i
〈論 説 〉
生 涯 消 費 ・ 資 産 選 択 の 動 学 的 多 期 間 モ デ ル
桐 谷 維
日 次
0.序 論
1.従 来 理 論 の 展 望 1.0ラ ム ゼ イ 問 題
1.1フ ェ ル プ ス の 効 用 系 列 モ デ ル
1.2レ ヴ ァ ー リ=ス リニ ヴ ァ サ ンの 貯 蓄 モ デ ル 1.3サ ミ ュ エ ル ソ ンの 動 学 計 画 モ デ ル
1.4ハ カ ン ソ ン の 消 費 ・投 資 戦 略 モ デ ル II.最 適 消 費 ・資 産 投 資 額 モ デ ル の 展 開
2.1生 涯 富 系 列 の 制 約 条 件 2.2系 列 的 効 用 分 析 2.3最 適 消 費 系 列
2.4最 適 消 費 ・危 険 資 産 保 有 2.5富 の 効 果
[注]
[参 考 文 献]
0.序 論
い わ ゆ る セ ン ト ・ペ テ ル ス ブ ル グ ・パ ラ ド ッ ク ス の 復 活 と 呼 ば れ る,ジ ョ ー ン ・ フ ォ ン ・ノ イ マ ン=オ ス カ ー ・ モ ル ゲ ン シ ュ テ ル ン(JohnvonNeumann&
OskarMorgenstern,1947)に よ り 提 出 さ れ た 期 待 効 用 極 大 化 仮 説 は,E‑V接 近 法 と 結 合 し て,不 確 実 性 下 の 意 志 決 定 問 題 の 典 型 的 な 一 課 題 と し て の 資 産 選 択 理 論 を 展 開 さ せ た 。 こ れ ま で 開 発 さ れ た 資 産 選 択 理 論 に 見 ら れ る 期 待 効 用 関 数
2商 経 論 叢 第36巻 第2号 0181)
は,ほ ぼ三 通 りの種 別 に分 け られ る。
(1}資 産 収益 を確 率変 数 と して 資産 収 益 の効 用 を設 け,そ の期 待 効 用関 数 を 収 益 の期 待値 と分散(ま たは標準偏差)を 変 数 とす る ものでaE‑V基 準 と結 合 す る。
② 消費 支 出系列 の効 用 関数 を設 け,将 来 収益 を確 率 変 数 と見 て,将 来 富 か ら支 出 され る消費 の効 用系 列 か ら期 待 生 涯効 用 関 数 を導 いて系 列 的効 用 分 析 を行 う。
(3)将 来 富(ま たは富の成分)を 確率 変 数 と して効 用 関 数 を指 定 し,そ の期待 値 を取 って期待 効 用 を設 け る もので,危 険 回避 測 度 や 平均 効 用 保存 的拡散
にっ な げ る。
こ こで の研 究 は,主 に② の消 費 支 出系 列 の効 用 関数 の下 で個 別 経 済 主体 の系 列 的消 費戦 略 を導 出 す る従来 の理 論体 系 の路線 に沿 って,消 費支 出 に加 え て危
険 資産 ・確 実 資 産投 資 を同 時 に編 成 す る合 理 的意志 決 定 モ デ ルに拡 張 して,主 体 の最 適 消費 系 列 と危 険 資 産投 資 系列 を導 出 し,最 適 解 の特性 を検 討 す る一 っ の試 みで あ る。 こ こで は,第1段 階 と して消 費 と投 資 を名 目値 で定 式化 し,消 費財 価 格 と証 券 価格 は暗 意 的 に処 理 され て い る。 結 果 的 に,わ れ われ の理 論 モ デル は後述 の ハ カ ン ソ ンの モ デル に類似 し,そ れ を拡 張 した形 式 に な って い る。
1.従 来 理 論 の 展 望
1.0ラ ム ゼ イ 問 題
資 産 選 択 理 論 の 進 展 に 伴 い,理 論 的 分 析 は1期 間 の最 適 資 産 選 択 編 成 の 問 題 か ら,多 期 間 に わ た る生 涯 資 産 選 択 モ デ ル へ 拡 張 され た 。 こ の 段 階 で,資 産 選 択 理 論 は,貯 蓄 理 論 に お い て,そ れ ま で に 展 開 さ れ て き た 時 間 選 好 体 系 を 包 摂
し,ラ ム ゼ イ(F.P.Ramsey,1931)型 の ア イ デ ィ ア と合 体 す る こ と に な る。
「現 在 と将 来 の世 代 が 各 期 に 所 得 の ど れ だ け を 貯 蓄 す べ き か?」 と い う周 知 の ラ ム ゼ イ 問 題 は,確 率 論 的 な 概 念 を含 ま ず,全 面 的 に 決 定 論 的(determinis一
C18Q) 生 涯 消 費 ・資産 選 択 の 動学 的多 期 間 モ デル3
1)
tic)で あ っ た が,フ ェ ル プ ス(E.S.Phelps,1962)は,実 際 に 貯 蓄 主 体 が 将 来 の 資 本 損 失 の危 険 に 直 面 す る場 合,伝 統 的 な 貯 蓄 理 論 が ど の よ う に修 正 さ れ る か と い う論 点 に焦 点 を 当 て,ラ ム ゼ イ の確 実 性 下 の 系 列 的 効 用 分 析 を不 確 実 性 下 の 分 析 に拡 張 す る こ と を 主 眼 と した 。 こ の よ う な ラ ム ゼ イ ニフ ェ ル プ ス の 段 階 に 至 る と,問 題 は,貯 蓄 主 体 の最 適 生 涯 貯 蓄 計 画 を 解 明 す る多 期 間 分 析 に 発 展 し
た が,往 時 の 理 論 モ デ ル は相 変 わ らず 貯 蓄 理 論 の 傾 向 が 強 く,レ ヴ ァ ー リ;ス リ ニ ヴ ァサ ン(D.Levhari=T.N.Srinivasan,1969)の モ デ ル の よ う に,経 済 主 体 の最 適 貯 蓄 は従 来 と 同 じ く貨 幣 形 態 で の み論 じ られ,多 様 な 投 資 ・資 産 形 態 は 不 問 に 付 さ れ た ま ま で あ っ た。 しか し,こ れ らの モ デ ル に は多 期 間 資 産 選 択 問 題 を 構 築 す る理 論 的 萌 芽 が認 あ られ,学 説 史 上,大 き な意 義 が 存 在 す る と思 わ れ る。
2)
この よ うな 多 期 間 貯 蓄 理 論 が保 有 資 産 の 多 様 化(diversification)問 題 と結 合 す る と,多 期 間 資 産 選 択 理 論 の展 開 が 要 請 され る こ と に な り,問 題 は,経 済 主 体 の生 涯 に わ た る最 適 資 産 系 列 が ど の よ うに 決 定 され る か の解 明 に 推 移 す る。
そ して,こ の よ うな 多 期 間 分 析 に,単 純 で あ る と は い え,初 め て 多 様 化 投 資 を 導 入 した の は ポ ー ル ・A・ サ ミュ エ ル ソ ン(P.A.Samuelson,1969)で あ っ た。 サ ミュ エ ル ソ ン ・モ デ ル は個 人 主 体 の 消 費 と投 資 の行 動 分 析 を 生 涯 期 間 に 拡 張 す る と と も に,フ ェ ル プ ス ・タイ プ の 不 確 実 性 下 の割 引 効 用 和 の 期 待 値 を 極 大 に
3)
す る とい う理 念 に基 づ きなが ら,危 険資 産 と確 実 資産 の単 純 な2資 産 モ デ ルを 構 築 した。 節1で は,多 少 の補 充 と修 正 を付 け加 え な が ら,こ の理 論 的 系譜 を 簡 単 に概観 す る。
L1フ ェ ル プ ス の 効 用 系 列 モ デ ル
フ ェ ル プ ス(E.S.Phelps,1962)の 系 列 的 効 用 分 析 は,古 典 的 に意 義 の あ る不 確 実 性 下 の理 論 モ デ ル で あ る。 フ ェ ル プ ス ・モ デ ル の主 眼 は,消 費 主 体 が 富 の損 失 を 被 る 危 険 に 曝 さ れ る と き の 最 適 生 涯 消 費 戦 略 を 期 待 生 涯 効 用 の 極 大 化 か ら 導 出 す る こ と で あ った 。 フ ェル プ スの 理 論 モ デ ル は,確 率 的 な 資 産 収 益 を 前 提
4)
と す る離 散 的 時 間 の ダ イ ナ ミ ッ ク ・プ ロ グ ラ ミ ン グ問 題 で あ る。
消 費 者 の生 涯 を 期 間t;1,2,…,Tに 分 け,各 期 首 に 消 費 が 行 わ れ る とす る。
4商 経 論 叢 第36巻 第2号 0!'19)
各 期 首 の 資 産 保 有 額(富)wtか ら消 費 額Ctが 支 出 さ れ,残 余 が 予 想 収 益 率Rtで 増 殖 す る。 さ ら に,消 費 者 は各 期 を 通 じて一 定 の 非 資 産 所 得yを 受 け取 る。 当 期 の 累 積 要 因 を1+Rfと す れ ば,来 期 首 の 富 は成 長 して 働+1に な る。
wt+正窯(wt‑Ct)(1+Rt)+y(1}
資 産 収 益 率Rtは 確 率 変 数 で あ り,t=1,2,…,Tを 通 じて,独 立 だ が 同 一 の 確 率 分 布 に従 っ て 分 布 す る。
生 涯 効 用Uを 各 期 首 に 実 行 さ れ る消 費 額 の 連 続 か つ 微 分 可 能 な 関 数 と す る。
0<α ≦1は 将 来 の 効 用 を現 在 価 値 に割 り 引 く一 定 の 割 引 要 因 で あ る。
T
σ 識 Σat‑iu(Ct)(2)
t=15)
初 期 富wiを 所 与 と して 最 適 消 費 戦 略 は 関 数 系 列{Ct(w,)}に よ り表 さ れ る が,こ れ は次 の 問 題 の解 と して 求 め られ る。
[フ ェル プ スの問題]
期 待生 涯 効 用
T
JT(c)篇 初(Cl)+Σt‑iau(Ct)(3) t=2
を 制 約 条 件 ω,+F(ωro,)(1+Rt)+y,̀需1,2,…,Tの 下 で,消 費 支 出 系 列Cr,C2,
… rCTに 関 し て 極 大 に す る 。 ◇
③ 式 で,ノ の 下 添 え 字Tは 残 存 段 階 数(残 存 期 間)を 表 し,ノ の 括 弧 内 のCは 消 費 支 出系 列CI,Q,…,CTを ま と め て 表 して い る。 生 涯 効 用 の 極 大 値Vは 段 階 数
(残存 期間)Tと 初 期 富w1に 依 存 す る か ら, UT(w,)‐max{u(の+ゑ α㌦(CI)}(4)
と書 か れ る。vの 下 添 え 字 丁 は残 存 段 階 数 を 表 す 。 ノT(c)の 極 大 値 がVT(wl)で あ る。(4}式 で 将 来 に1期 ず ら し,期 待 値 を取 り,両 辺 に α を 掛 け,結 果 を 元 の
s>
(4)式 に 代 入 す る と,極 大 生 涯 効 用 は 現 在 決 定 と 後 続 決 定 の 二 つ の 部 分 に 分 け ら れ る こ と が 判 る 。
VT(ω1)=max{u(C1)十 αE[VT̲1(w2)]}(5)
一一般 に 第'期 に つ い て(5)式 は(1)式 を 用 い て 次 の よ う に 書 か れ る。
(178)生 涯 消 費 ・資 産 選 択 の 動 学 的 多 期 間 モ デ ル5
yT̲∫+1(ω,)=max{u(ct)十 αE[VT‑t(wt+1)]}
・=max{u(Ct)十 αE[VT ‑t((ωrc亡)(1十Rt)十y)]}
t=1,2,…,T‑‑1(6‑1)
V1(wT)=max{u(CT)}'=T(s‑2)
こ の 体 系 は ダ イ ナ ミ ッ ク ・ プ ロ グ ラ ミ ン グ 解 法 に よ り 第T期 か ら 逆 行 し て 解 く こ と が で き る 。
cτ=ωT=(ωT‑rCT‑1)(1+RT‑1)+yを 考 慮 し て,一 般 の 第t期 に 対 し て(s 1)式 の 右 辺 を 消Ctに 関 し て 極 大 に す る1階 条 件 は
u(Ct)一 αE[V/T‑t((ω ∫‑c,)(1十Rt)十y)(1十Rt)]=0(7)
で あ る 。 こ れ を 解 け ば,最 適 消 費 系 列C*t=c*,(wt),t=1,2,…,T‑1が 得 ら れ る 。 極 大 化 の2階 条 件 は
u"(Ct)十 αE[V"T̲t((wt‑c*t)(1十 」1〜,)十ッ)(1十Rt)2]〈O
t1,2,…,T‑1(8)
で あ る 。
第t期 の 最 適 解c*t(wt)を(6‑1)式 に 代 入 す る と,極 大 期 待 生 涯 効 用 VT̲t+1(wt)=u(c*t)十 αE[V「T‑t((ω,‑c*r)(1十Rt)十y)]
'==1,2,…,T‑1(9>
を 得 る か ら,こ れ を 初 期 富 ω,に 関 し て 微 分 す る と,(7)式 を 利 用 し て,簡 単 な 結 果 に 帰 着 す る 。
d器1 ‑・(Ct)〔do*t
dwt〕+αE[ゾM(wt‑cr)(1+Rt)+y)(1+Rt)]
dwt
よ っ て,̀期 の 初 期 富 ω,が 増 加 す る と極 大 期 待 生 涯 効 用yT一 酎 は増 加 す る こ とが 判 る。 ま た,2次 導 関 数 を求 め る と負 で あ る こ と が 判 る。
6商 経 論 叢 第36巻 第2号(177)
d凝L u"(c*)dò̀d
wt〕2+αE[V"T‑r((ω'‑c蔭)(1冊y)(1+瓦 ア]
・〔1一 額 く ・(11)
2次 導 関 数(]1)が 負 で あ る こ と は 以 下 の よ う に 証 明 で き る 。 ま ず,̀=Tに 対 し て,π"(C*T)〈0だ か ら,
2*2 dwTdwT
次 ぎ にy(11>式 に お い て 第t+1期 に 対 し て//VT‑t<0が 成 立 す る と 仮 定 す れ ば, 第̀期 に 対 し てu"(c*t)<0に よ りV"T‑t+1<0が 成 り 立 っ 。 よ っ て,'=1,2,…,
T‑1期 に 対 し て(11}式 が 成 り 立 っ.す な わ ち,(1① と(11)式 に よ り,極 大 期 待 効 用 vT‑t+1は 富wtに 関 し て 増 加 的 な 凹 関 数 で あ る と い え る 。
1.2レ ヴ ァ ー リ=ス リ ニ ヴ ァ サ ン の 貯 蓄 モ デ ル
レ ヴ ァ ー リ=ス リニ ヴ ァサ ン(1969)は,フ ェル プ ス ・モ デ ル の路 線 に 従 い な が ら,ラ ム ゼ イ=フ ェ ル プ ス問 題 を 無 限 期 間T→ 。。に移 し,非 資 産 所 得yを 捨 象 して 再 検 討 し,最 適 消 費 政 策 を特 徴 づ け る十 分 条 件 を 導 い た 。 そ の極 大 期 待 生 涯 効 用 は 次 の よ う に 書 か れ る。
..
V(wo)=max{u(Co)十 αE[Σ α 削%(Ct)]}(㈹
t‑i
[レ ヴ ァ ー リ瓢ス リニ ヴ ァサ ンの 問 題]
期 待 生 涯 効 用
E[Σtau(Ct)](1の
t=o
を 富 の 制 約 ω 飼=(wt‑Ct)(1+Rr)と 非 負 条 件0≦et≦wtの 下 でt=o,1,2,… に 対 し て 消 費C、 に 関 し て 極 大 に す る 。 ◇
先 の(4)式と同 じ操作 を施 す 。⑬ 式 を1期 ず らせ てt=1を 始点 とす る次 式
..
V(w,)=・max{E[Σ αH駕(c∫)]}
ti
(176) 生涯 消 費 ・資 産 選 択 の 動 学 的 多 期 間 モ デ ル7
とwl=(ωrCo)(1+1〜 。)を 用 い て,⑬ 式 は さ ら に V(ωo)=max{u(co)十 αE[V((ωo‑co)(1十Ro))]}(15>
と 書 か れ る 。 す る と,(1の の 極 大 化 問 題 は(15)右辺 の{・}の 極 大 化 問 題 に 転 化 で き る 。(157式 のC。 に 関 す る 極 大 化 の1階 条 件 は
iu(Co)一 αE[Vノ((wo‑c⑪)(1十 、F〜o))(1十Ro)];0,(1⑤
2階 条 件 は,(1e式 の 解c*。 に 対 し て,
u"(C*o)十 αE[V"((wo‑c*a)(1十 、}〜o))(1十Ro)2]<0(17)
こ こ で1階 条 件(16)の 最 適 解 をc*o=f(ωo)と 表 し て(15)式 に 代 入 す る と 極 大 期 待 効 用 和 が 得 ら れ る 。
V(wo)=u(ノ(wo))十 αE[V({wo‑f(wo)}(1十Ro))](18)
こ れ を 初 期 富woに 関 し て 微 分 し,(1⑤ 式 を 用 い て 整 理 す る と, V'(ω ・)u'(f(wo))>0(19
と な る 。 上 式 は,限 界 効 用uが 正 だ か ら,極 大 期 待 効 用 和Vも 増 加 的 で あ り, 一 意 的 な 最 適 消 費 政 策 が 存 在 す る こ と を 主 張 す る
。
1.3サ ミ ュ エ ル ソ ンの 動 学 計 画 モ デ ル
7)
サ ミ ュ エ ル ソ ン(P.A.Samuelson,1969)の モ デ ル は,個 人 主 体 の 消 費 と投 資 の 行 動 分 析 を 有 限 生 涯 期 間 に拡 張 す る が,単 純 な2資 産 モ デ ル で あ る と は い え, 危 険 資 産 と確 実 資 産 の 多 様 化 投 資 を 初 め て 多 期 間 分 析 に導 入 した点 が 特 徴 的 で
あ る。 サ ミュ エ ル ソ ンが 用 い た 期 待 生 涯 効 用 は,将 来 の各 期 に 分 離 さ れ た 期 待 効 用 を 現 在 価 値 に 割 り引 い た総 和 で あ る。
vT(wo)・=max{E[Σ(1十
z
ρ)'u(Ct)]}⑳tニ0
Vの 下 添 え 字Tは 残 存 期 間 を 表 し,ρ は割 引 率 を 表 す 。 第t期 の 消 費 額 をCt,
8)
危 険 資 産 投 資 額 の構 成 比 を ξ,,確 実 資 産 の 構 成 比 を1一 ξtとす る。 ま た,危 険 資 産 収 益 率Rtの 累 積 要 因 を1+Rt,確 実 資 産 の 一 定 確 定 利 子 率rの 累 積 要 因 を 1+rと す る。 個 人 主 体 は 第t期 に お い て 期 首 の 富wtか ら当 期 の 消 費Ctを 差 し 引 い たwt‑clを 投 資 に 回 し,危 険 資 産 を(ωrc,)ξ 、,確 実 資 産 を(wt‑ct)(1 一 ξ,)だ け 保 有 す る
。 これ らは そ れ ぞ れ 第t期 末 に(u/t‑Ct)ξ 、(1+Rt)と(wt
8商 経 論 叢 第36巻 第2号
一c ,)(1一 ξ 、)(1+r)に 成 長 しiこ の 和 が 什1期 首 の 富 ω 州 に な る 。 ω,+1==(ὼ‑c,){ξ,(1+、R,)+(1一 ξ̀)(1+r)}
(175)
⑳
富wt+1は 最 終 期 ま で 増 殖 さ れ て 最 終 期 丁 の 期 首 富 ωTに な る が,こ の 期 首 富
9)
wTは 最 終 期 間Tに す べ て 消 費 さ れ,遺 産 を 残 さ な い と さ れ る。
wT=CT
[サ ミュ エ ル ソ ンの モ デ ル]
期 待 生 涯 効 用 T
{E[Σ(1十 ρ)一̀u(Cz)]}
'諏o
を 富 の 制 約
wt+t(wt‑Ct){ξ̀(1+1〜 ご)+(1一 ξ̀)(1+r)}, t=・二1,2,…,T‑1,
お よ び 遺 産 制 約 ωT+1=ωT‑CT凱0,'=T
の 下 でc̀と ξ,に 関 し て 極 大 に す る 。 ◇
ダ イ ナ ミ ッ ク ・ プ ロ グ ラ ミ ン グ 解 法 の 通 例 と し て 生 涯 計 画 の 末 端 か ら 逆 行 し て 解 く 。 ま ず,最 終 期t=Tの 初 期 富 が す べ て 消 費 し 尽 く さ れ て(ωT=CT)遺 産 が な い と き,控 丁 一1の 極 大 期 待 効 用 和V1(ωT⇒ は 次 の よ う に 書 か れ る 。
γ1(wT1)・=max{u(CT̲1)十(1十 ρ)‑1E[u(CT)]}
=max{u(CT ‑1)十(1十 ρ)一'E[u({wT‑,eT1}
.{ξT ̲1(1+RT̲1)+(1一 ξT‑1)(1+r)})]}{23》
ま ず,右 辺 を 極 大 化 す る1階 条 件 は
u'(CT̲1)一(1十 ρ)dE[u'({wT‑「‑CT̲1}・{ξT‑1(1十RT̲1)
+(1̲ξT‑1)(1+r)})。{ξT‑i(1+RT‑1)+(1一 ξT̲、)(1+r)}]・ 二 〇(24‑1) E[u'({wT̲1‑CT̲1}。{T‑1(1十RT̲1)十(1一 ξT̲1)(1十r)})
●(ωT ̲1‑CT̲1)(T‑一r)]=0(24‑2)
同 時 体 系 ⑳ を 解 け ば,同 時 解C*T‑1(wT‑,),ξ*T‑1(wT‑,)が 得 ら れ る 。 こ の
{174) 生 涯 消 費 ・資 産選 択 の動 学 的 多 期 間 モ デ ル9
同 時 解 を ⑳ 式 に 代 入 す る と,極 大 期 待 効 用 和 が 得 ら れ る 。 V1(ωT̲1)=u(C*T̲1)十(1十 ρ)‑IE[u({1,(/T‑t‑C*T‑1}
。{ξ*T ‑‑1(1十RT‑1)十(1‑一 ξ*T̲1)(1十r)})](25)
次 ぎ に,E[V,(wT‑1)];E[u(c*T‑1)+(1+ρ)‑lu(C*T)]の 関 係 を 用 い て,第 T‑2期 の 極 大 期 待 効 用 和 を 調 べ る 。
V2(ωT‑2)=max{u(CT‑2)十(1十 ρ) IE[u(c*T‑1) 十(1十 ρ)‑lu(C*T)]}
=max{u(CT ‑2)十(1十 ρ)‑IE[V1(ωT ‑1)]}
=max{uCcT ‑z)十C1十p)mmlECVI({wT ‑z‑cT‑z}
・{T ‑2(1+RT̲2)+(1‑T‑2)(1+r)})]}㈱
同 様 に,wt+1;(wt‑Ct){ξ,(1+R、)+(1一 ξ 、)(1+r)}を 考 慮 し て,一 般 のt 期 に 対 す る 極 大 生 涯 効 用 を 次 の よ う に 書 く 。
VT̲t(wt)二max{u(c∂ 十(1十 ρ)'E[VT‑t‑i(ω 飼)]}
=max{u(の 十(1十 ρ)'E[γT ̲卜1({wt‐ct}
・{ξ,(1+Rt)+(1‑一 ξ,)(1+r)})]}
。{27) す る と,Ctと ξ,に 関 す る 極 大 化 の1階 条 件 は
z〆(Ct)一(1十 ρ)『1E[V'T‑t‑1({wt‑c,}・{ξ,(1十R,)
+(1‑一 ξ,)(1+り})・{ξ,(1+1〜̀)+(1一 ξ,)(1+r)}]
=0(28 ‑1)
E[V/T̲、̲1({ω,‑c,}。{f(1+Rr)+(1一 ξ̀)(1+r)}) .(ω,一 一c∂(Rt‑r)];0
。(28‑2)
同 時 方 程 式 体 系 ㈱ の 同 時 解 はwtを 与 件 と す る 最 適 消 費C*tと 最 適 危 険 資 産 保 有 比 ξ*tのt‑T‑2,T‑3,…,1,0に 対 し て 生 涯 系 列 を も た ら す 。
1.4バ カ ン ソ ン の 消 費 ・投 資 戦 略 モ デ ル
フ ィ ッ シ ャ ー ニフ ェ ル プ ス 線 上 の 不 確 実 性 下 に お け る 貯 蓄 モ デ ル の 一 般 化 と 精 緻 化 の 一 っ に ニ ル ス ・H・ バ カ ン ソ ン[NilsH.Hakansson,1970a,b]の モ デ ル が あ る 。 そ こ で は,無 限 期 間 に わ た る 消 費 の 期 待 効 用 極 大 化 を 図 り,確 率 変
10商 経 論 叢 第36巻 第2号 (173)
数 と し て の 生 産 的 投 資 か ら の 収 益 に 加 え て,確 実 な 非 資 本 所 得 流 入 を 含 め て い る 。
消 費 の 無 限 期 間 に わ た る 効 用 関 数 を σ(CLC2,…)=u(Cl)+α σ(C2,C3,…) 一 Σ ὰ 'u(Ct) ,0<α<1⑳
t‑i
と定 義 す る。効 用 関 数u(c∂ は 単調 増 加 関 数 で あ り,2回 微 分 可 能 で,Ct≧0に 対
10)
して 厳 密 に 凹 と仮 定 す る。rを 累 積 要 因,r‑1を 利 子 率 とす る。第̀期 の投 資 機 会 ゴ=1,2,…,η の 単 位 投 資 額 当 た り収 益 率 を 確 率 変 数Rr1と す る。 よ っ て, 期 首 の 投 資 額xiは 期 末 にRixtに 成 長 す る。 取 引 費 用 と税 は捨 象 す る。{RL1㍉
…,Rn+1}は 次 の 特 性 を 持 っ て,̀に 関 して 独 立 に分 布 す る。
邸1一 鴬 ・≦Ri<・ ・,Pr[i ‑=‑1(R「r)笛 〈 ・]〉 ・ 侶①
た だ し,空 売 り を 許 さ ず,xt≧o,i=1,2,…,nと す る 。 ま た,η+1番 目 の 投 資 機 会 は 確 実 資 産 で あ る こ と に 注 意 せ よ 。
n+1
前 期 末 の 富wrの う ち投 資 残 高 Σ κゴtは当 期 末 に,確 実 資 産 がrxn+at,生 産 的 投
こニヱ n
資 がRixitに 増 殖 し,非 資 本 所 得yが 追 加 さ れ て
T=1n
(31>
ω,+1・=Σ ・R議,十7κ 。+1十y,t;1,2,…,
tニ
に な る 。 最 大 期 待 効 用 は 五(ω ∫)‐maxE[σ(cムc̀+1,…)]wt
と臓 され る11)a,甑 か ら題 性 原 職 こよ り,す べ て のtに 対 して
ft(wt)=maxE[u(Ct)十 α{maxE[U(c田,Ct+2,…)]1ω'+1}]wt, 結 局,す べ て の オ に 対 し て
五(wl)‐max{u(c,)十 αE[η+1(wt+1)]}
(3功
倒
とな る。時 点̀とt+1に お け る決 定 問 題 は 同 一 に な る か ら,添 え 字'を 省 略 し, (31)を用 い る と最 大 期 待 効 用(33)は次 の よ う に書 か れ る。
n
.f(w)=max{u(c)十 αE[f(Σ(」Rrア)xit十r(w‑c)十y)]}(鋤
i=‑1
右 辺 は,消 費Cと 生 産 的投 資機 会{厨 に関 して極 大 に され る。制約 条 件 はC≧
い ク ト ル κ ≧ ・ お よ びPr[ni ‑1(R「r)卿(ω 一c)+y≧r‑1]‑1で あ る ・
(172) 生 涯 消 費 ・資 産選 択 の動 学 的多 期 間 モデ ル11
た だ し ・y r‑1 値 で あ る 。
は利 子 率 アー1で 資本 化 され る潜 在 的 な非 資本所 得 流 入 の現 在価
II.最 適 消 費 ・資 産 投 資 額 モ デ ル の 展 開
2.1生 涯 富 系 列 の制 約 条件
節IIで,わ れ わ れ は,前 述 した 従 来 の 理 論 モ デ ル の 路 線 に 沿 っ て,消 費 額 と 危 険 資 産 保 有 額 の 最 適 化 モ デ ル を構 成 す る。あ る個 別 主 体 の 生 涯 をT個 の 期 間 に分 割 し,'=1,2,…,Tと す る。 こ の 主 体 は当 初,賦 存 富 ωoを 保 有 して お り, こ れ か ら第1期 中 の 消 費 支 出C1を 差 し引 い た残 額 を 確 実 資 産mlと 危 険 資 産 κ1 に投 資 す る。 よ って,第1期t=1の 期 首 に 次 の 初 期 配 列 か ら出 発 す る。
wo=Cl+鋭1+x1(1)
す る と,第1期 中 に,確 実 資 産 は確 定 利 子 率r、 を 伴 って(1一 トγ1)mlに 増 殖 し, 危 険 資 産 は危 険 資 産 収 益 率1〜1を 伴 って(1+1〜1九iに 増 殖 し,こ れ に 当 期 中 の 非 資 産 所 得(例 え ば賃 金)ylが 加 わ って,第1期 末 の 富w、 が 形 成 さ れ る。
(1一トγ1)m,十(1一 ト1〜1)x,+二yl=ω】(2)
危 険 資 産 収 益 率R正 は,将 来,ど の よ うな 値 が 発 生 す る か に つ い て 不 確 実 で あ る た め,確 率 変 数 と見 な され,行 動 主 体 に よ る危 険 資 産 収 益 率 の主 観 的 予 想 は確 率 分 布 に よ って 表 さ れ る。
こ こで,(1)式 を ② 式 のmlに 代 入 して 変 形 す る と次 式 を得 る。 (1+rl)(w・‑Cl)+(1〜1‑71)xl+ッ1二 ω1(3)
この 第1期 の 富w,は 第2期 で,さ らに 消 費CZ ,確 実 資 産 保 有m2,危 険 資 産 保 有x2に 配 分 さ れ る 。
wt=c2十m2十x2(4?
これ は ま た 同 じよ う に,第2期 中 に増 殖 さ れ て,所 得yzが 加 わ る。 (1+r・)m2+(1+R2)x2+y2
12商 経 論 叢 第36巻 第2号(171)
一(1+ア2)(ωrc2)+(R2‑r2)x2+y2
=w2(5)
一 般 に,第t期 の 期 首 に お い て 消Ctを 前 期 末 富 の 残 高wt‑1か ら 差 し 引 い た 残 余 を 確 実 資 産 と 危 険 資 産 に 配 列 し て,
wt‑1==Cf+mt+xt(6>
を 得 る か ら,こ れ を 第t期 中 に 増 殖 し て,な お 非 資 産 所 得yfを 加 え る 。 す な わ ち,
(1十rt)m」 十(1十Rt)xt十yt
‑(1+r、)(wt ‑一,‑ct)+(Rt‑rt)xt+yx
=wa(7) と な る 。
第 丁 一1期 に 至 る と,前 期 末 富wT‑2は 当 期 の 消 費 ・確 実 資 産 ・危 険 資 産 に 配 分 さ れ,
ωT.、‑CT‑1+物 一1+xT‑1(8)
こ の 確 実 資 産 と 危 険 資 産 は 第 丁 一1期 中 に 増 殖 し て ωTヨ に な る 。 よ っ て, (1十rT̲1)7ηT‑1十(1十RT‑1)κT̲1+yT‑1
‑(1+rT ‑1)(2UT‑、‑CT‑t)+(RT‑rγT‑1)κT‑1+yT‑1
==wT1(9)
を 得 る 。 最 終 の 第 丁 期 に お い て,富 の 配 分 は,前 期 末 資 産wT‑1が す べ て 消 費 さ れ る か 遺 産 と し て 残 さ れ る か の ど ち ら か で あ る 。 こ こ で 遺 産 を 記 号 わ(≧0) で 表 す 。 よ っ てyT期 に お け る 配 分 式 は
wT‑1=cT+bT(10}
で あ り,こ の 遺 産 額 が 正 で あ れ ば,こ れ がT期 末 の 富 の 残 高 に な る で あ ろ う 。 bT=wTCAD)(11)
2.2系 列 的 効 用 分 析
「現 在 と 将 来 の 世 代 が 各 期 に 所 得 の ど れ だ け を 貯 蓄 す べ き か 」 と い う 周 知 の ラ ム ゼ イ 問 題 に 呼 応 し て,系 列 的 効 用 の 期 待 概 念 を 導 入 す る こ と に す る 。
(170) 生 涯消 費 ・資 産 選 択 の 動 学 的 多 期間 モ デ ル13
ま ず,生 涯 効 用 をUで 表 し,効 用 関 数uを 系 列 的 消 費 額Cl,C2,…,C、 …,CTの 関 数 と 考 え る が,特 に,こ こ で は 生 涯 効 用 を 将 来 の 各 期 に 分 離 さ れ た 割 引 効 用 和 と し て 定 式 化 す る 。
U=u(CI,c2,…,Ct,…,CT)
=u(Cl)+au(C2)+a2u(C3)+…+αHπ(C
t) +…+αHπ(CT)
T
=u(C l)+Σar‑iu(Ct)(1助
r=z
た だ し,α は将 来 の効 用 を 現 在 価 値 に割 り引 く割 引 要 因 で あ り,0<α ≦1の 値 を 取 り,各 期 を 通 じて 一 定 と仮 定 す る。 ㈹ 式 の 生 涯 効 用 は,現 在 効 用u(C1)と 将 来 の 割 引 効 用 和 Σ α卜1u(Ct)と に 分 け られ る。 期 待 生 涯 効 用 関 数 は ⑫ 式 で 期
t=2
待 値 を 考 慮 す る と, E[U]=E[u(CLC2,…,Ct,…,CT)]
=u(Cl)十 αE[u(c2)]十 α2E[u(c3)]十 … 十at‑IE[u(C
l)]
十 … 十 αTE[u(CT)]
T
u(c1)+Σat‑lE[u(Ct)]t13)
t=2
と書 か れ る。
出 発 時 に お け る初 期 富w。 を 所 与 と す る最 適 消 費 戦 略 の 多 段 階 プ ロ セ ス は, 有 限 な離 散 的 期 間t=1,2,…,Tに 対 す る 消 費 系 列{Ct(wo)}に よ り表 さ れ るが,
これ は次 に示 す よ う な変 分 問 題 を 解 い て 求 め られ る。
[問 題]
期待生涯効用関数 T
ECU]=u(Cl)+Σ αHE[u(Ct)]
t=2
を,制 約 条 件
(1十7∫)(wt‑z‑ct)+(R一rt)xt+ .Yt=wt,
(t=1,2,…,7L1)お よ び ωT‑1=CT+うT,￠=T)
の 下 で,消 費 量C1,c2,…,Cl,…,CTに 関 し て 極 大 に す る 。 ◇
14商 経 論 叢 第36巻 第2号 (169)
こ の 問 題 は通 常,ダ イ ナ ミッ ク ・プ ロ グ ラ ミ ン グ の手 法 を 用 い て 解 か れ る。
ま ず,期 待 生 涯 効 用 関 数 ㈲ の 現 在 の効 用u(Cl)は 確 率 変 数 で は な く,来 期 以 降
T
の項 Σ αHπ(Ci)が 確 率 変 数 と な る か ら,将 来 項 は 期 待 値Eを 取 る。
t=2
期 待 生 涯 効 用 σT‑tの 極 大 値 をVT‑t(wt)で 表 す 。 た だ し,Vの 下 添 字T‑t は残 存 期 間 を 表 し,ω ぽは 第t期 に お け る富 で あ る。 す る と,ま ず,第1期 の 極 大 期 待 生 涯 効 用 は 下 記 の よ う に定 義 さ れ る。
T
VT(w。)=maxtlT=max{u(C1)+Σ αHE[u(Cx)]}(1Φ
t=2
消費 者 の生 涯効 用 極 大化 はす べて の許 容 戦 略 を通 じて行 わ れ,第 丁期 の残 存 生 涯 を享 受 す る消 費 者 の最 適 解 は,出 発 点 の初 期富w。 の関数 にな る。 ここで, ダイ ナ ミック ・プ ログ ラ ミングの周 知 の操 作 を施 す。 す なわ ち,⑬ 式 を将 来 へ 1期 ず らせ,
T
巧 一1ω1)二maxUT‑1=・max{u(c2)+Σ α卜2E[u(C1)]},(15)
c=3
両 辺 の 期 待 値 を 取 り,両 辺 を α 倍 す る 。 よ っ て, αE[yT‑1(ω1)]eaEAmaxσT‑1]
T
=max{αE[u(C2)]+ΣàT'E[u(Ct)]}
lr t=3
=may{Σà‑IE[u(c∫)]}(1⑤
オニ コ
だ か ら,こ れ を(1むに 代 入 す る 。
VT(wo)備max{u(c1)十 αE[VT‑1(wl)]}(1の
こ れ は,極 大 期 待 生 涯 効 用VT(w。)が 現 在 決 定 と 後 続 決 定 の 二 つ の 部 分 に 分 け ら れ る こ と を 意 味 し て い る 。
一 般 に
,第t期 に っ い て,極 大 期 待 生 涯 効 用 は,wtに(7)式 を 用 い て, y卜,+1(ω,̲1)=max{u(Ct)十 αE[VT‑t(wt)]}
=max{u(Ct)十 αE[VT ̲r((1十rt)(wt‑1‑Ct) +(Rt‑rr)エf+ỳ)]}(18
と 書 か れ る 。 こ の よ う に す る と,丁 個 の 被 決 定 変 数 を 含 む 問 題 で あ っ た も の が 各 々 当 期 の 変 数 し か 含 ま な い 丁 個 の 問 題 系 列 に 転 化 し て,次 の よ う な 関 数 方 程 式 が 得 ら れ る 。
(lfi8) 生 涯 消 費 ・資 産 選 択 の 動 学 的多 期 間 モ デ ル15
レT‑t+1(ω 卜1)=max{u(Ct)十 αE[VT‑t((1十rt)(ὼ‑rc,)
十(1〜t‑rt)xt‑十 一yt)]}'==1,2,・ ・。,T'‑1,
V1(ωT‑1)=max{u(CT)}‑u(ωT‑一 わT)'‑T
(19‑1) C19‑2)
2.3最 適 消 費 系 列
上 掲(19式 の よ う な 系 列 的 効 用 の モ デ ル は,ダ イ ナ ミ ッ ク ・プ ロ グ ラ ミ ン グ 解 法 に よ り,第T期 か ら 逆 行 し て 解 く の が 定 石 で あ る 。
ま ず,生 涯 最 終 期 末t=Tに 対 し て,当 期 首 の 富wT‑1は 一 部 が 消 費CTに 回 さ れ た 後,残 余 は 遺 産 防 と な る 。 す な わ ち,⑩ 式(wT1=cT+わT)で あ る が, こ こ で,も し 遺 産 が 非 負 ⑦T≧0)で 先 決 的 に 決 定 さ れ る と 想 定 す る な ら ば,消 費CTは 残 差 と し て 決 ま る 。 す る と,最 終 期t=Tに お け る 効 用 水u(CT)は 先 決 的 な 消 費CTに 対 応 し て 決 定 さ れ る か ら,(19‑2)式 のmax{u(CT)}=u(wT‑1
‑bT)が 示 す よ う に
,最 人 効 用 は 先 決 的 消 費 の 効 用 に 当 然 に 等 し く な る 。 ま た, も し 遺 産 を 残 さ ず,、BT‑0を 仮 定 す る な ら ば,第T期 首 の 富wT‑1は す べ て 消 費 さ れ て,wT‑1%7と な る 。 す な わ ち,max{u(CT)}‑u(ωT‑1)に 帰 着 す る 。 他 方 で,第T‑].期 で は,期 首 の 富wT‑2か ら 消CT‑iを 差 し 引 い た 残 余 の ωT‑2‑‑CT‑1が,最 終 期 丁 の 期 首 富 ωT‑1に 増 殖 し,最 終 期Tに 消 費 と 遺 産 に 分
割 さ れ る 。
(1十rT̲1)(ω ㍗2‑CTヨ)+(RT‑一7T.1)xT1+夕 丁一1
=wT ‑FCT十 ・8T。 ⑳
す る と,(19‑2)式 のV,(wT‑1)罵 π(ωT‑一bT)はt‑T‑1に 対 す る(19‑1)式 の 後 続 決 定 部 と 一 致 す る か ら,事 実 上,(19‑2)式 は(19‑1)式 に 含 ま れ る こ と が 判 る 。 す な わ ち,t‑T‑1に 対 し て,⑳ 式 を 用 い て,
V2(ωT‑2)=max{u(cT̲1)十 αE[レ1((1十7T‑1)(ωT‑2‑cT‑1) 十(1〜T‑一 アT̲1)xT‑‑1+yT司)]}
=max{u(CT ‑1)十 αE[yl(ω7‑1)]}
=max{u(CT ‑1)十 αE[V1(CT十 防)]}⑳
と 書 か れ る 。 ⑳ 式 上2行 はt=T‑1に 対 す る(19‑1)式 に 他 な ら な い か ら ,一
16商 経 論 叢 第36巻 第2号 0167)
般 の第̀期 につ いて議 論 を進 め れ ば よ い ことに な る。
2.4最 適 消 費 ・危 険 資 産 保 有
一一 般 の 第t期 に つ い て
,(19‑1)式 右 辺 括 弧 内{・}の 極 大 に さ る べ き 生 涯 効 用 を σ,と 表 せ ば,
Ut=u(Cx)十 αE[MT̲t((1十rt)(ω 卜1‑‑Cr) 十(1〜,一一γ,)xt十yt)]̀=・=1,2,…,T‑1,(22)
と 書 か れ る か ら,こ れ をCtとxtに 関 し て 極 大 化 す る 。
期 間̀=1,2,…rT‑1に 対 し て,生 涯 効 用Ulの 消 費Cfと 危 険 資 産 保 有xtに 関 す る 極 大 化 の1階 条 件 は 次 の よ う に 求 め ら れ る 。
∂処 ガ(
c,)一 αELγT‑t((1+r)(wt‑,‑fir)(23‑1) apt
+(R∫ 一 γf)x、+yt)(1+乃)]=0
∂α 一 妃EγT ‑、((1+・r)(ωH‑c,)+(Rrrt)xt+yt)(Rt‑r)〕 一 ・(23‑2) axl
す な わ ち,(23‑1)式 は,現 行 消 費 の 限 界 効 用 が,当 期 に 割 引 か れ た 将 来 期 の 累 積 限 界 極 大 期 待 生 涯 効 用 に 等 し い こ と を 述 べ て い る 。 ま た,(23‑2)式 は,割 引 限 界 極 大 期 待 生 涯 効 用 の 危 険 収 益 プ レ ミ ア ム が ゼ ロ に 等 し い こ と を 述 べ て い
る 。
極 大 化 の2階 条 件 は,非 ゼ ロ の[dctdxt]≠0に 対 し て,次 の2次 形 式 が 負 値 定 符 号 に な る こ と で あ る 。
[蟷]レ畿 蕊 ∂ 脇 劉 臨]
e[d・ 調r蹴 瓢5潔 易翻]誘 ㍑ 瀞1(1+r)]][dodx:]
<0
⑳
この2次 形 式 が 負 値 定 符 号 で あ る こ と は 次 の主 張 と同 値 で あ る。 す な わ ち, 行 列 式iAlの2行 ブ列 の 要 素 をdijと 表 せ ば,任 意 の ゴ,ブに 対 して 砺 く0,a;;<0,
(166) 生 涯 消 費 ・資産 選 択 の動 学 的 多 期間 モ デ ル17
か つ 砺 αガーα♂>0が 成 り立 っ 。 よ っ て,こ の 負 値 定 符 号 性 を 適 用 す る と,2次 形 式 ⑳ の 行 列 の 行 列 式 に お け る ど の 主 対 角 要 素 も負 で あ り,そ の行 列 式 の値 は 正 で あ る。
幕 一鵡)+祀[V"T‑t((1十r)(翫1喝)
+(R「rt)xt+夕,)(1+ろ)2]<O
aZU ==αE[y"T ̲、((1十 γ)(ω ご司 一6、)十(1〜 ご一 γ})x,十yご)(1〜 、一 γ})2]〈Oa xt
l茅 ・a2Uaxt2一 器1
{u"Cct)十aE[V"T‑tCwt)C1十rt)2]}aE[V"T‑tCwt)CRt‐rt)2]
一{αE[y"T ̲,(ω,)(R∫‑rt)(1十 η)]}2>0
{25‑1) {25‑2)
(25‑3)
1階 条 件 ㈱ の2式 は最 適 消 費 と最 適 危 険 資 産 投 資 に関 して 解 く こ とが で き る。 この 同時解 を求 あ る と,一 般 形 で,次 の よ うに書 か れ る。た だ し,泌 は確!3)
率 変 数Rの 確 率 分 布 パ ラ メ ー タ ー の 集 合 を 表 す 。 c*t=C*t(w卜1,ツ,,rt,uあ)(26‑1)
x*r==x*t(wt̲1,yt,rt,"〃 襲)(26‑2)
こ れ ら の 最 適 解 を ⑳ 式 に 代 入 す る と,極 大 期 待 生 涯 効 用 が 得 ら れ,こ れ は ⑳ 式 に 示 す 変 数 群(wt‑1,夕,,η,.話)の 関 数 で あ る こ と が 判 る 。
VT‑e+1(ω 凪,yr,rt,,ノD
=maxσf=・u(c*∂ 十 αE[VT ‑1((1十rt)(wt‑1‑c*t)
十(Rr‑rt)x*t十 ニソ,)]t===1,2,・ ・rT‑1,② わ
も し 主 な 変 数 で あ る 前 期 末 富wt‑1が 変 化 す る と,極 大 期 待 生 涯 効 用VT‑t+L が ど の よ う に 変 化 す る か を 調 べ て み よ う 。 そ の た め にv「T‑tfiiを 前 期 末 富wt‑1 に 関 し て 微 分 し,そ の 符 号 を 確 定 す る 。
18商 経 論 叢 第36巻 第2一 号 (1fi5)
齎 ∵ 一π'￠)(dc*dωH)+aEV'T‑c(wt){(1+rt)(1一 轟) +嗣(蹉
1》]
=iu(C t)>0
WOIま た,極 大 期待 生 涯効 用 の 前期 末 富 に関 す る2次 導 関数 は次 の よ うに得 られ る。
4藷 茸llL淵(認+礁
'(wt){(1+耳)(1一 蓋 1) +嗣(轟7別
+伽'￠)一 αE[y/T‑t(wt)(1十r)]}(蓋 も)
耀E[噛)嗣(劇 く・
(Z9)こ こで,1次 導 関 数㈱ が正 で あ り,2次 導 関 数⑳ が負 で あ る こ とを証 明す る。
1次 導 関数 につ いて,㈱ 式 を書 き直 す。
告llLセ'④ 一祀 レ 調(1+r)]}(dodwt‑, +姐 レ 調 嗣](dxd
wt̲1)
+αE[賑(wt)(1+rt)]
=u'(C
c*)>0(28ノ)
1階 条 件(23‑1)に よ り 上 式1行 目 右 辺 は ゼ ロ で あ る 。 ま た,1階 条 件(23‑2) に よ り2行 目 は ゼ ロ で あ る 。3行 目 に 再 び1階 条 件(23‑1)を 適 用 す る とu (C*t)に 等 し い ・ 消 費 の 限 界 効 用 は 正 と 仮 定 さ れ る か ら ・dUT‑r+dw
r‑1Lu'(c*)〉 ・ で あ る こ と が 証 明 さ れ た 。
(164) 生 涯消 費 ・資 産 選 択 の動学 的 多期 間 モ デ ル19
次 に,2次 導 関 数 ⑳ に つ い て,消 費 の 効 用 関 数uは 凹 関 数 と 仮 定 さ れ る か ら, u"(C*t)<0で あ る 。 ま た,負 値 定 符 号 性 の(25‑2)式 よ り,
αE[V"T̲t(wt)(R君 一 η)2]<0
か っ,α>0だ か ら}V"T‑、(wt)≦0で あ る と 判 る 。 そ れ 故,X29)式 右 辺2項 目 は 負 で あ る 。
aE[噛 ω{(1+r)(dc*d
wt̲)+(Rt‑r)(轟ly]<・
さ ら に,1階 条 件(23‑1)と(23‑2)よ り u(c∂ 一 αE[V'T̲t(wt)(1十 η)]=0
αE[V'T‑t(wt)(、Rt‑y』t)]=O
d2陽 一,+1 だ か ら
,f29)式 の 最 後 の2行 は ゼ ロ で あ る と 判 る 。 よ っ て,<0が 証 明 さ2d wt̲,
れ た 。
以 上 に よ り,極 大 期 待 生 涯 効 用 は 前 期 末 富wt‑,に 関 し て 増 加 関 数 で あ り,か っ,凹 関 数 で あ る 。 す な わ ち,極 大 期 待 生 涯 効 用 は 前 期 末 富 に 関 し て 逓 増 的 で あ り,限 界 極 大 期 待 生 涯 効 用 は 逓 減 的 で あ る こ と が 判 る 。
2.5富 の 効 果
こ こ で は,パ ラ メ ー タ ー 変 化 が 消 費 額 と 危 険 資 産 保 有 額 の 変 化 に 及 ぼ す 効 果 を 検 出 す る 。 そ の た め に,1階 条 件 を 全 微 分 す る 。(23‑1)式 の 全 微 分 に よ り,
{π"(Ct)十 αE[V"T‑t(wt)(1十rt)2]}dct 一 αE[V"T ̲t(wt)(、}〜,‑7,)(1十7ご)]4κ̀
・二 αE[V"T ‑t(wt)(1十rt)2]dwt̲,
十 αE[V"T‑t(wt)(1十r't)]4ỳ
十 αE[V"T‑‑t(wt)(wtlct‑‑xt)(1十rt)‑V/T‑t(wt)]drt
を 得 る 。 ま た,(23‑2)式 の 全 微 分 に よ り,
一 αE[V"T ‑t(wt)(、F〜r‑rt)(1十7∫)]dct
十aE[V"T‑t(wt)(Rt‐rt)2]dxt
=一 αE[V"T ‑t(wt)(Rt一 η)(1十rt)]dwf‑一,
(30‑1)
20商 経 論 叢 第36巻 第2号 Clfi3)
一 αE[v"T ̲t(wt)(Rガrr)]dye
一 αE[y"T ‑t(wt)(ω 卜1‑Ct‑xt)(Rt‑rt)‑V'T‑‑t(wt)]dη(30‑2)
を 得 る 。(3Q‑1)と(30‑2)式 は 同 時 方 程 式 体 系 を 形 成 し,消 費 の 増 分dcEと 危 険 資 産 の 増 分dxtに つ い て 解 く こ と が で き る 。 表 記 上,膨 大 に な る の で,上 の ⑳ 式 で 係 数 を 大 文 字 のA〜Hで 簡 略 表 示 す る 。
A={u"(CF)十 αE[V"T̲t(wt)(1十rl)2]}(31)
・ αE[V"T‑1(ω,)(1〜,一 γ』t)(1十rt)]
C二 αE[V"T‑t(ὼ)(1十rr)2]
D=αE[γ"T̲r(wt)(1十rt)]
E;αE[y"T‑t(ὼ)(wt̲1‑c,一 κ,)(1十rl)‑y'T‑t(ὼ)]
F==αE[V"T‑一 一t(wt)(1〜c‑rr)2]
G箇 αE[V"T‑̲ご(ὼ)(Rt‑rr)]
H;αE[y"T̲t(wt)(ω 卜1‑c̀‑1π,)(R,一 γ,)‑V'T̲c(wt)]
こ れ ら を 用 い て(3⑪式 を 行 列 表 記 す る 。
B‐BdctCdwt̲1+Ddyt+EdrtFdxt‐Bdwt̲1‐Gdyt‐Hdrt(訟 よ っ て,こ れ の 解 は
[制一 ÷開L蹴 二亡訟1護農]㈹
と表 さ れ る。 た だ し,△=AF‑・B2>0で あ る。 これ に よ り,消 費 と危 険 資 産 保 有 の 増 分 は そ れ ぞ れ,次 式 の よ う に書 か れ る。
4研 去{(FC一 β2蜘 一1+(FD‑‑BG)dyt+(FE‑BH)drt}(34‑1)
dxt一 去{(BC一 朋)dwt̲1+(BD‑AG)dyt+(.BE‑AH)drt}(34‑2)
これ よ り,富 ω、‑1の変化 が消 費Ctと 危 険 資 産保 有xtに 及 ぼす 効果 を表 す所 要 の偏 微 係数 を導 くことが で きる。
∂ 寄∵ 葺多≡暮(35‑1)
0162) 生 涯消 費 ・資 産 選 択 の動学 的 多期 間 モ デ ル21
axe ̲B(c‐A){35‑2) awt̲1AF‐B2
上2式 の 分 母 は 極 大 化 の2階 条 件(25‑3)に よ り 正 で あ る 。 ま ず,消 費 に 関 す る(35‑1)式 の 分 子 は 次 の よ う に 変 形 で き る 。
cF‑、 θ2
蔦 α2{E[V"T ̲r(wt)(1十rt)2]E[V"T‑t(wt)(Rf一 γ̀)2]
‑E[V"T ‑t(wt)(Rt‑rt)(1十rt)]2}
コ α{E[V"T ̲t(wt)2(」}〜 ∫一 η)2]
‐cov(V"T ‑t(wt),V T‑t(wt)(Rt‐rt)2)
‑E[レ"T ̲t(wt)(Rr‑rr)]2}・(1十rt)2 一 α{var(V"T ‑‑t(ω,)・(Rrη))
‐cov(V"T ‑t(wt),V"T‑t(wt)(Rt̲"rr)2)}・(1+rt)2×36)
上 式 で,分 散 は 正 でvar(・)>0で あ る が}共 分 散cov(・)の 符 号 は 不 確 定 で あ る 。 し か も,V"T‑‑t(wt)とV"T‑t(wt)(Rt‑rr)2の 共 分 散 は 正 で あ る 可 能 性 が か な り 高 い か ら,(35‑1)式 分 子 の 符 号 は 直 感 的 に は 決 ま ら な い で あ ろ う 。 し か し,も しV"T‑t(wt)と γ"T‑一一t(wt)(R,一 η)2が 独 立 で あ っ て 共 分 散 が ゼ ロ で あ る と 仮 定 す る な ら ば,(3⑤ の 符 号 は 正 に な りi前 期 末 富wt̲,の 増 加 に 応 じ て 消 費Ct が 増 加 す る こ と に な る 。
apt
>0(3の
∂zo卜1
air ≦1と 考 え ら れ る か ら , 逆 に,限 界 消 費 性 向 の 見 地 に 立 て ば,0≦ ∂
ωH CF‑B2
2≦1よ り 」B2≦CF≦mに な る 。 よ っ て,各 辺 を.F<0で 割 る と,osAF
‑B
B2A≦C≦(38) F
す な わ ち,
u"(Ct)十 αE[V"T‑t(wt)(1十 η)2]
saE[V"T‑t{wt){1十rt)2]
22商 経 論 叢 第36巻 第2号 (161)
{αE[V"(wt)(1〜t‑r)(1十r)]}2
≦ 〈OG9)
αE[V"(wt)(Rt‑‑rt)2]
最 右 辺 は,分 母 が 負,分 子 が 正 だ か ら,負 で あ る 。 右2辺 よ り E[V"T‑‑t(wt)(1十rt)2]・E[V"T‑t(wt)(Rビ ー η)2]
≧{E[V"T‑‑t(ω,)(R,一 η)(1十rt)]}2(4①
だ か ら,こ れ よ り(1+rt)を 消 去 し て,次 の 関 係 E[V"丁 帰(wt)]・E[V"T‑t(wt)(Rt‑rt)2]
≧{E[V"T̲t(ω ∂(R,一 η)]}2(41) が 成 立 す る 。
他 方 で,危 険 資 産 保 有 に 関 す る(35‑2)式 で 分 母 は 正 で あ る が,分 子 の 符 号 は 次 の よ う に な る 。
B(C‑A)
eαE[y"T ‑t(wt)(Rt‑rr)(1十rt)](αE[V"T‑t(wt)(1十rt)2]
一{u"(C
t)+αE[v"T‑t(wt)(1+r,)2]})
e‑u"(Ct)・ αE[V"T ‑‑t(wt)(Rt‑rr)(1十rt)](42
上 式 で π"<0,y"T‑t<0,(∫ 〜一rt)(1+rt)>0と 見 ら れ る か ら,B(C‑A)は 負 と 認 定 で き る で あ ろ う 。 す る とa(35‑2)式 か ら,前 期 末 富wt,の 増 加 に 応 じ て 危 険 資 産 保 有xtは 減 少 す る で あ ろ う こ と が 判 る 。 す な わ ち,危 険 資 産 は 劣 等14と
見 な す こ とが で き る。
[注]
1)決 定 論 的 で あ る と は 確 率 論 的(stochastic)で な い こ と を い う 。す な わ ち,論 理 体 系 に 確 率 概 念 が 含 ま れ ず,確 率 変 数 が な い こ と を 意 味 す る 。
2)多 様 化 投 資 は,集 中 投 資 の 反 対 語 で あ り,多 く の 投 資 対 象 に 分 け て 投 資 す る 方 法 を い い,証 券 業 界 用 語 で い う分 散 投 資 を 意 味 す る。
3)危 険 資 産 は,そ の 将 来 収 益 が 不 確 実 で あ っ て.投 資 主 体 に 不 測 の 損 失 を も た らす 可 能 性 が あ る 資 産 を い う。 具 体 例 と し て は 債 券 ・株 式 の よ う に 市 場 性 あ る 金 融 資 産 が 挙 げ ら れ る 。 市 場 性 が あ る こ と は,資 本 損 失(値 下 が り損)の 可 能 性 を 含 意 す る 。 4)動 学 計 画 法(dynamicprogramming)は1950年 にR.Bellmanに よ り展 開 さ れ
た 数 理 計 画 法 の 一 部 門 で あ りa数 段 階 に わ た る 決 定 問 題 で あ る。 各 段 階 で,そ の 都
(160) 生 涯 消費 ・資 産 選 択 の動学 的 多 期間 モ デ ル23
度,成 果 が 規 定 さ れ,そ の 成 果 は さ ら に 後 続 段 階 の 決 定 問 題 に 対 す る 前 提 と な る。
Bellman[1957ユ を 参 照 せ よ 。
5)最 適 消 費 政 策(optimalconsumptionpolicy)と 同 義 で あ る 。
6)現 在 決 定 と は 現 時 点t=1に お い て 意 思 決 定 が 行 わ れ る こ と を 意 味 し,後 続 決 定 と は 将 来 時 点'>1に 意 思 決 定 が 延 ば さ れ る事 態 を い う。
7)Samuelson(1969)の 当 該 論 文 は 誤 植 が 多 く,本 論 文 で は わ れ わ れ の 表 記 に お い て 訂 正 し て あ る 。 ⑳ 式 はSamuelson論 文p.242の(1Z)式 に 相 当 す る 。
8)Samuelson論 文 に お け る 資 産 の 構 成 比 接 近 は,資 産 選 択 論が 展 開 さ れ た 初 期 に お い て 一 般 的 に 取 ら れ た 分 析 態 度 で あ る が,現 在 で は 資 産 の 投 資 額 や 物 理 的 な 証 券 枚 数 の 接 近 の 方 が 普 通 で あ る。
9)遺 産 評 価 関 数 は 生 産 の 成 長 モ デ ル に お け る 廃 棄 関 数(scrapfunction)と 類 似 の 役 割 を 演 ず る 。
10)関 数 ∫(x)が 厳 密 に 凹 で あ る と は,閉 区 間[α δ]内 のx,,x2と0≦ λ ≦1に っ い て, も し 五 λエ1+(1一 λ)xz]≧ λ∫(■1)+(1一 λ)f(xz)な らば,y=f(x)は 開 区 間(a,b)に お け る 凹 関 数(concavefunction)で あ る と い わ れ,0<λ<1に つ い て 厳 密 な 不 等 式(〉)が 成 り 立 つ な らば,厳 密 な 凹 関 数(strictlyconcavefunction)で あ る と い
わ れ る 。
11){3a式 末 尾 の 『wt』 は,wlを 与 件 と す る 意 味 で あ る 。
12)最 適 性 原 理 に つ い てBeilman(1957,・i)は 次 の よ う に 述 べ て い る 。 「最 適 政 策 に は 次 の よ う な 特 性 が あ る。 す な わ ち,初 期 状 態 と初 期 決 定 が ど う で あ ろ う と も,残 余 の 決 定 は 最 初 の 決 定 に 由 来 す る状 態 に 関 し て 最 適 政 策 を 構 成 す る は ず で あ る 。」 詳 細 はBellman(1957,p.83)を 参 照 せ よ 。
13)/翰 は 確 率 変 数Rが 属 す る確 率 分 布 を 規 定 す る パ ラ メ ー タ ー 群 を 指 定 す る。 も し 確 率 分 布 が 正 規 分 布 の よ う な2パ ラ メ ー タ ー 分 布 で あ る な ら ば,パ ラ メ ー タ ー 群 は 平 均 値 μ と分 散 σ2(ま た は 標 準 偏 差 σ)で あ る 。
14)消 費 者 理 論 に お い て,通 常,劣 等 財 ま た は下 級 財(inferiorgoods)は,所 得yが 増 加 す る と そ の 需 要 量gが 減 少 す る よ う な 財 を い う(∂q/∂yく0)。 こ こ で は 富 が 増 加 す る と危 険 資 産 へ の 投 資 需 要 が 減 る か ら,危 険 資 産 を 劣 等 財 と見 な す の で あ る 。
[参 考 文 献]
Bellman,Richard[1957]:DynamicProgramming,Princeton,PrincetonUniversii.y Press.
Hakansson,N.H.[1969]:"OptimalInvestmentandConsumptionStrategiesunder Risk,anUncertainLifetime,andInsurance,"InternationalEconomicReview,vol.
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Levhari,U.,&T.N.Srinivasan[1969]:"OptimalSavingsunderUncertainty,"
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桐 谷 維[1986]『 資 産 選 択 の 現 代 理 論 』 東 洋 経 済 新 報 社,1986年 。
