電気回路学

(1)

電気回路学I演習 2011/11/25 (金)

供給電力最大の法則

問

1 j w L

ある回路に負荷R_L+j

w

L ^{が接続されている。}R_L^{で消費される電力}(有効電力)をP^とするとき、以下の問に答えよ。

問1-1) R_L^が固定,L^{が可変であるとき、}L^{をいくらにすれば}Pが最大になるか。またそのときのP^の値は。

問1-2) R_L^とLがともに可変の場合、R_LとL^{をいくらにすれば}P^{が最大となるか。また}Pの最大値は。

C j w

+ 1

-

負荷

R

E

₀

R

_L

ヒント: まず回路部分を等価電圧源に書き直す。

その後で、教科書p.166ケース[1]～[3]の適用を検討する。

(2)

問

2 R

E

₀

+

- ^xR

問2-1) P(x)の式を求めよ。

問2-2) P(x=3) ^は P(x=1)に等しかったという。

負荷で消費される有効電力が最大となるのは、 xがいくらのときか?またその最大値をR^とE₀^のみを使った式で求めよ。

電源

ヒント: 負荷両端の電位差をV(x)とすると、P(x)は

   

xR x x V

P

2



^{で与えられる.}

j w L

上図の回路において、抵抗負荷xRで消費される電力(有効電力)をP(x)^とする。

以下の問に答えよ。

負荷

ヒント: 条件からは RとwLの関係が導出される。

(3)

電気回路学 I 演習

2011/11/25( )

供給電力最大の法則

R

C jw

1

次に内部インピーダンスZ_inを求める。Z_inは上図のように電圧源を短絡除去することで求めることができて、

CR j

R C

j R

C j Z

_in

R

w w

w

 

1 1

(短絡)

Z_in

電源部分を等価電圧源で表す。問題の回路の開放電圧E_ocは下図より、

R

C jw

1 E_oc E₀

+ -

0

0 1

1 1

1 E

CR E j

C j R

C E_oc j

w w

w

 

従って負荷を含めた回路は下図のように書き直せる。

+ -

1 0

1 E

CR E_Th j

w

 

CR j Z_in R

w

  1

L jw

RL

Zin

問 1 の解答

ETh

ただし、

(4)

4

問1-2

このとき、

 

 

 

² ⁰ ²

2 2

Re E aR

R aR

R Z

E R P

L L

L in

Th L

 

 

²

1

CR a   w

ただし、

供給電力最大の法則より、負荷インピーダンスが Z_inの複素共役となっていればいい(p.166[3])ので、

問1-1の場合に加え、R_L=Re(Z_in)であればよい。この条件より、

R E R

P E

L Th

4 4

2 0 2



このとき負荷抵抗で消費される電力は、

+ -

 

Z_in j

L

jw - Im

 

_in

L Z

R Re Zin

ETh



 





 

CR j R_L R

w Re 1

 

²

1 CR

R_L R

w

 



 

²

2

1 CR

L CR

w

  (こちらは問1-1と同じ)

問1-1

Pが最大になるのは供給電力最大の法則より、

w

L=

-

Im(Z_in) となるときで、(p.166[1])

 

²

2

1 Im 1

CR CR

CR j L R

w w w w

 



 



 - 



よってLは、

 

²

2

1 CR

L CR

w

 

(g 固有電力という.) Lについては、

(5)

問 2 の解答

問2-1

R E₀

+

- ^xR ^V^x



¹

^x  ^xR ^R ^j ^L ^E

⁰

V

_x

w



 

従って負荷抵抗xRで消費される有効電力は、

      ^R

E R

L x

x xR

x V

P

^x

2 0 2 2

2

1

 

 

 w

x=1 の抵抗を接続したとき、

問2-2

    ^R

E R

L P

2 0

4 2

1 1



 

w

x=3 の抵抗を接続したとき、

    ^R

E R

L P

2 0

16 2

3 3



 

w

 

² ⁴

 

²

1 16

3

R L R

L

w

 





2

R w L

負荷の両端の電位差を V_xとすると、

L j w

P(3) = P(1) という条件より、

これを解いて、

①

(6)

6

次に供給電力最大の法則より、

(負荷抵抗)=(電源側インピーダンスの絶対値)

となるときに電力が最大となる (教科書p.166[2]). よって、

 

²

2

L

R

xR   w

    ^ ^

R E

R E R

L P

2 0

2 0 2 2

4 1 3 2

3 1

3 3

- 



 

 

w 3 1

2

 



 



 



 R

x w L

負荷抵抗電源側インピーダンス絶対値

このとき負荷で消費される有効電力は、

(f①を使った。)

電気回路学