(一本記事)
表現論と分割定理 (1)
土岡俊介
◎東京工業大学情報理工学院
はじめに
本稿は，筆者が「第39回数理の翼セミナー」にお いて2018年8月10日に行った講義の，佐藤僚亮さん
（当時九大数理，現在名大多元数理）による講義録に，
筆者が手を加えたものを，NPO法人「数理の翼」の許 可をえて2回にわけて公開するものである．
分量からもわかるとおり，実際にこの内容すべてを 講義したわけではないので，講義の準備録といえる．
講義の主目的は，整数の分割という身近なテーマを通 じて表現論という分野を高校生に紹介することであっ た．また，講義で紹介した「ロジャーズ-ラマヌジャン 分割定理の動機づけられた証明」も面白いと思う．
ロジャーズ - ラマヌジャン連分数
1913年，ラマヌジャンはイギリスの数学者ハーデ ィーに次式を含む手紙を書いた．
1 1 + e−2π
1 +e−4π .. .
=
√ 5 +√
5
2 −
√5 + 1 2
e2π/5.
これはロジャーズ-ラマヌジャン連分数（Rogers-Ramanujan continuous fraction）とよばれるもので，手紙を受け 取った際のハーディーの回想[Har]は有名である：
これらの公式に，完璧に打ち負かされてしまった．
このようなものをいまだかつて見たことがない．
ぱっと見ただけで，最高レベルの数学者によって のみ書き下されるものだとわかる．これらは真で あるはずだ．何故なら人にはこのようなものを捏 造するだけの想像力は備わっていないのだから∗．
ロジャーズ - ラマヌジャン恒等式
手紙を受け取ったハーディたち英国数学者は，ロジ ャーズ-ラマヌジャン連分数が，c= 0,1について
1 + ∑∞
n=1
qn2+cn (1−q)· · ·(1−qn)
= ∏∞
n=0
1
(1−q5n+1+c)(1−q5n+4−c)
という印象的な「無限和=無限積」からしたがうこと を見出したが，1894年にロジャーズ(Rogers)が証明
した[Rog]ことを1917年に再発見するまで証明する
ことはできなかった（とされる[Har]が，[Sil, 2章]に よると史実は違うらしい）．1915年に出版されたマク マホン(MacMahon)の有名な教科書「Combinatory Analysis」中のChapter IIIに「ラマヌジャンの恒等 式」という節があるが，そこでは
このもっとも驚嘆するべき定理は89次の項まで 直接展開によって確かめられているので，真偽に ついて疑う余地はないが，まだ確立されていない．
と紹介されている．2つの等式は，いまではロジャー ズ-ラマヌジャン恒等式（Rogers-Ramanujan identi- ties）とよばれており，ハーディは
ロジャーズ-ラマヌジャン恒等式より美しい公式を 発見するのは難しいだろう
と評したそうである [And, 7章]．本講義では，それ と同値なロジャーズ-ラマヌジャン分割定理（Rogers- Ramanujan partition theorem）について論じ，表現 論（representation theory）という視点から眺める．
オイラー分割定理
定義1 以下の集合Parの元を整数の分割（integer partition）とよぶ．
Par :={λ= (λ1,· · ·, λℓ)|λ1>
=· · ·>=λℓ>
=1}. 分割λ= (λ1,· · ·, λℓ)∈Parに対して：
( 1 ) 各λiはλの部分あるいはパートとよばれる．
( 2 ) ℓを分割λの長さといいℓ=ℓ(λ)と書く．
( 3 ) i>=1に対してmi(λ) :=|{j|λj=i}|とす る（有限集合Sの元の個数を|S|で表す）．つ まりmi(λ)はλにおけるiの重複度である．
( 4 ) |λ|:=
∑ℓ i=1
λiとする（λのサイズ）．
例2 λ= (4,2,2,2,1)は分割で，ℓ(λ) = 5, m2(λ) = 3, m3(λ) = 0，|λ|= 4 + 2 + 2 + 2 + 1 = 11である．
定義3 整数n>=0に対して，分割λ∈Par(λ)がn の分割であるとは|λ|=nが成り立つことをいう．ま たnの分割全体の集合をPar(n)と書く．つまり
Par(n) :={λ∈Par| |λ|=n}.
ただしPar(0) :={∅}とし，∅を0の分割という．
定義4
Odd :={λ∈Par|1<=∀i<=ℓ(λ), λi≡1 (mod 2)}, Strict :={λ∈Par|1<=∀i <∀j<=ℓ(λ), λi> λj}.
集合Oddの元を奇数分割，集合Strictの元をストリ クト分割とよぶ．定義はそれぞれ「∀k>=1, m2k(λ) = 0」「∀k>=1, mk(λ)<=1」に変えてもよい．
定義 5 分割の部分集合C,D ⊆ Parが分割論的に 同値とは，任意のn>=0に対して
|C ∩Par(n)|=|D ∩Par(n)|
が成り立つことをいう．このときCPT∼ Dと書く.
定理 6 (オイラー分割定理) OddとStrictは分割 論的に同値である．つまりOddPT∼ Strict.
今回はこれをq-級数（q-series）を用いて証明する．
定義7 部分集合C ⊆Parに対して，q-級数fC(q)
（Cの母関数）を次で定義する．
fC(q) := ∑∞
n=0
|C ∩Par(n)|qn.
変数qと同様に級数も「形式的な」級数（formal se- ries）であり，収束などの解析的な考察は（ここでは）
しない．q-級数は係数によって定まり，各qnの係数が 等しいとき2つのq-級数は等しいと定義される．明ら かに，定理6はfOdd(q) =fStrict(q)と同値である．
例8 fOdd(q) = 1 +q+q2+ 2q3+ 2q4+ 3q5+· · ·．
∵ Odd∩Par(0) ={∅}
Odd∩Par(1) ={(1)} Odd∩Par(2) ={(1,1)}
Odd∩Par(3) ={(3),(1,1,1)}
Odd∩Par(4) ={(3,1),(1,1,1,1)}
Odd∩Par(5) ={(5),(3,1,1),(1,1,1,1,1)}. 主張9
fStrict(q) = ∏∞
n=1
(1 +qn) = (1 +q)(1 +q2)(1 +q3)· · ·.
証明 試しに積を展開してq5 の係数を計算してみ る．展開してq5となるのは，
(1 +q)(1 +q2)(1 +q3)(1 +q4)(1 +q5)(1 +q6)· · ·, (1 +q)(1 +q2)(1 +q3)(1 +q4)(1 +q5)(1 +q6)· · ·, (1 +q)(1 +q2)(1 +q3)(1 +q4)(1 +q5)(1 +q6)· · · のように下線部を選んで掛ける場合に限る．ただし
· · · となっている部分では常に1を選んで掛けるとす
る．ここでの展開の仕方は上から順に5のストリクト 分割の(5),(4,1),(3,2)と対応していることに注意す ると，q5の係数は3 =|Strict∩Par(5)|と等しいこと
がわかる．一般のnでも同様に，展開してqnとなる 掛け方とnのstrict分割が1対1対応する．
主張10
fOdd(q) = ∏∞
n=1
(1 +q2n−1+q2(2n−1)+· · ·).
証明 先と同様に，試しに積を展開してq5の係数を 計算する．展開してq5となるのは，
(1 +q+ q2 +q3+q4+q5· · ·)
·(1 + q3 +q6+q9+· · ·)
·( 1 +q5
: +q10+q15+· · ·)
· · · ·
のように，下線部，下波線部，箱で囲った部分をそれ ぞれ選んで展開した場合に限る．それぞれの場合は5 の奇数分割の(1,1,1,1,1),(5),(3,1,1)と対応してい ることに注意すると，q5の係数は3 =|Odd∩Par(5)| に等しいことがわかる．ただし展開の仕方と分割との 対応は，1行目，2行目，3行目· · · に選んた項のqの 肩（指数）がそれぞれ，分割の1の個数，3の個数，5
の個数· · ·と解釈してえられる．一般のnでも同様に，
展開してえられるqnとなる掛け方とnの奇数分割が 1対1対応するので主張が成り立つ．
以上の2つの主張9,主張10より
∏∞ n=1
(1 +qn) = ∏∞
n=1
(1 +q2n−1+q2(2n−1)+· · ·) を示せばよい．計算機を用いてそれぞれを展開すれば，
qの指数が小さい項の係数が一致していることは（い くらでも）確かめられるが（講義では実際に，http:
//www.sagemath.orgから入手可能な数学ソフトウェ
アSageMathを用いた計算機実験も行われた），実際
にすべての項の係数が一致していることは，次のよう に証明できる．
定理6の証明 次が重要である: 1 +q+q2+· · ·= 1
1−q. (1)
実際，この式と主張9,主張10を用いて，以下のよ
うなキャンセルが生じる．
fOdd(q) = 1 1−q
1 1−q3
1 1−q5 · · ·
= 1
1−q ·1−q2
XXX1−q2 ·1−1q3 ·XXX1−q4 1−q4 · 1
1−q5 · · · ·
= (1 +q)(1 +q2)(1 +q3)· · ·
=fStrict(q).□
q-級数の計算は，qに値を代入して等しいという意 味ではない（たとえばq = 1をするとどうなるだろ う？）が，複素関数論から計算を合理化することもで きる．たとえば，式(1)は
1 +q+· · ·+qr−1= 1−qr 1−q
の|q|<1の場合の極限r→ ∞として理解できる．
絶対収束を知っていれば，上のキャンセルは，
∀q∈C,|q|<1⇒fOdd(q) =fStrict(q)
を含意している．ここで複素関数論における一致の 定理を適用すれば，q-級数としての等式fOdd(q) =
fStrict(q)を演繹できる．しかし，先のキャンセルの（複
素関数論を用いない）純粋に代数的な正当化も可能で ある（たとえば[Sta, 4章]を参照）．いずれにせよ，こ の講義では「オイラー時代のおおらかな精神」とでも よぶべきものに身をゆだねることにして，厳密な正当 化については目くじらを立てないことにする．
講義の休憩中に，参加者がオイラー分割定理の組合 せ論的証明を試みていたことを受けて，その方法で証 明できる次の一般化を紹介した（p= 2が定理6）：
定理11 任意のp>=2に対して，以下が成り立つ．
{λ∈Par| ∀i>=1, mi(λ)< p}
PT∼ {λ∈Par| ∀i>=1, mpi(λ) = 0}.
これはグレイシャー(Glaisher)対応とよばれている 分割論的同値であり [Bre, Exercise 2.2.7]，組合せ論 的全単射を構成する以外にも，オイラー分割定理と同 じ「q-級数と式(1)を用いた分数のキャンセル」によっ て証明できる．この方法でC PT∼ Dが証明できるよう なC,D ⊆Parは，「partition ideal of order 1」として まとまった一般論が知られている[And, 8章3節]．
ロジャーズ - ラマヌジャン分割定理
定義12
R:={λ∈Par|1<=∀i < ℓ(λ), λi−λi+1>=2}, R′:=R∩ {λ∈Par|λ=∅またはλℓ(λ)>=2}, Ta,b,(N)···:={λ∈Par|mi(λ)>0⇒i≡a, b,· · ·(modN)}. ここでa, b,· · · は任意の数列でかまわないが，講義
では有限列しか登場しない．またR, R′は，以下で定 義しても同じである．
R={λ∈Par| ∀j>=1, mj(λ) +mj+1(λ)<=1}, R′=R∩ {λ∈Par|m1(λ) = 0}.
定理13(ロジャーズ-ラマヌジャン分割定理) RPT∼T1,4(5), R′PT∼ T2,3(5).
論理的な含意関係を明確にしておくと，ロジャーズ- ラマヌジャン分割定理はロジャーズ-ラマヌジャン恒等 式と同値であり，その証明も難しくないのだが，今回 は説明しない（たとえば [AE, 5章6節]や[HW, 19 章13節]を参照されたい）．一瞥すれば
•RはStrictのようにパートの差で条件が記述され
•T1,4(5)はOdd(= T1(2))のようにパートの剰余で条 件が記述される
ことから，オイラー分割定理とそれほど違わないと思 うかもしれない．しかし，証明が難しいことを示唆す る1910年代の史実については，冒頭でふれた．
どの証明も本質的には確認にすぎず，単純とか直 裁的とはいえない．(中略)真に簡単な証明を期待 するのが不合理であることに疑いの余地はない∗．
1940年代，当時知られていたロジャーズ-ラマヌジャン 恒等式（⇔ロジャーズ-ラマヌジャン分割定理）の7つ の証明をハーディはこう総括した[Har]．
動機づけられた証明 (Motivated proof )
ハーディが言及している証明では
(H1) どこから思いつくのかわからない不思議な（し かし高校数学で理解可能な）式が提示され，
(H2) それが満たす方程式の初等的な確認作業（た だしとても長い）が行われる．
典型的な証明例[HW, 19章14節]では，i= 0,1に ついて以下のx, qの形式的べき級数fi(x, q)
∑
n≧0
(−1)nx2nqn(5n+3)2 −in(1−xi+1q(2n+1)(i+1)) (1−q)· · ·(1−qn) ∏
j≧n+1
(1−xqj) を定義し（これが(H1)に相当する），さらにq-差分方 程式（q-difference equation）
fi(x, q) =fi−1(x, q) +xiqif1−i(xq, q).
を確認する（これが(H2)に相当する），といった具合 である（ここでf−1= 0）．
この講義では，[Rog]から約100年後に発見された アンドリュース(Andrews)とバクスター(Baxter)に よるMotivated proofを紹介する[AB]．(H1)が
(AB1) 自然な動機に基づいた粗筋を人に説明でき
(AB2) 時間をかければ，その場で詳細を再現可能
に改善されている，というのがMotivatedの意味であ る．残念ながら(H2)は変わらずに残っており，現状，
ハーディの言を信じるしかなさそうだ．
さて，ロジャーズ-ラマヌジャン分割定理を示すには fR(q) =f
T1,4(5)(q), fR′(q) =f
T2,3(5)(q) を証明すればよい．一方で
G1(q) := ∏∞
n=0
1
(1−q5n+1)(1−q5n+4), (2) G2(q) := ∏∞
n=0
1
(1−q5n+2)(1−q5n+3) (3) についてf
T1,4(5)(q) = G1(q), f
T2,3(5)(q) = G2(q) とな ることは，主張0.9の証明と同様である．したがって fR(q) =G1(q)とfR′(q) =G2(q)を証明すればよい．
非負性から Motivate される観察
fR(q)−fR′(q)の各qnの係数が非負であること（非 負性）が出発点である．実際，
fR(q)−fR′(q)
= ∑∞
n=1|{λ∈R∩Par(n)|λℓ(λ)= 1}|qn
はR, R′ の意味から明らかである．すると非負性は，
有限集合Sの個数|S|は非負であるという解釈からた だちにしたがう．これは圏論化（categorification）に 通じる視点である．一方で，ロジャーズ-ラマヌジャン 分割定理を信じるならG1(q)−G2(q)も同じ非負性 をもつわけだが，G1(q), G2(q)の無限積による定義式 (2), (3)に基づいてそれを示すのは，簡単ではない．
少し様子をうかがっていると意外な気づきがある．
G1(q) = 1 +q+q2+q3+ 2q4+2q5+3q6+· · ·, G2(q) = 1 +q2+q3+q4 +q5 +2q6+· · · で，G1(q)−G2(q) =q(1 +q3+q4+· · ·)と非負なq- 級数がえられそう（注：ロジャーズ-ラマヌジャン分割 定理が正しいなら，まさにえられる）なので
G3(q) := G1(q)−G2(q) q
= 1 +q3+q4+q5+q6+q7+ 2q8+· · · を定義したくなる．すると不思議なことに，G1(q)− G2(q)で観察された非負性が，G2(q)−G3(q) =q2(1+
q4+q5+· · ·)でも観察されるようだ．そこで G4(q) := G2(q)−G3(q)
q2
= 1 +q4+q5+q6+q7+q8+q9+· · · をG3(q)と同様に定義したくなるのである．さらに計 算を進めると，次が観察される．
観察14 任意のn>=1に対して Gn+2(q) := Gn(q)−Gn+1(q)
qn
= 1 +qn+2+ (qn+3以上の高次項，係数は正) が再帰的に成り立つ．
定義15 2つのq-級数f(q), g(q)について f(q) =g(q) +O(qN)
とは，f(q)−g(q)の最低次がN 以上であることの略 記法である（f(q)−g(q) = 0でもよい）．
観察16 任意のn>=1に対して Gn+2(q) := Gn(q)−Gn+1(q)
qn = 1 +O(qn+2) が再帰的に成り立つ．
観察16は，Gi(q)は「1から始まっていて，q1から qi−1の項がない」という意味だから，さらに「qiの項 は係数が1で，それより高次項は係数が正整数」を主 張する観察14より弱い．実はMotivated proofには これで十分なのである．
次節では観察16をいったん仮定して，fR(q) =G1(q) を示す．観察14にせよ，観察16にせよ，たとえば
fi(x, q)の定義式とは違って，それを考えたくなる理
由を不自然さなく説明できる．これが(AB1)の例であ り，証明がMotivatedといわれる理由の1つめである．
観察 16 を仮定した証明
定義17 n>=1について
G1(q) =An(q)Gn(q) +Bn(q)Gn+1(q)
となる多項式An(q), Bn(q)を以下のように定義する．
•n= 1のときはA1(q) = 1, B1(q) = 0とし，
•n>=2では，An+1(q) =An(q) +Bn(q), Bn+1(q) =qnAn(q).
実際，Gn(q) =Gn+1(q) +qnGn+2(q)より
G1(q) =An(q)(Gn+1(q) +qnGn+2(q)) +Bn(q)Gn+1(q)
= (An(q) +Bn(q))Gn+1(q) +qnAn(q)Gn+2(q) であるから，n>=2における定義は正当化される．
例18
A2(q) = 1 A3(q) = 1 +q A4(q) = 1 +q+q2 B2(q) =q B3(q) =q2 B4(q) =q3+q4
主張19
A∞(q) := lim
n→∞An(q)
は存在する（正確な定式化は読者にまかせる．例18か らもA∞(q) = 1 +q+q2+· · · が観察される）．
証明 相互漸化式An+1(q) =An(q)+Bn(q),Bn+1(q) = qnAn(q)から，単独漸化式
An+1(q) =An(q) +qn−1An−1(q). (4) がえられる．したがって，An+1(q)とAn(q)はq0次 からqn−2次までの係数は一致する．
主張20 G1(q) =A∞(q).
証明 観察16とBn(q) =qn−1An−1(q)より G1(q) =An(q)Gn(q) +Bn(q)Gn+1(q)
=An(q)(1 +O(qn)) +O(qn−1)Gn+1(q)
=An(q) +O(qn−1)
をえる．したがって，G1(q)とAn(q)のqn−2次以下 の項は一致している．
主張 21 Sn :={λ ∈R |λ1 <
=n}と定義すると，
任意のn>=2に対して An(q) = ∑
λ∈Sn−2
q|λ|.
例22 以下と例18よりn= 2,3,4では正しい．
S0 ={∅}, S1={∅,(1)}, S2={∅,(1),(2)}. 証明 主張21の右辺をA′n(q)とおく．「初期条件」
A2(q) =A′2(q)とA3(q) =A′3(q)については，例22 でたったいま確認した．n>=4に対しては，集合Sn−1 の意味を考えると
Sn−1=Sn−2
⊔{(n−1, µ)|µ∈Sn−3}
が成り立つ．この集合の等式に，有限部分集合T ⊆ Parをqの多項式に変換する操作
T 7−→ ∑
λ∈T
q|λ|
を施すとA′n+1(q) =A′n(q)+qn−1A′n−1(q)をえる．こ の漸化式はAn(q)の単独漸化式(4)と同一であり，初 期条件が同じだから，数学的帰納法を用いて主張∀n>= 2, An(q) =A′n(q)が示される．
最後に，主張20，主張21から，
G1(q) =A∞(q) = ∑
λ∈R
q|λ|=fR(q) をえる．定義0.15とまったく同様に
G2(q) =Cn(q)Gn(q) +Dn(q)Gn+1(q)
なる多項式Cn(q), Dn(q)を定義できて，G2(q) =fR′(q) を証明できる．これで観察16を仮定した，ロジャーズ- ラマヌジャン分割定理の証明が完了した．
次回は，ヤコビ三重積を用いた観察16の証明から はじめ，ロジャーズ-ラマヌジャン分割定理に関連する 数学の広がりを表現論の観点から掘り下げたい．
参考文献
［AB］ G.E. Andrews and R.J. Baxter, A moti- vated proof of the Rogers-Ramanujan identities, Amer.Math.Monthly96(1989), 401–409.
［AE］ ジョージ・アンドリュース，キムモ・エリクソン著, 佐藤文広訳『整数の分割』,数学書房，2006年
［And］ G.E. Andrews,The theory of partitions, Ency- clopedia of Mathematics and its Applications, Vol.2. Addison-Wesley Publishing Co., (1976).
［Bre］ D.M. Bressoud,Proofs and confirmations. The story of the alternating sign matrix conjecture, Cambridge University Press, (1999).
［Har］ G.H.ハーディ著,高瀬幸一訳『ラマヌジャン–その 生涯と業績に想起された主題による十二の講義』, 丸善出版，2016年（∗部の訳は筆者による）
［HW］ G.H.ハーディ，E.M.ライト著,示野信一,矢神毅 訳『数論入門II』,丸善出版，2012年
［Rog］ L.J. Rogers, Second Memoir on the Ex- pansion of certain Infinite Products, Proc.Lond.Math.Soc.25(1893/94), 318–343.
［Sil］ A.V. Sills, An invitation to the Rogers- Ramanujan identities. With a foreword by George E. Andrews, CRC Press, (2018).
［Sta］ P. Stanley, Enumerative combinatorics. Vol.1, Cambridge University Press, 2012.
