電気回路学
Ⅱ
通信工学コース 5 セメ
山田 博仁
RLC
直並列回RLC 直並列回路 路
L R0
e(t) C R v0(t)
図に示すような RLC 直並列回路を電 圧源 e(t) によって励振したときの
、 R の両端に現れる電圧 v0(t) を求 める。簡単のために、最初から全て の初期条件を 0 として、電圧、電 流はそれらのラプラス変換で考える L[e(t)] = E(s), L[v0(t)] = V0(s), R, L, C を流れる電流のラプラス変換をそれぞ。 れ IR(s), IL(s), IC(s) として、
C L
R C L R
sC I sLI
RI s
V
s E s
V I
I I R
) 1 (
) ( )
( )
(
0
0 0
の関係が成り立つから、 IR, IL, IC を消去すれば、伝達関数として、
2 0 0
2
2 0 0
0
2 )
( ) (
s s
s R
L s
E s
V ただし、
RR LC R R C
L 1
2 0 , 0
0
が求まる。
RLC
直並列回 路この、 ω0 に対応する周期 T0 = 2π/ω0 を共振期間と呼ぶことがある。ま た、 2ζ , ω0 の値から
0 0 0
0
0 0 0 0
1 1
2 L R R R R R R
C RR C RR L RR Q
は、回路の Q を与える。
e(t) が単位ステップ即ち E(s) = 1/s のときの応答 v0(t) を求める。
2 0 0
2
2 0 0
0( ) 2
s s
R s L
V
(a) 臨界減衰 (ζ = 1 或いは ) の時、
となるから、
R R
L CR
R / /
2 0 0
0
22 0 0
2 0 0
2
2 0 0
0( ) 2
R s L s
s R s L
V 表 5.2 の (5) より、
s a
teat
2
1 1
￡
従って、 1 , 0
)
( 0 0
0 0
2 0
0 te t
C te R
R t L
v t t
RLC
直並列回 路(b) 過減衰 (ζ > 1 或いは 2R0R/
R0 R
L/C ) の時、
0
0
2
2 0
22 0 2
0 2 2
0 0 2 0
2 0 2 2
0 0 2 0 2
0 0
2 0 2 0 0
1 1
1 1
1 1 2
) 1 (
j R s
L R s
L
R s L s
s R s L
V
表 5.2 の(32) より、
s a
12 2 1 e at sint1
￡ 従って、
0 ,
1 1 sinh
1 1
1 1 sinh
1 1 1 sin
) 1 (
0 2
0 2 0
0 2
0 0 2
2 0 0
2 0
0 2 2 0 0
0
0 0
t t CR e
t R e
t L j
j e R t L
v
t
t t
教科書の不等号の向きは誤り
RLC
直並列回 路(c) 振動減衰 (ζ < 1 或いは 2R0R/
R0 R
L/C ) の時、
0
2
2 0
20 2 0
2 0 2 2
0 0 2 0 2
0 0
2 0 2 0 0
1 1
1 1 2
) 1 (
R s L
R s L s
s R s L
V
表 5.2 の (32) より、
s a
12 2 1 e at sint1
￡ 従って、
0 ,
1 1 sin
1 1
1 1 sin
) 1 (
0 2 0 2
0
0 2 0
0 2 2 0 0
0 0
t t CR e
t R e
t L v
t t
となる。
教科書の不等号の向きは誤り
RLC
直並列回 路2 0 0
2
2 0 0
0( ) 2
s s
R s L
V は、教科書の式 (6.24) と同じ形をしている。
) 24 . 6 1 (
) 1 (
2
0
s LC L s R L s E
I
1 0
LC 20
L R
従って、
C R 4L 1 2
L C R L R
2 2 0
より、
臨界減衰
C R 4L 1 2
過減衰
C R 4L 1 2
振動減衰 C
L R
R R
R
0 2 0
C L R
R R
R
0 2 0
C L R
R R
R
0 2 0
ただし RLC 直並列回路では、
RLC
直並列回例題 7.5.1 路
振動減衰の場合、 ζ ω0t1 = 1 を満たす時刻、即ち t1 = 1/ζ ω0 では、 v0(t1) の振幅は、時刻 t = 0 の時の振幅の 1/e になる。
0 ,
1 1 sin
1 ) 1
( 2 0
0 2 0
0 0
e t t
t CR
v t
振幅
t = 0 ~ t1 の間に v0(t) が振動する回数を k とすれば、 ζ << 1 ならば と見なせるので、 2πk ≈ ω0t1 =1/ζ である。
1 1 2
従って、先に示した の関係を用いると、
Q 2 1
/ 2
/
1 Q
k または k Q の関係が得られる。
t1 0
二次系回路のまと め
RLC微分回路 2 LC RLC 積分回路
τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >> パルスの時間幅の時、積分回路
高域通過回路 (High-Pass Filter) 低域通過回路 (Low-Pass Filter) R
vi L vo
C R
vi C vo
L
C の時 R L
LC
2
C の時 R L
10 100 1k 10k 100k 1M 10 100 1k 10k 100k 1M
二次系回路のまと め
帯域通過回路 (Band-Pass Filter) L
vi R vo
C
vi L C R vo
R0
帯域通過回路 (Band-Pass Filter) τ << パルスの時間幅の時、微分回路
τ >> パルスの時間幅の時、積分回路
LC
2 R 100 L 10mH C 1μF
C L R
R R
R
0 2 0
100 R0
10 100 1k 10k 100k 1M
二次系回路のまと め
vi L C R vo
R0
帯域通過回路 (Band-Pass Filter)
2k
R0 R 100 L 10mH C 1μF
vi L C R vo
R0
帯域通過回路 (Band-Pass Filter)
5
R0 R 100 L 10mH C 1μF C
L R
R R
R
0 2 0
C L R
R R
R
0 2 0
二次系回路のまと め
RLC微分回路 2 LC RLC 積分回路
τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >> パルスの時間幅の時、積分回路
高域通過回路 (High-Pass Filter) 低域通過回路 (Low-Pass Filter)
C の時 R L
LC
2
C の時 R L
R
ii io
L C R
ii io
L C
10 100 1k 10k 100k 1M 10 100 1k 10k 100k 1M
二次系回路のまと め
帯域通過回路 (Band-Pass Filter) R
ii io
L C
L
R C
R
ii io
帯域通過回路 (Band-Pass Filter) τ << パルスの時間幅の時、微分回路
τ >> パルスの時間幅の時、積分回路
LC
2
10 100 1k 10k 100k 1M 10 100 1k 10k 100k 1M
SPICE
で解析してみ ようR ii io
L C R0
以下の回路において、伝達関数として io / ii をとった場合のボード線図 ( 振 幅および位相の周波数特性 ) を求めてみよう。ただし、素子の値としては以 下を用いる。
1) R 100 L 10mH C 1μF
C L R
R R
R
0 2 0
100
R0 の条件
2) R 100 L 10mH C 1μF 0
0
2R R L
R R C
0 5
R の条件
3) R 100 L 10mH C 1μF 0
0
2R R L
R R C
0 2
R k の条件
