微分積分学
2 No.4 2005.10.12
2.
積分の計算2.1
置換積分法 担当：市原定理
16 (置換による不定積分 (I))
連続関数y = f (x)
と微分可能な関数y = g(x)
に対して,∫
{ f (g(x)) · g 0 (x) } dx =
∫
f (t) dt,
ただし,t = g(x)
が成り立つ.このように,最初の変数を別の変数で置き換えて,積分の計算することを置換積分法と よぶ.
例題
3
次の不定積分を計算しなさい.(1)
∫
5x 4 cos(x 5 + 1) dx
(2)
∫ 8x 1 + 4x 2 dx
定理
17 (置換による不定積分 (II)) x
の連続関数をx = g(t)
とすると,∫
f(x) dx =
∫
{ f (g(t)) · g 0 (t) } dt
が成り立つ.例題
4
∫ 1
x log x dx
を置換積分法で計算しなさい.7
定理
18 (
置換積分による定積分(I))
関数t = g(x)
が微分可能であり,x
がa
か らb
まで変化するとき,t
はα
からβ
まで変化するとする. このとき∫ b
a
f(g(x))g 0 (x) dx =
∫ β
α
f (t) dt
が成り立つ.例題
5
∫ 1
0
xe x
2dx
を計算しなさい.定理
19 (置換積分による定積分 (II))
関数t = g(x)
が微分可能であり,x
がa
か らb
まで変化するとき,t
はα
からβ
まで変化するとする. このとき∫ b a
f (x) dx =
∫ β α
f (g(t))g 0 (t) dt
が成り立つ.例題
6
∫ 1 0
x 2
(3 − x) 2 dx
を計算しなさい.8
微分積分学
2 No.4 2005.10.12
2.
積分の計算2.1
置換積分法 担当：市原問題
4
次の不定積分を計算しなさい.(1)
∫
cos x sin 7 x dx
(2)
∫ 1
2 + x 2 dx
問題
5
次の定積分を計算しなさい.(1)
∫ 2
1
x √
4 − x 2 dx
(2)
∫ 2 1
√ 1 − x 2 dx
学籍番号 氏名
