電気回路学

電気回路学

Ⅱ

コミュニケーションネットワークコース

5 セメ

山田 博仁

RLC

RLC 直列回路で、時刻 象 t = 0 でスイッチ S を閉じる。

t > 0 において回路を流れる電流 i(t) は、







 i t dt

C dt

t L di t

Ri

E ( ) 1 ( )

)

( で与えられる。

なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻 t までである。

電荷 q(t) と電流 i(t) との関係

dt t t dq

i ( )

)

(  を用いて書き直し、

) 1 ( 0

) , ( )

( )

(

2 2



 





 t

C t q dt

t R dq dt

t q L d E

まず、 E ≠ 0 のときの非同次方程式の特解 q_s(t) は定常解であるから、

1 0

2   

Rs C Ls

t → ∞ における回路の状態、或いは ( ) 0 dt

t

dq q_s  EC

C R

E S

i(t)

t = 0 L

から、 となる。

次に、 E = 0 とした時の同次方程式の一般解 q_f(t) は、

特性方程式

est

q  を式 (1) に代入して得られる の根 s₁ および s₂ 、即ち

LC L

R L

s R

s 1

2 , 2

2 2

1  



 



 



 から、

RLC

で重根となるから、

C R²  4 L

(a) の時には、

L s R

s¹  ²   2

E = 0 とした式 (1) の一般解は、任意の定数を A₁, A₂ として、

t s t

s

f t Ae A te

q ( )  ₁ ¹  ₂ ¹によって与えられる。

従って、前述の定常解 q_s と重ねて、

t s t

s f

s q EC Ae A te

q t

q( )     ₁ ¹  ₂ ¹ が式 (1) の解となる。

これから、電流 i(t) が、

t s t

s A st e

e s dt A

t t dq

i ( ) ¹ (1 ) ¹

)

(   _{1 1}  ₂  ₁ と与えられる。

A₁ および A₂ は積分定数であり、初期条件によって定まる。

回路から、 t = 0 の初期電流 i(0) は 0 であり、コンデンサの初期電荷を q(0) = q₀ とすれば、 q(t) および i(t) の t →0 の値から、

1

) 0

0

( q EC A

q    従って、 A₁  q₀ EC

2 1

0 1

) 0

( A s A

i    従って、 ^A2 ^{ s}1^A1 ^{ R} ^q0 ^{ EC}

RLC

 

0 2 ,

1 ) 2 (

1 ) (

) 2 (

) (

0 2 0

0 0

2 1

1

1 1

1 1

 



 

 





 



 

 























 t

e Lt EC R

q EC e

L t EC R

q EC

te EC L q

e R EC q

EC te

A e

A EC t

q

Lt R t

s

t s t

s t

s t

s

以上より、

   

     

  ^{, 0}

2

) 2 1 2

2 ( 2

) 1

2 ( )

1 ( )

(

2 2 0

2 0

0 0

1 0

1 0

1 2

1 1

1 1

1

1 1

1 1

 



 



 





 



 

































 t

L te q R

EC

L te EC R

q e

L t EC R

L q e R

L EC R q

e t s EC

L q e R

s EC q

e t s A

e s A t

i

Lt R

t s t

s t

s

t s t

s t

s t

s

と求まる。

初期電荷 q₀ = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。 i(t) は、 t = 2L/R で最大値 i_m = 2E/Re をとる。

の場合は、臨界的 (critical) あるいは 臨界減衰 (clitical-damping) と呼ばれ る。

C R²  4 L

RLC

C R²  4 L

(b) の時には、特性方程式 ₂   1  0 Rs C

Ls の根は、 2 つの異なる 実根 s₁, s₂ となる。

1 0

2 2

1

1 2

, 2     



 



 



 L LC

R L

s R s

と置く。

L R

0  2

 L LC

R 1

2

2

1  



 



 



ただし、₀ ₁  0

E = 0 とした式 (1) の一般解は、任意の定数を B₁, B₂ として、

t s t

s

f t B e B e

q ( )  ₁ ¹  ₂ ² によって与えられる。

従って、前述の定常解 q_s と重ねて、

t s t

s f

s q EC B e B e

q t

q( )     ₁ ¹  ₂ ² が式 (1) の解となる。

電流 i(t) は、 B se^st B s e^{s t} dt

t t dq

i ( ) _{1 1} ¹ _{2 2} ² )

(    と与えられる。

B₁ および B₂ は積分定数であり、初期条件によって定まる。

1 0 2

1 0

1    , s    s

RLC

初期条件は同様に、 i(0) = 0 、 q(0) = q₀ とすれば、 q(t) および i(t) の t →0 の値から、

2 1

) 0

0

( q EC B B

q     i(0)  0 B₁s₁  B₂s₂ 従って、  ₀

2 1

2

1 EC q

s s

B s 

   ₀

2 1

1

2 EC q

s s

B s 



 

従って、   ^st ^{EC q} ^{es t}

s s e s

q s EC

s EC s t

q ¹ ₀ ²

2 1

1 0

2 1

) 2

( 

 

 





1 1

0 1

0 2

1 s    (  )  2

s より、

^{EC q} ^{est s} ^{EC q} ^{es t EC} ^{EC q} 





EC s t

q ^{1 2} _{0 2} ¹ ₁ ²

1 0

1 1 0

1 2

2 1 2

) 2

(         







t t t

s e e

e ¹  ^{0 1} e^s2t e^0te^1t より、

^{EC q} ^{e t}





EC t

q ₀ ⁰ ₂ ¹ ₁ ¹

2 1

) 1

( ^{  }





 







ここで、 e^K s

s 

1

2 と置くと、 s₁  s₁ s₂e^K s₂  s₁ s₂e^K

RLC

従って、 ^{q t EC} ^{EC q}0 ^s1 ^s2^{e 0t}





2 1

) 1

( ^{  }







 







ここで、双曲線関数を用いると、e^x e ^x x 2 sinh

 ^

であるから、

 ^{t K}

e e e

e^{K 1t}  ^{K 1t}  2sinh ₁  であり、

従って、 ^{q t  EC } ^{EC q}₀ ^s₁ ^s₂^{e t}  ₁^{t  K}

1

1 sinh )

( ⁰ 





さらに、 s₁, s₂ < 0 であるから、

s LC s s

s 1

2 1 2

1    

従って、    

   







  



















K t LC e

q EC q

K t LC e

q EC EC

t q

t t

1 1

0 0

1 0

1

1 sinh 1

1 sinh ) 1

(

0 0

 

 





t > 0

RLC

電流 i(t) についても同様に、

    ^{t K}  ^{t K}

LC q e

dt EC t t dq

i

t











 ^ _{0 1 1 1}

1

0 sinh cosh

) ) (

( ⁰    





ここでまず、 { 　　 } 内について考える。

eK

s s 

1

2 より、

s LC s

s s s

s s

e s

e^{K K} ₁

2 1

1 2 2

1 1

2     2



 ^

s LC s

s s s

s s

e s

e^{K K} ₀

2 1

1 2 2

1 1

2     2



 ^

LC e e^{K K}

1 2

 

 

LC e e^{K K}

0 2

 

 

RLC

従って、 { 　　 } 内は、 象

       

     

 

 

LC e

e e LC

LC e

e e

e e

e e

e LC e

e e

LC e e

e e

LC e e

K LC t

e K e

LC t e K e

t K

t

t t

t t

K t K

K t K K

t K

K t K

K t K

K t K K

t K

K t K

K K

K K

1

1 1

1 1

1 0

1 sinh 2

2 1 4 2

1 4

1

2 2 2 2

2 cosh 2 sinh

cosh sinh

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

















 



















 





















 



 

 



 









 





































従って電流 i(t) は、

  ^{e t}

LC q t EC

LC LC

q e dt EC

t t dq

i ^t

t

1 1

0 1

1

0 1 sinh sinh

) ) (

( ^{0 0} 

 



 

   





 t > 0

RLC

初期電荷 q₀ = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。

の場合は、臨界的の場合よりも収束 が遅いので、非振動的 (aperiodic) あ るいは過減衰 (over-damping) と呼 ばれる。

C R²  4 L

RLC

C R²  4 L

(c) の時には、特性方程式 ₂   1  0 Rs C

Ls の根は、 2 つの異なる 虚根 s₁, s₂ となる。

0 0

2 2

1

1 2

, 2  j

LC L

R L

s R

s     



 



 



 と置く。

L R

0  2

 L LC

j R 1

2

2

0  



 



 



ただし、 ₀  0 かつ ω₀ は実数である。



ej

s s 

1 2

j e e^{j j} sin 2



    ^

   

   

 

 

 

  ^t





t j t t

j t t

s t

s

t s t

s

t s t

s

e e e

e e

s s q j EC

EC

e s e

s q j EC

EC e

s e

s q j EC

EC

e q j EC

e s q j EC

EC s

e q s EC

s e s

q s EC

s EC s t

q

0 0

0

0 0 0

0 2

1

2 1

2 1

2 1 0

1 2

0 0

1 2

0 0

0 0

1 0

0 2

0 2

1 1 0

2 1

2

2 1

2 1 2

1

2 2

) (





























 













































 



 







ej

s s s₂  _{1 2}



e j

s s

s₁  _{1 2} ^

0 0

2 0

0

1  j , s  j

s      

RLC

 

  ^{   }

   

   







  

















 





 













 

 





 



 















 







 

t LC e

q EC q

t e

q LC EC

EC

j e e e

q LC EC

EC

j

e e e

e e s s q EC EC

t q

t t

t j t

j t

t j j

t j j

t

0 0

0 0

0 0

0

0 0

2 1 0 0

1 sin 1

1 sin

2 1

1

2 ) 1

(

0 0

0 0

0

0 0

0

t LC e

q EC dt

t t dq

i ^t ₀

0

0 sin

) ) (

( ⁰ 





 



 t > 0

t > 0

 

tan 0



 ^_ ^_  



 ^j_j  ^_^j_j e e

j

e e

RLC

初期電荷 q₀ = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。

の場合は、振動的 (oscillatory) あるい は振動減衰 (under-damping) と呼ば れる。

C R²  4 L

インピーダンスの値が　　　　　　　 のRLC 直列回路の共振角周波数 ω_n は、

C L j

j R

Z     1

n LC

 1

 であった。これに対して、振動的な過渡解の i(t) は、

2

0 2

1 



 





 L

R

 LC の角周波数で振動し、 ω_n とは多少異なる。

R → 0 の時、 ω は ω に近づき、正弦波振動が永久に持続する。

線形常微分方程式の標準的解法

)

1 (

) 1 ( 1 ) (

0y a y a y' a y f t

a ⁿ  ^n  _n  _n 

定係数の線形常微分方程式の一般形として、

を考える。ただし、

線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。

m m m

dt y y^{( )}  d

) , , 1 , 0 ( ,

0 0 a i n

a  _i  

また、 は定数とする。

この方程式が t = t₀ における初期条件、 y(t₀), y’(t₀), ‥‥, y^(n-1)(t₀) を定めれ ば、ただ一つの解を持つこと ( 解の存在定理 ) は、数学的に証明されてい る。

(a) 同次方程式の解

この方程式の解法は、まず右辺の f(t) を 0 と置いた同次 ( 斉次 ) 方程式の解を 求める。

1 0

) 1 ( 1 ) (

0y a y ^  a _ y' a y 

a ^{n n}  _{n n}

f(t) = 0 と置いた同次 ( 斉次 ) 方程式

の解は、指数関数以外にない。それを、 y = e^st , (s は定数 ) としてとして代入すると、

1 0

1 1

0sⁿ a s^n  a_n sa_n 

a 

特性方程式 を得る。

この特性方程式の n 個の根、 s₁, s₂, ‥‥, s_n の間に等根が無ければ、

t s t

s t

s y e y e _n

e

y  ¹ ,  ² , ,  が、互いに一次独立な n 個の特解である。

線形常微分方程式の標準的解法

従って一般解は、任意の定数 k_i (i = 1, 2, ‥‥, n) による一次結合

t s n t

s t

s k e k e _n

e k t

y( )  1 ¹  2 ²  によって与えられる。

ここで、任意定数 k_i は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重 根を有し、 s₁ = s₂ =‥‥= s_m ならば、それらに対する m 個の特解を

t s m t

s t

s te t e

e ¹ , ¹ , , ^{1 1} とすればよい。

(b) 非同次の場合

f(t) ≠ 0 の場合、上の微分方程式は非同次 ( 非斉次 ) 形という。この場合は、

補関数 y_c(t) ( 同次方程式の一般解に同じ ) と、特解 y_p(t) を求め、一般解

y(t) yは、(t)  y_c(t) y_p(t)によって与えられる。

多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の f(t) に対しては、簡単に 解が求まるが、それ以外の f(t) に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、

未定係数法、定数変化法、演算子法などを用いなければならない。

一般に、受動回路網についての補関数は、 t → ∞ で 0 に収束する。十分に 時間が経つと y_c は小さくなり、 y_p のみが残る。このような状態が定常状 態であり、 y_c の値が無視できない場合を過渡状態である。また、 y_c は励 振がなくても存在するので、自由振動項、 y_p は励振に関わるので、強制振 動項と呼ばれる。