), y’(t0), ‥‥, y(n-1)(t0) を定めれ ば、ただ一つの解を持つこと ( 解の存在定理 ) は、数学的に証明されてい る。
(a) 同次方程式の解
この方程式の解法は、まず右辺の f(t) を 0 と置いた同次 ( 斉次 ) 方程式の解を 求める。
1 0
) 1 ( 1 ) (
0y a y a y' a y
a n n n n
f(t) = 0 と置いた同次 ( 斉次 ) 方程式
の解は、指数関数以外にない。それを、 y = est , (s は定数 ) としてとして代入すると、
1 0
1 1
0sn a sn an san
a
特性方程式 を得る。
この特性方程式の n 個の根、 s1, s2, ‥‥, sn の間に等根が無ければ、
t s t
s t
s y e y e n
e
y 1 , 2 , , が、互いに一次独立な n 個の特解である。
線形常微分方程式の標準的解法
従って一般解は、任意の定数 ki (i = 1, 2, ‥‥, n) による一次結合
t s n t
s t
s k e k e n
e k t
y( ) 1 1 2 2 によって与えられる。
ここで、任意定数 ki は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重 根を有し、 s1 = s2 =‥‥= sm ならば、それらに対する m 個の特解を
t s m t
s t
s te t e
e 1 , 1 , , 1 1 とすればよい。
(b) 非同次の場合
f(t) ≠ 0 の場合、上の微分方程式は非同次 ( 非斉次 ) 形という。この場合は、
補関数 yc(t) ( 同次方程式の一般解に同じ ) と、特解 yp(t) を求め、一般解
y(t) yは、(t) yc(t) yp(t)によって与えられる。
多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の f(t) に対しては、簡単に 解が求まるが、それ以外の f(t) に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、
未定係数法、定数変化法、演算子法などを用いなければならない。
一般に、受動回路網についての補関数は、 t → ∞ で 0 に収束する。十分に 時間が経つと yc は小さくなり、 yp のみが残る。このような状態が定常状 態であり、 yc の値が無視できない場合を過渡状態である。また、 yc は励 振がなくても存在するので、自由振動項、 yp は励振に関わるので、強制振 動項と呼ばれる。
