2017年 度 修 士論 文 報告 書
微 分 方 程 式 モ デ ル を用 い た消 費 者 動 向 に 関す る研 究
指導教員 山本 久志
首都 大 学東 京 大 学 院 博 士 前期 課 程
システ ムデ ザ イ ン研 究科 シ ステ ムデ ザ イ ン専 攻 経 営 シ ステ ム デ ザ イ ン学域
学修 番 号:16892509表 西 聖也
目次
第1章 序 論
Llは じ め に
1.2
第2章
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.3
第3章
3,1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.2
3.2.1
P.1
本論文 の構成
微分方程式モデル
ユ2D且D^
成長現象の微 分方程式モデル
P.3
階層構造 を有す る成長現象 の微分方程式 モデル 副次的成長 モデル
季節変動 モデル
社 会的なブー ムの微分方程式モデル
P.3
P.3
P.6
P.8
本研 究の方 向性
飲食店利用者 を対象 としたモデル の提案
P.11
P.14
デー タの概要お よび予備解析
P.15
デー タ の概 要
週 ごとの延べ利用 客数
新規店舗 とそれ 以外 の利用店舗で区別 した週 ごとの 延べ利 用者数 の推移
モデル の提 案
店舗 毎利用状態モデル の提案
P.15
P.15
P.19
P.20
P.21
P.22
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.3パ ラ メ ー タ 推 定
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
新規店舗毎利用状態モデル の提案 層別利 用状態モデルの提案
固定層 統一利用状態モデル の提案
店舗毎利用状態モデルを用 いたパ ラメー タ推定 新規店舗毎利 用状態モデル を用 いたパ ラメー タ推 定
層別店舗利 用状態 モデル を用いたパ ラメータ推定 固定層統一利 用状態モデル を用 いたパ ラメー タ推定 パ ラメー タに 関す る考 察
3.4予 測 へ の 適 用
3.4.1
3.4.2
第4章
4,1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.2モ デ ル の 提 案
4.2,1
4.2.2
新 規店舗 の特性値 を用いたパ ラメー タ推 定 予 測 ・評 価
国 内PC市 場 を対 象 と した モデ ル の提 案
42P 1OAU門∠コJ
DlD‑ 441qJ食J
D且D4 く﹂07り﹂うJ
D耳D︑ 34P 弓ノワノ44
D且D⊥ 0024戸)
DlD︑
デ ータの概要お よび予備解析
P.55
デ ー タの概 要
月 ご とのPCの 国 内出荷 台 数 の推 移
パ ソ コン な らび に タブ レ ッ ト端 末 の 国 内 出荷 台 数 の 推移 ・
月変動モデルの提案
外 部要因を考慮 した月変動モデル の提案
P55
P.55
P,56
‑P .57
P.58
P58
P.60
4.3パ ラ メ ー タ 推 定
4.3.工
4.3.2
予 測 お よ び 評 価
P.62 月変 動 モ デル を用 い たパ ラメー タ推 定p.63
外 部 要 因 を考慮 した月 変動 モ デ ル を用 い たパ ラ メー タ推 定 …p.72
4.4
第5章 結 論
5.1結 論
5.2今 後 の 課 題
参 考文献
P.75
P.86
P.86
P.87
謝辞
P.88 P.90
〔36x30=1080字 〕
第1章 序 論
1.1は じ め に
1つ の空 問 の 中で 時 間 と と もに 変化 す る(位 置,大 き さ,重 さ,数 な どの)系 (System),あ る い はそ れ を数 式 で表 現 した もの は力 学 系(DynamicalSystem)と 呼 ばれ,一 般 に微 分 方程 式 や 差 分 方程 式 で表 され る こ とが多 い.ま た,力 学 系 は 物 理 的 な現 象 だ けで な く,人 口を含む 動植 物 の数 の増 減 や 経 済 活 動 の 中の 時 間 と と もに変 化 す る特性 値 の振 る舞 い な どに も応 用 が 可 能 で あ る[11].本 研 究 で は,い くっ か の社 会 現 象 に着 目 し,微 分 方程 式 を用 い た表 現 につ いて 検 討 す る.
社 会 現 象 の一 種 と して,ブ ー ム現象 が あ る.リ ー マ ンシ ョック の原 因 とな った 住宅 ブ ー ムや,最 近 で は世 界 中 でPok6monGoが 流 行 る等,明 確 な 定義 は難 しい が思 い 起 こせ ば い くつ も例 を 挙 げ る こ とが で き よ う.中 桐 ・栗 田[10]は,社 会 的 な ブ ー ム に着 目 し,微 分 方程 式 を用 い た モ デル を提 案 した.ま た,ブ ー ム に対 す る 明確 な 定義 は示 さなか った が,「過 去 にブ ー ム と呼 ばれ た 事象 」に対 して提 案 した モデ ル を適 用 す る こ とに よっ てそ の妥 当性 を検 討 した.
ま た,別 の社 会 現 象 と して,成 長 現 象 が あ る.例 え ば,数 年 の 間 に スマ ー トデ バ イ ス が普 及 した り,新 しい 言葉 がネ ッ トを通 じて拡 が って い た りと様 々 な事 象 が 挙 げ られ,い ず れ も身近 に感 じる こ とので き る現 象 で あ る.堀 之 内他[3]は,成 長 現 象 を説 明 す るモデ ル と して 「定数 項 付 指数 曲線 に段 階 的成 長 の 考 え を取 り入 れ たモ デ ル[9]」 に 注 目し,家 電 エ コポイ ン ト制 度 の キ ャ ンペ ー ンの影 響 を受 け る テ レ ビの消 費 動 向 に対 して,キ ャ ンペ ー ン対 象 外 の 商 品へ の影 響 お よび季 節 要 因 を考 慮 した 微 分 方程 式 モ デ ル を提 案 した.ま た,提 案 したモ デ ル を用 い る こ と に よって 販 売 台 数 の 将来 的 な予 測 が 可能 で あ る こ とを示 した.
本 研 究 の 目的 は,微 分 方 程 式 を用 い たモ デ ル を提 案 し,消 費者 動 向 を表 現 す る こ とで あ る.本 研 究 で は,飲 食 店利 用者 お よび 国 内PC市 場 の異 な る2つ の 対象 に それ ぞれ 微 分 方 程 式 モデ ル を提 案 す る.ま た,提 案 したモ デ ル に含 まれ て い る パ ラメ ー タ を考 察 す る こ とに よ り,消 費 構 造 に 関す る示唆 を得 る と と もに将 来 的 な 予測 可能 性 に 関 して も検 討 す る.表L1に 章 ご との提 案 モ デル の一 覧 を示 す.
表1.1提 案 モ デ ル ー 覧
3章 4章
対象 飲食店利用者 国 内PC市 場
飲食店利用履歴デー タ 国 内PC出 荷 台数 デ ー タ 使 用 す るデ ー タ
(週次 デ ー タ〉 (月次 デ ー タ)
新 た な飲 食 店 が利 用 可 能 に WindowsXPの サ ポ ー ト終 了 着 目した事象
な る(計6回) (計1回)
・店 舗 毎利 用 状態 モ デル ・月変 動 モ デ ル
・新規店舗 毎利用状態モデル ・外 部 要 因 を考慮 した月 変 動 提案 モデル ・層 別 利 用 状 態 モデ ル モ ア ノレ一"
・固定 層 統 一利 用 状態 モデ ル
第3章 で は,飲 食 店利 用 者 を対 象 と して飲 食 店 に対 す る利 用 状 態 を定 義 し4つ の 微 分方 程 式 モ デ ル を提 案 す る.ま た,パ ラメー タお よび飲 食 店 の 関係 を検 討 す る
こ とに よ り店舗 選 択要 因 の導 出やパ ラ メー タ の推 定精 度 の 向上 を試 み る.第4章 で は,国 内PC市 場 を対象 と してwindowsXPの サポ ー ト終 了 が市 場 に影 響 を与
え る と仮 定 し2つ の微 分 方 程 式 モデ ル を提 案 す る.
1.2本 論 文 の 構 成
第2章 で は,本 研 究 で 提案 す るモ デル に 関連 した研 究 と して,成 長 現象 の微 分 方 程 式 モ デ ル お よび社 会 的 な ブ ー ムの微 分 方 程 式 モ デル につ い て述 べ る.第3章
で は,飲 食 店 利 用者 を対 象 に予備 解 析 を行 い,4つ の微 分方 程 式 モ デ ル を提 案 す る.ま た,パ ラ メー タ を推 定 す る こ とに よっ て,提 案 したモ デ ル の妥 当性 を検 証 す る.さ らに,提 案 したモ デ ル を予 測 に適 用 し,数 値 実 験 に よ り評 価 を行 う.第 4章 で は,国 内PC市 場 を対 象 に予備 解析 を行 い,2つ の微 分 方 程 式 モ デ ル を提 案
す る.ま た,パ ラ メ・一 タを推 定 す るこ とに よ って,提 案 した モ デル の妥 当性 を検 証 す る.さ らに,提 案 したモ デ ル を予 測 に適 用 し,数 値 実験 に よ り評 価 を行 う.
最 後 に,第5章 で は,本 研 究 の結論 お よび 今 後 の課 題 につ い て 述 べ る.
第2章 微 分 方程 式 モ デル
本 章 で は,微 分 方 程 式 モデ ル に 関す る関 連研 究 につ い て述 べ る.2.1節 では,成 長 現 象 の微 分 方 程 式 につ い て,2.2節 で は,社 会 的 な ブー ムの微 分 方 程 式 モ デ ル に つ い て述 べ る.
2.1成 長 現 象 の微 分 方 程 式 モ デル
本節 では,本 研究 に成長 現象 に関す る微分方程式モデルお よびそれ に関連す る 研 究にっいて述 べ る.
2.1.1階 層 構 造 を有 す る成 長 現 象 の微 分 方 程 式 モ デル
本 項 で は,成 長現 象 モデ ル と して,階 層 構 造 を有 す る成 長 現 象 の微 分 方 程 式 モ デ ル[9]を 取 り上 げ る.階 層 構 造 を有 す る成 長 現 象 の微 分 方程 式 モデ ル(段 階 的 成 長 モ デ ル)と は,成 長 が段 階 的 に起 こ る と仮 定 し,最 初 は全 く無 垢 だ っ た個 体 が 時 間の 経過 に伴 い η 通 りの性 質 を有 す るモ デ ル で あ る.
工場 建 設 を例 に挙 げ る と,い きな り工場 の建 屋 が建 つ の で は な く,土 地 の 購 入 や 工場 用 地 の整 備 等,実 際 に はい くつ か の段 階 を経 て 工場 が建 築 され る.ア 、σ)を
工場 用 地 と して購 入 され た 土 地 の面 積 .y,.1ω を 工場 建設 の た め に整 備 され た面 積,.y,+2(t)を 実 際 に建 設 され た工 場 の面 積 と してそ の推 移 を考 え る と,図2.1上
部 の 曲線 に示 す よ うにy,(t)〉.y,.1ω を満 た す よ うな 成 長過 程 が 得 られ る.各 面 積 を同 心 円の 面積 に対 応 させ る と,図2.1下 部 の よ うに表 す こ とが で き る.
あ る土 地 の 開発 を進 め る場 合,そ の 土地 の 中で ま だ 開発 に着 手 して い ない 土 地 の 面積 が 広 けれ ば 広 い ほ ど開 発 の 余 地 が あ る ほ ど開発 が ス ムー ズ に進 む と考 え ら れ る.こ の よ うな 現象 は 定数 項 付 指数 曲線 に よ って説 明 が 可能 で あ る.定 数 項 付 指 数 曲線 とは,あ る状 態 の個 体 数 の成 長 速 度 が,ま だ そ の状 態 に はな っ てい な い 個 体 数 に比 例 して 決 ま る よ うな成 長 の こ とで あ る.ま た,こ の成 長 を微 分 方 程 式 で表 した もの が以 下 の 式 に な る.
}・、の
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一一一一ツ 1.ユ の
号 '
脚 一 層幽L'・・r辱
一
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も ＼＼//〜と鞠 噛̲〜.
〜...・'"
アゴ(の y叶1(り
y,.2(')
図2,1段 階 的成 長 の概 念 図
讐)‑b{s一 アの}・ (2.1)
こ こで,
S:成 長 す る個 体 数 の 許容 量
う:成 長 の速 さを決 定 す るパ ラ メー タ で あ る.
段 階的 成 長 モデ ル で は,こ のパ ター ンの成 長 が 他毅 階 で起 こる と仮 定 して式 が 立 て られ る.す な わ ち,ど の段 階の 状 態 も前 の段 階 の成 長 が発 生 した 後 に発 生す る とい う前 提 が あ る.さ らにそ の成 長 速 度 は,あ る時刻 に性 質 ∫を新 た に有 す る 個 体 の数 は,そ の 時 点 で性 質 ∫‑1を 持 っ て は い るが,性 質'を まだ 有 して い な い個 体数 に比 例 す る もの とす る(図2,2).こ こで,i段 階 目の 状 態 の個 体 数 を ン、(t)
とお く と,以 下 の式 が成 り立 っ.
s
.Yi‑‑1(t)
ア,(リ
ア 〜+1(t)
図2.2段 階的成長モデルの概念図
弩')‑b、{,Yr‑i(t)‑y,(t)}(2・2)
ただ し,
b,='‑1畏 階 目に あ る個 体 が'段 階 目の状 態 に変 化 す る成 長 の早 さを決 定す るパ ラ メー タ
で あ り,
Yoニ8.(2.3) とす る.
段 階 的成 長 モ デル の微 分 方 程 式 の 一般 解 は,Cuを 積 分 定数 とす る と以 下 の 式 で表 され る.
y,(り=8一 客 縞 諏(i‑1・2・ … ・n)・(2・4)
2.1.2副 次 的 成 長 モ デ ル
本 項 で は,成 長 現象 モ デ ル と して副 次 的成 長 モデ ル[8]に つ い て述 べ る.副 次 的 成 長 モ デル とは,段 階 的成 長 モ デル を基 に し,キ ャンペ ー ン期 間 中 お よび キ ャ ン ペ ー ン終 了後 の2つ の期 間 に よ る,特 定 商 品 の販 売 台 数 の 変 化 とそ の商 品 か ら副 次 的 に影 響 を受 けた他 の 商 品 の販 売台数 の変 化 の様 子 を微 分 方程 式 モデ ル で表 現 したモ デル で あ る.ゲ ー ム ソフ トの購 入 を例 に挙 げ る と,ま ず ゲ ー ム機 本 体 の購 入者 が存在 し,そ の 中か らゲ ー ム ソフ トの購 入 希望 者 が 出現 し,実 際 に ゲ ー ム ソ
フ トが購 入 され る とい っ た ゲ ー ム機 本 体 の購 入 者 の 中か ら副 次 的 にゲ ー ム ソフ ト の購 入 者 が 現れ る よ うな 状 況 を想 定 す る.
副 次的 成長 モ デル で は,商 品2を 購 入 す る過 程 で,ま ず キ ャ ンペ ー ンの影 響 を 直 接受 け る商 品1の 購 入 者 が増 加 して,そ の 中 か ら商 品2の 購 入 希 望 者 が 出現 し, 実 際 に商 品2の 購 入 量 が す る とい う副次 的成 長 を仮 定す る.ま た,キ ャ ンペ ー ン
の開始 時 刻 をt・O,キ ャ ンペー ンの終 了時 刻 をt=Tと す る.
図2、3は,副 次 的成長 モ デル の概念 図で あ る.た だ し, S(t):時 間tに お け る商 品1の 市場 規 模
Yi(t)=時 問tに お け る商 品1の 販 売 台数(0≦t) Y2(t)1時 間tに お け る商 品2の 販 売 台数(0≦t)
1>:商 品2の 購i入希 望 率.商 品1の 販 売 台 数 ア1(t)に占め る,商 品2の 購 入 を希 望 す る割 合(0≦N≦1)
で あ り,上 記 の 定義 よ りN・ ア1の は商 品2の 購 入 希 望 者 を表 す.図2.3に 示 す 通 り,キ ャ ンペ ー ンの影 響 を受 け る商 品1と そ の影 響 を副 次 的 に受 け る商 品2の 販 売 状態 が 以 下 の いず れ か の状 態 にあ る もの と考 え る.こ れ らは時 間 の 経過 に 伴 い, キ ャンペ ー ン開始 前 か らキ ャンペ ー ン期 間 中,キ ャ ンペ ー ン期 間 中か らキ ャ ンペ ー ン終 了 後 に移行 してい くもの とす る.
回 キ ャ ンペ ー ン開始 前[b]キ ャ ンペ ー ン期 間 中[c]キ ャ ンペ ー ン終 了後
ノ>1ツ1(t ア2ω
ア1ω
1>1ツ1(t
ア2(の
ε)σ箔
Niツ1(' ア2ω
∫ ア1ω
図2.3副 次 的 成 長 モデル の概 念 図
状 態 回 《キ ャ ンペ ー ン開 始 前》:キ ャ ンペ ー ン は ま だ始 ま っ てお らず,商 品 の 販 売 台 数 は一 定 量 を保 っ て い る状 態.
状 態[b]《 キ ャ ンペ ー ン期 間 中》:キ ャ ンペ ー ン が 開始 され,時 間 の 経 過 と と も に(キ ャ ンペ ー ン の 終 了 が近 づ くにつ れ 相 乗 的 に)販 売 台数 が増 加 して い く状 態.
状 態[cユ《キ ャ ンペ ー ン終 了 後》=キ ャ ンペ ー ン が 終 了 し,そ の反 動 か ら急激 に 販 売 台 数 が落 ち込 ん で い る状 態.一 定 期 間後
に キ ャ ンペ ー ン 開始 前 の 状 態 に 戻 る.
ま た,パ ラ メ ー タ を
をへ 砺82N亟奥N
と す る と,
キ ャ ンペ ー ン期 間 中 の商 品1の 販 売 台数 の成 長 速 度 キ ャ ンペ ・一ン期 間 中 の商 品2の 販 売 台数 の成 長 速 度
キ ャ ンペ ー ン期 間 中の商 品1の 購 入 者 の商 品2の 購 入 希 望 率 :キ ャ ンペ ー ン終 了 後 の商 品1の 販 売 台数 の減 少 速 度
キ ャ ンペ ー ン終 了 後 の商 品2の 販 売 台数 の減 少 速 度
キ ャ ンペ ー ン終 了 後 の商 品1の 購 入 者 の商 品2の 購 入 希 望 率 キ ャ ン ペ ー ン の 前 後 で 以 下 の 微 分 方 程 式 が 得 られ る.
[キ ャ ン ペ ー ン 期 間 中(OSt≦T)の と き]
誓 り 一b2(s(・)‑Yl(t))'(2・5)
響')=B,(ノ>2ツ1￠)‑Y、(t)〉(2・6)
[キ ャ ン ペ ー ン 終 了 後(T≦t)の と き]
の1(t‑‑T) ニ ーb3・yl(t‑T) ,(2.7)d t
禦L恥 ハ('‑T)‑Y2('一 τ)〉(2・8)
な お,解 析 解 は 以 下 の よ う に な る.た だ し,C、,C,,C3お よ びC,は 積 分 定 数 で あ る.
[キ ャ ン ペ ー ン 期 間 中(0≦t≦T)の と き]
Yi(t)=5(0)‑C1・e‑b2t,(2.9)
y・(t)=N・ ・S(・)一 篶 ・Cl・e'b・t‑C・ ・e'B・'・(2・1・)
[キ ャ ン ペ ー ン 終 了 後(T≦t)の と き]
Yl(t一 ヱ「)=C3・e‑b3〔t一 ア),(2.11)
Y2(t‑T)=舞 ・c・ ・e'h・("T)‑c・ ・e'B・("v")・(2・12)
2,1.3季 節 変 動 モ デ ル
本 項 で は,成 長 現 象 モ デ ル と して 季 節 変 動 モ デ ル[3],[8]に つ い て 述 べ る.季 節 変動 モデ ル とは,2.1.2項 で 述 べ た 副次 的 成 長 モ デル を も とに して,特 定 商 品 の販 売数 の変 化 とそ の 商 品か ら副 次 的 に影 響 を受 け る他 の商 品 の販 売数 の 変化 の様 子
に,季 節 変 動 要 因 を加 え,微 分 方 程 式 モ デル で表 したモ デル で あ る.
図2.6は 季 節 変 動 モ デ ル の概 念 図で あ る.副 次的 成 長 モ デ ル が 同 心 円 状 で 表現 さ れ るの に 対 し,図2.6の 季節 変動 モ デ ル が 凹 凸 して い る の は前 述 した 季 節 変動 要 因 を加 えた た め で あ る.た だ し,
Zi(t):時 間tに お け る商 品1の 販 売 台 数 の 前年 同 月比 al(ノ):キ ャンペ ー ン開始 前 の商 品1の 月別 販 売 台 数 Yi(t)1時 間tに お け る商 品1の 販 売 台 数(0≦t) 乃(t):時 間tに お け る商 品2の 販 売 台数(0≦t)
N:商 品2の 購i入希 望率.商 品1の 販 売 台数Yi(t)に 占め る,商 品2の 購 入 を希 望す る割 合(0≦N≦1)
で あ り,上 記 の定 義 よ りN・y,(t)は 商 品2の 購 入 希 望者 を表す.図2,4に 示 す 通 り,キ ャンペ ー ン の影響 を受 け る商 品1と そ の影 響 を副 次 的 に 受 け る商 品2の 販 売 状 態 が 以 下 の いず れ かの 状態 に あ る も の と考 え る.こ れ らは時 間 の 経 過 に伴 い, キ ャ ンペ ー ン開始 前 か らキ ャ ンペ ー ン期 間 中,キ ャ ンペ ー ン期 間 中か らキ ャ ンペ ー ン終 了 後 に移 行 して い くもの とす る.
状 態 回 《キ ャ ンペ ー ン開始 前 》:キ ャ ンペ ー ン は ま だ 始 ま っ てお らず,商 品 の 販 売 台数 は一 定 量 を保 っ て い る状 態.
状 態[b]《 キ ャ ンペ ー ン期 間 中》:キ ャ ンペ ー ン が 開 始 され,時 問 の 経 過 と と も に(キ ャ ンペ ー ン の終 了 が 近 づ くに つ れ 相 乗 的 に)販 売 台 数 が 増加 して い く状 態.
状 態 回 《キ ャンペ ー ン開始 後 》:キ ャ ンペ ー ンが 終 了 し,そ の反 動 か ら急 激 に 販 売 台数 が 落 ち込 ん で い る状 態.一 定 期 間後 に キ ャ ンペ ー ン開 始前 の状 態 に戻 る.
なお,キ ャ ンペ ー ン 開始 前 の月 別 販 売 台 数 は キ ャンペ ー ン 開始 時 に は既 に決 ま っ てい るた め,a1(ノ)は 常 に定数 で あ る.al(ノ)は 以 下の よ うに 定義 され る・
al(0)Y年4月 の 商 品1の 月 別 売 上 実 績 数 al(1)IY年5月 の 商 品1の 月 別 売 上 実 績 数
al(11):Y+1年3月 の 商 品1の 月 別 売 上 実 績 数
回 キ ャ ンペ ー ン開始 前[b]キ ャ ンペ ー ン期 間 中[c]キ ャ ンペ ー ン終 了後
ハ ωZ i(t)=a
l(ノ)
,'.ω
図2.4季 節 変 動 モ デ ル の 概 念 図
3囑,(t)
♪とωz 1(t)=
al(」)
N・31(t)
Zi(t)とa】(ノ)の 関 係 は 以 下 の よ う に 表 せ る.
z・(t)一瑠 〔ノー‑d固}
こ こ で,mod卜]は 除 算 の 余 り を 返 す 関 数 で あ る.ま た,(2.13)式 は
{(ブ>ZI(t)〔 ノーm・d[古]}
(2.13)
(2、14)
と表 す こ と もで き る.上 記 のal(ノ)を 組 み込 む こ とで,季 節 ご との売 上 実績 台 数 の 変化 を表 現 す る こ とが 可能 とな る.
ま た,パ ラ メー タ を
b,:キ ャ ンペー ン期 間 中 の商 品1の 販 売 台 数 の前年 同 月 比 の成 長 速 度 B2:キ ャ ンペー ン期 間 中 の商 品2の 販 売 台 数 の成 長 速 度
N2:キ ャ ンペー ン期 問 中 の商 品1の 購 入 者 の商 品2の 購 入希 望 率 b,:キ ャ ンペ ー ン終 了後 の商 品1の 販 売 台数 の前 年 同月 比 の減 少 速 度 B,:キ ャ ンペ ー ン終 了後 の商 品2の 販 売 台数 の減 少 速 度
N,1キ ャ ンペ ー ン終 了 後 の商 品1の 購 入者 の 商 品2の 購 入 希 望 率
とす る と,キ ャ ンペ ー ン の前 後 で微 分 方 程 式 は以 下 の よ うに表 され る.た だ し,
Y1(t)とZ、(t)の 関 係 性 は(2.13)式 ま た は(2.14)式 に 示 す 通 り で あ る.
[キ ャ ン ペ ー ン 期 間 中(0≦t≦T)の と き ユ
dt
[キ ャ ン ペ ー ン 終 了 後(ア ≦ の の と き]
dZ,(t‑T)
ニ ーb3・Zi(t‑T), dt
雫)=ち(Zi(0)一 呂(の}
の ・ω=B
、(Nゴ ン1ω 一 ア、(∫)〉
(2.15)
(2.16)
(2.17)
響 ∫L礁 粥 一T)‑Y2(t‑T)〉(2・18)
な お,解 析 解 は 以 下 の よ う に な る.た だ し,C,,C,,C,お よ びC4は 積 分 定 数 で あ る.ま た,b,≠B2か つb,≠B,と す る.
[キ ャ ン ペ ー ン 期 間 中(0≦t≦T)の と き]
y、(t)=a(ル(Z1(0)‑C1・e‑b・̀}(2.19)
Y2(t)=N・ ・ai(ノ)・Zi(・)一 謡 ・al(ノ)・Cl・e"B・t‑C・ ・e'B・̀・(2・2・)
[キ ャ ン ペ ー ン 終 了 後(T≦t)の と き]
ア1(t‑T)ニC,'e b3(t‑T),(2.21)
Y・(t‑T)一 矯 ・q・e'"b・('‑T)‑c・ ・e'B・(̀"T〕 ・(2・22)
2.2社 会 的 な ブ ー ム の 微 分 方 程 式 モ デ ル
本 節 で は,社 会 的 な ブー ム の微 分 方程 式 モデ ル につ い て述 べ る.
中桐 ・栗 田[10]は,あ る商 品や フ ァ ッシ ョン,嗜 好 な どが 人 々 の 間 に一 瞬 に広 ま
消費顧 客
ノ
ブーム前
Yl(t)
ブ ーム ア2(t)
わゴ定 着 し易 さ 綻 着す る》
ブ ー ム後
Y3(t)
定着
Y4(t)
1111Ψ
総消費量
、
、1
図2.5社 会的なブームの微 命方程式モデルの概念 図
り,そ の 後短 時 間 で消 えて しま うよ うな社 会 的 な ブ ー ム に着 目 し,基 本 的 な 「特 定製 品の 消費 ブ ー ム」 の形 を把握 す る た めに,ブ ー ム を 引 き起 こす構 造 ・メカ ニ ズ ム が存在 す る もの と し,ご く単 純 な微 分 方 程 式 を作成 した.
まず,あ る1つ の製 品 のブ ー ムに 関 して,や が て は この製 品 を消 費す る よ うに な る全 ての"顧 客"が,各 時 刻 にお い て以 下 のい ず れ か の状 態 に あ る もの と考 え
る(図2.5).
状 態1《 ブー ム前》:ブ ー ム に乗 らず に対 象 商 品 を消費 してい ない 状態 状 態2《 ブ ー ム 》:ブ ー ム に乗 じて商 品 を消 費 して い る状 態
状 態3《 ブー ム後 》:商 品 に飽 きて消 費 を止 めて い る状 態
状 態4《 定 着 》:ブ ー ム に関係 な く単 位 時 間 に 一定 割 合 で 商 品 を消費 し 続 け る状 態
時 刻tに お い て,そ れ ぞ れ の 状 態 に属 す る顧 客 の数 を順 に ア】(t),Y2(t),Y3(t), Y4(t)と す る.こ こで は,顧 客 の総 数 は一 定 値Sを 保 っ と仮 定 す る.す な わ ち, い か な る時刻 にお いて も
ア1(')+ア2ω+ア3(り+ア4(の=s. (2.23)
が成 立 して い な けれ ば な らない.
次 に,あ る時刻Tに ブー ムが 始 ま って 以 後 起 こ り うる顧 客 の状 態 変化 は次 の3
つ の いず れ か で あ る と想 定す る:(i)《 ブー ム前→ ブ ー ムへ の変 化 》ブ ー ム にい ま だ 乗 らず に製 品 を消 費 して い な い顧 客 が ブ ー ム に乗 って 製 品 を 消費 す る よ うに な り,(助 《ブー ム→ ブー ム後 へ の変 化 》そ の 後 に製 品 に飽 きて 消 費 を 中止 す る よ う に な る,(皿)《 ブー ム→ 定着 へ の変 化 》あ るい は そ の製 品 が気 に 入 っ て ブー ム に 関 係 な く消 費 を継続 す る よ うに な る.さ らに こ こで,こ れ らの状 態 変化 が どれ も 「変 化 前 の状 態 に あ る固 体 の うち,単 位 時 間 に一 定割 合 の個 体 が変 化 を起 こす 」 とい う一 時反 応 法 則 に従 っ て 生 じる と仮 定す る.つ ま り,《ブー ム前 》状 態 の 顧 客 の う ち,単 位 時 間 に割 合 わ、の ものが 《ブ ー ム》 状 態 に移 っ て製 品 の消 費 を始 め る・
ま た,《 ブ ー ム》状態 の顧 客 の 中か ら割 合 ち の ものが 飽 きて 《ブ ー ム後》状態 に 移 行 して 消費 を 中止 し,割 合 ち の もの が定 常 的 に 消費 を続 け る 《定着 》 状 態 に 移 行 す るの で あ る.図25に は これ らの 状態 遷 移 が 示 され て い る.
ま た,パ ラメー タ を
b,:単 位 時 間 内 にブ ー ム に乗 じて 製 品 消費 を開 始す る未 消費 者 の 割 合 《熱 し易 さのパ ラメー タ》
ち:単 位 時 間 内 に製 品 に飽 き て製 品消 費 を中止 す るブ ー ム 消費 者 の割 合 《冷 め 易 さのパ ラ メー タ》
b,:単 位 時 間 内 に製 品 を気 に入 り定着 層 に移 行 す る ブー ム消 費者 の割 合 《定 着 し易 さのパ ラメー タ》
と し,上 記 の仮 定 の下 で 状 態 変化 を ま とめれ ば以 下 の よ うな微 分 方 程 式 モ デ ル が 得 られ る.
ア1ω=一 わ1ア1(t>
ア1(t)=み1ア 荘(り一(わ2+わ3)ア2(t>
ア1(')=わ2乃(̀>
yl(t)=わ3ア2(み
(2、24) (2.25)
(2.26) (2.27)
ブ ー ム が始 ま る時刻T以 前(t≦T)は,顧 客 の総 数Sの うち,割 合kが 既 に 定 着 状 態 に あ っ て 製 品 の 消 費 を して お り,こ れ 以 外 は 全 て 製 品 を 消 費 して い な い と想 定 す る.す な わ ち,各 状態 に あ る顧 客 の数 は以 下 の通 り一定 値 を取 っ て い る と考 え る.
Yl(t)=(1‑k)S(0≦k≦1),(2.28) Y2(t)=0,(2.29)
Y3(t)ニ0,(2.30) Y4(t)1=ms(t<T)、(2.31)
ま た,こ れ ら は ブ ー ム の 開 始 と 同 時 に,微 分 方 程 式 系(2.24)式,(2.25)式,(2.26)式 お よ び(2.27)式 の 時 刻Tに お け る 初 期 条 件 と も な る.
2.3本 研 究 の 方 向 性
本 節 で は,本 研 究 と関連 研 究 の 関係 を述 べ,本 研 究 の方 向性 を示 す.
第3章 で は,社 会 的 な ブー ムの微 分 方 程 式 モデ ル を応 用 したモ デ ル を2つ 提案 す る.そ れ に よ り,ブ ー ム と呼 ぶ に は非 常 に小 さい市 場 規模 の対 象 に対 して もブ ー ム的 な現 象 を確 認 す る こ とが で き る .ま た,モ デ ル に含 ま れ て い るパ ラ メー タ お よび飲 食 店 の 関係 を検 討 す る こ とに よ り店舗 選 択 要 因 の導 出や パ ラ メー タ の推 定 精 度 の向 上 を試 み る.さ らに,そ れ ら以 外 に2つ の微 分 方 程式 モ デル を提 案 す
る.
第4章 で は,予 備 解 析 に よ り季節 変 動 が示 され た こ とか ら,季 節 変動 モデ ル の 考 え方 を応 用 したモ デ ル を外 部 要 因 と して タ ブ レッ ト端 末 の 出荷 動 向 の影 響 を受 け る と仮 定 したモ デ ル とそ うで ない モ デル の2つ の モデ ル を提 案 す る.2つ のモ デ ル のパ ラ メー タ推 定 結 果 に よ り,PCの 国 内 出荷 台数 が タ ブ レ ッ ト端 末 の 出荷 動 向 の影 響 を受 け る か ど うか を確認 す る こ とがで き る.
第3章 飲 食 店利 用者 を対象 と したモデ ル の提案
本 章 で は,飲 食 店 利 用者 を対象 に4つ の微 分方 程 式 モ デ ル を提 案 す る.3.1節 で は,対 象 とす る飲 食 店 利 用 者 お よび店 舗 に関す るデ ー タ の概 要 な らび に そ のデ ー タ を基 に した 予備 解 析 につ い て述 べ る.3.2節 で は,提 案 す る4つ のモ デル につ い て述 べ る.3.3節 で は,提 案 した モ デ ル を用 い て パ ラメー タ を推 定 し,モ デル の妥 当性 を検証 す る.3.4節 で は,提 案 したモ デ ル を 予 測 に適 用 し,予 測値 を評 価 す る と とも にモ デ ル に含 まれ るパ ラ メー タの値 か ら利 用者 動 向 に関 す る考 察 を行 う.
3.1デ ー タ の概 要 お よび 予備 解 析
本 節 で は,本 研 究 で 使 用 す るデ ー タお よび そ のデ ー タ を使 用 した予 備 解 析 につ い て述 べ る.3.1.1項 で は,使 用す るデ ー タの概 要 につ い て述 べ る.3.1.2項 で は, 予備 解 析 結 果 と して週 ご との 延べ 利 用 者 数 の推 移 を示 す.3.1.3項 で は,予 備 解 析 結 果 と して,新 規 店 舗 とそ れ 以外 の 店舗 で 区別 した週 ご との延 べ利 用 者数 の推 移
を示 す.
3、Llデ ー タ の 概 要
本 研 究 では,株 式 会 社 フ ァナ テ ィ ック[6]の協 力 の 下,フ ァナ テ ィ ッ クが 開発 ・ 運 用 して い る 「ぐ一 ば る」 シ ステ ム(以 後 「ぐ一 ば る」 と呼 ぶ)の 飲 食 履 歴 デ ー タ を利 用す る.「 ぐ一 ば る」 とは,社 員 食 堂 を持 た ない 企 業 が,そ の企 業 周辺 に あ る飲 食 店(「 ぐ一 ば る」 と契 約 を結 ん だ)を 社 員 食 堂 の よ うに利 用 で き る シス テ ム お よび そ のサ ー ビス で あ る[7].「 ぐ一 ば る」 は シ ステ ムが 稼 動 して か ら 日が浅 い た め,「 ぐ一 ば る」が利 用 可 能 にな る契約 飲 食店 が 時 間 の経 過 と ともに 増加 して い く.ま た,フ ァナ テ ィ ック との デ ー タ保 持 契 約 に よ り,「 ぐ一 ぱ る」の 利 用者 は フ ァナ テ ィ ックの 従 業員22名 のみ と した.今 回扱 うデ ー タは 閉鎖 的 な商 圏 か つ利 用 客 も固定 され て い る もの で あ り,利 用 可能 な 飲 食 店 が 随 時増 加 して い く,従 っ て,利 用 者 動 向の 特 徴 を,外 乱 が非 常 に少 ない 状 態 で 捉 え る こ とが で き るた め, 新 規店 舗 が で き た時 はそ こ に行 きや す くな るの か等 の純 粋 に飲 食店 の増 減 に よ る
影 響 を調 べ る こ とが で き る.
飲食 履歴 デ ー タの記 載 事 項 は,以 下 の通 りで あ る.
い な い項 目も存 在 す る.
● 決 済 日時(年/Ef日 時:分:秒)
● 決 済 番 号
● 企 業 コー ド
● 事 業 所 コー ド
● 事 業 所 所在 地
● 従 業 員 コー ド
●ICカ ー ド種 別
○ 店舗 名
● 店舗 所 在 地
● メニ ュー 名
● 飲 食 形 態(イ ー トイ ン,弁 当配 達)
● 決済 金 額(税 込)
● 企 業 補 助 額(税 込)
● 利 用 者 負 担 額(税 込)
ただ し,本 研 究 で使 用 して
また,上 記 のデ ー タ に加 え,Googleマ ップ[1]よ り地 図デ ー タ を取 得 した.
表3.1に 契 約 店舗 の概 要 を示 す.店 舗A4お よび店 舗Blは 同一 の店 舗 で あ る.
この よ うに,店 舗 が 同 じで あ るが飲 食 形 態 が 異 な る場 合 は,本 研 究 にお いて は別 の店 舗 と して扱 う.表3.1に お け る利 用 可 能 日は 契約 後,新 た に利 用 可能 に な っ た 日を示 す.表3.1に お け る道 の りは株 式 会 社 フ ァナ テ ィ ック東 京 本 社 か ら各 店 舗 ま での 最 短ル ー トで あ り,飲 食形 態 が弁 当配 達 の場 合 はOmと す る.ま た,表 3.1に お け る横 断歩 道 の数 は最 短 ルー トの道 の りを進 む 上 で 渡 る必 要 の あ る信 号
の あ る横 断歩 道 の数 を示 す.表3.1に お け る単 価 は追加 日か ら2015年ll月2日 ま で の利 用 者 飲 食 単 価(税 込)で あ り,飲 食 店 の 価 格 帯 を 示 す.
本 節 以 降,店 舗 ご との利 用 者 数 を集 計 す る に 当た り,週 ご との値 を集 計す る こ と とす る.こ れ は,飲 食 履歴 デ ー タは利 用 さえ あれ ば毎 日デ ー タ を集 め る こ とが で き るが,店 舗 に よって は全 く利 用 が な い 日も少 な くな い た め で あ る.ま た,土
表3.1契 約 店 舗 の概 要
店舗 飲食形態 利用 開始 日 道 の り 信号機 の数 価格
Al イ ー トイ ン 2014/11/5 350m. 2 789円
A2 イ ー トイ ン 2014/11/25 350m 1 989円
A3 イ ー トイ ン 2014/12/4 230m 2 1055円
A4 イ ー トイ ン 2015/2/26 600m 5 914円
Bl 弁 当配達 2015/5/8 一 一 760円
B2 弁 当配達 2015/7/1 一 一 430円
日 祝 日 に 休 日 出 勤 を し て 利 用 し て い る 場 合 も あ っ た が,非 常 に 少 数 で あ っ た た め 使 用 す る デ ー タ か ら 除 外 す る.週 に つ い て は,デ ー タ の 最 初 の2014年11月4日
が 火 曜 日 で あ る た め,火 曜 日 を 起 点 と し て 翌 月 曜 日 ま で を1週 間 と す る.す な わ ち,2014年11月4日(火)か ら2014年11月10日(月)ま で を1週 間 と し,以 後2 週,3週,… と 数 え,最 終 週 は2015年10月27日(火)か ら2015年11月2日(H)
と す る.な お,年 末 年 始(2014/12/28か ら2015/1/3)は ど の 店 舗 も 利 用 者 数 が"o"
で あ っ た た め 外 れ 値 と み な し,こ の 週 を 除 い た.表3.2に 解 析 に 使 用 す る デ ー タ の 週 お よ び そ れ に 対 応 す る 期 間 を 示 す.
表3.2解 析に使用するデータの週およびそれに対応する期間
週 期 間 週 期 間
1 2014/11/4‑2014/11/10 26 2015/5/12‑2015/5/18 2 2014/11/11‑2014/11/17 27 2015/5〆19‑2015/5/25 3 2014/11/18‑2014/11/24 28 2015/5/26‑2015/6/1 4 2014/11/25‑2014/12/1 29 2015/6/2‑2015/6/8 5 2014/12/2‑2014/12/8 30 2015/6/9‑2015/6/15 6 2014/12/9‑2014/12/15 31 2015/6/16‑2015/6/22 7 2014/12/16‑2014/12/22 32 2015/6/23‑2015/6/29 8 2015/1/6‑2015/1/12 33 2015/6/30‑2015/7/6 9 2015/1/13‑2015/1/19 34 2015/7/7‑2015/7/13 10 2015/1/20‑2015/1/26 35 2015/7/14‑2015/7/20 Il 2015/1/27‑2015/2/2 36 2015/7/21‑2015/7/27 12 2015/2/3‑2015/2/9 37 2015/7/28‑2015/8/3 13 2015/2/10‑2015/2/16 38 2015/8/4‑2015/8/10 14 2015/2/17‑2015/2/23 39 2015/8/11‑2015/8/17 15 2015/2/24‑2015/3/2 40 2015/8/18‑2015/8/24 16 2015/3/3‑2015/3/9 41 2015/8/25‑2015/8/31 17 2015/3/10‑2015/3/16 42 2015/9/1‑2015/9/7 18 2015/3/17‑2015/3/23 43 2015/9/8‑2015/9/14 19 2015/3/24‑2015/3/30 44 2015/9/15‑2015/9/21 20 2015/3/31‑2015/4/6 45 2015/9/22‑2015/9/28 21 2015/4/7‑2015/4/13 46 2015/9/29‑2015/10/5 22 2015/4/14‑2015/4/20 47 2015/10/6‑2015/10/12 23 2015/4/21‑2015/4/27 48 2015/10/13‑2015/10/19 24 2015/4/28‑2015/5/4 49 2015/10/20‑2015/10/26 25 2015/5/5‑2015/5/11 50 2015/10/27‑2015/11/2
ま た,3.1.1項 で述 べ た よ うに,利 用者 数 につ い て は表3.2に 示 した期 間 に対 応 す る週 ご との 値 を集 計 す るが,例 えば,祝 日が 全 くない 週 と祝 日が2日 あ る週 で は利 用者 数 に差 が生 じる の は 明 らか で あ る.そ の た め,本 論 文 で は週 ご との利 用 者 数 を平 日5日 間 の利 用 者 数 と定義 し,火 曜 日か ら翌 月 曜 日ま で土 日を除 く5日 間 に祝 日が あ り,平 日が5日 未満 の週 につ い て は(3.1)式に示 す 式 で利 用 者 数 を補 正 す る.以 後,こ の値 を週 ご との利 用 者 数 の 実 測 値 と して使 用 す る.
(轍 の値)=(諾 瑠 骸)×5・ (3.1)
3、L2週 ご との延 べ 利 用 客数
図3.1に 週 ご との延 べ 利 用者 数 の推 移 を示 す.こ こで延 べ 利 用 者 数 とは,複 数 店舗 に お け る週 ご との重 複 を許 す利 用者 数 とい う意 味 で あ り,以 後 も この意 味 で 用 い る.縦 軸 は週 ご との延 べ 利 用者 数 を表 し,横 軸 は表3.2に 示 した期 間 に対 応 す る週 を表 して い る.図3.1に 示す よ うに,週 ご とに延 べ 利 用者 数 は異 な って い る こ とが わ か る.特 に利 用 可 能 店舗 が増 加 した 週 にお け る利 用者 数 が前 週 よ り増 加 して い る こ とが わ か る.ま た,24週 目に お け る総利 用者 数 が他 の週 に比 べ て少 ない.こ れ は24週 目が ゴール デ ン ウィー クに あた る週 で あ り,祝 日以外 の 営業 日 が少 な か った あ るい は 営業 日で あ って も有給 を使 用 した 従 業 員 が 多 か った こ とが 考 え られ る.
ゴ ール デ ンウ ィー ク ー 利 用 可 能 店 舗 増 → 一総 利 用 回 数 40
35 c
・。 毘
ー
50fJ2うムー占
延べ利用賓数(人)
10⊥
5}
⑪{
1357911131517】921 2325272931
週
333537394143454749
図3.1週 ごとの 延 べ 利 用者 数 の推 移
3.1.3新 規 店 舗 とそれ 以外 の店舗 で 区別 した 週 ご との延 べ 利 用 者 数 の推 移
図3.2に 新 規 店舗 とそ れ 以 外 の店 舗 で 区別 した週 ご との延 べ利 用 者 数 の推 移 を 示 す.縦 軸 は週 ご との延 べ利 用者 数 を表 し,横 軸 は表3.2に 示 した 期 間 に対応 す る週 を表 してい る.こ こ で あ る時 点 にお いて 利 用 開始 日が最 も遅 い 店 舗 を新 規店 舗 と呼 ぶ.例 えば,2015/2/26時 点 に お い てA4は 利 用 開始 目が最 も遅 い た め新 規 店 舗 とな る.図3.2に お い て,赤 色 の ■,緑 色 の △,紫 色 の ×,黄 色 の,榿 色 の 禽お よび青 色 の◆ の マー カー 付 きの グ ラフ はそ れ ぞ れ店 舗A1 ,A2,A3,A4,B1
お よびB2が 新 規 店舗 の とき の利 用者 数 を表 して い る.■ マー カ ー 付 き の黒 い グ ラ フ は新 規 以 外 の 全 て の利 用 店舗 の延 べ 利 用 者 数 を表 して い る.図3.2中 の灰 色 の グ ラ フは全 て新 規店 舗 の延 べ利 用者 数 を表 して お り,途 中 か らは じま りか つ 途 絶 して い る グ ラフが存 在 す る の は,そ の店舗 がそ の期 間 にお け る新 規 の契 約 飲食 店 で あ る こ とを示 して い るた めで あ る.例 えば,34週 か ら50週 にお い て,B2が 最 も新 しく利 用 可 能 に な っ た店舗 で あ るた め,■ マ ー カー 付 き の黒 色 の グ ラ フ に
40
35一
葡延べ利用者数(人) 田
5
A4・.‑B1+B2一 近 似 直 線(新 規 以 外)
0
35フ9[IL31s17192L232s27293133s5]7
週
図32新 規店舗とそれ以外 の店舗で区別した週ごとの延ぺ利用者数の推移
は店舗Al,A2,A3,A4お よびB1の 延 べ利 用 者 数 が含 まれ て い る.
図3.2よ り,新 しく利 用 可能 に な った店 舗 は時 間 の経 過 と とも にだ ん だ ん と利 用 され な くな っ て い る傾 向が わか る.ま た,図3.2に お い て,マ ー カー の な い 黒 色 の直 線 は,新 規 以外 の店 舗 の グ ラ フの近 似 直線 を 表 して い る.こ の近 似 直線 か ら,新 しい 飲 食 店 が増 え続 け てい るが,既 存 の 店舗 も定期 的 に利 用 され,一 定 数 の利 用 客 が い る こ とが 考 え られ る.
3.2モ デ ル 提 案
3.1節 の 予備 解 析 にお い て,利 用 可 能店 舗 が増 加 した週 に お け る利 用者 数 が 前 週 よ り増加 して い る こ とが 示 され た.そ こで本 節 で は,そ の特 徴 を反 映 し,利 用 可能 な飲食 店 が 時 間 の経 過 と とも に増 加 してい く条件 の 下,4つ の微 分 方 程 式 モ デル を提 案 す る.
3.2.1店 舗 毎利 用 状態 モ デ ル の提 案
本 項 で提 案 す るモデ ル は店舗 毎 に顧 客 の利 用 状 態 を定義 したモ デ ル で あ る.ま ず,'番 目に利 用 可能 とな った 契約 店 舗 を店 舗'と す る と,顧 客 は各 時刻 にお い
て 以下 のい ず れ か の状 態 に あ る もの とす る.
状 態0:い ず れ の店舗 も利 用 してい ない状 態 状 態i:店 舗iを 利 用 して いる状 態(i=1,2,.,.,n)
す な わ ち,状 態0,状 態1,…,状 態nの(n+1)状 態 が顧 客 の取 り うる状 態 で あ る.ま た,店 舗 η が新 規 店舗 とな る.
時刻'に お い てそ れ ぞ れ の 状 態 に 属す る顧 客 の 数 を ア⑪ω お よび ア,(∫)と置 く.こ こで は,顧 客 の総 数 は一 定 値 ε を保 つ と仮 定 す る.す な わ ち,い か な る 時 刻 にお い て も以 下 の式 が成 り立っ と仮 定 す る.
Σ ア、(t)‑s・
此=⑪
(3.2)
また,時 刻 ∫,を店舗 ∫が利 用 可能 に な る 時刻 とす る(た だ し,',窟 ≦噛), 図3.3に 契 約 店舗 数 が3の 場 合 の顧 客 の 状 態遷 移 を実線 の矢 印 で 示 す.こ れ らの 仮 定 の下 で の状 態 遷移 をま とめ る と,t3≦t≦t4に お い て次 の よ うな微 分 方程 式 モ デ ル が得 られ る.
未 利 用 ア。ω
ろ03
0ゐ bG2
店 舗3利 用 Y3(t)
ち
b23
店 舗1利 用
Yi(t) 2
h 店 舗2利 用
Y3(t) 図3.3店 舗毎 利用状態モデルの状態遷移図
弩 り=一 幅 ・+b・ ・)Y・(t)・(3・3)
弩 の=わ ・1ア・(の+b・,y・(t)‑bn.Yi(t)'(3・4)
弩 の 一b・zY・ ω+bl2yl(t)一 一b・・y・(t)'(3・5)
dy,(t)
ニ ゐ03アo(t)+b23ア2(')‑b,,ア,(t)・(3・6) dt
例 え ば,y。(t)の 変 化 率 は(3.3)式 の よ う に 表 され る が,こ れ は 未 利 用 者 の う ち 割 合 bo1,b。,お よ びb。,の 割 合 で そ れ ぞ れ 店 舗1,店 舗2お よ び 店 舗3を 利 用 す る よ
う に な っ た こ と を 示 す.(3.4)式,(3.5)式 お よ び(3.6)式 も 同 様 に し て 得 られ る.た だ し,(3.3)式,(3.4)式,(3.5)式 お よ び(3.6)式 の 各 パ ラ メ ー タ の 意 味 は 次 の 通 り で あ る ・
わ。,:単 位 時 間 内 に 店 舗'の 利 用 を 開 始 す る 未 利 用 者 の 割 合(負 の 場 合 は,店 舗
∫ の 利 用 者 の う ち ど の 店 舗 の 利 用 も 中 止 し た 顧 客 の 割 合)
bり1単 位 時 間 内 に 店 舗iの 利 用 を 中 止 し 店 舗 ノ の 利 用 を 開 始 す る 利 用 者 の 割 合(負 の 場 合 は,店 舗 ノ の 利 用 を 中 止 し 店 舗iの 利 用 を 開 始 す る 利 用 者 の 割 合)
ま た,(33)式,(3.4)式,(3.5)式 お よ び(3.6)式 はtn≦t≦tn+1に お い て,以 下 の よ う に 一 般 形 に 拡 張 され る.
弩 り=‑Gl+b・ ・+…+b・n),y・(t)'(3・7)
の 、ω
=bo ,,]Vo(り+…+わ(,̲1),.y卜1(の 一(b、(,+1}+…+b,n)ア,(の(iニ1・2・ … ・n‑1)・(3・8)dt
軌 ω=b
Onアo(t)+b2nア2(t)+̲+b(n̲i)nYn̲i(t)‑bniアn(t)・(3・9)dt
店 舗iが 利 用 可 能 に な る 時 刻ttに 顧 客(未 利 用 者 と利 用 者 の 総 称)の 総 数S の う ち,契 約 以 前 に 知 っ て い る 等,延 べ 利 用 者 数X,が す で に 店 舗'を 利 用 し て い る と想 定 す る.
ゑ .y。(t、)‑s一 Σx、,
k=1
ア,(t、)ニx,
(3,10) (3,11)
(3.10)式 お よ び(3.11)式 はt,≦t≦tt.1に お け る 微 分 方 程 式 系 の 初 期 条 件 で あ る.
(3.3)式,(3.4)式,(35)式 お よ び(3、6)式 に お い て 注 意 す べ き こ と は,こ れ ら の 式 を 加 え 合 わ せ る と,
鰹 り=α
k≡o
(3.12)
が成 立す る こ とで あ る.こ れ はn・3に お い て(3.2)式の 両辺 をtで 微 分 した 式 と 一 致 す る こ とを意 味 して お り,顧 客 の 総数 が 一 定値 を保 つ とい う仮 定 に対応 して い る.ま た,(3.2)式 か らそ の値 はSと な る.こ れ は一 般形 で あ る(3、7)式,(3.8)式 お よび(3.9)式 にお い て も同様 の結 果 が得 られ る.
店 舗 毎利 用 状態 モ デ ル に は,店 舗 数 が増 加 す るにつ れ パ ラメー タ数 も増加 す る 問題 点 が あ る.具 体 的 に は,契 約 店舗 数 がnの 場 合,パ ラ メー タ数 は,n(n+1)/2 と な る.す な わ ち パ ラ メ ー タ を推 定 す る の に 必 要 な 実 デ ー タ も 少 な く と も n(n+1)f2に な るた め,店 舗 数 が多 くな る ほ ど実 用 が難 しくな る.ま た,そ れ に 伴 い 微 分 方 程 式 を解 い た 一般 解 も複 雑 にな る.さ らに,新 規 店 舗 が利 用 可 能 に な
る以 前 の 動 向 を表 現 す る こ とが不 可 能 で あ る.
3.2.2新 規 店舗 毎利 用状 態 モ デ ル の提 案
3.2.1項 で 提 案 した店 舗 毎利 用 状態 モ デ ル は契 約 店 舗 数 が増 加 す る と必 要 なパ ラメ ー タ も増加 し複 雑 な式 に な る問題 点 が生 じた.そ こで本 項 で提 案 す るモデ ル は,新 規 店 舗 以外 の利 用 者 動 向 に大 き な変 化 が ない と仮 定 し,新 規 店 舗 の利 用 状 態 に着 目 し,顧 客 の利 用 状 態 を定 義 した モ デ ル で あ る.ま ず,∫ 番 目に利 用 可能 とな っ た契 約 店舗 を店舗 ∫とす る と,顧 客 は各 時 刻 にお い て以 下 のい ずれ か の状 態 に あ る もの とす る.
状 態0:い ず れ の店舗 も利 用 していない状 態
未 利 用 ア。ω
0ゐ
b20
店 舗1,2,...,(n‑1)利 用 Yi(t)
店 舗 η利 用 Y2(t)
2ゐ
図3A新 規店舗毎 利用状態モデルの状態遷移 図
状 態1:店 舗1,2,...,n‑1を 利 用 し て い る状 態 状 態21新 規 店 舗nを 利 用 して い る状 態
時 刻tに お い て そ れ ぞ れ の 状 態 に 属 す る 顧 客 の 数 を ア。(t),Yl(t)お よ びY2(t) と 置 く,こ こ で は,顧 客 の 総 数 は 一 定 値 ε を 保 つ と 仮 定 す る.す な わ ち,い か な る 時 刻 に お い て も 以 下 の 式 が 成 り 立 っ と 仮 定 す る.
Σ アk(t)=S・(3・13)
k=O
図3、4に 新 規 店 舗 毎 利 用 状態 モデ ル にお け る顧 客 の状 態 遷移 を 実線 の矢 印 で 示 す.こ れ らの仮 定 の 下 で の状 態遷 移 を ま とめ る と,以 下 の微 分 方 程式 モ デ ル が 得
られ る.
弩'L筋(t)+b・ ・y2(t)'
弩 ∫)=一幅 ω+筋(へ の孟IL蟻 ω 煽 ①
(3,14)
(3,15)
(3.16)
例 え ば,y。(t)の 変 化 率 は(3.14)式 の よ うに 表 さ れ る が,こ れ は 未 利 用 者 の う ちb。 、
