電気回路学 Ⅱ
通信工学コース
5 セメ
山田 博仁
何故ラプラス変換を勉強するの か ?
線形電気回路における過渡現象を扱うには、線形常微分方程式を解かなければ ならない。
i t dt
C dt
t L di t
Ri t
e ( ) 1 ( )
) ( )
(
複雑な回路の過渡現象を扱うためには、複雑な線形微分方程式を解くための高 度な数学的知識が要求される。
ラプラス変換を用いると、線形微分方程式が代数演算を用いてシステマ ティックに解ける。 ( 高度な数学的知識は不要 )
RLC 直列回路 →
ラプラス変換は、電気回路のみならず、物理学および工学分野、経済学分野等 の様々な問題に応用することが可能。
ラプラス変換による微分方程式の解 法
i t dt
C dt
t L di t
Ri t
e ( ) 1 ( )
) ( )
時間 t に関する関数の微分方程式 (
ラプラス変換
) 1 (
) ( )
( )
( I s
s sC sLI s
RI s
E
代数演算
sL sC R
s s E
I 1
) ) (
(
ラプラス逆変換
複雑な関数のラプラス変換やラプラス逆変換には、ラプラス変換表 ( 教科書 表 5.2) を用いればよい。
により、 i(t) が求まる。
電気回路で用いるラプラス変 換
時間 t に関する関数を f(t) とし、 s = σ + jω (σ, ω は正の実数 ) となる複素数 s を用いて、
0 ( ) )
(s f t e dt
F st
j
j
stds e s j F
t
f
( ) 2
) 1 (
を求めることをラプラス変換 (Laplace transform) と 言い、
とも書く。
また逆に F(s) から、
を求めることをラプラス逆変換と言い、
とも書く。
f(t) F(s)
ラプラス変換および逆変換を、 と表すこともある。
さらに、 f(t) を t 関数または表関数、 F(s) を s 関数または裏関数と呼ぶこともある。
また、 s を複素周波数 (complex frequency) という。
L の筆記体
単位ステップ関数と単位インパルス
1. 単位ステップ関数 ( u-1(t) あるいは関数u(t) )
0 t 1 u-1(t)
u-1(t) = 0 – ∞ < t < 0 1 0 < t < + ∞
2. 単位インパルス関数 ( u0(t) あるいは δ(t) )
u0(t) = 0 t ≠ 0 + ∞ t = 0
0 t
∞ u0(t)
1 )
0(
u t dt あるいは、
u0(t) =
0 t < 0, t > δ
1 , 0 t lim0
0 t u0(t)
δ
1
単位ステップ関数と単位インパルス関数との間には、 の関係がある。u 1(t) u0(t) dt
d
各種関数のラプラス変 換
u-1(t) = 0 – ∞ < t < 0 1 0 < t < + ∞
1. 単位ステップ関数のラプラス変換
であるから、
e s dt
e dt
e t u s
F st st s st 1
) ( )
( 1 0
0
0 1
2. 単位インパルス関数のラプラス変換 u0(t) =
0 t < 0, t > δ
1 , 0 t
lim0 であるから、 ロピタルの定理
例 5.1.4 ( )ⅰ 定数のラプラス変換
E を定数とすれば、
( )ⅱ te−αt のラプラス変換 Re(s) 0となる α に対して、
各種関数のラプラス変
例 5.1.4 ( )ⅲ 換
2 02
0 0
2 1
2 1
1 2 0
2 1
0
0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
1
1
1 2
1 1
1 2
1
1 1
2 1 2
1 2
1
2 sin 1
1 sin
0 0
0 0
0 0
s
j s
j s
s s s s s
s s s
s s j
s s s s j
j s
j s
j j
s e j
s e j
dt e
j e
dt e
e j e
tdt e
t e
t j s t
j s
t j s t
j s
t j t
t j s t
s
￡ t
0 2
0
1 ,
, 0 )
Re(s s j s j として、
指数関数と三角関数との関係 式
を使用
j e
ej j
sin 0 0 2 0
各種関数のラプラス変
例 5.1.4 ( )ⅳ 換
2 2
0 0 0
1 1
2 1 2
1
2 1 sinh 2
s
s s
s s
s e s
e
dt e
e e dt
e e t
e
t s
t s
t s
t s
t t
t s
￡ t
0 )
Re(s ならば、
ラプラス変換の基本公
1. 相似定理 式
とすれば、 が成り立つ。
何故なら、 0 f (at)estdt 1a 0 f (at)es aatd at であるから。
2. 変移定理
とすれば、 f(t – a), a > 0 が、 t < a で 0 なるとき、
である。
何故なら、 τ = t – a として、
a
s as
stdt e f e d
e a t
f ( ) ()
0 である。
しかるに、 f(τ) は τ < 0 で 0 であるから、上式の右辺の積分の下限は 0 としてよい。
一般にどんな t 関数 f(t) に関しても、 t = 0 で始まる関数を t = a で始ま る関数に変移させると、そのラプラス変換は、変移させる前の関数のラプ ラス変換を e−as 倍したものになる。逆にあるラプラス変換を e−as 倍すれ ば、それに対する t 関数は、もとのラプラス変換に対する t 関数を、時 間 a だけ変移したものになる。そのため電気回路論では、遅延演算子と言 う。
( )ⅰ
ラプラス変換の基本公
2. 変移定理 式
任意の複素数 a に対し、 である。
何故なら、0eat f (t)estdt 0 f (t)esatdt Fsa であるから。
( )ⅱ
例 5.2.1 t = a で突然 0 から 1 に変化する関数 u-1(t – a) を考える。
u-1(t – a) = 0 t < a 1 t > a
であり、この関数のラプラス変換は、
となるが、上式の右辺第 1 項は 0 となるから、第 2 項のみを計算すれば、
となる。
0 t 1
u-1(t – a)
a
ラプラス変換の基本公
例 5.2.2 ( )ⅰ であるから、式
( )ⅱ
cos 2
t j t
j e
t e
を用いて、
( )ⅲ
j e t e
t j t
j
sin 2
を用いて、
3. 微係数のラプラス変換
ただし f(0) は、 t の正の側より t = 0 に近づいた極限を表すもので、初期値である。
同様にして、微分を n 回繰り返すと、
ただし、
0 )
( (0)
t k k k
dt
f d である。 ラプラス変換により、微分演算 が代数演算になる !
ラプラス変換の基本公
例 5.2.3 ( )ⅰ を求める。 式
1
, 0 ) 0
( t
dt
f d であるから、 を用いると、
より、 従って、
( )ⅱ を求める。
t t
f ( ) sin として、 f (0) 0, f'(0) , f''(t) 2sint
(n 回微分のラプラス変換で、 n = 2 の場合 ) より、
従って、
従って、
よって、
ラプラス変換の基本公
4. 初期値および終期値定理 式
) ( lim )
(
lim0 f t sF s
s
t
) ( lim )
(
lim f t 0 sF s
s
t
t → 0 あるいは t → ∞ の極限における f(t) の値、即ち初期値あるいは終
期値が、 sF(s) の 無限遠点あるいは原点の値によって示される。
(1) 初期値定理
( ) (0)
lim )
(
lim 0 f' t e dt sF s f
s st
s
f(t) の 1 階微分のラプラス変換の式において、 s → ∞ を考える。
左辺の s → ∞ と積分の順序を入れ替えると、
0 )
( lim )
(
lim0 0
f' t e dt f' t e stdt
s st
s となるから、 lim ( ) (0) 0
sF s f
s
従って、
(2) 終期値定理 f(t) の1 階微分のラプラス変換の式において、 s → 0 を考える。
( ) (0)
lim )
(
lim0 0 f' t e dt 0 sF s f
s st
s
左辺の s → 0 と積分の順序を入れ替えると、
0
0 0
0 0 ( ) lim ( ) ( )
lim f' t e dt f' t e stdt f' t dt
s st
s
( ) (0)
lim )
( lim
)
( 0
0 f' t dt f' t dt f t f
t t
t
ここで、
よって、
( 初期値定理 ) が得られる。
( 終期値定理 ) が得られる。
ラプラス変換の基本公
5. 積分のラプラス変換 式
右辺第 1 項は、 f(t) がラプラス変換可能という条件から、
0 )
0 (
st t f t dt e
は有限である
。 結局右辺は第 2 項のみが残り、
同じことを n 回繰り返すと、
部分積分
従って、 t → ∞ および t → 0 に対して
) 0 ( )
0 (
t f t dt t
となる。
も得られる。
上式で lim ( ) 0
0
f t
t のとき、不定積分 )
0 ( )
( )
0t f ( d G t G
f ()d を G(τ) で表わせば、
となる。ただし、G(0) 0 f (t)dt で、これは定数。
ラプラス変換の基本公
5. 積分のラプラス変換の続き 式
従って、 となる。
あるいは、 である。
6. t の乗除
n n n n
ds s F t d
f
t ( )
) 1 ( )
(
s s s n
n f t F s ds
t1 ( ) ( )( )
証明は教科書参照
7. 相乗積分 ( ボレルの定理 )
) ( ) ( )
( )
( 1 2
0t f1 f2 t d F s F s
証明は教科書参照
j
j F p F s p dp
t j f t
f
( ) ( )
2 ) 1
( )
( 2 1 2
1
